等差数列及其前n项和(讲义及答案)

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高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案

第二节等差数列及其前n 项和突破点一等差数列的基本运算[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题1．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________．答案：32．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为________．答案：143．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是________．答案：44．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，S 100＝10 000，则S n ＝________. 答案：n 2[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋da 1＋2d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n －4＋3n －72＝n 3n －112.[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]1．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )A.53 B ．32 C.43D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.突破点二等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (9)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n. [基本能力]1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意，得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：742．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．答案：23．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26[全析考法]考法一等差数列的性质[例1] (1)(2019·武汉模拟)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1＝2a 3－3，则S 9＝( )A ．25B ．27C ．50D ．54(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 1＝2a 3－3＝2a 1＋4d －3， ∴a 5＝a 1＋4d ＝3，S 9＝9a 5＝27.(2)因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10. 由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m ，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n a 1＋a n 2＝n a 2＋a n －12(n ，m ∈N *)等． [提醒] 一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n＋a m ＋n ＝2a m .考法二等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． [解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)法一：(二次函数法)由(1)得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 法二：(通项变号法) 由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92，又n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最小值为S 4＝－16. [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [集训冲关]1.[考法一]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21解析：选A 因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8.又S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15.2.[考法一]在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝n a 2＋a 2n2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10. 3.[考法二]等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问：数列前多少项和最大？解：法一：∵a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值．法二：∵a 1＝25，S 17＝S 9， ∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 从而S n ＝25n ＋n n －12(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大．突破点三等差数列的判定与证明[典例] (2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1a n ＋a n ＋22＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，所以1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2.(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1n ＋2n ＋3＝12( 1n ＋2－1n ＋3 )，故S n ＝12( 13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3)＝n6n ＋3. [方法技巧]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题定中的判问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[针对训练](2019·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n n －12d ＝7n －3n 2.(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6，2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4，若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5， ∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．。

等差数列的前n项和_教学

(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
• (1)等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21 ＝________.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算．设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
• 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．
• [变式探究] (1)在等差数列{an}中，a1＝2， a2＋a5＝14，则a5＋a6＋a7＝________.
• (2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
• 答案：(1)36 (2)10
解析：(1)∵a2＋a5＝2a1＋5d＝14， ∴d＝2，∵a5＋a6＋a7＝3a6＝3a1＋15d＝36. (2)∵S9＝S4，∴a1＝－6d，∴d＝－16， ∴ak＋a4＝2a1＋(k＋2)d＝2＋(－16)(k＋2)＝0， ∴k＝10.

人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案

等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ，解得d ＝－2， [法一公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________．解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

第2讲等差数列及其前n项和讲义

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.3．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 60解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.3828 C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现．题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．32答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱答案 D解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．132 答案 D解析方法一由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6，得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9 答案 C解析由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1 DD ．b n ＝2n ＋1答案 B解析设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12×2n (2n －1)d ]，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.12．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2. *13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列分布，例如光的波长、音阶的频率等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可以用等差数列的前n项和公式来解决，例如在求解一些物理问题的近似解时，可以利用等差数列的前n项和来简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益呈等差数列分布，例如定期存款、基金定投等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些投资组合的总收益。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
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2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

第31讲等差数列的前n项和 (讲义练习)(解析版)

第31讲等差数列的前n 项和知识点概要1.等差数列的前n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n = S n =na 1+ d【思考】(1)已知等差数列的首项、末项,如何求前n 项和? 答案:运用公式S n =.(2)已知等差数列的首项、公差,如何求前n 项和?提示:运用公式S n =na 1+ d.2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系将等差数列前n 项和公式S n =na 1+d 整理成关于n 的函数可得S n =n 2+n.【思考】S n =an 2+bn+c,其中a,b,c 为常数,一定为一个等差数列的前n 项和吗? 答案:不一定.当c=0时,S n =an 2+bn 是一个等差数列的前n 项和. 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数；S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数．精选同步练习一、填空题1．在等差数列{}n a 中，4100S =，8392S =，求9101112a a a a +++=____ 【答案】484 【分析】利用等差数列片段和的性质有128484()2()S S S S S -+=-，结合已知求128S S -，即可得9101112a a a a +++的值.【解析】由等差数列片段和的性质有128484()2()S S S S S -+=-， ∴1288442()S 2(392100)100484S S S S -=--=⨯--=． ∴9101112484a a a a +++= 故答案为：4842．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4683315a a a -+=，则11S =______．【答案】33 【分析】由等差数列的性质可得63a =，再由等差数列求和公式即可求出. 【解析】{}n a 是等差数列，由4683315a a a -+=可得()486315a a a +-=，即66615a a -=，可得63a =，则()1111161111332a a S a +===. 故答案为：33.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．【答案】42- 【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩，因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正，所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-．故答案为：42-4．设()442xx f x =+数列{}n a 的通项公式为2021n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等差数列前n 项和公式的推导方法，可得数列{}n a 的前2020项和为___________. 【答案】1010 【分析】由题设函数式易得()(1)1f x f x +-=，再由2020122020()()...()202120212021S f f f =+++，应用倒序相加得20202S ，即可求数列{}n a 的前2020项和. 【解析】∵114442()(1)142424224x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++，又2020122020122020...()()...()202120212021S a a a f f f =+++=+++， ∴2020202021()...()()202120212021S f f f =+++， ∴20201202022019202012[()()][()()]...[()()]202120212021202120212021S f f f f f f =++++++2020=， ∴20201010S =. 故答案为：10105．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，201320140a a +>，201320140a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是________. 【答案】4026 【分析】结合已知条件，利用等差数列的单调性判断2013a 与2014a 的符号，然后利用等差数列的性质即可求解. 【解析】设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，因为201320140a a <，故2013a 与2014a 符号相异，所以0d ≠，又因为公差不为0等差数列具有单调性，且201320140a a <，10a >，故20130a >，20140a <，因为201320140a a +>，所以140262013201440264026()4026()022a a a a S ++==>，因为14027201440274027()40272022a a a S +⨯==<，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 为4026. 故答案为：4026.6．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()610cos ,?18,165,sin ,?n n n a n a S b a n ππ⎧⎪===⎨⎪⎩为奇数为偶数，则1232021=b b b b +++⋅⋅⋅+______.【答案】1011- 【分析】先求得n a ，然后求得n b ，由此求得正确结论. 【解析】依题意，61101518,1045165a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩故13,3a d ==，故3n a n =，当n 为奇数时，cos(3)1n b n π==-；当n 为偶数时，sin(3)0n b n π==，故12320211011b b b b +++⋅⋅⋅+=-. 故答案为：1011-7．已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d >0 ②a 4<0 ③a 5>0 ④S 7<0 ⑤S 8>0 【答案】①②③④ 【分析】结合等差数列的性质以及前n 项和公式逐个分析即可得出结论. 【解析】由已知条件得a 5>0，a 4<0，则d >0，故①②③正确．因为S 7＝177()2a a +＝7a 4<0，故④正确． S 8＝188()2a a +＝4(a 4＋a 5)无法判断其正负，故⑤错误．综上可得结论正确的有①②③④. 故答案为：①②③④.8．设数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意n ∈N*，都有n k S S ≤成立，则k 的值为______. 【答案】20【分析】由题意，转化“对任意n ∈N*，都有n k S S ≤成立”为S k 为S n 的最大值．可求得d ＝－2，a n ＝41－2n ，当S n 取得最大值时，对任意n ∈N *满足10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩，求解即可【解析】对任意n ∈N *，都有n k S S ≤成立，即S k 为S n 的最大值．因为a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，所以a 4＝33，a 5＝31，故公差d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝41－2n ，当S n 取得最大值时，对任意n ∈N *满足10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩ 解得n ＝20.即满足对任意n ∈N *，都有n k S S ≤成立的k 的值为20. 故答案为：209．设等差数列{}n a 、{}n b 、{}n c 、{}n d 的前n 项和分别为n A 、n B 、n C 、n D ，11112021a b c d +++=，44442015A B C D +++=，则2021202120212021A B C D +++=__．【答案】2060599474- 【分析】设n n n n n p a b c d =+++，可证明{}n p 也为等差数列，设前n 项和n P ，且12021p =，42015P =，利用前n 项和公式可求出20232d =-，即得解【解析】{}n a 、{}n b 、{}n c 、{}n d 是等差数列，不妨记公差分别为,,,nn n n ab c d d d d d设n n n n n p a b c d =+++，由于1nnnnn d n a b c p p d d d d --=+++为常数{}n p ∴也为等差数列，设前n 项和n P ，记公差为n n n n a b c d d d d d d =+++，111112021p a b c d =+++=，444442015P A B C D =+++=， 1462015p d ∴+=，20232d ∴=-， 202120212020202320212021()2021(20215052023)206059947422P ⨯∴=⨯+⨯-=⨯-⨯=- 故答案为：2060599474-10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为 ______．【答案】174 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【解析】由3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故答案为：17411．已知数列{}n a 满足11n n a a ++=，且246a a +=，当12020n ≤≤，*n ∈N 时，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则1220S S S ++⋅⋅⋅+=________.（备用公式()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）【答案】1540 【分析】由数列{}n a 满足11n n a a ++=，得数列{}n a 是以1为公差的等差数列，再根据246a a +=，可得11a =，从而求得n a n =，再利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再结合()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=即可得出答案.【解析】解：数列{}n a 满足11n n a a ++=，所以数列{}n a 是以1为公差的等差数列，又246a a +=，则313,1a a ==，所以n a n =，所以()1212n n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=，所以22212201232012202S S S +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=由()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，可得222202141122028706⨯⨯++⋅⋅⋅==，()20120123202102++++⋅⋅⋅+==，所以12201540S S S ++⋅⋅⋅+=. 故答案为：1540.12．已知等差数列{}n a 满足：12121|||||||1||1||1||1|n n a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=-2|1||1|2021n a a +-+⋅⋅⋅+-=，则正整数n 的最大值为________ 【答案】62 【分析】设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设100k ka a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-，根据110k a +-≥，得到即有2d ≥，再根据等差数列的前n 项和公式，求得22021k d =，从而得出220212k ≥，即可求解. 【解析】解：由题意知：等差数列{}n a 满足1212111n n a a a a a a +++=++++++1211a a =-+-+12021n a +-=，故等差数列不是常数列，且{}n a 中的项一定满足100n n a a ->⎧⎨<⎩或10n n a a -<⎧⎨>⎩，且项数为偶数，设2,n k k N +=∈，等差数列的公差为d ，不妨设100k ka a +>⎧⎨<⎩，则10,0a d <>，且10k a +≤，即1k a ≤-，由110k a +-≥，则111kd a kd -+≥+≥，即2kd ≥，即有2d ≥，则121212k k k n a a a a a a a a +----++++⋯=++211(1)(1)[]()202122k k d k k ka k a kdd k d --=-++++==，可得220212k ≥，解得31.7k ，即有k 的最大值为31，n 的最大值为62. 故答案为：62.二、单选题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111272a a +=，则25S =（） A ．1452B ．145C ．1752D ．175【答案】D 【分析】结合等差数列的通项公式求得137a =，进而结合等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质即可求出结果. 【解析】因为等差数列{}n a 中，111272a a +=，则()11101217a d a d +=++，即1127a d +=，即137a =，所以()125251325252571752a a S a +===⨯=，故选：D.14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95S S =（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】A 【分析】利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得结果. 【解析】在等差数列{a n }中，由5359a a =，得()()9955115392199555952a a S a a a S a +==⨯=⨯=+ 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．15．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于( ) A ．3 B ．6 C ．17 D ．51【答案】A 【解析】因为S 17＝1172a a +×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.故选A.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（） A ．90a = B ．1514S S > C ．0d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值【答案】C 【分析】对于A 选项，根据89S S =得到9980a S S =-=判断；对于C 选项，根据78S S >得到8870a S S =-<判断；对于D 选项，根据109S S >得到101090a S S =->，结合90a =判断；对于B 选项，根据90a =，0d >，得到10n ≥时，90n a a >=判断. 【解析】对于A 选项，由89S S =可得9980a S S =-=，A 选项正确；对于C 选项，由78S S >可得8870a S S =-<，∴9880d a a a =-=->，C 选项错误；对于D 选项，由109S S >可得101090a S S =->，且90a =，80a <，0d >，所以，当8n ≤且*n N ∈时，0n a <，且90a =，则8S 与9S 均为n S 的最小值，D 选项正确；对于B 选项，∵90a =，0d >，当10n ≥时，90n a a >=，所以，1514150S S a -=>，B 选项正确．故选：C ．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2217n S n n =-，则当n S 取最小值时n 的值为（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5【答案】C 【分析】n S 是n 的二次函数，利用二次函数求最值的条件并结合n 为正整数的条件计算得解.【解析】因22172892172()48n S n n n =-=--，即二次函数2217n S n n =-对称轴174n =，且开口向上，而n *∈N ，于是当4n =时，n S 取得最小值，所以当n S 取最小值时n 的值为4. 故选：C18．在数列{}n a 中，11a =，且1(21)(21)n n n a n a +-=+，则数列{}1n n a a +⋅的前10项和等于（）A ．919B ．1819C ．1021D ．2021【答案】C 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而结合裂项相消法即可求出结果. 【解析】因为1(21)(21)n n n a n a +-=+，所以12121n n a n a n +-=+，则121232112325272112121325212121n n n n n n n a a a a n n n a a a a n n a a n n --------⨯=⋅⋅⋅⋅----⨯-⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，所以()()11111212122121n n a a n n n n +⋅⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列{}1n n a a +⋅的前10项和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C.19．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为n S （n *∈N ），有下列叙述：（1）若414S S =，则必有190S <；（2）若3130a a +>，则必有150S >；（3）若1011S S >，则必有1112S S >.其中叙述正确的序号是（） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）【答案】D 【分析】对于（1）:由414S S =，得到1180a a +=，0d <，进而求出190a <，而1919S a =，即可判断；对于（2）直接得到115313a a a a +=+，利用等差数列前n 项和公式即可判断；对于（3）先判断出110a <， 0d <,可以求出120a <，即可得到1112S S >. 【解析】对于（1）若414S S =，则有56140a a a +++=，则有9100a a +=，所以1180a a +=，所以()1181918191919182a a S S a a a +=+=+=. 因为1180a a +=，10a >，所以181170a a d =+<，所以0d <，所以19180a a d =+<，所以19190S a =<.故（1）正确.对于（2）若3130a a +>，则有1153130a a a a =++>，所以()115150152S a a +=>.故（2）正确；对于（3）若1011S S >，则有1111101100a S a d S =-=+<，因为10a >，所以0d <, 所以12110a d a =+<，所以1212110a S S -=<,即1112S S >.故（3）正确. 故选：D 20．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,n p p p ⋯⋯的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++=（）．A ．111B ．910 C ．1112D ．1011【答案】D 【分析】根据数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，得到12(21)n n a a a n n S ++⋯+=+=，进而求得n a ，n b ，得到11111n n b b n n +=-⋅+，利用裂项相消法求解.【解析】由已知得12121n na a a n =++⋯++，∴12(21)n n a a a n n S ++⋯+=+=，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知当1n =时也成立， ∴41n a n =-， ∴14n n a b n +==， ∴11111n n b b n n +=-⋅+∴12231011111b b b b b b ++⋯+ 1111112231011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=．故选：D ．三、解答题21．已知在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，216S =，且3478a a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）()112n a n n *=-∈N ；（2）2210,51050,6n n n n n T n n n n **⎧-+≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且．【分析】（1）利用等差数列前n 项和公式、通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能出数列{}n a 的通项公式；（2）当5n ≤时，0n a >；当6n ≥时，0n a <，根据等差求和公式可求解．【解析】（1）由216S =，3478a a a a =，得()()()()111112162367a d a d a d a d a d +=⎧⎨++=++⎩，解得192a d =⎧⎨=-⎩，所以等差数列{}n a 的通项公式为()112n a n n *=-∈N ．（2）当5n ≤时，2121210n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==-+．当6n ≥时，1212567n n n T a a a a a a a a a =+++=+++----2521050n S S n n =-=-+．故2210,51050,6n n n n n T n n n n **⎧-+≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且． 22．等差数列{}n a 的首项为1a ，公差1d =-，前n 项和为n S ．（1）若55S =-，求1a 的值；（2）若n n S a ≤对任意正整数n 均成立，求1a 的取值范围．【答案】（1）11a =；（2）(],0-∞．【分析】（1）根据等差数列的前n 项和公式，即可求解1a ；（2）代入等差数列的通项和前n 项和公式，变形为()12102n n a -⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭对任意正整数n 均成立，再求1a 的取值范围. 【解析】（1）由题意知1d =-， ∴()51545152S a ⨯=+⨯-=-， ∴11a =．（2）()1111n a a n d a n =+-=+-， ()21111222n n n n S na d a n -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，由n n S a ≤对任意正整数n 均成立，得2111122n a n a n ⎛⎫-++≤+- ⎪⎝⎭对任意正整数n 均成立，即()12102n n a -⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭对任意正整数n 均成立，当1n =时，上式恒成立；当2n ≥时，122n a -≤，又当2n =时，22n -取得最小值0，∴10a ≤． ∴1a 的取值范围为(],0-∞．23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n a a n =+，1177S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知lg1nn n a b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2m T >，求整数m 的最小值．【答案】（1）1n a n =+；（2）100．【分析】（1）根据已知求出1d =，12a =，即得解；（2）求出1lg n n b n+=，得lg(1)n T n =+，化简2m T >即得解. 【解析】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，令1n =，则211a a =+，即1d =．又1111110111772S a ⨯=+⨯=，解得12a =．所以2(1)1n a n n =+-=+．（2）由（1）得1lgn n b n +=，则231lg lg(1)12n n T n n +⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪⎝⎭．又2m T >，所以lg(1)2m +>，解得1100,99m m +>∴>，故整数m 的最小值为100．24．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足()241n n S a =+．（1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）21nn +．【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，由1444-=-n n n a S S 整理得到12n n a a --=，结合1n =时，求得11a =，利用等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知21n a n =-，得到11111()22121n n n b a a n n +==-⋅-+，结合裂项法，即可求解.【解析】（1）由题意，数列{}n a 的各项均为正数，且满足()241n n S a =+．当2n ≥时，()()222211114441122n n n n n n n n n a S S a a a a a a ----=-=+-+=+--，可得2211220n n n n a a a a -----=，即()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以12n n a a --=，当1n =时，()2111414S a a =+=，解得11a =．所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．所以数列{}n a 是等差数列为21n a n =-．（2）由（1）知21n a n =-，可得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以121111111[()()()]21335212121n n nT b b b n n n =+++=-+-++-=-++. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，6742021a =，()()612n n n S a a =++，*N n ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足152n n n b b a --=+，2n ≥，*N n ∈，192b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =-；（2）()()1232312n n T n n +=-++. 【分析】（1）令1n =可求得11a =或12a =，当2n ≥时，可得2111623n n n S a a ---+=+与已知条件两式相减可得{}n a 是等差数列，再由6742021a =可确定1a 的值，进而可得{}n a 的通项公式；（2）利用累加法以及等差数列求和公式可得n b ，进而可得1nb ，利用裂项求和即可求解. 【解析】（1）()()261232n n n n n S a a a a =++=++，当2n ≥时，可得2111623n n n S a a ---+=+，两式相减可得2211336n n n n n a a a a a ---+-=，化简得()()()1113n n n n n n a a a a a a ---+-=+. 因为0n a >，则10n n a a -+≠，所以13n n a a --=，故数列{}n a 是以3为公差的等差数列.在2632n n n S a a =++中，令1n =，2111632a a a =++，即211320a a -+=，可得11a =或12a =.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，674367422020a =⨯-=，不符合题意；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，6742021a =，符合题意. 综上所述：31n a n =-. （2）因为152n n n b b a --=+，所以12152n n n b b a ----=+， 23252n n n b b a ----=+，…21252b b a -=+，累加可得：()1122512n n n n b b a a a a n ---=+++⋅⋅⋅++-，故()()()()112313255912122222n n n n n n b S a n b n +-+=-+-+=-+-+=（2n ≥），经检验192b =也满足上式，所以()322n n n b +=，则()121113232n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.所以1111111113324352n T n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111113212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ ()()1232312n n n +=-++. 26．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2-2a n +1+a n =0（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n .【答案】（1）a n =10-2n ；（2）2*2*9,5,,940,5,n n n n n S n n n n ⎧-≤∈=⎨-+>∈⎩N N . 【分析】（1）判断数列{a n }为等差数列，从而得出其通项公式；（2）由a n =0得出数列{a n }的正负项，再由求和公式得出S n . 【解析】解（1）∵a n +2-2a n +1+a n =0， ∴a n +2-a n +1=a n +1-a n =…=a 2-a 1.∴{a n }是等差数列且148,832a a d ==+= ∴d =-2，a n =a 1+（n -1）d =10-2n . （2）∵a n =10-2n ，令a n =0，得n =5. 当n >5时，a n <0；当n =5时，a n =0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a 5-（a 6+a 7+…+a n ） =S 5-（S n -S 5）=2S 5-S n ()()25808102294022n n n n ++-=⨯-=-+ 当n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =9n -n 2.2*2*9,5,,940,5,n n n n n S n n n n ⎧-≤∈∴=⎨-+>∈⎩N N 27．数列{}n a 中，27a =且()*24n n S na n n N =+∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：()*2222123111111393n n N a a a a n +++⋅⋅⋅+<-∈+.【答案】（1）31n a n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）令1n =可求得1a ；当2n ≥时，由n a 和n S 的关系可整理得到()2123n n n a a a n --+=≥，由此证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果；（2）将问题转化为证明()2222111111471039331n n +++⋅⋅⋅+<-++，利用放缩法可得到()()()211323131n n n <-++，采用裂项相消法不等式右侧的和可得结论.【解析】（1）在24n n S na n =+中，令1n =，则1124a a =+，解得：14a =；当2n ≥时，由24n n S na n =+得：()()112141n n S n a n --=-+-，两式相减得：()1214n n n a na n a -=--+，即()()()121402n n n a n a n ----+=≥，()()()1232403n n n a n a n --∴---+=≥，两式再相减得：()()()1222420n n n n a n a n a -----+-=，即()2123n n n a a a n --+=≥，∴数列{}n a 为等差数列，又27a =，∴公差3d =，()43131n a n n ∴=+-=+. （2）要证()*2222123111111393n n N a a a a n +++⋅⋅⋅+<-∈+，即证()2222111111471039331n n +++⋅⋅⋅+<-++ ()()()21111132313323131n n n n n ⎛⎫<=- ⎪-+-+⎝⎭+，()222211111111111471031447323131n n n ⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭+11111331393n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭，即()*2222123*********n n N a a a a n +++⋅⋅⋅+<-∈+. 28．已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．【答案】（Ⅰ）生成列为0,1,2,1,4,3--；母列为3,2,4,1,6,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据所给定义计算可得；（Ⅱ）设1a ，2a ，⋯，n a 的生成列是1b ，2b ，⋯，n b ；1a '，2a '，⋯，n a '的生成列是与1b '，2b '，⋯，n b '，从右往左数，设排列1a ，2a ，⋯，n a 与1a '，2a '，⋯，n a '第一个不同的项为k a 与k a '，由满意指数的定义可知i a 的满意指数，从而可证得且k k a a ≠'，于是可得排列1a ，2a ，⋯，na 和1a '，2a '，⋯，n a '的生成列也不同．（Ⅲ）设排列1a ，2a ，⋯，n a 的生成列为1b ，2b ，⋯，n b ，且k a 为1a ，2a ，⋯，n a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，10b ⇒，20b ，⋯，10k b -，1k b -，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用i a 的满意指数1i b i -，可知整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n n n -+++⋯+-=，从而可使结论得证．【解析】（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--；排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5．（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,na a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠．显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠．由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-．进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''．所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-=，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．。

