函数图像变化
函数移动规律公式
在数学中，函数的移动规律通常涉及到函数图像的平移。
函数图像的移动遵循以下几个基本的规律：1. 水平移动（左移和右移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向左移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x + a) \)；如果图像向右移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x a) \)。
2. 垂直移动（上移和下移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向上移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) + a \)；如果图像向下移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) a \)。
3. 斜率变化（拉伸和压缩）：如果函数\( f(x) \) 的图像在\( x \) 方向上被拉伸或压缩，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来完成。
如果\( a > 1 \)，图像会被拉伸；如果\( 0 < a < 1 \)，图像会被压缩。
新的函数表达式为\( a \cdot f(x) \)。
4. 对称变换：关于y 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于y 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于x 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于x 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于原点对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于原点对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
5. 周期变换：如果函数\( f(x) \) 的图像具有周期性，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来改变周期。
新的函数表达式为\( f(x \cdot a) \)。
这些规律可以帮助我们理解和预测函数图像在各种变换下的移动和变化。
在实际应用中，这些规律对于解决函数图像相关的问题非常有用。
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图像的平移与伸缩
横向伸缩：改变x轴上的距离， 函数值不变
横向和纵向同时伸缩：改变x 和y轴上的距离，函数值不变
伸缩对函数值的影响：伸缩 不会改变函数的值，但会影
响图像的形状和大小
平移与伸缩的规律总结
平移与伸缩的规律
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平移规律：函数图像在x轴方向上平移时，函数解析式中的x值不变， y值会相应地加减平移的单位；在y轴方向上平移时，x值不变，y值 加减平移的单位。
平移后的函数 图像与原图像 在y轴方向上错 开一定距离， 距离等于平移
的单位。
函数图像向下 平移不改变函 数的值域，即 平移后的函数 值仍为原函数
值的范围。
在实际应用中， 向下平移函数 图像可以用于 描述某些物理 现象或数学问 题的变化规律。
函数图像的伸缩
横向伸缩
定义：将函数图像 在水平方向上拉伸 或压缩，保持纵坐 标不变。
平移与伸缩的实例分析
一次函数的平移与伸缩
函数图像平移：y=x+1向右平移2 个单位，得到y=x-1；向左平移2 个单位，得到y=x+3。
函数值的变化：平移不改变函数值， 伸缩改变函数值。
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函数图像伸缩：y=2x缩短为原来的 一半，得到y=x；伸长为原来的2倍， 得到y=4x。
函数图像的平移与伸缩
汇报人：XX
函数图像的平移 函数图像的伸缩 平移与伸缩的规律总结 平移与伸缩的实例分析
函数图像的平移
向左平移
定义：将函数图像沿x轴方向向左移动一定距离 变化规律：左加右减，即y=f(x+h)表示图像向左平移h个单位 数学表达式：y=f(x-h)或y=f(x)+h，表示图像向右平移h个单位 实例分析：以一次函数y=2x为例，向左平移2个单位后得到新函数y=2(x+2)=2x+4
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数图像的平移与伸缩
函数图像的平移与伸缩是函数图形变换中的两个重要概念，对于理解函数的性质和应用函数的图像具有重要意义。
下面，我们将详细讨论这两个概念，以及它们在各个方面的应用和影响。
一、函数图像的平移函数图像的平移可以分为水平平移（或称为横向平移）和垂直平移（或称为纵向平移）。
这两种平移方式在函数图像上产生的变化是直观的，并且遵循一定的数学规则。
1. 水平平移：当我们将函数图像沿x轴方向进行平移时，我们称之为水平平移。
具体来说，如果将函数f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位（a>0），那么新的函数将是f(x+a)；如果向右平移a个单位，新的函数将是f(x-a)。
这种平移对函数的影响是，其对应的x值在图像上发生了变化，但y值保持不变。
例如，考虑函数y=x^2。
如果我们将这个函数的图像沿x轴向左平移3个单位，那么新的函数将是y=(x+3)^2。
这意味着在新的函数中，每一个y值对应的x值都比原来的x值大3。
2. 垂直平移：与水平平移相似，当我们将函数图像沿y轴方向进行平移时，我们称之为垂直平移。
如果将函数f(x)的图像沿y轴向上平移b个单位（b>0），那么新的函数将是f(x)+b；如果向下平移b个单位，新的函数将是f(x)-b。
这种平移对函数的影响是，其对应的y值在图像上发生了变化，但x值保持不变。
再以函数y=x^2为例，如果我们将这个函数的图像沿y轴向上平移5个单位，那么新的函数将是y=x^2+5。
