高数积分总结

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高数大一知识点总结重积分

高数大一知识点总结重积分高数大一知识点总结：重积分高等数学中的重积分是一种扩展了二重积分的概念，它在多变量函数的积分中扮演重要的角色。

本文将对高数大一课程中的重积分进行总结和讲解。

一、重积分的概念和性质重积分是定义在三维空间内的函数的积分，通常用来计算多变量函数在某个区域上的累积效应。

与二重积分类似，重积分可以通过分割区域，将其近似为无穷小的小区域，然后对每个小区域进行积分，再将这些积分进行累加而得到。

重积分的计算通常与坐标系的选择有关，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和柱坐标系等。

根据实际问题的特点和对称性的分析，选择合适的坐标系可以简化计算过程。

在计算重积分时，需要注意积分顺序的选择。

根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，这样有助于简化计算，并得到准确的结果。

重积分具有一些重要的性质，例如线性性、划分性和保号性等。

这些性质在具体计算过程中可以灵活运用，简化计算和分析。

二、重积分的计算方法1. 直角坐标系下的重积分计算方法直角坐标系下的重积分计算通常通过多次积分来实现。

根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，再对另一个自变量进行积分。

通过逐步积分，最终可以得到准确的结果。

2. 极坐标系下的重积分计算方法极坐标系下的重积分计算常常适用于具有旋转对称性的问题。

在极坐标系下，将函数和区域表示成极坐标形式，通过选择合适的积分顺序和极角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。

3. 柱坐标系下的重积分计算方法柱坐标系下的重积分计算通常应用于具有柱对称性的问题。

在柱坐标系下，将函数和区域表示成柱坐标形式，通过选择合适的积分顺序和柱角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。

三、重积分的应用领域重积分在科学和工程领域有广泛的应用。

例如，在物理学中，用重积分可以计算物体的质量、质心和转动惯量等；在电磁学中，可以用重积分计算电荷、电场和电势等；在流体力学中，可以用重积分计算流体的质量、流速和流量等。

大一高数重积分知识点总结

大一高数重积分知识点总结在大一高数学习中，重积分是一个重要的知识点，它是对多重积分的深入学习和扩展。

在本文中，我们将对大一高数中重积分的相关知识点进行总结和概述。

一、重积分的定义重积分是对二重积分的进一步推广，用于计算曲顶柱体与曲面之间的空间体积。

对于三维空间中的函数f(x,y,z)，其在某一立体区域D上的重积分定义为：∬Df(x,y,z)dV其中，dV表示体积元素，满足dV = dxdydz。

二、重积分的计算1. 直角坐标系下的重积分计算在直角坐标系下，计算重积分的方法有两种：先y后x的积分次序和先x后y的积分次序。

根据具体情况选择合适的积分次序进行计算，并利用定积分的性质进行积分计算。

2. 极坐标系下的重积分计算在极坐标系下，计算重积分相对简便。

利用极坐标系的变换关系，将被积函数和积分区域转化为极坐标系下的表示形式，然后按照定积分的性质进行积分计算。

3. 应用：质量、质心和转动惯量重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用。

通过计算重积分可以求解三维空间中物体的质量、质心和转动惯量等参数，为实际问题的分析提供了数学工具。

三、重积分的性质1. 重积分的线性性质重积分具有线性性质，即对于任意常数k，函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，以及积分区域D，有以下等式成立：∬D[kf(x,y,z) + g(x,y,z)]dV = k∬Df(x,y,z)dV + ∬Dg(x,y,z)dV2. 重积分的保号性如果积分区域D上的函数f(x,y,z)始终大于等于0，则重积分的结果也大于等于0。

这一性质在实际问题中常用于判断物体的质量分布或概率密度分布等情况。

3. 重积分的积分域可加性对于积分区域D，若可以分解为两个互不相交的子区域D1和D2，则有以下等式成立：∬Df(x,y,z)dV = ∬D1f(x,y,z)dV + ∬D2f(x,y,z)dV四、常见的重积分问题1. 计算空间几何体的体积通过重积分的计算，可以求解复杂几何体的体积。