高考数学(理)总复习讲义：等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由．解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0，所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0，因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1，所以{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1，所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质，得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一通项法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列．所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立．又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7，当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。

等差数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)

等差数列及其前n 项和一、知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 小结：1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A.31B.32C.33D.34解析由已知可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 答案 B3.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A.－12B.－10C.10D.12解析设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( )A.－3B.－52C.－2D.－4 解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎨⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4.答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析在等差数列{a n }中，∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0， ∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5.答案 S 5考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8 (2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A.9B.10C.11D.15 解析 (1)法一设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4.法二等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎨⎧a1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.答案 (1)C (2)B【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于()A.3B.4C.log 318D.log 324(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. 答案 (1)A (2)30考点二等差数列的判定与证明【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎨⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23. ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A.6B.12C.24D.48 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.27 解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727B.1914C.3929D.43 解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质，∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8.∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A考点四等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2).所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2n λ.(2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n 100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n ＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大. 规律方法求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( ) A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎨⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S n n ＝na 1＋n （n －1）2d n ＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4. (2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110三、课后练习1.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269.答案 B2.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( )A.154B.158C.237D.3 解析由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A3.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 1304.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81， ∴⎩⎨⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎨⎧a 7＝13，a 5＝9，∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2， ∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.。

4.2.2 等差数列的前n项和公式 (精讲)(解析版)

4.2.2等差数列的前n项和公式一、等差数列的前n 项和公式1、等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式()12n n n a a S +=()112n n S na d-=+n 2、等差数列前n 项和公式的推导对于公差为d 的等差数列，()()()111121n S a a d a d a n d ⎡⎤=+++++++-⎣⎦①()()()21n n n n n S a a d a d a n d ⎡⎤=+-+-++--⎣⎦②由①＋②得()()()()11112n n n n S a a a a a a a a =++++++++n n 个＝()1n n a a +，由此得等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=，代入通项公式()11n a a n d =+-得()112n n n S na d -=+.二、等差数列的前n 项和常用的性质1、设等差数列{}n a 的公差为d ，n S 为其前n 项和，等差数列的依次k 项之和，k S ，2k k S S -，32k k S S -…组成公差为2k d 的等差数列；2、数列{}n a 是等差数列⇔2n S an bn =+(a ，b 为常数)⇔数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为2d；3、若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数2n 时，()21n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶；②当项数为奇数21n +时，()21121n n S n a ++=+，n S S a -=奇偶，1S n S n+=奇偶.4、在等差数列{}n a ，{}n b 中，它们的前n 项和分别记为,n n S T 则2121n n n n a S b T --=将等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+，整理成关于n 的函数可得2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当0d ≠时，n S 关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(),n n S 在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上横坐标为正整数的一系列孤立的点．四、求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略1、将()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭配方，若0d ≠，则从二次函数的角度看：当0d >时，S n 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，n S 取到最值．2、邻项变号法：当10a >，0d <时，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使n S 取最大值；当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使n S取最小值。

2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理(含解析)新人教A版

第2节等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三等差数列的性质及应用多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112，所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ，由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案－14 4。

等差数列及其前n项和Word版含答案

等差数列及其前n 项和【课前回顾】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．4．与等差数列各项的和有关的性质(1)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (2)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (4)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n＝S 2n －1T 2n －1.【课前快练】1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134解析：选A 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45. 4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8，若a n ＝0，则n ＝________. 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：55．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152考点一等差数列的基本运算1．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[易错提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．2．等差数列前n 项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；若已知通项公式，则使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，同时注意与性质“a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…”的结合使用．【典型例题】1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2＝25，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.3．(2018·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72考点二等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.【典型例题】(2018·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[思维路径](1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n ＝1,2可解得．(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其关键应推出a n ＋1n ＋1－a n n 为常数，对所给条件进行必要的变形即可．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .【针对训练】1．(2018·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及前n 项和的最值1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．理清等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，即为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．【典型例题】1．在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．2．已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{a n}的前100项的和为() A．－200 B．－100C．－50 D．0[学审题]①由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；②结合函数的性质知a50＋a51＝－2.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝100(a1＋a100)2＝50(a50＋a51)＝－100.【针对训练】1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝() A．95B．100C．135 D．80解析：选B由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()A．6 B．7C．12 D．13解析：选C因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *，∴k ＝23.4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7×(－2－14)＝－112，又a 1＝3，所以a 8＝－109.5．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A.34 B ．1 C.43D.32解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 59．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________.解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3. 答案：310．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：1011．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 12．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日解析：选B 设n 日相逢，则依题意得103n ＋n (n －1)2×13＋97n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝1125×2，整理得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9(负值舍去)，故选B.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，则下列命题错误的是( ) A ．若a n >0，则S n >0 B ．若S n >0，则a n >0C ．若a n >0，则{S n }是单调递增数列D ．若{S n }是单调递增数列，则a n >0解析：选D 由等差数列的性质可得：∀n ∈N *，a n >0，则S n >0，反之也成立．a n >0，d >0，则{S n }是单调递增数列．因此A 、B 、C 正确．对于D ，{S n }是单调递增数列，则d >0，而a n >0不一定成立．14．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得m ＝5.答案：516．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， ∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n 4. 17．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式以及S n 的表达式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，S 4＝4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，n ∈N *. (2)由(1)知，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b n －b 1＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1(n ≥2)，∴b n ＝3n －22n －1. 当n ＝1时，b 1＝1也符合上式， ∴b n ＝3n －22n －1(n ∈N *)． 18.已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.。

2等差数列及其前n项和(含解析)