这意味着在新的函数中，每一个x值对应的y值都比原来的y值大5。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩可以分为水平伸缩（或称为横向伸缩）和垂直伸缩（或称为纵向伸缩）。
这两种伸缩方式同样对函数图像产生直接的影响，而且也有明确的数学表达形式。
1. 水平伸缩：当我们对函数图像进行水平方向上的伸缩时，我们称之为水平伸缩。
具体来说，如果将函数f(x)的图像在水平方向上压缩k倍（k>0，且k≠1），新的函数将是f(kx)；如果拉伸k倍，新的函数将是f(x/k)。
函数的图像及其变换
的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位 而得到．总之， 对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称； 对称； 对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即 当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离 相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性 题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围， 使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对 称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数， 则函数 y＝f(2x) )
【解析】 如图所示，不妨设正三角形ABC的边长 为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上 时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周 期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝
函数图像的伸缩变换规则
函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。
伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。
2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。
3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。
4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。
二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。
2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。
3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。
4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。
函数的图像与变化趋势
定义：函数周期性是指函数 在一定区间内重复出现的性 质
应用：在物理学、工程学、 经济学等领域有广泛应用
函数图像与变 化趋势的关系
函数图像与单调性的关系
单调递增函数的图像是上升的，随着x的增加，y的值也增加。 单调递减函数的图像是下降的，随着x的增加，y的值减小。 在区间内，单调性相同的函数图像是连续的。 在区间内，单调性不同的函数图像存在拐点。
MATL AB、Python等数学软件可用于绘制函数图像 通过模拟分析，可以观察函数的变化趋势和规律 利用数学软件进行模拟分析有助于理解函数的性质和特点 模拟分析可以辅助解决一些实际问题
综合分析函数的性质
确定函数的定义域 和值域
判断函数的奇偶性、 周期性和对称性
分析函数的单调性 和极值点
判断函数在无穷大 处的极限行为
函数的图像与变化 趋势
汇报人：XX
目录
01 函数图像的绘制
02 函数的变化趋势
03 函数图像与变化趋势的关系
04 如何分析函数的图像与变化趋势
05 实际应用举例
函数图像的绘 制
函数图像的基本概念
函数图像是函数在平面上的表现形式，通过图像可以直观地观察函数的值和自变量之 间的关系。
函数图像的绘制需要选择适当的坐标系，确定函数的定义域和值域，并使用适当的绘 图工具进行绘制。
绘制函数图像时需要注意图像的形状、趋势和特征，以便更好地理解函数的性质和变 化规律。
函数图像的绘制是数学分析和应用数学中的基本技能之一，对于深入理解函数性质和 解决实际问题具有重要意义。
函数图像的绘制方法
确定函数表达式和参数 选择坐标系和坐标轴范围 计算函数值并标在坐标轴上 连接点绘制函数图像
函数图像的绘制示例
函数图像变换的四种情况
函数图像的变换有四种主要情况，它们分别是平移、缩放、翻转和旋转。
1. 平移（Translation）：平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移表示在x 轴方向上移动函数图像，垂直平移表示在y 轴方向上移动函数图像。
平移可以使函数图像的位置发生变化，但不改变其形状。
2. 缩放（Scaling）：缩放是指根据比例因子将函数图像在x 轴和y 轴方向上进行拉伸或压缩。
缩放可以分为水平缩放和垂直缩放两种情况。
水平缩放会改变函数图像在x 轴上的横向长度，垂直缩放会改变函数图像在y 轴上的纵向长度。
缩放会改变函数图像的形状和大小。
3. 翻转（Reflection）：翻转是指将函数图像关于某个轴进行对称操作。
常见的翻转有关于x 轴的翻转和关于y 轴的翻转。
关于x 轴的翻转会使函数图像在x 轴上下翻转，而关于y 轴的翻转会使函数图像在y 轴左右翻转。
翻转会改变函数图像的对称性和方向。
4. 旋转（Rotation）：旋转是指将函数图像绕一个旋转中心点
进行旋转角度的变换。
旋转可以使函数图像在平面上发生旋转，改变其角度和位置。
旋转可以是顺时针旋转或逆时针旋转。
这些函数图像变换情况可以单独或组合使用，可以通过改变函数的参数或对函数表达式进行修改来实现。