高数微积分公式大全(总结的比较好)---精品管理资料

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 (1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1）()()!n nxn = （2)()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ （3)()()ln n x x n a a a =（4）()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ （5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7） ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰,令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =,sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =,cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可.十一、第二换元积分法中的三角换元公式(1 sin x a t = (2） tan x a t = sec x a t =【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= (2）1sin62π=(3）sin 32π= (4)sin 12π=) (5）sin 0π=（1）cos01= （2）cos62π=（3）1cos 32π= (4）cos 02π=）（5）cos 1π=-（1)tan 00= （2）tan63π=（3)tan 3π=(4）tan 2π不存在（5）tan 0π=（1）cot 0不存在（2)cot 6π=（3)cot3π=(4)cot 02π=（5）cot π不存在十二、重要公式（1）0sin lim1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= (3))1n a o >=（4）1n = (5)limarctan 2x x π→∞=（6)lim tan 2x arc x π→-∞=-（7）limarccot 0x x →∞= （8）lim arccot x x π→-∞= （9）lim 0xx e →-∞=（10)lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→= (12）0101101lim0n n n m m x m a n mb a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩（系数不为0的情况）十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）sin x x tan x x arcsin x x arctan xx 211cos 2xx - ()ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ∂+-∂十四、三角函数公式 1.两角和公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=- tan tan tan()1tan tan A BA B A B --=+cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅+-=- 2.二倍角公式sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-22tan tan 21tan AA A=-3。

高数微积分公式大全

1
n
∑(X
or
1
i
X )2
n
n 1
分配
Discrete Uniform
Continuous Uniform Bernoulli Binomial Negative Binomial Multinomial
机率函数 f(x)
1 n 1 ba
期望值 E(x)
1 (n+1) 2 1 (a+b) 2
变异数 V(x)
p np
kq p
pq npq
kq p2
q+pet (q+ pet)n
pk (1 qe t ) k
npi
1 p k n N
npi(1-pi)
q p2 N n k n N 1 N
三项
(p1et1+ p2et2+ p3)n pe t 1 qe t
Geometric Hypergeometric
α β γ δ ε ζ η θ
ι κ λ μ ν ξ ο π
rho ρ σ, sigma tau τ upsilon υ phi φ khi χ psi ψ omega ω
倒数关系: sinθcscθ=1; tanθcotθ=1; cosθsecθ=1
sin θ cos θ ; cotθ= cos θ sin θ 2 2 2 平方关系: cos θ+ sin θ=1; tan θ+ 1= sec2θ; 1+ cot2θ= csc2θ
-1
∫ duv = uv = ∫ udv + ∫ vdu →∫ udv = uv - ∫ vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1