2等差数列及其前n项和（含解析）数列——等差数列及其前n项和[知识能否忆起] 一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．a ＋b2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差2中项．二、等差数列的有关公式1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋三、等差数列的性质1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，?仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，?仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最大值．d 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B2d＝a1－，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列2的充要条件．[小题能否全取] 1．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( ) A．1B．2 C．3 D．4 n?n－1??a1＋an?n d＝. 22??2a1＋4d＝10，解析：选B 法一：设等差数列{an}的公差为d，题意得? ?a＋3d＝7.?1??a1＝1，解得?故d＝ 2. ?d＝ 2.?法二：∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2. π3π2a4－?＝( ) 2．(教材习题改编)在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin?3??21B. 21D．－2C．－32π3ππ3π3ππ12a4－?＝sin?－?＝－cos＝－. 解析：选 D ∵a2＋a6＝，∴2a4＝.∴sin?3???23?22323．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( ) A．58 C．143 B．88 D．176 11?a1＋a11?11?a4＋a8?解析：选B S11＝＝＝88. 224．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________. 解析：an＋1＝an ＋2知{an}为等差数列其公差为2. 故an ＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－1 15．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S ＝a，则a2＝________，223Sn＝________. 解析：设{an}的公差为d，S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，11又a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1，2211111111 Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋(n2－n)×＝n2＋n.答案：1 n2＋n 222244441.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．dd a1－?n＝An2＋Bn?d ＝2A. (2)Sn＝n2＋?2??2(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，?；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，?，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点一典题导入[例1] 在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；an＋3 (2)设bn＝n(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．2[自主解答] (1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n∈N*，an＋1＋3an＋311＋∵bn ＋1－bn＝n＋1－n＝n＋1[(an＋1－2an)－3]＝n＋1[(2n1＋3)－3]＝1，2222a1＋3－3＋3∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．22题悟法1．证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)?{an}为等差数列；(2)用等差中项证明：2an ＋1＝an＋an＋2?{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数?{an}为等差数列；n?a1＋an?(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 22．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an ＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n ＝1时，a0无定义．以题试法1．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn；(2)证明：数列{an}是等差数列．解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，－2＝A＋B＋C，??则?0＝4A＋2B＋C，解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n. ??6＝9A＋3B＋C，(2)证明：∵当n＝1时，a1＝S1＝－2. 等差数列的判断与证明当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6. ∴an＝4n －6(n∈N*)．an＋1－an＝4，∴数列{an}是等差数列. 考点二等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．[自主解答] (1)设数列{an}的公差为d，题意知???2a1＋2d＝8，?a1＝2，?解得? ?2a1＋4d＝12，???d＝2.所以an ＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. n?a1＋an?n?2＋2n?(2)(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．22因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2. 从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. 题悟法n?a1＋an?n?n－1?1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d，共22涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a6＝10，S5＝5，则S8＝________. S4S3 (2)(2012·江西联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．129解析：(1)∵a6＝10，S5＝5，?a1＋5d＝10，?a1＝－5，??∴?解方程组得?则S8＝8a1＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44. ??5a＋10d＝＝3.?1? 4×33×24a1＋6d3a1＋3d(2)依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－22129＝1，此解得d＝6，即公差为6. 答案：(1)44 (2)6 等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9等于( ) A．66B．99 C．144 D．297 (2)(2012·天津)设等差数列{an}的前n项和Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝( ) A．18 C．16B．17 D．15 [自主解答] (1)等差数列的性质及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，9?a1＋a9?9?a4＋a6?a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9.所以S9＝＝＝99. 22 (2)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d1＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. 4[答案] (1)B (2)A 题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. (2)(2012·海淀期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( ) A．6C．8B．7 D．9 解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{cn}，题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35. (2)∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n －???ak≥0，?22－3k≥0，?1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有即? ?ak＋1≤0，???22－3?k＋1?≤0，1922解得≤k≤.∵k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7. 33答案：(1)35 (2)B1．(2011·江西高考){an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ) A．18C．22 B．20 D．24 解析：选B S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 2．(2012·广州调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是( ) A．24C．60B．48 D．72 ???a5＝a1＋4d＝8，?a1＝0，解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，题意可得?解得?则?S3＝3a1＋3d＝6，???d＝2，S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48. 3．(2013·东北三校联考)等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·?·2a10)＝( ) A．10 C．40B．20 D．2＋log25 10?a1＋a10?＝5(a5＋a6)＝20，因此有2解析：选B 依题意得，a1＋a2＋a3＋?＋a10＝log2(2a1·2a2·?·2a10)＝a1＋a2＋a3＋?＋a10＝20. 2*4．(2012·海淀期末)已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a2n＋1－an＝1(n∈N)，那么使an立的n的最大值为( ) A．4C．24B．5 D．25 2222解析：选C ∵a2n＋1－an＝1，∴数列{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列．∴an＝1＋(n－1)＝n.又an>0，∴an＝n.∵an5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S10>0，S11B．6 D．7 解析：选 A S10>0，S110，d0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5. 6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an ＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( ) A．0C．8 B．3 D．11 解析：选B 因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，12－?－2?故公差d＝＝2.于是b1＝－6，10－3且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8. 所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝?＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________. 22解析：设等差数列公差为d，∵a3＝－4，得1＋2d＝(1＋d)－4，解得d＝4，即d＝±于该数列为递增数列，故d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－1 8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________. 解析：a7－a5＝2d＝4，则d ＝＝a11－10d＝21－20＝1，k?k－1?Sk ＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.答案：3 2Sn2n－3a99．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则Tn4n －3b5＋b7＋a3的值为________．b8＋b4解析：∵{an}，{bn}为等差数列，∴∵a9a3a9a3a9＋a3a6＋＝＋＝＝. 2b6b6b5＋b7b8＋b42b62b6S11a1＋a112a62×11－319a61919＝＝＝＝，∴＝.答案：T11b1＋b112b64×11－341b64141 10．(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)(1)可知an＝3－2n，n[1＋?3－2n?]所以Sn＝＝2n－n2. 2Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 11．设数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝1－an，?1?(1)证明?T?是等差数列；? n??an?(2)求数列?T?的前n项和Sn. ?n?Tn解：(1)证明：Tn＝1－an得，当n≥2时，Tn＝1－，Tn－111两边同除以Tn得－＝1. TnTn－1∵T1＝1－a1＝a1，111故a1＝，＝＝2. 2T1a1?1?∴?T?是首项为2，公差为1的等差数列．?n?11(2)(1)知＝n＋1，则Tn＝，Tnn＋1nan从而an＝1－Tn＝.故＝n. n＋1Tn?an?∴数列?T?是首项为1，公差为1的等差数列．?n?n?n＋1?∴Sn＝. 212．已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22. (1)求Sn；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1)∵S10＝a1＋a2＋?＋a10，S22＝a1＋a2＋?＋a22，又S10＝S22，∴a11＋a12＋?＋a22＝0，12?a11＋a22?即＝0，故a11＋a22＝2a1＋31d＝0. 2又∵a1＝31，∴d＝－2，n?n－1?∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2. 2(2)法一：(1)知Sn＝32n－n2，故当n＝16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 法二：Sn＝32n－n2＝n(32－n)，欲使Sn有最大值，应有1n＋32－n?22??＝256，当且仅当n＝32－n，即n＝16时，Sn有最大值256. 1．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A．156 C．26 B．52 D．13解析：选C ∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，13?a1＋a13?13?a4＋a10?∴6(a4＋a10)＝24，故a4＋a10＝4.∴S13＝＝＝26. 222．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11B．48 D．84 解析：选C a1>0，a10·a110，a113．数列{an}满足an＋1＋an＝4n －3(n∈N*)．(1)若{an}是等差数列，求其通项公式；(2)若{an}满足a1＝2，Sn为{an}的前n项和，求S2n＋1. 解：(1)题意得an＋1＋an＝4n－3，①an＋2＋an＋1＝4n＋1，②②－①得an＋2－an＝4，∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2. ∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，1∴a1＝－，25∴an＝2n－. 2(2)∵a1＝2，a1＋a2＝1，∴a2＝－1. 又∵an＋2－an＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，∴a2n－1＝4n －2，a2n＝4n－5，S2n＋1＝(a1＋a3＋?＋a2n＋1)＋(a2＋a4＋?＋a2n) ?n＋1?nn?n－1?＝(n＋1)×2＋×4＋n×(－1)＋×4 22＝4n2＋n＋2. 3111．已知数列{an}中，a1＝，an ＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn ＝(n∈N*)．5an－1an－1(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理．解：(1)证明：∵an＝2－1 (n≥2，n∈N*)，bn＝. an－1an－1111∴n≥2时，bn－bn－1＝－an－1an－1－1＝11－?2－1?－1an－1－1a?＝n－1? an－11－＝1. an－1－1an－1－115又b1＝＝－. 2a1－1 5∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．27(2)(1)知，bn＝n－，212则an＝1＋＝1＋，bn2n－7设函数f(x)＝1＋2，2x－777－∞，?和?，＋∞?内为减函数．易知f(x)在区间?2??2??故当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70. (1)求数列{an}的通项公式；2Sn＋48(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．n??2a1＋4d ＝14，解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则有? ?7a1＋21d＝70，????a1＋2d＝7，?a1＝1，即?解得? ??a＋3d＝10，d＝3.?1?所以an＝3n－2. 3n2－nn(2)因为Sn＝[1＋(3n－2)]＝，223n2－n＋4848所以bn＝＝3n＋－1≥2 nn48当且仅当3n＝，即n＝4时取等号，n故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23. 483n·－1＝23，n3．已知数列{an}，对于任意n≥2，在an－1与an之间插入n个数，构成的新数列{bn}成等差数列，并记在an－1与an之间插入的这n个数均值为Cn－1. n2＋3n－8(1)若an＝，求C1，C2，C3；2(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{Cn＋1－λCn}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理．解：(1)题意a1＝－2，a2＝1，a3＝5，a4＝10，1∴在a1与a2之间插入－1,0，C1＝－. 2在a2与a3之间插入2,3,4，C2＝3. 15在a3与a4之间插入6,7,8,9，C3＝. 2 an－an－1(2)在an－1与an之间插入n个数构成等差数列，d＝＝1，n ＋1n?an－1＋an?2an－1＋ann2＋2n －9∴Cn－1＝＝＝. n22假设存在λ使得{Cn＋1－λCn}是等差数列．∴(Cn ＋1－λCn)－(Cn－λCn－1) ＝Cn＋1－Cn－λ(Cn－Cn－1) 2n＋52n＋3＝－λ· 2253＝(1－λ)n＋－λ＝常数，∴λ＝1. 22即λ＝1时，{Cn ＋1－λCn}是等差数列．3．已知数列{an}，对于任意n≥2，在an－1与an之间插入n个数，构成的新数列{bn}成等差数列，并记在an－1与an之间插入的这n个数均值为Cn－1. n2＋3n－8(1)若an＝，求C1，C2，C3；2(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{Cn＋1－λCn}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理．解：(1)题意a1＝－2，a2＝1，a3＝5，a4＝10，1∴在a1与a2之间插入－1,0，C1＝－. 2在a2与a3之间插入2,3,4，C2＝3. 15在a3与a4之间插入6,7,8,9，C3＝. 2 an－an－1(2)在an－1与an之间插入n个数构成等差数列，d＝＝1，n ＋1n?an－1＋an?2an－1＋ann2＋2n －9∴Cn－1＝＝＝. n22假设存在λ使得{Cn＋1－λCn}是等差数列．∴(Cn ＋1－λCn)－(Cn－λCn－1) ＝Cn＋1－Cn－λ(Cn－Cn－1) 2n＋52n＋3＝－λ· 2253＝(1－λ)n＋－λ＝常数，∴λ＝1. 22即λ＝1时，{Cn ＋1－λCn}是等差数列．。

4.2.2等差数列的前n项和公式(解析版)

