高数积分总结

高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。 定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作

⎰dx x f )(。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则

⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。

2、换元积分法 (1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式

)

(])([)(')]([x d f dx x x f ϕ

μμμϕϕ=⎰⎰=。

例：求⎰xdx 2cos 2

解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得

⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2

(2)第二类换元法：

定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设

)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式

,]

)(')]([[)()

(1

x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψ

ψψ

其中)(1

x -ψ是)(t x ψ=的反函数。

例：求⎰

>+)0(2

2

a a

x dx

解 ∵t t 2

2sec tan 1=+，

设

⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22

tan ππ

αt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，

于是

⎰

⎰⎰==+tdt dt t a t

a a x dx sec sec sec 222 ∴C t t a

x dx ++=+⎰tan sec ln 2

2

∵a

a x t 2

2sec +=

，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a a

x a x a x dx

+++=+⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛++

=+⎰

，a C C ln 1-=

3、分部积分法

定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为

()'''μυυμμυ+=

移项得 υμμυμυ')'('-= 对这个等式两边求不定积分，得

⎰⎰-=dx dx υμμυμυ''

此公式为分部积分公式。 例：求⎰xdx x cos

解 ⎰⎰-=xdx x x xdx x sin sin cos

∴⎰

++=C x x x xdx x cos sin cos 分部积分的顺序：反对幂三指。 4、有理函数的积分 例：求⎰

+-+dx x x x 6

51

2

解 ∵)2)(3(652--=+-x x x x ，故设

2

36512

-+-=+-+x B

x A x x x 其中A,B 为待定系数。上式两端去分母后，得

)3()2(1-+-=+x B x A x

即 B A x B A x 32)(1--+=+ 比较上式两端同次幂的系数，既有

⎩

⎨

⎧-=+=+1321

B A B A 从而解得 3,4-==B A 于是

C x x dx x x dx x x x +---=⎪⎭

⎫

⎝⎛---=+-+⎰⎰2ln 33ln 423346512 其他有些函数可以化做有理函数。 5、积分表的查询 二、定积分

1、定积分的定义和性质

（1）定义：设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210

把区间[]b a ,分成n 个小区间

[][][]n n x x x x x x ,,,,,,12110-

各个小区间的长度依次为

1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x

在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i i x x ≤≤-ξξ1，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()n i x f i i ,,2,1)( =∆ξ，并作出和

∑=∆=n

i i i x f S 1

)(ξ

记{}n x x x ∆∆∆=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎么划分，也不论在小区间[]i i x x ,1-上点i ξ怎么选取，只要当0→λ时，和S 总趋于确定

的极限I ，那么称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分

(简称积分)，记作

⎰

b

a

dx x f )(，即

∑⎰

=→∆==n

i i i b

a

x f I dx x f 1

)(lim )(ξλ

其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分

变量，

a 叫做积分下限，

b 叫做积分上限，[]b a ,叫做积分区间。

定理1：设)(x f 在区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。 定理2：设

)(x f 在区间[]b a ,上有界，且只有有限个间断点，则)

(x f 在[]b a ,上可积。 （2）性质1：[]⎰⎰

⎰±=±b

a

b

a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(

性质2：

⎰⎰

=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()( (k 是常数)

性质3：设b c a <<，则

⎰⎰⎰

+=b

c

c a

b

a

dx x f dx x f dx x f )()()(

性质4：如果在区间[]b a ,上1)(≡x f ，则

a b dx dx b

a

b a

-==⎰

⎰1

性质5：如果在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则

()b a dx x f b

a

<≥⎰

0)(

推论1：如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则

()b a dx x g dx x f b

a

b a

<≤⎰⎰

)()(