高数定积分知识点总结

高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。

在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。

定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。

定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。

定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。

2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。

3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。

高数微积分公式大全

微积分公式D x sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec 2 x cot x = -csc 2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x⎰ sin x dx = -cos x + C ⎰ cos x dx = sin x + C ⎰ tan x dx = ln |sec x | + C ⎰ cot x dx = ln |sin x | + C⎰ sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ⎰ csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = π - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = π - cot -1 x sec -1(-x) = π - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 xD x sin -1 (a x )= 221xa -±cos -1 (a x)=tan -1 (a x )=22x a a +±cot -1 (ax )=sec -1 (a x )=22a x x a-±csc -1 (x/a)= ⎰ sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C ⎰ cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C ⎰ tan -1 x dx = x tan -1 x-½ln (1+x 2)+C ⎰ cot -1 x dx = x cot -1 x+½ln (1+x 2)+C ⎰ sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C⎰ csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+Csinh -1 (a x)= ln (x+22x a +) x ∈Rcosh -1 (a x)=ln (x+22a x -) x ≧1tanh -1 (a x )=a 21ln (xa xa -+) |x| <1coth -1 (a x )=a 21ln (a x a x -+) |x| >1 sech -1(a x )=ln(x 1-+221xx -)0≦x ≦1 csch -1(a x )=ln(x 1+221xx +) |x| >0 D x sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech 2 x coth x = -csch 2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x ⎰ sinh x dx = cosh x + C ⎰ cosh x dx = sinh x + C⎰ tanh x dx = ln | cosh x |+ C ⎰ coth x dx = ln | sinh x | + C ⎰ sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C ⎰ csch x dx = 2 ln |xxee 211---+| + Cd uv = u d v + v d u⎰ d uv = uv = ⎰ u d v + ⎰ v d u →⎰ u d v = uv - ⎰ v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θD x sinh -1(a x )= 221xa + cosh -1(ax)=221ax - tanh -1(a x )= 22x a a -±coth -1(ax )=sech -1(a x )= 22x a x a --csch -1(x/a)=22xa x a +-⎰ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C⎰ cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C ⎰ tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ coth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C⎰ csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3θ=3sin θ-4sin 3θ cos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ¼ (3sin θ-sin3θ) →cos 3θ=¼(3cos θ+cos3θ)sin x = j e e jxjx 2-- cos x = 2jx jx e e -+sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2xx e e -+正弦定理:αsin a = βsin b =γsin c=2R余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos α b 2=a 2+c 2-2ac cos β c 2=a 2+b 2-2ab cos γa b cαβγ Rsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β)sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β)cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β)tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x nn -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) = ⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x =⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音大写小写读音大写小写读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrhoΒ β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χkhi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψpsi ΘθthetaΠπpiΩω omega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;0*∞ =∞1 *∞ = ∞∞ = 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean) nX X X X n+++= (21)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字众数(Mode)次数出现最多的数值几何平均数(Geometric mean) n n X X X G ⋅⋅⋅= (21)调和平均数(Harmonic mean))1...11(1121nx x x n H +++=平均差(Average Deviatoin)nX Xni||1-∑变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni分配机率函数f (x )期望值E(x )变异数V(x )动差母函数m (t )Discrete Uniform n1 21(n +1) 121(n 2+1) tnt t e e e n --1)1(1Continuous Uniform a b -1 21(a +b ) 121(b -a )2 ta b e e atbt )(--Bernoulli p x q 1-x (x =0, 1)p pq q +pe t Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x n p x q n -x npnpq(q+ pe t )nNegative Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x k 1p k q x pkq 2p kq k t kqe p )1(-Multinomialf (x 1, x 2, …, x m -1)= m xm x x m p p p x x x n ...!!...!!212121np inp i (1-p i )三项 (p 1e t 1+ p 2e t 2+ p 3)nGeometric pq x-1p1 2p q ttqe pe -1 Hypergeometric⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N x n k N x k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N k ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1N n N n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N kPoissone xλλ- λ λ)1(--t e eλNormal 2)(21 21σμπσ--x eμ σ222 21 t t eσμ+Beta 11)1(),(1---βαβαx x Bβαα+2))(1(βαβααβ+++Gammax e x λαλαλ--Γ1)()( λα 2λα αλλ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-t Exponentxeλλ-λ121λ t-λλ Chi-Squared χ2 =f (χ2)=212222)(221χχ--⎪⎭⎫⎝⎛Γen n nE(χ2)=nV(χ2)=2n2)21(n t --Weibullαβα--x e1⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+111λαβλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ111222λλαλ1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十亿 1 000 000 106 mega M 百万 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一 0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一 0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一 0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一 0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。

高数积分总结

高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x ），即对任一I x ∈，都有F`（x)=f （x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f （x ）（或f(x)dx)在区间I 上的原函数。

定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f(x ）(或者f （x ）dx)在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(.性质1:设函数f （x)及g （x ）的原函数存在,则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f （x ）的原函数存在，k 为非零常数,则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1）第一类换元法:定理1：设f （u ）具有原函数,)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例：求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法:定理2:设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dx sec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=,且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C aa x a xa x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

高数大一知识点总结微积分

高数大一知识点总结微积分微积分，作为大一学习高数的重要内容之一，是数学的一个重要分支，也是自然科学与工程技术领域中不可或缺的工具。

微积分的产生和发展源远流长，对于我们了解和掌握微积分的基本概念和方法具有重要意义。

本文将对大一学习高数中的微积分知识点进行总结，帮助大家更好地理解和运用微积分。

一、导数与微分1. 导数的定义和求导法则导数是微积分的基本概念之一，表示了函数在某一点的变化率。

导数的定义是极限的概念，表示函数在某一点的切线斜率。

求导法则包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。

2. 高阶导数及其应用高阶导数表示导数的导数，常用符号表示。

高阶导数的计算可以通过逐次求导的方法进行。

高阶导数在极值的判断、曲线的凹凸性以及函数的泰勒展开等方面具有重要应用。

3. 微分的定义和基本性质微分是导数的一个重要应用，是用导数近似表示函数变化的方法。

微分的计算通常使用微分公式，根据各种函数的不同形式，有不同的微分公式。

二、积分与不定积分1. 不定积分的定义与性质不定积分是微积分的另一个基本概念，是导数的逆运算。

不定积分的定义是反函数的导数，其形式与导数相反。

不定积分的计算需要掌握一些基本的积分公式和积分法则。

2. 基本积分公式与积分法基本积分公式是积分的基础，在不同的函数形式下有相应的积分公式。

积分法是求解积分的一种常用方法，包括换元法、分部积分法等。

3. 定积分的定义和性质定积分是微积分的重要内容之一，表示函数曲线与坐标轴所围成的面积。

定积分的计算需要将积分区间分成若干小区间，然后对每个小区间进行面积的近似求和。

三、微分方程1. 常微分方程的基本概念与分类常微分方程是微分方程的一种常见形式，描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。