4．2．2 等差数列的前n 项和公式【题型归纳目录】题型一：等差数列前n 项和的有关计算题型二：等差数列前n 项和的比值问题题型三：等差数列前n 项和的性质题型四：等差数列前n 项和的最值问题题型五：求数列{}||n a 的前n 项和题型六：等差数列前n 项和公式的实际应用题型七：由等差数列的前n 项和判断等差数列题型八：等差数列片段和的性质题型九：等差数列的奇数项与偶数项和【知识点梳理】知识点一、等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和公式公式一：1()2n n n a a S +=证明：倒序相加法 1231n n n S a a a a a -=+++++①1221n n n n S a a a a a --=+++++②①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++因为121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+所以12()n n S n a a =+ 由此得：1()2n n n a a S +=公式二：1(1)2n n n dS na -=+证明：将1(1)n a a n d =+-代入1()2n n n a a S +=可得：1(1)2n n n dS na -=+ 知识点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一．②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．知识点二、等差数列的前n 项和的有关性质等差数列{}n a 中，公差为d ，则①连续k 项的和依然成等差数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -，…成等差数列，且公差为2k d ． ②若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶③若项数为21n -，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶知识点三、等差数列中的函数关系等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数（或常数函数）等差数列{}n a 中，11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，令1a d b -=，则： n a dn b =+（d ，b 是常数且d 为公差）（1）当0d =时，n a b =为常数函数，{}n a 为常数列；它的图象是在直线y b =上均匀排列的一群孤立的点．（2）当0d ≠时，n a dn b =+是n 的一次函数；它的图象是在直线y dx b =+上均匀排列的一群孤立的点．①当0d >时，一次函数单调增，{}n a 为递增数列； ②当0d <时，一次函数单调减，{}n a 为递减数列．等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-，令2d A =，12dB a =-，则： 2n S An Bn =+（A ，B 是常数）（1）当0d =即0A =时，1n S Bn na ==，n S 是关于n 的一个一次函数；它的图象是在直线1y a x =上的一群孤立的点．（2）当0d ≠即0A ≠时，n S 是关于n 的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线2y Ax Bx =+上的一群孤立的点．①当0d >时n S 有最小值 ②当0d <时，n S 有最大值知识点诠释：1、公差不为0的等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数．2、n a pn q =+（p ，q 是常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．3、公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数．4、2n S An Bn =+（其中A ，B 为常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．【方法技巧与总结】 1、等差数列前n 项和的最值（1）在等差数列{}n a 中，当10a >，0d <时，n S 有最大值，使n S 取得最值的n 可由不等式组100n n a a +⎧⎨⎩确定；当10a <，0d >时，n S 有最少值，使n S 取到最值的n 可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩确定．（2）2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若0d ≠，则从二次函数的角度看：当0d >时，n S 有最少值；当0d <时，n S 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，n S 取到最值．【典型例题】题型一：等差数列前n 项和的有关计算例1．（重庆市璧山来凤中九校2022届高三上学期联考模拟（二）数学试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若681012a a a ++=，则15S =（） A ．150 B ．120 C ．75 D ．60【答案】D【解析】因为6810,,a a a 也成等差数列，故61082a a a +=，同理11582a a a += 因为681012a a a ++=，所以8312a =，故84a = 所以()115815815152156022a a a S a +⨯====. 故选：D例2．（2022·福建·泉州高三期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，8530S S -=，则11S =（） A ．77 B ．88 C ．99 D ．110【答案】B【解析】954S =，得5954a =，解得56a =， 8530S S -=，得6787330a a a a ++==，解得710a =，故7522a a d -==， 11651111()11888S a a d ==⨯+=⨯=.故选：B例3．（2022·江苏·盱眙县第二高级高二期中）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：3111,3a a ==，则25S =（）A ．72B ．75C ．60D ．100【答案】B【解析】由133a =可得：12513251322525257522a a aS a +=⨯=⨯==，故选：B变式1．（2022·浙江·镇海高二期中）等差数列{}n a 中，已知113a =，21a =，1200n S =，则n 为（）A ．58B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】由{}n a 是等差数列，113a =，21a =得2123d a a =-=则()211120023n n n n S na d -=+==即23600n =，60n = 故选：C.变式2．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的前3项和为27，5230a a +=，则8a =（） A ．31 B ．32C ．33D ．34【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意313327S a d =+=，12530a d +=，解得4d =，15a =，所以81752833a a d =+=+=．故选：C【方法技巧与总结】等差数列中的基本计算（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量1,,,n a d n a 和n S ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量1a 和d 的方程组，解出1a 和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若()*,,,m n p q m n p q +=+∈N ，则m n p q a a a a +=+，常与求和公式()12n n n a a S +=结合使用．题型二：等差数列前n 项和的比值问题例4．（2022·江苏省震泽高二阶段练习）已知,n n S T 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，且()211,2,42n n S n n T n +==-，则1011318615a ab b b b +=++（）A ．1120 B ．4178C ．4382D ．2342【答案】B【解析】因为数列{}n b 是等差数列，所以318615b b b b +=+，所以10101111318615615a a a ab b b b b b ++=+++，又因为,n n S T 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，且()211,2,42n n S n n T n +==-，所以101011120201131861561512020220141420278a a a a a S ab b b b b b b b T +⨯++=====+⨯-++++, 故选：B .例5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a ab b ++等于（）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493【答案】A【解析】两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，所以1212201212112171512121215212107221324212a a a a a a S b b b b b b T +⨯++⨯+=====++++⨯. 故选：A例6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（） A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546【答案】B【解析】设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，0t ≠.则88713610531a S S t t t =-=-=，99823418450b T T t t t =-=-=，所以893150a b =. 故选：B.变式3．（2022·全国·高三专题练习）若等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别是n S 和n T ，且21nnna b n =+，则1111S T =（） A ．1221B ．1123C ．613D ．1223【答案】C【解析】因为{}n a 和{}n b 是等差数列,故()()1116111111161161113a a a S Tb b b +⨯===+⨯ 故选:C变式4．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，且满足2132n n A n B n +=+，则66a b =（） A ．1320B ．2335C ．2538D ．2741【答案】B【解析】两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，满足2132n n A n B n +=+，所以1116611111111661111111221112322311235112a a a a a a A b b b b b b B +⨯+⨯+======++⨯+⨯. 故选：B变式5．（2022·全国·高三专题练习）已知Sn 是等差数列{an }的前n 项和，若a 1＝﹣2018，20192013620192013S S -=，则S 2020等于（） A ．﹣4040 B ．﹣2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】∵Sn 是等差数列{an }的前n 项和，∴数列{nS n}是等差数列． ∵a 1＝﹣2018，20192013620192013S S -=， ∴数列{nS n }的公差d 616==，首项为﹣2018， ∴20202020S =-2018+2019×1＝1， ∴S 2020＝2020．故选：C ．变式6．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020120212020S S =+且13a =，则( ) A ．21n a n =+ B ．1n a n =+ C ．22n S n n =+ D ．24n S n n =-【答案】A【解析】设{}n a 的公差为d ， ∵()112n n n S na d -=+∴111222n S n d d a d n a n -=+⋅=⋅+-，即{nS n }为等差数列，公差为2d ，由20212020120212020S S -=知122d d =⇒=，故()23212122n n n n a n S n n ++=+==+，﹒故选：A ﹒【方法技巧与总结】设{}n a ，{}n b 的前n 项和为n S ，n T ，则2121::n n n n a b S T --=．题型三：等差数列前n 项和的性质例7．（2022·四川·成都市新津区成实外高级高二阶段练习（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．若98S S >，910S S >，则170S >，180S <B ．若170S >，180S <，则98S S >，910S S >C ．若170S >，180S <，则170a >，180a <D ．若170a >，180a <，则170S >，180S <【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，A 选项，若98S S >，910S S >，8989,0S a S a +>>，991010,0S S a a >+<，则0d <， 11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， ()118189101892a a S a a +=⨯=+，无法判断符号，A 选项错误. B 选项，11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >，所以898S a S +>，所以98S S >. ()1181891018902a a S a a +=⨯=+<，则100a <，所以9910S S a >+，910S S >，B 选项正确.C 选项，若170S >，180S <，171181880,0S S a a <=<+， 11791792171717022a a aS a +=⨯=⨯=>，则90a >， ()1181891018902a a S a a +=⨯=+<，则100a <，则10,0a d ><，170a <，C 选项错误. D 选项，若170a >，180a <，则10,0a d ><，当*117,N n n ≤≤∈时0n a >，所以170S >，但()1181891018902a a S a a +=⨯=+>，所以D 选项错误. 故选：B例8．（2022·陕西·榆林市第一高一期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56S S <，67S S =，78S S >，则下列结论错误的是（）A ．680a a +=B ．58S S =C ．数列{}n a 是递减数列D ．130S >【答案】D【解析】由67S S =，则7670S S a -==，即1760a d a +==，又86720a a a +==，故A 正确； ()1553552a a S a +==，()()182********a a a a S a ++===，则3215460a a a d -=+=，故58S S =，B 正确；由56S S <，78S S >，即6560S S a -=>，8780S S a -=< 所以0d <，数列{}n a 是递减数列，故C 正确； 137130S a ==，D 错误.故选：D例9．（2022·河南·舞阳县第一高级高二阶段练习（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10911S S S <<，则下列选项不正确的是（）A ．0d >B ．10a <C ．200S >D ．210S <【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足109S S <，1011S S <，则100a <，110a >，所以0d >，10a <，故A ，B 正确；由911S S <，可知10110a a +>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 正确；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 不正确．故选: D变式7．（2022·四川成都·高一期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，且1215S S =，则使0n S >成立的最大n 值为（） A ．13 B ．14 C ．26 D ．27【答案】C【解析】由12151314150S S a a a =⇒++=1414300a a ⇒=⇒= 又10a >，所以公差0d < ()()126261314261302a a S a a +==+> ()1272714272702a a S a +=== 所以使0n S >成立的最大n 值为26 故选：C变式8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足19160,a S S <=，则（） A ．0d < B ．n S 的最小值为25SC ．130a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为25【答案】C【解析】由于916S S = ，101112131415160a a a a a a a ++++++= ， ∴上式中等差中项130a =，13110120a a a d -=-=＞，即0d ＞，故A 错误；由等差数列的性质可知2513250S a == ，110S a =＜，即125S S ＜，故B 错误；由以上分析可知C 正确，D 错误；故选：C.变式9．（2022·陕西渭南·一模（理））已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若15=90S ，则8=a （） A ．12 B ．6 C ．4 D ．3【答案】B【解析】因为数列{}n a 为等差数列，所以()115815815152=159022a a S a a +⨯===，所以86a =.故选：B.变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且319S S =，则21S =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】方法一：∵319S S =∴()193451941980S S a a a a a -=+++=+=∴4190a a +=∴()2112345192021S a a a a a a a a =+++++++()12320211419122a a a a a a a a a =++++=++==，方法二：由于2n S An Bn =+是二次函数2()f x Ax Bx =+,当x n =时的函数值()n S f n =，根据二次函数的对称性，由319S S =可知，n S 的关于11n =对称，因此21112S S a ===，故选:B变式11．（2022·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且20112014S S =，2003k S S =，则正整数k 的值为（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】C【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，所以 ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数图象的对称性及20112014S S =，2003k S S =，可得20112014200322k ++=，解得2022k =．故选：C ．【方法技巧与总结】利用等差数列前n 项和的性质简化计算（1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出1a 和d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；（2）等差数列前n 项和n S 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．题型四：等差数列前n 项和的最值问题例10．（2022·陕西·镇巴高二期中（文））在等差数列{}n a 中，1102029,a S S ==，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（）A ．15SB ．16SC ．15S 或16SD ．17S【答案】A【解析】因为{}n a 是等差数列，1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，整理得12290a d +=，又因为129a =，所以2d =-；所以()()()22129230152252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+．故当15n =时，n S 取得最大值．故选：A.例11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当且仅当6n =时n S 取得最大值，若130a =，则公差d 的取值范围为（） A ．()6,5--B ．[]6,5--C ．()(),65,-∞-⋃-+∞D ．()[),65,-∞-⋃-+∞【答案】A【解析】由已知可得6700a a >⎧⎨<⎩，即30503060d d +>⎧⎨+<⎩，解得65d -<<-，故选：A ．例12．（2022·北京高二期中）等差数列{}n a 中，68a a <，680a a +=，则当前n 项和n S 最小时，n =（） A ．7 B ．8 C ．6或7 D ．7或8【答案】C【解析】设公差为d ，因为68a a <，所以20d >，所以0d >，因为680a a +=，所以720a =，所以70a =，所以160a d +=，160a d =-<，所以1(1)(1)622n n n n n S na d nd d --=+=-+2113169224d n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当6n =或7n =时，n S 取得最小值. 故选：C变式12．（2022·湖南·南县第一高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S <，20220S >，则当n S 最小时，n 的值为（）A ．1010B ．1011C ．1012D ．2021【答案】B【解析】由于等差数列的前n 项和2n S An Bn =+的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由20210S <，20220S >可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间()1010.5,1011之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为1011n =, ∴n S 取得最小值时n 的值为1011．故选：B变式13．（2022·山西·怀仁市第高二阶段练习（文））等差数列{}n a 是递增数列，且公差为d ，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项错误的是（）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】C【解析】对于A 选项，因为等差数列{}n a 是递增数列，则10n n d a a +=->，A 对；对于B 选项，因为753a a =，即116312a d a d +=+，可得130a d =-<，B 对；对于C 选项，()()()2217117493222224n n n d n n d n n d d S na dn n -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，当3n =或4时，n S 最小，C 错；对于D 选项，()2702n n n d S -=>，因为N n *∈，解得7n >，故0n S >时n 的最小值为8，D 对.故选：C.变式14．（2022·全国·高二课时练习）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n ∈N 都有n k S S ≤成立，则k 的值是（）A ．10B ．20C ．30D ．40【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由147125813999,31293,a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩解得139,2,a d =⎧⎨=-⎩ ∴()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -=+=--=-+=--+． ∴当20n =时，n S 取得最大值． ∵对任意*n ∈N 都有n k S S ≤成立， ∴k S 为数列{}n S 的最大值，∴20k =．故选：B.变式15．（2022·陕西·武功县普集高级高二阶段练习）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为（）A ．12B ．12或11C ．11或10D ．10【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由716S S =，得1172116120a d a d +=+，即1110a d +=，又122a =，所以2d =-，所以()2221242n a n n =--=-，令0n a =，可得12n =，所以数列{}n a 满足：当11n ≤时，0n a >；当12n =时，0n a =；当13n ≥时，0n a <，所以n S 取得最大值时，n 的取值为11或12.变式16．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知等差数列{}n a 中，514a a =，且公差0d <，则其前n 项和取得最大值时n 的值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【解析】由等差数列的公差0d <，514a a =知，5140a a +=，所以9100a a +=，故9100,0a a ><，则数列{}n a 的前n 项和取得最大值时n 的值为9.故选：B变式17．（2022·广东·石门高级高二阶段练习）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，27a =-，512S a =，当n S 取得最小值时，n =（）A ．1B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由已知得111754252a d a a d +=-⎧⎪⎨⨯=+⎪⎩，解得1103a d =-⎧⎨=⎩， 2(1)32310322n n n n nS n --=-+⨯=，由于41a =-0<，520a =0>，即4n ≤时0n a <，5n ≥时，0n a >，所以4n ≤时，n S 递减，5n ≥时，n S 递增，其中1110S a ==-，由n S 的表达式得77S =-，84S =，78S S >，所8n =时，n S 最小．故选：D ．变式18．（2022·安徽省临泉第一高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S >，20220S <，则使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（）A ．2022B ．2021C ．1012D ．1011【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20210S >，20220S <，所以()()()()120211011202110111202220221202210111012202120212202102220221011101102a a a S a a a S a a a a ⎧+⨯===>⎪⎪⎨+⎪==+=+<⎪⎩，所以10110a >，101110120a a +<，所以10110a >，10120a <，即等差数列{}n a 的公差0d <，所以，1011n ≤时，0n a >；1012n ≥时，0n a <，所以，使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为1011. 故选：D变式19．（2022·山西·康杰高二开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为31n a tn =-（t Z ∈），当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则当10k S =-时，k =（）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】D【解析】由条件可知，当10n =时，1031100a t =->，1131110a t =-<，解得：31311110t <<，因为t Z ∈，所以3t =，得313n a n =-， ()28313102k k k S +-==-，解得：20k =或13k =-（舍）.故选：D变式20．（2022·安徽·淮南第二高二开学考试）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知678125a a a a ++=，且10a >，当n S 取得最大值时，n 的值为（）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵678125a a a a ++=， ∴()11318511a d a d +=+， ∴13702a d =->， ∴0d <， ∴1902d a =->，2002da =<，∴19S 取得最大值. 故选：C.【方法技巧与总结】（1）等差数列前n 项和n S 最大（小）值的情形①若10a >，0d <，则n S 存在最大值，即所有非负项之和． ②若10a <，0d >，则n S 存在最小值，即所有非正项之和．（2）求等差数列前n 项和n S 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 100n n a a +⎧⎨⎩或10n n a a +⎧⎨⎩来寻找． ②运用二次函数求最值．题型五：求数列{}||n a 的前n 项和例13．（2022·河南安阳·高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为{}n a 的前n 项和为210n S n n =-．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求1220a a a ++⋅⋅⋅+．【解析】（1）因为210n S n n =-，所以当1n =时，21111019a S =⨯=-=-，当2n ≥时，()()22111011211n S n n n n -=---=-+，所以1211n n n a S S n -=-=-，经检验：19a =-满足211n a n =-，所以211n a n =-.（2）由（1）可知，令0n a ≥，则2110n -≥，得112n ≥，又*N n ∈，所以当6n ≥时，0n a >；当5n ≤时，0n a <；所以1220122056a a a a a a a a ++⋅⋅⋅⋅--+++=-⋅⋅-⋅⋅⋅+()()5121220562a a a a a a a a =+++-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅+++⋅()22520225105201020S S =-=-⨯--+⨯+⨯250=.例14．（2022·山东青岛·高二期中）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且214n S n n =-.(1)求{}n a 的通项公式； (2)若123n n T a a a a =++++，求n T .【解析】（1）()214N*n S n n n =-∈当1n =时，211141113a S ==⨯-=，当2n ≥时，()()221141411152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 1a 也符合上式，所以152n a n =-，（2）因为152n a n =-，所以17n ≤≤时，0n a >；7n >时，0n a <，当17n ≤≤时，()212312313152142n n n n n n T a a a a a a a a S n n +-=++++=++++===-，当7n >时，()123123789n n n T a a a a a a a a a a a =++++=++++-+++()()212371237897221498n n a a a a a a a a a a a S S n n =++++-++++++++=-=-+.综上： 2214,171498,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩例15．（2022·山西省浑源高二阶段练习）表示n S 等差数列{}n a 的前n 项的和，且49S S =，112a =-. (1)求数列{}n a 的通项n a 及n S ； (2)求和12n n T a a a =+++【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由49S S =可得1143984922a d a d ⨯⨯+=+，因为112a =-，解得2d =，所以，()()111221214n a a n d n n =+-=-+-=-， ()()12122141322n n n a a n n S n n +-+-===-. （2）142,17214214,8n n n a n n n -≤≤⎧=-=⎨-≥⎩，当17n ≤≤且N n *∈时，()212142132n n n T n n +-==-；当8n ≥且N n *∈时，()()()()2722147426713842n n n T T n n n n +--=+=+--=-+.综上所述，2213,171384,8n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩. 变式21．（2022·江苏·常熟高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．公差1,3,32m m d a S =-=-=-（其中m>2）． (1)求m ； (2)求1mi i a =∑．【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，1,3,32m m d a S =-=-=-，所以()()111132134a m m m ma ⎧--=-⎪⎪⎨-⎪-=-⎪⎩，解得15212a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即12m =；（2）由（1）可知()51113222n a n n =--=-+， ∴()513112242n n n n S n ⎛⎫⎪⎝=⎭-+-=， ∴12111221m i i i i a a a a a ====+++∑∑ ()1267812a a a a a a =+++-+++()()61263116224S S -=-=⨯-- 18=.变式22．（2022·广东·中山纪念高二期中）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若117a =-，点1(,)n n S S +在直线122n y x n n+=++(N )n *∈上． (1)求证：数列{}nS n是等差数列，并求{}n a 的通项公式； (2)若n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）因为点1(,)n n S S +在直线122n y x n n+=++上，所以1122(1)(2)n n n S n S S n n n n++=++=++，从而112211n n n n S S S Sn n n n ++=+⇒-=++，因为11171S a ==-，所以数列{}nS n是首项为17-，公差为2的等差数列；故172(1)219nS n n n=-+-=-，即2219n S n n =- ①，当2n ≥时，2212(1)19(1)22321n S n n n n -=---=-+ ②，由①②相减可得，421n a n =-，当1n =时，421n a n =-也满足题意，故{}n a 的通项公式为：421n a n =-. （2）因为||n n b a =，所以123||||||||n n T a a a a =++++，当4210n a n =-<时，5n ≤；当4210n a n =->时，6n ≥，由(1)中结论可知，当5n ≤时，212219n n n T a a a S n n =----=-=-+；当6n ≥时，2555()221990n n n T S S S S S n n =-+-=-=-+，从而22219,521990,6n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩. 【方法技巧与总结】已知等差数列{}n a ，求绝对值数列{}||n a 的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．题型六：等差数列前n 项和公式的实际应用例16．（2022·甘肃·天水市第一高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153 【解析】因为：1，615=+， 15159=++， 2815913=+++， 451591317=++++；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：2(1)1422n n n c n n n -=⋅+⨯=-； ∴第9个六边形数为：2299153⨯-=．故答案为：153．例17．（2022·全国·高二课时练习）有n 台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则到收割完毕需要24h ．现在这些收割机是每隔相同的时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要______h ．【答案】40【解析】设这n 台收割机工作的时间（单位：h ）依次为1a ，2a ，…，n a ，依题意，{}n a 是一个等差数列，且15n a a =①，1224n a a a n ++⋅⋅⋅+=②；由②得()1242n n a a n +=，所以148n a a +=③．将①③联立，解得140a =．故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40h ．故答案为：40例18．（2022·全国·高二课时练习）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为______斤．【答案】32【解析】解法一：设该若干段的质量从大到小构成等差数列{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ，由题意每4段为1尺，可得44S =，20162S S -=，∴1114344,22019161520162,22a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎛⎫⎪+-+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得16764a =，132d =-，∴中间两段的质量和为10111671321921964322a a a d ⎛⎫+=+=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．解法二：设该若干段的质量从大到小构成等差数列{}n a ，由题意每4段为1尺，可得12344a a a a +++=，201918172a a a a +++=，两式相加得()12046a a +=，则101112032a a a a +=+=．故答案为：32.变式23．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【解析】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列{}n a ，其公差为3，所以515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =，所以29a =，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．故答案为：9变式24．（2022·内蒙古·赤峰高二阶段练习（文））将数列{}13n -按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：()1，()3,9，()27,81,243，…，则第100组中的第一个数是______.【答案】49503 【解析】由题意知，前99组数共包含 991001239949502⨯++++==个数，则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即49503. 故答案为：49503变式25．（2022·浙江·杭州市余杭高级高二阶段练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上､中､下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，均为9环，则三层共有扇面形石板（不含天心石）数量是___________.【答案】3402【解析】从上层第一环石板数记为1a ，向外向下石板数依次记为{}n a ，此数列是等差数列，公差为9d =，首项19a =，三层共27项．所以和为272726279934022S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：3402．【方法技巧与总结】（1）与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．（2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．题型七：由等差数列的前n 项和判断等差数列例19．（2022·湖南·雅礼高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,0,41n n n n n S a a a a S +=≠=-. (1)证明：24n n a a +-=. (2)求数列{}n a 的通项公式.【解析】（1）证明：141n n n a a S +=-∴当2n ≥时，141n n n a a S +=-，1141n n n a a S --=- ∴ 111444n n n n n n n a a a a a S S +--==--又0n a ≠，故可知114n n a a +--= 所以24n n a a +-= （2）由题意得：当1n =时，12141a a a =-，又因为11a =，故可知23a =由114n n a a +--=，可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为：1，3 ∴当*21(N )n k k =-∈时，2114(1)4321n k a a k k n -==+-=-=-当*N )2(n k k =∈时，()234121n k a a k n ==+-=- 21n a n ∴=-例20．（2022·全国·高二课时练习）已知一个数列{}n a 的前n 项和2252n S n n r =-+．(1)当0r =时，求证：该数列{}n a 是等差数列； (2)若数列{}n a 是等差数列，求r 满足条件．【解析】(1)当0r =时，2252=-n n n S ，令1n =，125223=-=S ，所以2n ≥时，()()2125121-=---n S n n ，所以()()22125225121274-=-=---+-=-n n n a S S n n n n n ，此时127423=-=a ，所以274n a n =-，所以()()127427414--=--+-=-n n a a n n ，可得数列{}n a 是公差为4-的等差数列.(2)2252n S n n r =-+，令1n =，得125223=-+=+S r r ，所以2n ≥时，()()2125121-=---+n S n n r ，所以()()22125225121274-=-=---+-=-n n n a S S n n n n n ，所以()()127427414--=--+-=-n n a a n n ，可得2n ≥时，数列{}n a 是公差为4-的等差数列，若数列{}n a 是等差数列，则12742323=-==+a r ，所以0r =．例21．（2022·全国·高二）数列{}n a 的前n 项和2*100()n S n n n N =-∈.（1）判断{}n a 是不是等差数列，若是，求其首项、公差；（2）设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）当2n ≥时，221(100)[100(1)(1)]n n n a S S n n n n -=-=-----1012n =-. ∵2111001199a S ==⨯-=适合上式， ∴*1012()n a n n N =-∈.∵12n n a a +-=-为常数，∴数列{}n a 是首项为99，公差为-2的等差数列．（2）由（1），令10120n a n =-≥，得50.5n ≤，∵*n ∈N ，∴*50()n n N ≤∈，即当*50,()n n N ≤∈时，0n a >，当*51,()n n N ≥∈时，0n a <，①当150n ≤≤时，0n a >，此时n n n b a a ==，∴{}n b 的前n 项和'2100n S n n =-.②当51n ≥时，0n a <，此时n n n b a a ==-，由51525152...(...)n n b b b a a a +++=-+++5050()n n S S S S =--=-，得数列{}n b 的前n 项和'5050()n n S S S S =+-250222500(100)n S S n n =-=⨯--25000100n n =-+.由①②得数列{}n b 的前n 项和为2*'2*100(,150)5000100(,51)nn n n N n S n n n N n ⎧-∈≤≤=⎨-+∈≥⎩. 变式26．（2022·云南大理·高二期末）数列{}n a 满足12a =，()1n n S na n n =--. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令()11n n b n a =+，求数列{}n b的前n 项和n T .【解析】（1）当2n ≥时，()()()11112n n S n a n n --=----，()11122n n n n n a S S na n a n --∴=-=---+，12n n a a -∴=+，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，11111111111111222334112122n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【方法技巧与总结】2n S An Bn =+（其中A ，B 为常数）是数列{}n a 成等差数列的充要条件．题型八：等差数列片段和的性质例22．（2022·江苏省苏州实验高二阶段练习）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若41216,48S S =-=，则8S 的值为__________.【答案】0【解析】依题可知484128,,S S S S S --成等差，所以()882161648S S +=-+-，解得：80S =．故答案为：0．例23．（2022·陕西·蓝田县城关高二期中（理））已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2015S =，6075S =，则40S =__________．【答案】40【解析】由等差数列性质知：20S ，4020S S -，6040S S -成等差数列，()()40202060402S S S S S ∴-=+-，即()()40402151575S S -=+-，解得：4040S =.故答案为：40.例24．（2022·江苏南通·高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，3090S =，则20S =___________ 【答案】50【解析】由题设1020103020,,S S S S S --成等差数列，所以20101030202()S S S S S -=+-，则20103033150S S S =+=，所以2050S =. 故答案为：50变式27．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =______．【答案】32【解析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =， ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 故答案为：32.变式28．（2022·浙江·杭州市富阳区场口高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则15S =__________．【答案】42【解析】因为数列{}n a 为等差数列，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -也是等差数列．由题意得57S =，10514S S -=，则151021S S -=，所以15212142S =+=．故答案为：42【方法技巧与总结】连续k 项的和依然成等差数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -，…成等差数列，且公差为2k d ．题型九：等差数列的奇数项与偶数项和例25．（2022·江苏省苏州第高二阶段练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________. 【答案】3【解析】解:由题知不妨设等差数列为{}n a ,首项为1a ,公差为d ,项数为2,n n Z ∈, 故有221()84,2n n n a a S na ++===偶 121()512n n n a a S na -+===奇, 两式相减133n n S S na na nd +-=-==奇偶, 因为21(21)63n a a n d -=-=, 故11(21)21nd n d =-,故11,3n d ==. 故答案为:3例26．（2022·河南·高二阶段练习（理））在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960a a a a ++++=，则123100a a a a ++++=__________.【答案】145【解析】等差数列{}n a 中，已知公差12d =， 12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.例27．（2022·全国·高二）在等差数列{an }中，S 10＝120，且在这10项中，S S 奇偶＝1113，则公差d ＝________. 【答案】2【解析】解:由1201113S S S S+=⎧⎪⎨=⎪⎩奇偶奇偶,得5565S S =⎧⎨=⎩奇偶, 所以S S -奇偶＝5d ＝10，所以d ＝2. 故答案为：2.变式29．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．【答案】29【解析】因为n 为奇数，所以1716S n S n +==-奇偶，解得13n =．所以13713377S a ==，所以729a =．故所求的中间项为29．故答案为：29变式30．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一高二阶段练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________. 【答案】5【解析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =，故公差32275566k k kd -===，故答案为：5．变式31．（2022·甘肃·武威十高二课时练习）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为______．【答案】11，7【解析】设等差数列{}n a 项数为21n ， 12113211(1)()(1)2n n n n a a S a a a n a +++++=+++==+奇，2224621()2n n n n a a S a a a a na ++=++++==偶，∴144=33S n S n +=奇偶，解得n =3，∴项数2n +1=7，又因为1n S S a a +=-=奇中偶，所以4443311a S S ==--=奇偶，所以中间项为11．故答案为：11，7.【方法技巧与总结】（1）若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶（2）若项数为21n -，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶【同步练习】一、单选题 1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1107,43a a ==-，则10S =（） A ．250 B ．180- C ．180 D ．250-【答案】B【解析】由已知，数列{}n a 为等差数列， 1107,43a a ==-，所以()()11010101074318022a a S ⨯-+⨯===-.故选：B.2．（2022·陕西·无高二期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS 的值为（）A ．717B ．310C ．314D ．38【答案】B【解析】因为{}n a 为等差数列，所以36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，因为936S S =，设39,6S k S k ==，由()()363962S S S S S -=+-，即()()6626S k k k S -=+-，则63S k =，所以1294S S k -=，所以1210S k =，所以612310S S =. 故选：B.3．（2022·陕西·礼泉县第二高二期中）设数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论不正确的是（）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】C【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 正确；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：C4．（2022·江苏省苏州实验高二阶段练习）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若345a a +=，77S =，则其公差为（） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-【答案】D【解析】由已知得，3417125576772a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得，1103a d =⎧⎨=-⎩ 故选：D.5．（2022·江苏苏州·高二期中）n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为（） A ．2 B ．12C ．11D ．10【答案】C【解析】由6116153S a d a =+=，可得15a d =-，而10a >，所以0d <，21(1)11222n n n d dS na d n n -=+=-，1(1)6n a a n d nd d =+-=-， n n S a >可转化为211622d dn n nd d ->-，即2111622n n n -<-，即213120n n -+<，解得112n <<，而N n *∈，所以n 的最大值为11. 故选：C6．（2022·陕西·延安市第一高二阶段练习（理））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1=1a ,728S =．记。

