圆的证明与计算(精编版)

《圆的证明与计算》专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B 为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.

例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线

例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：PC是⊙O的切线.

例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）

例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二

是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有

关.

例2： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.

证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.

∵AC ∥BD ，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.

∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴

OD OC

OB AC =

. ∵OA=OB ，

∴

OD

OC

OA AC =

. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.

又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.

∴CD 是⊙O 的切线.

证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，

∴△AOF ≌△BOD （AAS ）

O