常微分方程可以根据方程中未知函数的阶数和变量的个数进行分类。

2. 一阶常微分方程的基本解法一阶常微分方程是常微分方程中最简单的一类，其解法主要包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。

高数微积分公式大全

高数微积分公式大全(总结的比较好)

大一高数定积分知识点归纳

大一高数定积分知识点归纳在大一高数中，定积分是一个非常重要的概念和工具，它不仅在学习数学理论中被广泛应用，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。

本文将对大一高数定积分的知识点进行归纳和总结，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

一、定积分的概念和基本性质定积分是对函数在某个区间上的平均值进行求和的极限过程，可以看作是对变量范围内曲线下面积的近似求和。

定积分的计算方法包括上求和法、下求和法和黎曼和等。

定积分有以下基本性质：1. 线性性质：定积分具有线性运算性质，即对于常数k，函数f(x)和g(x)，有∫[a,b] (kf(x) + g(x))dx = k∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx。

2. 区间可加性：对于区间[a,b]和[b,c]，有∫[a,b] f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx。

3. 零函数的积分：如果函数f(x)在区间[a,b]上恒为0，则有∫[a,b] f(x)dx = 0。

二、定积分的计算方法1. 几何法：对于几何形状较为简单的曲线，可以通过几何图形的面积进行求解，如矩形法、梯形法、圆柱法等。

2. 分割求和法：将求和区间进行等分，用每个小区间的函数值乘以小区间的长度得到小区间的面积，再将所有小区间的面积相加即可。

当小区间的数量趋向于无穷大时，可以得到准确的定积分值。

3. 牛顿-莱布尼兹公式：定积分可以通过原函数求导的方法进行计算，即∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。

这一方法适用于已知函数的原函数的情况。

三、定积分的应用定积分在实际问题中有广泛的应用，可以用来求解曲线下面积、物体的质量、电量、工作量等。

以下是一些常见的应用：1. 曲线长度：通过定积分可以计算曲线上两点之间的弧长，即L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)^2)dx。

2. 面积计算：通过定积分可以计算曲线与坐标轴所围成的面积，即S = ∫[a,b]|f(x)|dx。

大一高数知识点总结定积分

大一高数知识点总结定积分大一高数知识点总结：定积分一、基本概念大一高数中，我们学习了很多数学知识，其中涉及到的一个重要概念就是定积分。

定积分是微积分中的重要内容，它可以用于计算曲线下面的面积、求解长度、质量等实际问题。

二、定积分的定义定积分的定义是通过给定一个函数和积分区间，求该函数在该区间上的面积。

具体来说，对于函数f(x)在区间[a, b]上求定积分，可以将该区间分割成无数个小的纵向矩形，并计算这些矩形的面积之和。

当这些小的矩形的宽度趋近于零时，定积分的定义就可以表示为：∫(a到b) f(x)dx = lim(Δx→0) Σ(f(xi)Δx)其中，f(xi)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。

三、定积分的性质1. 定积分的线性性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，以及标量c，有：∫(a到b) [cf(x) + g(x)] dx = c∫(a到b) f(x) dx + ∫(a到b) g(x) dx2. 定积分的加减性质：对于给定的函数f(x)和区间[a, b]，以及一个中间点c，有：∫(a到b) f(x) dx = ∫(a到c) f(x) dx + ∫(c到b) f(x) dx3. 定积分和反函数的关系：对于给定的函数f(x)和区间[a, b]，如果存在反函数g(x)，则有：∫(a到b) f(x) dx = ∫(f(a)到f(b)) g(x) dx四、定积分的计算方法1. 几何意义：定积分可以通过几何图形的面积来计算，例如计算曲线y=f(x)与x轴所围成的面积。