它们在数学和图形学中被广泛应用，用于研究和描述函数的性质和图像的变化。
函数图像变化方法教案
函数图像变化方法教案教案标题：函数图像变化方法教案教案目标：1. 理解函数图像的基本概念和性质。
2. 掌握函数图像的平移、伸缩、翻转等变化方法。
3. 能够应用函数图像变化方法解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含函数图像变化方法的相关知识点。
2. 白板、黑板或投影仪。
3. 教学PPT或其他多媒体教学工具。
4. 函数图像变化练习题。
教学步骤：一、导入新知识（5分钟）1. 利用教学PPT或黑板，引导学生回顾函数的基本概念和性质。
2. 引导学生思考，函数图像在平移、伸缩、翻转等变化中的作用。
二、讲解函数图像的平移变化（15分钟）1. 介绍平移变化的概念和方法。
2. 通过具体的例子，演示平移变化对函数图像的影响。
3. 引导学生总结平移变化的规律和特点。
三、讲解函数图像的伸缩变化（15分钟）1. 介绍伸缩变化的概念和方法。
2. 通过具体的例子，演示伸缩变化对函数图像的影响。
3. 引导学生总结伸缩变化的规律和特点。
四、讲解函数图像的翻转变化（15分钟）1. 介绍翻转变化的概念和方法。
2. 通过具体的例子，演示翻转变化对函数图像的影响。
3. 引导学生总结翻转变化的规律和特点。
五、练习与巩固（15分钟）1. 分发函数图像变化的练习题。
2. 引导学生独立完成练习题，加深对函数图像变化方法的理解。
3. 点评练习题，解答学生的疑惑。
六、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考函数图像变化方法在实际问题中的应用。
2. 提供一些实际问题，让学生运用函数图像变化方法解决。
七、总结与反思（5分钟）1. 总结函数图像变化方法的要点和关键。
2. 鼓励学生提出问题和反思，加深对知识的理解。
教学评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 练习题的完成情况和答案的正确率。
3. 学生对函数图像变化方法的理解程度和能力。
教学扩展：1. 引导学生进一步探究函数图像变化方法在不同函数类型中的应用。
2. 引导学生自主学习其他函数图像变化方法，如旋转变化等。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
三角函数的像变换规律总结
三角函数的像变换规律总结三角函数是数学中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有广泛的应用。
像变换规律是描述三角函数在图像上的移动、拉伸和反转等变化规律。
在本文中，我们将总结常见的三角函数的像变换规律。
一、正弦函数的像变换规律正弦函数是最常见的三角函数之一，其一般式为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：当C改变时，函数图像在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：当D改变时，函数图像在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：当A改变时，函数图像在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
二、余弦函数的像变换规律余弦函数也是常见的三角函数之一，其一般式为y =A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变C时在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变D时在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：与正弦函数类似，余弦函数在改变A时在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
三、正切函数的像变换规律正切函数是另一个常见的三角函数，其一般式为y =A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
由于正切函数在某些点上无定义，因此在图像上会有一些特殊的性质。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
函数图象的变换PPT
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
函数图象的变化
沿x轴的平移变换结论：
一般地，函数y f ( x h)的图像，可 以将函数y f ( x )的图像向左( h 0)或 向右( h 0)平移 | h | 个单位得到.
课堂练习1： (1)如何由f ( x ) log 2 x的图像变换到 f ( x ) log 2 ( x 1)的图像.
向左平移1个单位
(2)如何由f ( x ) ( x 3) 的图像变换
2
到f ( x ) x 的图像.
2
向右平移3个单位
例2、 在同一坐标系中作出f ( x ) 2 与 (1)
x
f ( x ) 2 4的图像, 并说明两个
x
函数图像间的变换关系.
(2)在同一坐标系中作出f ( x ) 2 与
2
文件名
一般结论：
一般地，要画函数y=|f(x)|图像，只需 将函数y=f(x)的图像在x轴下方的部分， 翻折到x轴的上方即可.
(2)作出函数f ( x ) x 2 x - 3的图像.
2
文件名
一般结论：
一般地，要画函数y=f(|x|)图像，先画出 函数y=f(x)的图像在y轴右侧的部分，再 将函数y=f(x)的图像在y轴右侧的部分， 翻折到y轴的左侧，把左右两部分图像合 并起来，就构成函数y=f(|x|)的图像.
练习6： 作出函数f ( x ) | 4 x x |
2
①画出函数f ( x )的图像； ②求出f ( x )的单调区间； ③讨论a为何值时，方程 | 4 x x | -a 0
2
有两个解？三个解？四个解？
文件名
x3 练习5：为了得到函数y lg 的图像, 10 只需将函数y lg x的图像上所有点( C ) A.向左平移3个单位，再向上移1个单位. B .向右平移3个单位，再向上移1个单位. C .向左平移3个单位，再向下移1个单位. D.向右平移3个单位，再向下移1个单位.