等差数列及其前n项和讲义解析

等差数列及其前n 项和讲义解析【课前双基巩固】知识聚焦 1.a n -a n-1=da+b 2a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n-m )d (n ,m ∈N *)n(a 1+a n )2na 1+n(n -1)2d2.a p +a q 2a k 等差3.dn+a 1-d 一次函数孤立递增递减常数列d2n 2+(a 1-d2)n 二次函数孤立大小对点演练1.-3 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,则由条件得{a 1+4d =9,2(a 1+2d)=(a 1+d)+6,解得{d =3,a 1=−3.2.-21 [解析] ∵在等差数列{a n }中,a 2=-1,a 6=-5,∴S 7=72(a 1+a 7)=72(a 2+a 6)=72×(-6)=-21. 3.24 [解析] 由等差数列的性质可知S 4,S 8-S 4,S 12-S 8 成等差数列,所以2×(12-4)=4+(S 12-12),解得S 12=24.4.8 [解析] a 3+a 6+a 10+a 13=32,即(a 3+a 13)+(a 6+a 10)=32,根据等差数列的性质得2a 8+2a 8=32,则a 8=8,故m=8.5.7或8 [解析] a n =a 1+(n-1)d=-28+4(n-1)=4n-32.由a n ≤0,得4n-32≤0,即n ≤8,则a 8=0,当n<7时,a n <0,所以前n 项和S n 取得最小值时n=7或8.6.(209,52] [解析] 由题意知数列{a n }满足{a 10>0,a 9≤0,即{-20+9d >0,-20+8d ≤0,所以{d >209,d ≤52,即209<d ≤52. 7.100 [解析] |a 1|+|a 2|+…+|a 20|=(a 1+a 2+…+a 11)-(a 12+a 13+…+a 20)=S 11-(S 20-S 11)=2S 11-S 20,而S 11=11×(10+0)2=55,S 20=10×20+20×(20−1)2×(-1)=10,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|=100.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)将已知条件转化为关于首项a 1和公差d 的方程组,进而求得a 1和d ,然后利用等差数列的通项公式求a 4;(2)首先由a 6=3a 4确定首项a 1与公差d 的关系,然后代入S 10=λa 4即可求得λ的值.(1)B (2)D [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,∵{S 6=24,S 9=63,∴{6a 1+6×52d =24,9a 1+9×82d =63,解得{a 1=−1,d =2,则a 4=a 1+3d=-1+3×2=5. (2)设等差数列{a n }的公差为d ,由a 6=3a 4,得a 1+5d=3 (a 1+3d ),则a 1=-2d ,又S 10=λa 4,所以λ=S 10a 4=10a 1+10×92d a 1+3d=10×(−2d)+10×92d -2d+3d=25.变式题 (1)B (2)A [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则由题意得{a 3=a 1+2d =1,a 5=a 1+4d =4,解得{a 1=−2,d =32,则数列{a n }的前13项和S 13=13a 1+13×122d=91.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,由3a 3=a 6+4得3(a 2+d )=a 2+4d+4,即d=2a 2-4.由S 5<10,得5(a 1+a 5)2=5(a 2+a 4)2=5(2a 2+2d)2=5(3a 2-4)<10,解得a 2<2,故选A.例2 [思路点拨] (1)首先根据等差数列的性质得到a 1+a 10=a 2+a 9=a 3+a 8=a 4+a 7=a 5+a 6=4,然后进行指数与对数运算;(2)若数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,则{Sn n }成等差数列,利用以上性质即可求解;(3)由等差数列的性质知,S 672,S 1344-S 672,S 2016-S 1344成等差数列,由此建立方程可求解.(1)B (2)-2017 (3)C [解析] (1)由等差数列的性质知a 1+a 10=a 2+a 9=a 3+a 8=a 4+a 7=a 5+a 6=4,则2a 1·2a 2·…·2a 10=2a 1+a 2+⋯+a 10=25(a 5+a 6)=25×4,∴log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=log 225×4=20.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,因为Sn n =a 1+12(n-1)d ,所以数列{Sn n }也成等差数列,由S20132013-S20112011=2得该数列的公差为1,因此S 20172017=S 11+(2017-1)×1=-1,故S 2017=-2017.(3)由等差数列的性质知,S 672,S 1344-S 672,S 2016-S 1344成等差数列,则2(S 1344-S 672)=S 672+S 2016-S 1344,即2×(12-2)=2+S 2016-12,解得S 2016=30.变式题 (1)B (2)14924 (3)C [解析] (1)由题意可得a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=5a 7=45,S 3=3a 2=-3,则a 7=9,a 2=-1,则数列的公差d=a 7-a27−2=2,故a 5=a 2+3d=5.(2)因为数列{a n }和{b n }均为等差数列,所以a 2+a 20b7+b 15=a 1+a 21b1+b 21=(a 1+a 21)×212(b 1+b 21)×212=S 21T 21=7×21+221+3=14924.(3)∵{a n } 是等差数列,∴S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,即2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n ),∵S n =3,S 3n =21,∴2(S 2n -3)=3+21-S 2n ,解得S 2n =10,故选C.例3 [思路点拨] (1)对数列{a n }的递推公式进行变换,使其出现a n+1+1与a n +1的关系,即可证明;(2)根据(1)的结论利用等差数列的通项公式求解.解:(1)证明:因为a n+1+1=-2a n -33a n+4+1=a n+13a n+4,所以1an+1+1=3a n+4a n+1=3+1a n+1,所以1a n+1+1-1an+1=3,所以{1a n +1}是首项为1a 1+1=3,公差为3的等差数列.(2)由(1)得1an+1=3n ,所以a n =13n -1. 变式题解:(1)∵a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x+5=0的两个根, ∴a 1=1,a 2=5,∴等差数列{a n }的公差为4, ∴S n =n ·1+n(n -1)2·4=2n 2-n.(2)证明:当c=-12时,b n =Snn+c =2n 2-n n -12=2n ,∴b n+1-b n =2(n+1)-2n=2,b 1=2,∴{b n }是首项为2,公差为2的等差数列.例4 [思路点拨] (1)首先根据条件确定数列的通项公式,然后根据数列各项的符号情况得到不等式组,进而确定n 的值,或求出前n 项和S n 的表达式,利用二次函数的性质求解;(2)根据二次函数图像的对称性来处理数列的最值.(1)D (2)B [解析] (1)方法一:由d=-2,S 3=21,得3a 1+3d=3a 1+3×(-2)=21,解得a 1=9,所以通项公式为a n =9+(n-1)·(-2)=11-2n ,则由{a n =11−2n ≥0,a n+1=11−2(n +1)≤0,解得92≤n ≤112,所以当n=5时,S n取得最大值,故选D.方法二:同方法一可求得a 1=9,因为d=-2,所以S n =9n+n (n -1)2×(-2)=-n 2+10n=-(n-5)2+25,则当n=5时,S n 取得最大值,故选D.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 1<0,S 18=S 36,所以d>0,所以数列{a n }的前n 项和S n =d 2n 2+a 1-d2n 对应的图像开口向上,其对称轴为n=18+362=27,所以当n=27时,S n 取得最小值,故选B.变式题 (1)D (2)B [解析] (1)设等差数列{a n } 的公差为d ,因为a 1<0,a 1+5d a 1+4d =811,所以a 1=-233d ,d>0,所以S n =na 1+n (n -1)2d=d12n 2-496n ,对应图像的对称轴为n=496,整数中8距对称轴最近,所以当S n 取最小值时,n=8,故选D.(2) 由题意可得a 11+a 10a 10<0,由S n 有最大值,可知a 1>0,公差d<0,所以a 10>0,a 11<0,a 10+a 11<0,所以S 19=19a 10>0,S 20=10(a 10+a 11)<0,则使得S n >0的n 的最大值为19.一、填空题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于________．答案 5解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5. 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________．答案－6解析由S 8＝4a 3知：a 1＋a 8＝a 3，a 8＝a 3－a 1＝2d ＝a 7＋d ，所以a 7＝d ＝－2.所以a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.3．在等差数列{}a n 中，a 2＝2，a 10＝15，则a 18的值为________．答案 28解析 ∵{}a n 为等差数列，∴a 2＋a 18＝2a 10，∴a 18＝2a 10－a 2＝28.4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．答案 2解析 ∵a 1＋a 5＝10＝2a 3，∴a 3＝5. 故d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于________．答案 2解析由已知得S 3＝3a 2＝12，即a 2＝4，∴d ＝a 3－a 2＝6－4＝2. 6．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，则S 7＝________．答案 28解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5，∴a 3＋a 4－a 5＋a 6＝a 3＋a 5＝2a 4＝8，∴a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28.7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．答案 8解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16. ∴a 7－12a 8＝2a 7－a 82＝a 62＝8.8．已知等差数列{a n }满足a 1>0,5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为________．答案 21解析由5a 8＝8a 13得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )⇒d ＝－361a 1，由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－361a 1≥0，得n ≤643＝2113，∴数列{a n }前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n 取最大值时，n 的值为21.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.11．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．答案 5解析由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020， ∴a 1＝5. 二、解答题12．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .解析 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .13．等差数列{a n }满足a 3＝3，a 6＝－3，求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值.解析法一由a 3＝3，a 6＝－3得，⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋8n ＝－(n －4)2＋16.∴当n ＝4时S n 有最大值16.法二由a 3＝3，a 6＝－3得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a n ＝9－2n .则n ≤4时，a n >0，当n ≥5时，a n <0，故前4项和最大且S 4＝4×7＋4×32×(－2)＝16.。

4.2.2等差数列的前n项和公式 (解析版)