2. 基本积分公式：根据不同函数的特性，可以使用基本积分公式来计算定积分。

例如，对于多项式函数和三角函数，可以通过基本积分公式进行计算。

3. 换元法：对于某些复杂的函数，可以通过换元法将其转化为简单的函数形式，再进行定积分的计算。

4. 分部积分法：对于某些函数乘积的定积分，可以利用分部积分法进行化简，从而进行计算。

五、定积分的应用定积分在实际生活中有着广泛的应用。

高数积分总结

高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。

定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例：求⎰xdx 2cos 2 解⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法：定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dx sec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C aa x a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

高数-积分学

x
2 x x x
x x
x e 2( xe e ) C .
2
e ( x 2 x 2) C
x 2
例 4 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e
x2
, 求 xf ( x )dx .
解

f ( x )dx f ( x ), f ( x )dx e
积分学
一、不定积分
二、定积分
三、广义积分四、重积分
五、平面曲线积分六、积分应用
一、不定积分
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式）. 2. 换元积分法
第一类换元的基本思路
g ( x)dx
f [ ( x)]d [ ( x)] F [ ( x)] C
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
4、牛顿—莱布尼茨公式
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的一个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
注：这里要求f ( x)的原函数易求，且F ( x) f ( x)
第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有
1 1 k dx d (ax b) x dx d (ax k 1 b) a (k 1)a
e dx d (e )
x x
1 dx d (ln x) ( x 0) x
x arcsin x 1 x2
2
1
dx
1
解：
1

高等数学积分导数公式

高等数学积分导数公式高等数学中的积分和导数是两个重要的概念，它们在微积分中起着至关重要的作用。

积分和导数的公式是我们研究和解决各种数学问题的基础工具。

本文将介绍一些高等数学中常用的积分和导数公式，帮助读者更好地理解和掌握微积分的核心概念和方法。

一、基本积分公式1.常数函数积分公式：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为常数项。

2.幂函数积分公式：∫x^ndx=1/(n+1)x^(n+1)+C，其中n不等于-13.指数函数积分公式：∫e^xdx=e^x+C。

4.三角函数积分公式：（1）∫sinxdx=-cosx+C。

（2）∫cosxdx=sinx+C。

（3）∫sec^2xdx=tanx+C。

（4）∫csc^2xdx=-cotx+C。

（5）∫secxdxtanxdx=secx+C。

二、基本导数公式1.常数函数导数公式：d/dx(k)=0，其中k为常数。

2.幂函数导数公式：d/dx(x^n)=nx^(n-1)，其中n是任意实数。

3.指数函数导数公式：d/dx(e^x)=e^x。

4.对数函数导数公式：d/dx(lnx)=1/x。

5.三角函数导数公式：（1）d/dx(sinx)=cosx。

（2）d/dx(cosx)=-sinx。

（3）d/dx(tanx)=sec^2x。

（4）d/dx(cotx)=-csc^2x。

（5）d/dx(secx)=secxtanx。

（6）d/dx(cscx)=-cscxcotx。

三、基本积分和导数公式的应用1.利用基本积分公式计算确定积分的值。

例如，∫(2x+3)dx=x^2+3x+C。

2.利用基本导数公式计算函数在特定点的导数。

例如，求函数f(x)=3x^2-8x+5在x=2的导数，可使用f'(2)=6(2)-8=43.应用积分和导数来求解各种数学问题。

例如，利用导数和积分来计算曲线的切线和曲线下面积，求解极值点等。

四、基本积分和导数公式的拓展1.利用线性公式，可以把求和的情况化为求一个个积分，例如∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。

高数下册各类积分方法总结

综述：高数下册，共有如下几类积分：二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分。

其中，除线积分外，个人认为，拿到题后，首先应用对称性把运算简化，线积分的对称性，不太常用，可以参照面积分的对称性，将积分曲面换成积分曲线即可，恕不赘述。

另外要注意线积分和面积分的方向性，线积分以逆时针为正方向，面积分以坐标轴正向为正方向。

二重积分对称性：积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0：被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍方法：分别对x、y积分，将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换元三重积分对称性：积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0；被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍方法：先重后单||先单后重（极坐标）||柱坐标||球坐标第一类线积分x,y,z型：具有关于参数t的表达试，用基本公式，转化成关于t的积分x,y型：排除上一种条件的话，通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分第二类线积分方法：1、用曲线的切线的方向角余弦，转化成第一类线积分2、有参数t，可以转化成关于t的积分3、将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分4、封闭曲线，通常自己构造，可采用格林公式转化为二重积分另：注意与路径无关的积分第一类面积分对称性：积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0：被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍计算方法：常规的话，只有一种，转化为关于x或y或z的积分。