常见函数图像的变化规律
常见函数图像的变化规律随着数学的发展，函数的概念成为数学中的重要组成部分。
函数可以用来研究各种现实问题，在数学中，函数图像是一个重要的概念，它能够让我们更加直观地了解函数的变化规律。
本文将探讨常见函数图像的变化规律。
一、线性函数首先介绍的是线性函数，线性函数是一种以一次方程形式表示的函数。
它的图像是一条直线，因此也叫直线函数。
线性函数的标准式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示斜率和截距。
当 k>0 时，该直线呈现向上倾斜的情况；当 k<0 时，该直线呈现向下倾斜的情况；当 k=0 时，该直线为水平线；当 b=0 时，该直线过原点；当 b>0 时，该直线在 y 轴上方平移 b 个单位；当b<0 时，该直线在 y 轴下方平移 -b 个单位。
二、二次函数第二种要介绍的是二次函数，二次函数是一种以二次方程形式表示的函数。
它的标准式为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数，a≠0。
二次函数的图像可以是一个开口向上或向下的抛物线或者是一条直线。
而二次函数的决定因素在于二次项系数 a 的正负性。
当a>0 时，图像开口向上；当 a<0 时，图像开口向下。
三、幂函数第三种要介绍的是幂函数，幂函数是一种以幂指数形式表示的函数。
它的标准式为 y = x^p，其中 p 是实数。
幂函数的图像性质与指数 p 的奇偶性和正负性有关。
当 p>0 时，图像为右上方至左下方倾斜的曲线；当 p<0 时，图像为右下方至左上方倾斜的曲线；当 p=0 时，函数为常值函数 y=1，图像是一条平行于 x 轴的直线。
四、指数函数第四种要介绍的是指数函数，指数函数是一种以指数形式表示的函数。
它的标准式为 y=a^x，其中 a 是正实数，a≠1。
指数函数的特点是y值大量增加，而x值轻微增加时，y值急剧上升。
当a>1 时，函数逐渐增长；当0<a<1 时，函数逐渐减小；当 a=1 时，函数为常值函数 y=1。
函数图像的变化趋势与导数值大小的关系
函数图像的变化趋势与导数值大小的关系
函数图像的变化趋势与导数值之间存在着密切的关系，能够为我
们从曲线中获取更多关于函数变化趋势和特征的知识。
首先，当导数值是正值时，意味着函数的面积变化是内向的，也
就是说，在曲线的连续区域内，随着变量的增加，函数的值也随之增加。
换句话说，函数变化的趋势是上升的。
而当导数值是负值时，则
表示函数的变化是外向的，也就是说，曲线的连续区域内，随着变量
的增加，函数的值随之减少，因此函数变化的趋势是下降的。
此外，在两个不同区域转折处，其导数值均为0。
这表明此时函
数变化的趋势发生变化，在这两个区域中，函数的变化状况有所不同。
对于给定的函数，特别是在其导数值出现0的处所，我们可以拿出前
面函数变化趋势和相邻导数值的比较来判断区域内函数的变化趋势。
总之，对于某一特定函数，函数图像的变化趋势与其导数值之间
存在一个重要的关系，一个函数的变化趋势既可以根据其导数值快速
判断，也可以使用导数值的变化来更深入地研究函数的特征。
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2
三、翻折变化：
例题:作出函数f(x)= x -2x-3 的大致图像， 并指出函数的单调区间。
对形如y f ( x) 的函数，
先作出y f ( x)的图像，再将x轴下方的图像向上翻折即可。
2
练习:作出函数f(x)= -x -2x+3 的大致图像， 并指出函数的单调区间。
2
三、综合变化：
1 例题:作出函数f(x)= 的大致图像， x -1 并指出函数的单调区间。 作图方法： （1）判断函数的奇偶性。
（2）找出函数所对应的最基础的图像， 利用函数平移法则作图。
三、综合变化：
1 例题:作出函数f(x)= 的大致图像， x -1 并指出函数的单调区间。 作图方法：
（1）综合分析函数的翻折、对称、平移变化。 （2）找出函数所对应的最基础的图像， 利用函数变化法则作图。
例题1和例题2中研究的函数 y x 和
1 2
yx
2 3
我们称之为 幂函数
幂函数的一般形式是：
y x (k是常数，k Q)
k
幂函数图像(第一象限）特征归纳：
Байду номын сангаас
对于幂函数
(Ⅰ)、当k<0时
y x (k是常数， k Q ) y
k
6
1，单调递减－－－图像向上方向与y轴无限接近，向右方向与x轴无限接近 2，经过定点：（1，1） 4
(2)在同一坐标系中作出三个函数的图像；
x-1 (3)根据函数图像判断h(x)= 的奇偶性， x-2 单调性，对称中心。
二、对称变化：
利用函数奇偶性作图
例题1:已知f(x)=2 x ，请作出函数图像， 并指出函数单调区间。
说明：先作出当x>0时的图像， 然后根据函数的对称性，作出另一半的图像。
练习:已知f(x)=x +2 x ，请作出函数图像， 并指出函数单调区间。
(Ⅱ)、当k>0时
1，单调递增 1）当指数k>1时，函数向下凸
-5 2）当指数0<k<1时，函数向上凸 2
0
-2
5
10x
2，经过定点：（0，0），（1，1）
-4
一、平移变化：
左加右减
上加下减
1 1 x-1 例题1:已知f(x)= ，g(x)= ,h(x)= x x-2 x-2
(1)说明这三个图像之间的关系；