4.2.2等差数列的前n 项和公式知识点一.前n 项和1．数列的前n 项和：对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2S n ＝na 1＋n （n －1）2d 3、等差数列前n 项和公式的推导对于公差为d 的等差数列，S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，①S n ＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －1)d ]，②由①＋②得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 1＋a n )＋…＋(a 1＋a n )n 个＝n (a 1＋a n )，由此得等差数列前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 得S n ＝na 1＋n (n －1)2d .知识点二．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ．(4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．知识点三．等差数列与函数的关系1.通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．2.前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 21是关于n 的二次函数且常数项为0.知识点四．两个常用结论1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1.2.两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a n b n.【注意】1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数．2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．题型1等差数列前n 项和基本量的计算【例题1】(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n【解析】(1)方法一：设等差数列{a n }的公差为d 4＝0，5＝5，a 1＋4×32d ＝0，1＋4d ＝5，解得1＝－3，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d 4＝0，5＝5，a 1＋4×32d ＝0，1＋4d ＝5，1＝－3，＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.【变式1-1】1．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 9=54，a 11+a 12+a 13=27，则S 16=（）A ．120B ．60C ．160D ．80【答案】A【分析】首先根据等差数列通项公式和前n 项和公式将题干条件中的等式转化成基本量a 1和d ，然后联立方程组解出a 1和d ，最后根据公式求解S 16即可.【详解】∵a n 为等差数列，∴S 9=9a 1+9×82d =9a 1+36d =54，a 11+a 12+a 13=a 1+10d +a 1+11d +a 1+12d =3a 1+33d =27，9a 1+36d =543a 1+33d =27，解得a 1=307d =37.S 16=16a 1+16×152d =16×307+120×37=120.故选：A.【变式1-1】2．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）设等差数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 3=11，a 5=19，则S 10=（）A ．310B ．210C ．110D ．39【答案】B【分析】根据等差数列的公差以及求和公式，可得答案.【详解】由等差数列a n ，则公差d =a 5-a 35-3=19-112=4，即S 10=5×a 3+a 8=5×a 3+a 3+5d =5×11×2+5×4=5×42=210.故选：B.【变式1-1】3．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 8=6,S 21=0，则a 1的值为（）A ．18B ．20C ．22D ．24【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式代入求解即可.【详解】解：由题意得：设等差数列的通项公式为a n =a 1+(n -1)d ，则S n =na 1+n (n -1)2da 8=6S 21=0⇒a 1+7d =721a 1+20×212d =0解得：d =-2a 1=20故选：B 【变式1-1】4．（2023·上海·高三专题练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =1+(n −1)d ，5a 2=a 8，则S n =___________.【答案】n 2【分析】根据通项公式列出方程求出d ，利用前n 项和公式求解.【详解】因为a n =1+(n −1)d ，5a 2=a 8所以5(1+d )=1+7d ⇒d =2，所以{a n }是以2为公差的等差数列，所以S n =n (1+2n −1)2=n 2，故答案为：n 2【变式1-1】5.(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S 5－5S 3＝135，则数列{a n }的公差d ＝________．【解析】因为3S 5－5S 3＝135，所以a 1＋5×42d a 1＋3×22d135，所以15d ＝135，解得d ＝9.【变式1-2】1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝()A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】选C.【解析】设{an }的公差为d ，1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，a 1＋7×62d ＝14a 1＋13d ＝2，1＋3d ＝2，1＝－4，＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C.【变式1-2】2．已知数列{a n}(n∈N＋)是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．【答案】16【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)·(a1＋4d)＋a1＋7d＝a21＋4d2＋5a1d ＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.【变式1-2】3.(2017·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为()A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设等差数列{a n}的公差为d4＋a5＝24，6＝48，1＋3d＋a1＋4d＝24，a1＋6×52d＝48，即a1＋7d＝24，a1＋5d＝16，解得d＝4.【变式1-2】4．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．【答案】25【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.【变式1-2】5．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S4＝4S2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋9＝180(m∈N*)，求m的值．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1，又a1＝1，所以d＝2，所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．(2)a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋9＝180可化为10a m＋45d＝20m＋80＝180.解得m＝5.【变式1-2】6.(2021·新高考卷Ⅱ)记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求使S n＞a n成立的n的最小值．【解析】(1)由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，所以a3＝0，设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，数列的通项公式为a n＝a3＋(n－3)d ＝2n－6.(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则S n＝n×(－4)＋n（n－1）2×2＝n2－5n，则不等式S n＞a n即n2－5n＞2n－6，整理可得(n－1)·(n－6)＞0，解得n＜1或n＞6，又n为正整数，故n的最小值为7.题型2等差数列前n项和Sn与等差中项的关系2n-1n【例题2-1】等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝20，则S9＝() A．27B．36C．45D．54【答案】选B.【解析】依题意a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝20，a5＝4，所以S9＝a1＋a92×9＝9a5＝36.【变式2-1】1．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝() A．2B．7C．14D．28【答案】选C.【解析】因为2＋a5＝a6＋a3，所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d.解得a4＝2，所以S7＝7（a1＋a7）2＝7a4＝14.【变式2-1】2．（2023·全国·高三专题练习）设公差不为0的等差数列a n的前n项和为S n，已知S9=3a3+a5+a m，则m=（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为S9=3a3+a5+a m，又S9=9a5，所以9a5=3a3+a5+a m，所以a3+a5+ a m=3a5，即a3+a m=2a5，设等差数列a n的公差为d，则a1+2d+a1+(m−1)d=2(a1+ 4d)，所以(m+1)d=8d，又d≠0，所以1+m=8，所以m=7．故选：C.【变式2-1】3．（2021·陕西渭南·一模（理））已知数列a n为等差数列，其前n项和为S n，若S15=90，则a8=（）A．12B．6C．4D．3【答案】B【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式即可求出答案.【详解】因为数列a n为等差数列，所以S15=15×2a82=15a8=90，所以a8=6.故选：B.◆类型2a n bn =S2n−1 T2n−1【例题2-2】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n、T n，且S n Tn =5n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于（）A．10724B．724C．14912D．1493【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n、T n，且S n Tn =5n+2n+3，所以a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=a1+a21 2×21b1+b21 2×21=S21T21=5×21+221+3=10724.故选：A【变式2-2】1．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列a n 和b n 的前n 项的和分别是S n 和T n ，且an b n=n 2n +1，则S 11T 11=（）A ．1221B ．1123C ．613D ．1223【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项的和的公式即可转化成a n b n=n2n +1,进而求解.【详解】因为a n 和b n 是等差数列,故S11T 11==a 6b 6=613故选:C【变式2-2】2．（2022·天津·高二期末）若等差数列a n ，b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，满足S n T n=2n −13n +1，则a4b 4=_______.【答案】1322【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前n 项和公式计算可得；【详解】解：依题意可得a4b 4=2a 42b 4=a 1+a 7b 1+b 7=21+a 77b 1+b 7=S 7T 7=2×7−13×7+1=1322；故答案为：1322【变式2-2】3．（2022·全国·高三专题练习）已知S n ，T n 分别是等差数列a n ，b n 的前n 项和，且S n T n=3n +1n +1,n ∈N ∗，则a 10b3+b 18+a 11b6+b 15=______．【答案】6121【答案】利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求得.【详解】因为b n 为等差数列，所以b 3+b 18=b 6+b 15，所以a 10b3+b 18+a 11b6+b 15=a 10+a 11b 6+b 15=a 1+a20b 1+b 20=12×a 1+a 20×2012×b 1+b 20×20=S 20T 20=3×20+120+1=6121.故答案为：6121【变式2-2】4．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．【答案】1941【解析】∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.【变式2-2】5.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －13n －2，则a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9________．【答案】2943【解析】a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9＝a 11＋a 52b 8＝2a 82b 8＝a 8b 8，又a 8b 8＝S 2×8－1T 2×8－1＝S 15T 15＝2×15－13×15－2＝2943.【变式2-2】6．（2022·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列a n ,b n ，其前n 项和分别为S n ,T n .（1）若a n b n=2n −13n +1，则S 11T 11=___________.（2）若S n T n=2n −13n +1，则a 5b 4=___________.【答案】11191722【分析】利用S11T 11=11a 611b 6可得填空1的答案；若SnT n=2n −13n +1=2n 2−n 3n 2+n，则可设S n =2n 2−n k ，T n =3n 2+n k ，然后可计算a5b 4的值.【详解】若a n b n=2n −13n +1，则S 11T 11=11a 611b 6=2×6−13×6+1=1119；若S n T n=2n −13n +1=2n 2−n 3n 2+n，则可设S n =2n 2−n k ，T n =3n 2+n k 所以a 5=S 5−S 4=45k −28k =17k ，b 4=T 4−T 3=52k −30k =22k ，所以a 5b 4=1722，故答案为：1119；1722【变式2-2】7．（2023·全国·高三专题练习）设公差不为零的等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 4=2a 5，则S7S 4=（）A ．74B ．-1C ．1D ．54【答案】C【分析】利用等差中项2a 5=a 4+a 6，2a 6=a 5+a 7及等差数列前n 项和的性质即可求解.【详解】解：在等差数列a n 中，2a 5=a 4+a 6，a 4=2a 5，故a 6=0，又2a 6=a 5+a 7，故a 7=−a 5，则S 7=S 4+a 5+a 6+a 7=S 4，故S7S 4=1.故选：C.【变式2-2】8．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列a n 与等差数列b n 的前n 项和分别为S n，T n.若对于任意的正整数n都有S n Tn =2n+13n−1，则a8b9=（）A．3552B．3150C．3148D．3546【答案】B【分析】先设S n=2n+1nt，T n=3n−1nt，由a8=S8−S7，b9=T9−T8直接计算a8b9即可.【详解】设S n=2n+1nt，T n=3n−1nt，t≠0.则a8=S8−S7=136t−105t=31t，b9= T9−T8=234t−184t=50t，所以a8b9=3150.故选：B.【变式2-2】9．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列a n和b n的前n项和分别为A n和B n，且A n Bn =2n+1n+4，则b2+b8a3+a5+a7=（）A．43B．3839C．1319D．2657【答案】D【分析】根据等差数列性质与前n项公式化简即可求解．【详解】由b2+b8a3+a5+a7=b1+b93a1+a9=23⋅B9A9=23×9+42×9+1=2657．故选：D【变式2-2】10．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）等差数列a n和b n的前n项和分别记为S n与T n，若S2n Tn =6n3n+4，则a3+a12b4=（）A．725B．1425C．2125D．4225【答案】D【分析】根据等差数列的性质，将a3+a12b4变形为数列的前n项和的比的形式，即可求得答案.【详解】a n和b n为等差数列，故a3+a12b4=a1+a1412×2b4=142(a1+a14)72(b1+b7)=S14T7=6×73×7+4=4225,故选：D.【变式2-2】11．两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n，B n，且满足A nB n ＝7n＋45n＋3，则使得a nb n为正整数的n的个数是() A．5B.4C.3D.2【解析】选A.因为a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＋1＝2，3，4，6，12，即n ＝1，2，3，5，11时，an b n为正整数．故选A.题型3等差数列前n 项和S n 的性质k 2k k 3k 2k 列【例题3-1】（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10=20，S 30=90，则S 20=___________【答案】50【分析】由等差数列片段和的性质知S 10,S 20−S 10,S 30−S 20成等差数列，再由等差中项的性质求结果.【详解】由题设S 10,S 20−S 10,S 30−S 20成等差数列，所以2(S 20−S 10)=S 10+S 30−S 20，则3S 20=3S 10+S 30=150，所以S 20=50.故答案为：50【变式3-1】1.等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为()A ．130B ．170C ．210D ．260【答案】C【解析】利用等差数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n－S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.【变式3-1】2．（2022·江西·高三开学考试）等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 4+a 5+a 6=6，则S 7=______．【答案】7【分析】方法一：设出公差，利用题干条件得到a 5=2，进而求出公差，再求出首项，利用求和公式进行求解；方法二：利用题干条件得到a 5=2，再利用求和公式的性质进行求解.【详解】方法一：设公差为d ，由a 4+a 5+a 6=3a 5=6，∴a 5=2，又a 3=0，∴d =a 5−a 35−3=1，a 1=a 3−2d =−2，∴S 7=7a 1+7×6d 2=7．方法二：由已知得a 4+a 5+a 6=3a 5=6，∴a 5=2，又a 3=0，所以S 7===7．故答案为：7【变式3-1】3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于()A ．63B ．45C ．36D ．27【答案】B【解析】∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【变式3-1】4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则13141516a a a a +++=()A ．12B ．8C ．20D ．16【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==，由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列又4848,20812,S S S =-=-=∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选：C ．【变式3-1】5．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S k =2，S 2k =8，则S 4k =______．【答案】32【分析】由等差数列a n 前n 项和的性质，可得S k ，S 2k −S k ，S 3k −S 2k ，S 4k −S 3k 成等差数列，进而即得.【详解】由等差数列a n 前n 项和的性质，可得S k ，S 2k −S k ，S 3k −S 2k ，S 4k −S 3k 成等差数列，∴2S 2k −S k =S k +S 3k −S 2k ，解得S 3k =18，∴2，6，10，S 4k −18成等差数列，可得2×10=6+S 4k −18，解得S 4k =32.故答案为：32.【变式3-1】6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列a n 中，其前n 项和为S n ，若S 21:S 7=6:1，则S 28:S 14=（）A ．16:1B ．6:1C ．12:1D ．10:3【答案】D【分析】根据等差数列前n 项和的性质求解即可【详解】由等差数列前n 项和的性质可得，S 7,S 14−S 7,S 21−S 14,S 28−S 21成等差数列，设S 7=s ，则S 21=6s ，即s ,S 14−s ,6s −S 14成等差数列，故2S 14−s =s +6s −S 14，解得S 14=3s ，故S 7,S 14−S 7,S 21−S 14,S 28−S 21即s ,2s ,3s ,4s ，故S 28−6s =4s ，S 28=10s ，故S 28:S 14=10:3故选：D【变式3-1】7.n S 是等差数列n a }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 为（）A ．310B ．13C ．18D ．19【答案】A【解析】设36,3S a S a ==，根据36396129,,,S S S S S S S ---是一个首项为a ，公差为a 的等差数列，各项分别为,2,3,4a a a a ，故6123323410S a S a a a a ==+++.故选：A .【变式3-1】8．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列a n 的前4项和为32，前8项和为56．(1)求S12、S16的值；(2)通过计算观察，寻找S4、S8、S12、S16之间的关系，你发现什么结论？(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．【答案】(1)S12=72，S16=80(2)S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12成等差数列．(3)已知a n是等差数列，前n项和为S n，则S t，S2t−S t，S3t−S2t，…，S kt−S k−1t，…k,t∈N∗成等差数列；证明见解析．【分析】（1）设{a n}公差为d，由等差数列前n项和公式列方程组求得a1和d，再计算出S12，S16；（2）由（1）求出S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12后可得结论；（3）根据等差数列的定义证明．（1）设{a n}公差为d，则S4=4a1+6d=32S8=8a1+28d=56，解得a1=354d=−12，S12=12a1+66d=12×354+66×(−12)=72，S16=16a1+120d=16×354+120×(−12)=80；（2）由（1）得S4=32，S8−S4=24，S12−S8=16，S16−S12=8，所以S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12成等差数列；（3）设{a n}公差为d，则S kt−S(k−1)t=(a1+a2+⋯+a kt)−(a1+a2+⋯+a(k−1)t)= a(k−1)t+1+a(k−1)t+2+⋯+a kt，同理S(k+1)t−S kt=a kt+1+a kt+2+⋯+a(k+1)t，所以(S(k+1)t−S kt)−(S kt−S(k−1)t)=(a kt+1−a(k−1)t+1)+(a kt+2−a(k−1)t+2)+⋯+(a(k+1)t−a kt)=td+td+⋯+td=t2d为常数，所以S t，S2t−S t，S3t−S2t，…，S kt−S k−1t，…k,t∈N∗成等差数列．◆类型2数列{a n}是等差数列⇔S n＝an2＋bn(a，b为常数)⇔为等差数列【例题3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝﹣2018，S20192019−S2*******=6，则S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【分析】根据等差数列前n 项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，∴数列{S n n}是等差数列．∵a 1＝﹣2018，S 20192019−S 20132013=6，∴数列{S n n}的公差d =66=1，首项为﹣2018，∴S 20202020=−2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C ．【变式3-2】1．（2022·河北·河间一中高三开学考试）在等差数列a n 中，a 1=−2021，其前n 项和为S n ，若S 1010−S 88=2，则S 2021等于（）A ．2021B ．−2021C ．−2020D ．2020【答案】Bd =1，结合等差数列通项公式可求得S 20212021，进而得到结果.【详解】∵数列a n 为等差数列，∴设其公差为d ，又S1010−S 88=2d =2，解得：d =1，又S11=a 1=−2021，∴S 20212021=−2021+2020=−1，∴S 2021=−2021.