详见书本上的公式。

第二类面积分对称性:积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的偶函数，则结果为0：被积函数是关于z的奇函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍（注意区别于第一类）计算方法：1、用曲面的切线的方向角余弦，转化成第一类面积分2、转化为二重积分，直接在前面添正负号即可3、封闭曲面，可以用高斯公式，转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的，所以注意减掉构造面，并注意方向4、斯托克斯公式，转化为第二类线积分，不常用PS：用函数表达式，可以化简线面积分的被积函数，另有积分相关考点，旋度，散度，质量，质心，转动惯量，求曲面侧面面积，顶面面积，曲顶柱体体积~~~多多复习，牢记公式，一定可以渡过积分这个难关~。

大学高数定积分知识点总结

大学高数定积分知识点总结1. 什么是定积分？定积分是微积分中的一个重要概念，它是描述曲线下面积的一种方法。

定积分可以将曲线分割为无穷多个极小的矩形，然后将这些矩形的面积累加起来，从而得到曲线下的总面积。

2. 定积分的符号表示定积分通常用符号∫表示，被积函数用f(x)表示，积分变量为x。

定积分的一般形式为：∫[a, b] f(x) dx其中，a和b是积分的上下限，表示积分的区间。

3. 定积分的计算方法定积分的计算可以通过多种方法来实现，下面介绍几种常见的计算方法。

3.1. 几何解释法定积分可以通过几何解释法来计算，即将被积函数表示的曲线下的面积分割为无穷多个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将这些面积累加起来。

这个方法适用于简单的几何形状，如矩形、三角形等。

3.2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化定积分的计算过程。

•定积分的线性性质：∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx•定积分的可加性：∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx•定积分的常数倍性：∫[a, b] k * f(x) dx = k * ∫[a, b] f(x) dx 这些性质可以帮助我们简化复杂的定积分计算。

3.3. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分的一种重要公式，它将定积分和原函数联系起来。

根据这个公式，若F(x)是f(x)的一个原函数，则有：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)这个公式可以简化定积分的计算，只需要找到被积函数的一个原函数即可。

4. 定积分的应用领域定积分在科学和工程领域有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域。

4.1. 几何学定积分可以用于计算曲线和曲面的面积。

利用定积分，我们可以求得各种形状的曲线和曲面的面积，从而解决几何学中的一些问题。

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定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。

例：求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法：定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dx sec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a ax a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。

那么，两个函数乘积的导数公式为()'''μυυμμυ+=移项得 υμμυμυ')'('-= 对这个等式两边求不定积分，得⎰⎰-=dx dx υμμυμυ''此公式为分部积分公式。

例：求⎰xdx x cos解 ⎰⎰-=xdx x x xdx x sin sin cos∴⎰++=C x x x xdx x cos sin cos 分部积分的顺序：反对幂三指。

4、有理函数的积分例：求⎰+-+dx x x x 6512解 ∵)2)(3(652--=+-x x x x ，故设236512-+-=+-+x Bx A x x x 其中A,B 为待定系数。

上式两端去分母后，得)3()2(1-+-=+x B x A x即 B A x B A x 32)(1--+=+ 比较上式两端同次幂的系数，既有⎩⎨⎧-=+=+1321B A B A 从而解得 3,4-==B A 于是C x x dx x x dx x x x +---=⎪⎭⎫⎝⎛---=+-+⎰⎰2ln 33ln 423346512 其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询二、定积分1、定积分的定义和性质（1）定义：设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间[]b a ,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,,,,12110-各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i i x x ≤≤-ξξ1，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()n i x f i i ,,2,1)( =∆ξ，并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ记{}n x x x ∆∆∆=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎么划分，也不论在小区间[]i i x x ,1-上点i ξ怎么选取，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分(简称积分)，记作⎰badx x f )(，即∑⎰=→∆==ni i i bax f I dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[]b a ,叫做积分区间。

定理1：设)(x f 在区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。

定理2：设)(x f 在区间[]b a ,上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在[]b a ,上可积。

（2）性质1：[]⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()()(性质2：⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( (k 是常数)性质3：设b c a <<，则⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(性质4：如果在区间[]b a ,上1)(≡x f ，则a b dx dx bab a-==⎰⎰1性质5：如果在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则()b a dx x f ba<≥⎰0)(推论1：如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则()b a dx x g dx x f bab a<≤⎰⎰)()(推论2：)()()(b a dx x f dx x f baba<≤⎰⎰性质6：设M 及m 分别是函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值和最小值，则))(()()(b a a b M dx x f a b m ba<-≤≤-⎰性质7(定积分中值定理)：如果函数)(x f 在积分区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上至少存在一个点ξ，使下式成立))()(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ2、微积分基本公式 (1)积分上限函数及其导数定理1：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则积分上限的函数()⎰=Φxadt t f x )(在[]b a ,上可导，并且它的导数))(()()('b x a x f dt t f dx d x xa≤≤==Φ⎰定理2：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数。

(2)牛顿-莱布尼茨公式定理3：如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰3、定积分的换元法和分部积分法(1)定积分的换元法定理：假设函数)(x f 在区间[a,b]上连续，函数x=ϕ(t)满足条件:ϕ(α)=a,ϕ(β)=b;ϕ(t)在[α,β]上具有连续导数，且其值域R ϕ=[a,b],则有⎰⎰=badtt t f dx x f βαϕϕ)()]([)('(1)公式(1)叫做定积分的换元公式 (2)定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得⎰⎰-=baa bb avdudx u uv v ]['三、反常积分（一）无穷限的反常积分定义1 设函数法f(x)在区间[a,∞+)上连续，取t>a,如果极限⎰+∞→tat dxx f )(lim存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,∞+)上的反常积分，即⎰⎰+∞+∞→=atat dxx f dx x f )()(lim（二）无界函数的反常积分定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，点a 为f(x)的丅点。

取t>a,如果极限⎰+→btt dxx f a)(lim存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作⎰badxx f )(，即⎰badxx f )(=⎰+→btt dxx f a)(lim例题讨论反常积分⎰-112x dx的收敛性。