故选：B.【变式3-2】2.在等差数列{a n }中，a 1＝－2018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2018的值等于()A ．－2018B ．－2016C ．－2019D ．－2017【答案】A【解析】由题意知，数列{S n n }为等差数列，其公差为1，∴S 20182018＝S 11＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1.∴S 2018＝－2018.【变式3-2】3．（2022·浙江·高二阶段练习）（多选）若等差数列a n 的公差为d ，前n 项和为S n ，记b n =S nn，则（）A ．数列b n 是公差为12d 的等差数列B ．数列b n 是公差为2d 的等差数列C ．数列a n +b n 是公差为32d 的等差数列D．数列a n−b n是公差为32d的等差数列【答案】AC【分析】利用等差数列的定义可判断各选项的正误.【详解】由已知可得b n=S n n=2n=a1+a n2，对于AB选项，b n+1−b n=a n+1+a12−a n+a12=a n+1−a n2=d2，所以，数列b n是公差为12d的等差数列，A对B错；对于C选项，a n+1+b n+1−a n+b n=a n+1−a n+b n+1−b n=d+d2=3d2，所以，数列a n+b n是公差为32d的等差数列，C对；对于D选项，a n+1−b n+1−a n−b n=a n+1−a n−b n+1−b n=d−d2=d2，所以，数列a n−b n是公差为12d的等差数列，D错.故选：AC.【变式3-2】4．（2021·全国·高二专题练习）等差数列{a n}的通项公式是a n＝2n＋1，其前n项和为S n10项的和．【答案】75【分析】先求得S n，然后求得S n n，进而求得数列10项的和.【详解】a n=2n+1,a1=3,S n=3+2n+12⋅n=n+2⋅n，所以S n n=n+2是首项为1+2=3，公差为1的等差数列，其前10项和为10×3+10×92×1=75.【变式3-2】5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列a n的前n项和为S n，S10=30，S20=70，则S110=___________.【答案】880【分析】设等差数列a n的公差为d为等差数列，且公差为d2，求出5d的值，可求得S110110的值，即可得解.【详解】设等差数列a n的公差为d，∵S n n=2n=a1+a n2，则S n+1n+1−S n n=a n+1+a12−a n+a12=d2，为等差数列，且公差为d2，所以，S2020−S1010=72−3=12=10×d2=5d，故S110110=S1010+100×d2=3+10×5d=3+10×12=8，所以，S110=880.故答案为：880.【变式3-2】6．（2021·安徽·高三阶段练习（理））在等差数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，若S6−3S2=24，则S10=_____.【答案】100d，进而得S66−S22=4d=4，故S n n=n，进而得S n=n2，再计算S10即可.【详解】∵数列a n为等差数列，∴设其公差为d，又S66−S22=4d=4，解得：d=1，又∵S11=a1=1，∴S n n=n，即S n=n2∴S10=100故答案为：100.【变式3-2】7．（2021·全国·高二课时练习）设等差数列{a n}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.【答案】4是等差数列，从而可得S m m＋S m+2m+2＝2S m+1m+1，然后将Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，代入可求出m的值【详解】因为Sn是等差数列{an}的前n所以S m m＋S m+2m+2＝2S m+1m+1，即−2m＋3m+2＝0，解得m＝4.故答案为：4◆类型3奇偶数项的和为()A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．5a1+20d=15，5a1+25d=30，d=3，选B【变式3-3】1.等差数列{a n}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．【答案】10【解析】因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝a n＋1＝S2n＋12n＋1，即132－120＝132＋1202n＋1，解得n＝10.【变式3-3】2.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．【答案】117【解析】设等差数列{a n}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋12＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n a2＋a2n2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．【变式3-3】3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列a n共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n+1的值为（）．A．30B．29C．28D．27【答案】B【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有n+1项，其和为a1+a2n+12⋅n+1=2a n+12⋅n+1=290，∴n+1a n+1=290．偶数项共有n项，其和为a2+a2n2⋅n=2a n+12⋅n=na n+1=261，∴a n+1=290−261=29．故选：B．【变式3-3】4．（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列a n的项数n为奇数，前三项与最后三项这六项之和为78，所有奇数项的和为65，则这个数列的项数n 为（）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】A【分析】由等差数列的性质与求和公式求解即可【详解】由已知，a 1+a 2+a 3+a n +a n −1+a n −2=78，所以a 1+a n =26，所有奇数项的和为a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a n =a 1+a n22==65，于是可得n =9.故选：A.【变式3-3】5．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列a n 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．【答案】29【分析】由题意可得S 奇S偶=n +1n −1=76，求出n =13，再利用等差数列求和公式的性质可求得答案【详解】因为n 为奇数，所以S奇S 偶=n +1n −1=76，解得n =13．所以S 13=13a 7=377，所以a 7=29．故所求的中间项为29．故答案为：29题型4等差数列前n 项和S n 的最值【例题4-1】已知数列{a n }中，,744,2511-==+n n a a a 若其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为（）A.15B.750C.4765 D.2705【解析】由4a n+1=4a n -7，知数列{a n }为等差数列，公差d=-74，{a n }为单调递减数列，其通项公式为a n =25+（n-1)×（-74）=-74n +1074.当a n ≥0且a n+1<0时，S n 最大，得n≤1077且n>1077，所以n=15，即数列{a n }的前15项均为正值，第16项开始为负值，故S 15最大，S 15=15×25＋15×142×（−74）=7654，故选C.【变式4-1】1．（2018·河南信阳·高二期中（文））数列{an}中，如果a n =49﹣2n ，则Sn 取最大值时，n 等于（）A ．23B ．24C ．25D ．26【答案】B【分析】由题意，根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意，可知数列a n 为等差数列，则S n ==48n −n 2=−n −242+242，则当n =24时，S n 取最大值.故选：B.【变式4-1】2．（2022·北京·高三开学考试）等差数列a n 的前n 项和为S n .已知a 1+2a 3=−1，S 4=0.则S n 的最小值为（）A ．−4B ．−3C ．−2D ．−1【答案】A【分析】根据题意，列方程求得d =2,a 1=−3，再求解S n 的最小值即可.【详解】解：设等差数列a n 的公差为d ，因为等差数列a n 中，a 1+2a 3=−1，S 4=0，所以a 1+2a 3=3a 1+4d =−1S 4=0=4a 1+6d，解得d =2,a 1=−3，所以a 1=−3,a 2=−1,a 3=1，且n ≥3时a n >0，所以S n 的最小值为S 2=a 1+a 2=−4.故选：A【变式4-1】3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=-7，S 4=-32．(1)求{a n }的公差d ；(2)求S n 的最小值．【答案】(1)d =2(2)-36【分析】（1）依题意得到方程组，解得即可；（2）由（1）求出a n 的通项公式及S n ，再根据二次函数的性质计算可得.（1）解：依题意得a 3=a 1+2d =-7S 4=4a 1+6d =-32，解得a 1=-11d =2，所以{a n }的公差d =2；（2）解：由（1）知a n =-11+2(n -1)=2n -13，所以S n =n (a 1+a n )2=n (-11+2n -13)2=n 2-12n =n -62-36，由二次函数性质得，当n =6时，(S n )min =-36．【变式4-1】4.已知数列{}n a 中1116,2(*)n n a a a n N +=-=-∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 最大时，n 的值为（）A ．8B ．7或8C ．8或9D ．9【答案】C 【解析】12n n a a +-=-，∴数列{}n a 是等差数列，并且公差为2-，()()21162172n n n S n n n -=⨯+⨯-=-+21728924n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，对称轴是178.52n ==，*n N ∈，所以当8n =或9时，n S 取得最大值.故选：C ◆类型2相邻两项异号【例题4-2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为()A ．6B ．7C ．12D ．13【答案】选C.【解析】因为在等差数列{a n }中a 1＞0，a 6a 7＜0，所以a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，所以S 12＞0，S 13＜0，所以满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.【变式4-2】1．（2022·浙江·高一期中）若等差数列满足a 7+a 8+a 9>0，a 7+a 10<0，则当a n 的前n 项和最大时，n 的值为________.【答案】8【分析】利用等差数列的性质可得3a8=a7+a8+a9>0,a8+a9=a7+a10<0，分析即得解【详解】∵等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0∴3a8=a7+a8+a9>0,a8+ a9=a7+a10<0∴a8>0,a9<0∴d=a9−a8<0∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{a n}的前n项和最大时n的值为8故答案为：8【变式4-2】2．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）（多选）已知等差数列a n 中，a3+a9=0，公差d<0，则使其前n项和S n取得最大值的自然数n是（）A．4B．5C．6D．7【答案】BC【分析】由等差数列a n中，a3+a9=0可求出a6=0，从而判断a5>0，a7<0，即可求得答案.【详解】∵在等差数列a n中，a3+a9=0，∴a6=0.又公差d<0，∴a5>0，a7<0，∴使其前n项和S n取得最大值的自然数n是5或6,故选：BC.【变式4-2】3．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和．若S10<0,a3+a7>0，则当S n取最大值时，n的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和公式及等差数列下角标的性质即可求解.=5(a1+a10)=5(a5+a6)<0，所以a5+a6<0，又a3+a7=【详解】因为S10=10(a1+a10)22a5>0，所以a5>0，所以a6<0，则(S n)max=S5.故选:C.【变式4-2】4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4045>0，S4044<0，则S n取最小时，n=（）A．4045B．4044C．2023D．2022【答案】D【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得a2023>0，a2022+a2023<0，进而得出结论．【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4045>0，S 4044<0，∴4045(a 1+a 4045)2=4045×2a 20232>0，4044(a 1+a 4044)2=2022(a 2022+a 2023)<0，∴a 2023>0，a 2022+a 2023<0，∴a 2023>0，公差d >0，则当n =2022时S n 最小．故选：D【变式4-2】5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 100＞0，S 101＜0，则满足a n a n +1＜0的n ＝（）A ．50B ．51C ．100D ．101【答案】A【解析】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <，则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =；故选：A【变式4-2】6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若190S >，200S <，则11S a ，22S a ，…，2020S a 中最大的是（）A ．88S a B ．99S a C ．1100S a D ．1111S a 【答案】C 【解析】由119191019()1902a a S a +==>，得到100a >；由12020101120()10()02a a S a a +==+<，得到110a <，∴等差数列{}n a 为递减数列，且1231011120a a a a a a >>>>>>>>，12100S S S <<<<,1011121920210S S S S S S >>>>>>>>,当10n ≤时，0,0n n S a >>，且10S 最大，10a 最小，所以110S a 最大；当1119n ≤≤时，0,0n n S a ><，此时0nnS a <；当20n =时，20200,0S a <<，且20100S S <<，20100a a >>，所以202010202010S S S a a a =<，综上所述，11S a ，22S a ，…，2020S a 中最大的是1100S a .故选：C ．【变式4-2】7.在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（）A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C 【解析】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜，所以可得5600a a ＞，＜．这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0，，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．◆类型3利用前n 项和的函数特征（二次函数）【例题4-3】在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 11，则S n 取最大值时n 的值是________．【答案】7或8【解析】设S n ＝An 2＋Bn.由a 1＞0，S 4＝S 11可知，d ＜0，则d2＝A ＜0.易知{S n }是y ＝Ax 2＋Bx 图象上一系列孤立的点的纵坐标，y ＝Ax 2＋Bx 的图象开口向下，对称轴是直线x ＝4＋112＝152.故S n 取最大值时n 的值是7或8.【变式4-3】1.在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11.则当n 为多少时，S n 最大？【解析】方法一：设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.所以S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．方法二：易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知A ＝－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．【变式4-3】2.在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值．【解析】由S 17＝S 9，得25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，解得d ＝－2，法一公式法]S n ＝25n ＋nn －12×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169.法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0n ＝25－2n －1≥0，n ＋1＝25－2n ≤0，≤1312，≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.【变式4-3】3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d221的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.【变式4-3】4．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 2+a 5=24，S 3=S 9，求S n 的最大值．【答案】72【分析】由题意可求出数列的首项和公差，即可求得数列的S n ，结合二次函数性质，求得答案.【详解】解法一（函数法）：等差数列a n 中，由S 3=S 9，得a 4+a 5+⋅⋅⋅+a 9=0，则a 6+a 7=0．又a 2+a 5=24，设数列a n 的公差为d ，可得a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24，解得a 1=22d =−4，所以S n =−2n 2+24n =−2n −62+72，故当n =6时，S n 有最大值，为72．解法二（通项变号法）：由S 3=S 9，得a 4+a 5+⋅⋅⋅+a 9=0，则a 6+a 7=0，又a 2+a 5=24，可得a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24，解得a 1=22>0d =−4<0，故结合a 6+a 7=0，可知数列a n 的前6项为正，从第7项开始为负，所以当n =6时，S n 有最大值，且最大值为S 6=3a 1+a 6=3a 2+a 5=72．【变式4-3】5．（2022·全国·高二课时练习）设a n 为等差数列，a 1=13，且前3项和与前11项和相等．问：前多少项和最大？并求前n 项和的最大值．【答案】前7项和最大，最大值为49【分析】先根据已知条件求出等差数列的公差，再表示出求和公式，配方后利用二次函数的性质可求得结果.【详解】设等差数列a n 的公差为d ，因为a 1=13，且前3项和与前11项和相等，所以3×13+3×22d =11×13+11×102d ，解得d =−2，所以前n 项和为S n =na 1+n (n −1)2d =13n +n (n −1)2×(−2)=−n 2+14n =−(n −7)2+49，所以当n =7时，前n 项和最大为49，◆类型4S n >0和S n <0问题【例题4-4】若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．【答案】405【解析】由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和S n<0的最大自然数n＝405.【变式4-4】1.在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则满足S n<0的n的最大值为________．【答案】19【解析】因为a10<0，a11>0，且a11>|a10|，所以a11>－a10，a1＋a20＝a10＋a11>0，所以S20＝20a1＋a202>0.又因为a10＋a10<0，所以S19＝19×a10＋a102＝19a10<0，故满足S n<0的n的最大值为19.【变式4-4】2.已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a1<0，a10·a11<0，且数列{a n}的前n项和S n 有最大值，那么S n取得最小正值时n等于（）A．1B．20C．10D．19【答案】D【解析】因为等差数列的前n项和有最大值，故可得d<0因为a9+3a1<0，故可得a9+a10+a11+a12<0，2(a10+a11)<0,a10+a11<0又因为a10·a11<0，故可得a10>0,a11<0又因为S n=19a n>0，S20=10(a10+a11)<0，故S n取得最小正值时n等于19.故选：D.【变式4-4】3．（2022·全国·高一专题练习）等差数列a n的前n项和为S n，公差为d，已知a1<0且2a1+7d=0．则使S n>0成立的最小正整数n的值为______．【答案】9【分析】先由2a1+7d=0求得d=−27a1，由S n>0求得n的取值范围，从而求得正确答案.【详解】因为2a1+7d=0，d=−27a1，所以S n=na1=−a17n2+87a1n，又a1<0，由S n=−a17n2+87a1n>0，可得n2−8n=n n−8>0，即n>8，所以使S n>0成立的最小正整数n的值为9.故答案为：9【变式4-4】4．(2022·广东韶关一模)设S n为等差数列{a n}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式S n＜0成立的最小整数n＝________．【答案】613【解析】根据{a n }为等差数列，且a 6＋a 7＝1，得S 12＝6(a 6＋a 7)＝6；若a 7＜0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以使不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝13.题型5等差数列含有绝对值的求和【例题5】在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．【答案】60【解析】由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.【变式5-1】1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=−3a 3,S 3=−9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求|S n |的最小值，以及此时n 的值.【答案】(1)a n =4n −11.(2)|S n |的最小值及对应n 均为4.【分析】（1）设公差，由已知结合等差数列通项公式、前n 项和公式求基本量，写出通项公式即可.（2）由{a n }的前n 项和公式，根据|S n |的非负性质，易知最小值出现在S n 零点附近的自然数n 处，代入相应n 值计算即可.(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意，{a 1+d =−3(a 1+2d )3a 1+3d =−9,，解得a 1=−7,d =4，∴a n =−7+4(n −1)=4n −11.(2)由（1）知，S n =n (−7+4n −11)2=n (2n −9)，由f (x )=x (2x −9)的零点为0和92，∴|f (x )|的最小值是靠近零点处的函数值，又|S 1|=7,|S 4|=4,|S 5|=5，∴当n =4时，|S n |取得最小值为4.【变式5-1】2．（2022·全国·高二课时练习）记S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5=−35，S 7=−21.(1)求{a n}的通项公式，并求S n的最小值；(2)设b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n.【答案】(1)a n=4n−19，-36；(2)T n=17n−2n2,n≤4,2n2−17n+72,n≥5.【分析】（1）求出a n=4n−19，再求出n=1，2，3，4时a n<0，n≥5时，a n>0，即得解；（2）对n分n≤4和n≥5两种情况讨论得解.（1）解：设{a n}的公差为d，则5a1+5×42d=−35，7a1+7×62d=−21，∴a1=−15，d=4，∴a n=−15+4(n−1)=4n−19.由a n=4n−19≥0得，n≥194，∴n=1，2，3，4时a n<0，n≥5时，a n>0，∴S n的最小值为S4=4a1+4×32d=−36.（2）解：由(1)知，当n≤4时，b n=|a n|=−a n;n≥5时，b n=|a n|=a n，S n=na1+n(n−1)2d=2n2−17n，当n≤4时，T n=−S n=17n−2n2.当n≥5时，T n=S n−2S4=2n2−17n−2×(−36)=2n2−17n+72，∴T n= 17n−2n2,n≤4,2n2−17n+72,n≥5.【变式5-1】3．（2021·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二期末）在①a1=−8,a2=−7,a n+1=ka n+1n∈N∗,k∈R②若{a n}为等差数列，且a3=−6,a7=−2③设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=12n2−∈N∗．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答(1)求数列{a n}的通项公式(2)求数列{a n}的前n项和为S n的最小值及n的值(3)记T n=a1+a2+a3+...+a n，求T20【答案】(1)a n=n−9(2)当n=8或n=9时，S n取得最小值为−36.(3)102【分析】（1）选①结合等差数列的定义求得a n；选②通过求a1,d来求得a n；选③利用a n= S1,n=1S n−S n−1,n≥2求得a n.（2）由a n≤0求得S n的最小值以及对应n的值.（3）结合等差数列前n项和公式求得T20.。