解：被积函数f （x ）=x 21在积分区间[-1,1]上除x=0外连续，且∞=→xx 21lim由于+∞=--=→-⎰1)1(lim 012x dxx x即反常积分⎰-012xdx发散，所以反常积分⎰-112xdx发散定积分()baf x dx⎰的积分区间[]a b ，是有限区间，又()f x 在[]a b ，上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或()f x 推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：1.无穷区间上的反常积分（1）概念定义：()()limbaab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰若极限存在，则称反常积分()af x dx+∞⎰是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分()af x dx+∞⎰是发散的，而发散的反常积分没有值的概念.()()limbbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.()()()ccf x dx f x dx f x dx+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰()()limlimcbaca b f x dx f x dx →-∞→+∞=+⎰⎰同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断()f x dx+∞-∞⎰的收敛性不能用()limRRR f x dx-→+∞⎰的极限存在性.必须要求()cf x dx-∞⎰和()cf x dx+∞⎰两个反常积分都收敛，才能知道()f x dx+∞-∞⎰是收敛的，但是如果已经知道()f x dx+∞-∞⎰是收敛的，而求它的值，那么计算()limRRR f x dx-→+∞⎰是可以的.（2）常用公式11, 111p p dx p x p +∞⎧=>⎪-⎨⎪≤⎩⎰收敛，发散，11, 11(ln )1p p ep dxdu p x x u p +∞+∞⎧=>⎪-=⎨⎪≤⎩⎰⎰收敛，发散，k xax edx λλλ+∞-⎧⎨≤⎩⎰收敛(＞0）发散(0），k ≥(0）2.无界函数的反常积分（瑕积分）（1）概念： ①设()f x 在[)a b ，内连续，且()lim x b f x -→=∞，则称b 为()f x 的瑕点，定义()()lim b b aaof x dx f x dxεε+-→=⎰⎰若极限存在，则称反常积分()b af x dx ⎰收敛，且它的值就是极限值.若极限不存在，则称反常积分()ba f x dx ⎰发散，发散的反常积分没有值的概念.②设()f x 在(]a b ，内连续，且()lim x a f x +→=∞，则称a 为()f x 的瑕点，定义()()0lim b baa f x dx f x dxεε++→=⎰⎰若极限存在，则称反常积分()baf x dx⎰收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称反常积分()baf x dx⎰发散，它没有值.③设()f x 在[)a c ，和(]c b ，皆连续，且()lim x C f x →=∞，则称c 为()f x 的瑕点，定义()()()()()12120lim lim bcbC baacaC f x dx f x dx f x dx f x dx f x dxεεεε++-+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰(值得注意：这里判别收敛性时，1ε和2ε要独立地取极限，不能都用0ε+→来代替)若上面两个极限都存在时才称反常积分()ba f x dx ⎰是收敛的，否则反常积分()baf x dx ⎰发散.（2）常用公式：10 q q dx x q ⎧⎨≥⎩⎰收敛(＜1时）发散(1时）—类似地考虑101q dx x -⎰（）和11q dx x -⎰最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题一、用常规方法计算定积分【例1】求下列定积分（1）220cos x xdxπ⎰ （2）0arctan x xdx（3）ln 0⎰解（1）2222222000cos sin sin 2sin x xdx x d x x x x xdxππππ=-⎰⎰⎰=＝222002cos 2cos 2cos xd x x x xdxπππ=-⎰⎰＝2042sin 4x πππ-=（2）222200011arctan arctan 2221x x xdx xdx dx x ==-+＝203111221dx x ⎫-⎪+⎝⎭＝112arctan 22222332ππππ-=-+=-（3()2,ln 1t x t ==+22,01tdxdt x t ==+时0t =；ln 2x =时，1t =于是2ln 1122000212111t dt dt t t ⎡⎤==-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰ ＝102[arctan ]214t t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭—【例2】计算下列定积分（分段函数）（1）1213x x dx--⎰（2）1ln eex dx⎰（3）{}322min 1,x dx-⎰解（1）()()101222113333x x dx x x dx x x dx ---=---=⎰⎰⎰（2）()1111ln ln ln eeeex dx x dx xdx=-+⎰⎰⎰＝()()1111ln ln 21eex x x x x x e ⎛⎫-++-=-⎪⎝⎭（3）{}311322221111min 1,3x dx dx x dx dx ----=++=⎰⎰⎰⎰二、用特殊方法计算定积分【例1】计算下列定积分（1）2(sin )(sin )(cos )f x I dxf x f x π=+⎰（f 为连续函数，(sin )(cos )0f x f x +≠）（2）40ln(1tan )I x dxπ=+⎰解（1）令2xt，则2200(cos ),2,(cos )(sin )24f t I dt I dt I f t f t ππππ====+⎰⎰（2）令4xt，则4041tan 2ln 1()ln 1tan 1tan t I d t dt t t ππ-⎡⎤=+-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰＝ln 2,2ln 2,ln 2448I I I πππ-==【例2】设连续函数()f x 满足()()1ln ef x x f x dx=-⎰，求()1ef x dx⎰解令()1ef x dx A=⎰，则()ln f x x A =-，两边从1到e 进行积分，得()1111ln (ln )(1)ee eef x dx xdx Adx x x x A e =-=---⎰⎰⎰于是1(1)(1),1,A e e A e eA A e =----==则()11ef x dx e =⎰三、递推公式形式的定积分【例1】设()2sin 012n n I xdx n π==⎰，，，求证当2n ≥时，21n n n I I n --=求n I 解（1）()()2221110sincos sincos cos sin n n n n I xd x x x xd x πππ---=-=-+⎰⎰()()()22222201cos sin11sin sin n n n x xdx n x xdxππ--=-=--⎰⎰()()211n n n I n I -=---()21n n nI n I -=-，则()212n n n I I n n --=≥（2）220100sin 12I dx I xdx πππ====⎰⎰，　当2n k =，正偶数时，2220212123122222n k k k k k I I I I k k k ----===- ()()()()2222!2!222!2!k k k k k k ππ== 当21n k =+，正奇数时，21211222222121213n k k k k k I I I I k k k +--===++- ()()()()2222!2!21!21!k k k k k k ==++ 【例2】设()2cos 012n n J xdx n π==⎰，，，，求证：()012n n J I n ==，，，证令()2200cos sin 22nn n x t J t d t tdtππππ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰，则 ()012n n J I n == ，　，　，【例3】设()420tan 1n n K xdx n π==⎰ ，2，3，求证：1121n n K K n -=--求()123n K n = ，　，　，解（1）()()42120tansec 1n n K x x dx π-=-⎰ ()4211tantan n n xd x K π--=-⎰1121n K n -=--（2）()442210tan sec 1K xdx x dx ππ==-⎰⎰[]4tan 140x x ππ=-=- ，231111134534K K ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当3n >，正整数时()()()1121111421k n nn n k K k π--=⎡⎤-=-+-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑四、重积分（一）二重积分的性质与概念定义：设D 是错误!未找到引用源。