专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)(解析版)

专题6.2 等差数列及其前n 项和1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d.考点一等差数列基本量的运算【典例1】【2019年高考全国I 卷理数】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =- B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。

专题7.2 等差数列及其前n项和(讲)(解析版)

专题7.2 等差数列及其前n 项和【考纲解读与核心素养】1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；2.了解等差数列与一次函数.3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；4.会用数列的等差关系解决实际问题.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 6.高考预测：（1）利用方程思想进行基本量的计算. （2）等差、等比数列的综合问题. 7.备考重点:(1)方程思想在数列计算中的应用;(2)等差数列的通项公式、前n 项和公式的综合应用.【知识清单】知识点1．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．知识点2．等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 知识点3．等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，错误!未找到引用源。

等差数列及其前n项和(解析版)

等差数列及其前n 项和一、学习目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．二、知识讲解知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝通项公式的推广：a n ＝ (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．三、例题辨析考点一等差数列基本量的运算【典例1】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。

全国文数第24课等差数列及其前n项和

第24课等差数列及其前n 项和普查讲24 等差数列及其前n 项和1．等差数列中基本量的求解(1)(2017全国Ⅰ，5分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( C )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知，a 4＋a 5＝a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，即2a 1＋7d ＝24；S 6＝6a 1＋6×52d ＝48，即2a 1＋5d ＝16.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，①2a 1＋5d ＝16.②①－②，得2d ＝8，∴d ＝4.(2)(2019改编，5分)已知{a n }为等差数列，且a 1949＝2019，a 2019＝1949，则a 3968＝ 0 ．解析：(法一)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1948d ＝2019，a 1＋2018d ＝1949，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3967，d ＝－1.∴a 3968＝a 1＋3967d ＝3967＋3967×(－1)＝0. (法二)由a 1949＝2019，a 2019＝1949，得d ＝2019－19491949－2019＝－1，∴a 3968＝a 2019＋(3968－2019)d ＝1949＋1949×(－1)＝0. 2．等差数列中的单调性问题(3)(经典题，5分)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( D )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 解析：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确；设a n ＝3n －12，显然{a n }是递增数列，但是na n ＝3n 2－12n ，{na n }并不是递增数列，故命题p 2不正确；设a n ＝n ＋1，显然{a n }是递增数列，但a n n ＝1＋1n单调递减，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递减数列，故p 3不正确；设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0， ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，命题p 4正确．综上，真命题为p 1，p 4.3．等差数列的证明与判定技巧 a ．定义法证明等差数列(4)(2019改编，6分)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．答案：见证明过程证明：(法一)由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n S n －1＝－12a n .(2分)∴1S n －1S n －1＝S n －1－S n S n S n －1＝－a n －12a n＝2(n ≥2)，(5分)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(6分) (法二)当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1.(2分)∵a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0，∴S n ≠0，∴两边同除以－S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(6分)b ．等差中项法证明等差数列(5)(2018大同模拟，12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，n ＝1，2，3，…，其中A ，B 为常数． (Ⅰ)求A ，B 的值；答案：A ＝－20，B ＝－8解：由a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，得S 1＝1，S 2＝7，S 3＝18. 当n ＝1时，－3S 2－7S 1＝A ＋B ，即A ＋B ＝－28；①当n ＝2时，2S 3－12S 2＝2A ＋B ，即2A ＋B ＝－48.②(2分)联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝－28，2A ＋B ＝－48，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－20，B ＝－8.(4分)(Ⅱ)证明：数列{a n }为等差数列．答案：见证明过程证明：由(Ⅰ)知，(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝－20n －8，即5n (S n ＋1－S n )－8S n ＋1－2S n ＝－20n －8，即5na n ＋1－8S n ＋1－2S n ＝－20n －8.①又5(n ＋1)a n ＋2－8S n ＋2－2S n ＋1＝－20(n ＋1)－8，②②－①，得5(n ＋1)a n ＋2－5na n ＋1－8a n ＋2－2a n ＋1＝－20，即(5n －3)a n ＋2－(5n ＋2)a n ＋1＝－20.③ 又(5n ＋2)a n ＋3－(5n ＋7)a n ＋2＝－20，④(8分) ④－③，得(5n ＋2)(a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1)＝0，即a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1＝0，即a n ＋3＋a n ＋1＝2a n ＋2. 又a 1＋a 3＝2a 2，所以数列{a n }为等差数列．(12分) 4．等差数列中的设项技巧 (6)(经典题，8分)解决下列问题．(Ⅰ)三个数成等差数列，它们的和为21，平方和为155，求这三个数；答案：5，7，9或9，7，5解：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝155，(2分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－2.∴这三个数为5，7，9或9，7，5.(4分) (Ⅱ)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．答案：－2，4，10，16或16，10，4，－2解：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝28，（a －d ）（a ＋d ）＝40，(6分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－3.∴这四个数为－2，4，10，16或16，10，4，－2.(8分) 5．等差数列的性质及其应用(7)(经典题，5分)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列的前11项和S 11＝( B ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176解析：S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 4＋a 8）2＝88，故选B.(8)(2019改编，5分)若{a n }为公差不为0的等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有①③④⑤⑥⑦ ．(填序号) ①{a n ＋a n ＋1} ②{a 2n } ③{a n ＋1－a n } ④{2a n } ⑤{2a n ＋n } ⑥{a 2n －1} ⑦{a 2n }解析：设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a n ＋1＝a 1＋nd ，∴a n ＋a n ＋1＝2a 1＋(2n －1)d ＝2nd ＋2a 1－d ，∴{a n ＋a n ＋1}为等差数列；a 2n ＝[a 1＋(n －1)d ]2＝d 2n 2＋(2a 1d －2d 2)n ＋d 2＋a 21－2a 1d ，当d ≠0时，显然{a 2n }不为等差数列；∵a n ＋1－a n ＝d ，∴数列{a n ＋1－a n }为常数列；2a n ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2dn ＋2a 1－2d ，显然{2a n }为等差数列；2a n ＋n ＝2a 1＋2(n －1)d ＋n ＝(2d ＋1)n ＋2a 1－2d ，显然{2a n ＋n }为等差数列；根据等差数列的性质：每隔相同的距离取出一项组成的数列仍为等差数列，可知{a 2n －1}，{a 2n }均为等差数列．6．等差数列前n 项和公式的应用(9)(经典题，14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(Ⅰ)求d ，a n ；答案：当d ＝－1时，a n ＝－n ＋11；当d ＝4时，a n ＝4n ＋6 解：由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，∴5×10×(10＋2d )＝[2(10＋d )＋2]2，即d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.(4分)∴当d ＝－1时，a n ＝－n ＋11；当d ＝4时，a n ＝4n ＋6.(6分)(Ⅱ)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.答案：|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12解：设数列{a n }的前n 项和为S n .∵d <0，由(Ⅰ)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，∴当n ≤11时，a n ≥0；当n ≥12时，a n <0.因此当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n ＝－12n 2＋212n ；(9分)当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝－a 1－a 2－ a 3－…－a 11－a 12－…－a n ＋2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.(13分)综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.(14分)7．等差数列前n 项和的性质及其应用(10)(经典题，5分)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 210 ．解析：(法一)取m ＝1，则S 1＝30，S 2＝100，∴a 1＝S 1＝30，a 2＝S 2－S 1＝70，∴d ＝a 2－a 1＝40，∴a 3＝a 2＋d ＝110.∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210.(法二)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，由等差数列的性质，知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m .由题意知S m ＝30，S 2m ＝100，∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝210.(法三)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，由等差数列的性质，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，∴S mm ，S 2m 2m ，S 3m 3m 仍为等差数列，∴2×S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m ，即2×1002m ＝30m ＋S 3m3m，解得S 3m ＝210. (法四)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，由⎩⎪⎨⎪⎧S m ＝30，S 2m ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝30，4Am 2＋2Bm ＝100， ∴S 3m ＝9Am 2＋3Bm ＝3(4Am 2＋2Bm )－3(Am 2＋Bm )＝3(S 2m －S m )＝210.(11)(经典题，5分)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝3727．解析：(法一)直接利用等差数列前n 项和的性质：S 2n －1＝(2n －1)a n ，得a 7b 7＝（2×7－1）a 7（2×7－1）b 7＝13a 713b 7＝S 13T 13＝3727. (法二)利用等差数列的基本性质：a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13×（a 1＋a 13）213×（b 1＋b 13）2＝S 13T 13＝3727. (12)(经典题，5分)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝ 5 .解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S偶．由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，∴d ＝192－1626＝5.8．求等差数列前n 项和最值的方法(13)(经典题， 5分)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝ 8 时，{a n }的前n 项和最大．解析：由等差数列的性质，得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. 又∵a 7＋a 10<0，∴a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0.∴S 8>S 7，S 8>S 9，∴数列{a n }的前8项和最大．(14)(经典题，5分)等差数列{a n }中，a 1>0，S 4＝S 9，则{a n }的前n 项和S n 取最大值时，n ＝ 6或7 ．解析：∵S n 有最大值，∴(n ，S n )是开口向下的抛物线上一些孤立的点，又∵S 4＝S 9，∴抛物线的对称轴为直线x ＝4＋92＝6.5，∴当n ＝6或7时，S n 取最大值．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( C )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：∵S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，∴a 1＝－5d .∴S n ＝d 2n 2－11d2n .∵d <0，∴当n ＝5或6时，S n 取最大值．(15)(2018盐城模拟，12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (Ⅰ)求公差d 的取值范围；答案：⎝⎛⎭⎫－247，－3 解：依题意有⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋12×（12－1）2d >0，S 13＝13a 1＋13×（13－1）2d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，①a 1＋6d <0.②(2分) 由a 3＝12，得a 1＝12－2d .③将③代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，解得－247<d <－3，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－247，－3.(5分) (Ⅱ)求出S 1，S 2，S 3，…，S 12中的哪一个值最大，并说明理由．答案：S 6最大解：(法一)由d ＜0，可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13，又∵S 12>0，S 13<0，∴在1≤n ≤12中存在正整数n ，使得a n >0，a n ＋1<0，则S n 就是S 1，S 2，S 3，…，S 12中的最大值．(8分) ∵S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，(10分) ∴a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，故在S 1，S 2，S 3，…，S 12中S 6最大．(12分)(法二)由d ＜0，可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13，又∵S 12>0，S 13<0，∴在1≤n ≤12中存在正整数n ，使得a n >0，a n ＋1<0，则S n 就是S 1，S 2，S 3，…，S 12中的最大值．(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧S 12>0，S 13<0，得⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×（12－1）2d >0，S13＝13a 1＋13×（13－1）2d <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d >－d 2>0，a 1＋6d <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6>0，a 7<0.(10分)故在S 1，S 2，S 3，…，S 12中S 6最大．(12分)随堂普查练241．(经典题，5分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( D )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱解析：设甲、乙、丙、丁、戊五人所得依次构成的等差数列为{a n }，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱．故选D.2．(2016 江苏，5分)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是 20 ．解析：由S 5＝10，得S 5＝52(a 1＋a 5)＝5a 3＝10，∴a 3＝2，∴a 1＝a 3－2d ＝2－2d ，a 2＝a 3－d ＝2－d .由题意，a 1＋22a ＝－3，得2－2d ＋(2－d )2＝－3，解得d ＝3.∴a 9＝a 3＋(9－3)d ＝2＋6×3＝20.3．(2018山东临沂一模，5分)等差数列{a n }中，a 1＝12018，a m ＝1n ，a n ＝1m(m ≠n )，则等差数列{a n }的公差d ＝12018．解析：由a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，得d ＝a m －a n m －n ＝1n －1m m －n ＝1mn .又∵a 1＝12018，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝12018＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12018，即等差数列{a n }的公差d ＝12018.4．(经典题，5分)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{12n a a }为递减数列，则( C ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 解析：∵数列{12na a }为递减数列，且12na a >0，∴11122na a a a a +＝12a d ->1＝20，∴a 1d <0.故选C.5．(经典题，12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：a n ＋2－a n ＝λ；答案：见证明过程证明：由题意知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，(1分) 两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.(3分) ∵a n ＋1≠0，∴a n ＋2－a n ＝λ.(4分)(Ⅱ)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．答案：存在λ＝4，使得{a n }为等差数列解：由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(Ⅰ)知a 3＝λ＋1.(6分)假设存在λ，使得{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3， ∴2(λ－1)＝1＋λ＋1，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， ∴a 2n －1＝1＋(n －1)·4＝4n －3；(8分){a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，∴a 2n ＝3+ (n －1)·4＝4n －1，(10分) ∴a n ＝2n －1，∴a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得{a n }为等差数列．(12分)6．(经典题，6分)已知1a ，1b ，1c 成等差数列，则b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 是否也成等差数列？并说明理由．答案：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 也成等差数列．理由见解答过程解：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 也成等差数列．理由如下：∵1a ，1b ，1c成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b，即2ac ＝b (a ＋c )，(2分) ∴b ＋c a ＋a ＋b c ＝c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）ac ＝a 2＋c 2＋b （a ＋c ）ac ＝2（a ＋c ）2b （a ＋c ）＝2（a ＋c ）b ，(5分)∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列．(6分) 7．(2019改编，5分)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝35n －45或a n ＝－35n ＋445．解析：根据等差数列的性质，知a 3＋a 8＋a 13＝3a 8＝12，因此a 8＝4.设a 3＝4－d ′，a 13＝4＋d ′，由a 3a 8a 13＝28，得(4－d ′)·4·(4＋d ′)＝4(16－d ′2)＝28，解得d ′＝±3，∴a 13＝7或1.而a 13＝a 8＋(13－8)d ，∴d ＝±35，∴a n ＝a 8＋(n －8)d ，即a n ＝4±35(n －8)，∴a n ＝35n －45或a n ＝－35n ＋445.8．(经典题，5分)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则56a b +=21 ．解析：∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，∴2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)+ (a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，∴a 5＋b 6＝21.9．(2018湖北华中师大模拟，12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝()(1)n n a n ++ (n ∈N *)．(1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的通项公式；答案：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，通项公式为a nn ＝2n解：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)，∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， ∴a n ＋1n ＋1－a nn＝2，(3分)∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn＝2＋2(n －1)＝2n . ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且通项公式为a nn ＝2n .(4分)(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .答案：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8解：由(1)知a n ＝2n 2(n ∈N *)，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－13＋2n －15）2＝n 2－14n .(6分)令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n .(8分) n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2× (72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.(10分)∴数列{|b n |}的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.(12分)10．(2018广东模拟，5分)在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( B )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由等差数列前n 项和的性质知，若项数为奇数2n ＋1，则S 偶S 奇＝n n ＋1，即150165＝nn ＋1，解得n ＝10.11．(2018江苏模拟，5分)在等差数列{a n }中，已知a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝ 22 ．解析：由等差数列前n 项和的性质及a 1＝0，可知a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 4＝7(a 1＋3d )＝21d (或者可由等差数列的基本性质得出此式)．又∵a k ＝a 1＋(k －1)d ＝(k －1)d ＝21d ， ∴k ＝22.12．(2018贵州模拟，5分)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n2n ＋1，则a 1＋a 2＋a 14＋a 19b 1＋b 3＋b 17＋b 19的值为 1713 ．解析：∵S n T n ＝3n2n ＋1，且S n 和T n 都是关于n 的二次函数，且常数项为0，∴设S n ＝3n ·kn ，T n ＝(2n ＋1)·kn ，k ≠0，则a 1＋a 2＋a 14＋a 19b 1＋b 3＋b 17＋b 19＝（a 1＋a 19）＋（a 2＋a 14）（b 1＋b 19）＋（b 3＋b 17）＝2a 10＋2a 82b 10＋2b 10＝2（a10＋a8）4b10＝4a94b10＝a9b10＝S9－S8T10－T9＝3×92－3×82（2×10＋1）×10－（2×9＋1）×9＝1713.13．(2018浙江模拟，4分)设公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，－217<d<－19，则当S n取最大值时，n的值为9 .解析：由等差数列的通项公式，得a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d，∵－217<d<－19，∴a9＝1＋(9－1)d>0，a10＝1＋(10－1)d<0，故数列的前9项为正数，从第10项开始为负数．∴当S n取最大值时，n的值为9.课后提分练24 等差数列及其前n 项和A 组(巩固提升)1．(2018全国Ⅰ，5分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝ S 2＋ S 4，a 1＝2，则a 5＝( B )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：(法一)因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d )＝(a 1＋a 1＋d )＋(a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d )，即3(3a 1＋3d )＝6a 1＋7d ，将a 1＝2代入，可得3(3×2＋3d )＝6×2＋7d ，可得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.(法二)将3S 3＝S 2＋S 4变形为S 3＋(S 3－S 2)＝S 4－S 3，即S 3＋a 3＝a 4，因为S 3＝3a 2，所以3a 2＋a 3＝a 4.又因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，所以3a 2＋a 3＝2a 2＋(a 2＋a 3)＝2a 2＋a 1＋a 4＝a 4，所以2a 2＋a 1＝3a 1＋2d ＝0.根据a 1＝2，可知d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.2．(2018福建三明模拟，5分)《九章算术》第六卷《均输》中，有问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀．若竹九节由下往上均匀变细，则剩余中间两节的容量之和是( C )A ．16166升B ．2 升C ．2322升 D ．3升解析：设竹九节由上往下的容量分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，由题意可知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9成等差数列，且公差为d .又因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以剩余中间两节容量之和为a 5＋a 6＝2a 1＋9d ＝4722＝2322(升)．故选C3．(2018山东模拟，5分)在等差数列{a n } 中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝240，则a 9－13a 11的值为( C )A ．30B ．31C ．32D ．33解析：由等差数列的性质及a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝240，可得5a 8＝240，解得a 8＝48.设等差数列{a n }的公差为d ，则a 9－13a 11＝a 8＋d －13(a 8＋3d )＝23a 8＝32.故选C.4．(2018运城模拟，5分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0， S m ＋1＝3，则m ＝( C )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：(法一)设等差数列{a n }的公差为d ，∵S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3，∴ d ＝a m ＋1－a m ＝1.∵S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，且m ≠0，∴a 1＝－a m ＝－2，∴a m ＝a 1＋(m －1)×1=2，即a m ＝－2＋(m －1)×1＝2，解得m ＝5.(法二)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列， ∴2S m m ＝S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1，即0＝－2m －1＋3m ＋1，解得m ＝5.5．(2018长春模拟，5分)在等差数列{a n } 中，a 2＋a 4＝p ，a 3＋a 5＝q ，则其前6项和 S 6＝( B )A.54(p ＋q )B.32(p ＋q ) C ．p ＋q D ．2(p ＋q ) 解析：由a 2＋a 4＝p ，a 3＋a 5＝q ，知2(a 1＋a 6)＝a 2＋a 4＋a 3＋a 5＝p ＋q ，所以a 1＋a 6＝p ＋q 2，所以S 6＝62(a 1＋a 6)＝32(p ＋q )．故选B.6．(2018济南模拟，5分)已知等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 1010＝1009，S 1009＝1010，则S 2019＝－2019 ．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，n ∈N *.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 1010＝10102A ＋1010B ＝1009，①S 1009＝10092A ＋1009B ＝1010，② ①－②，得(10102－10092)A ＋(1010－1009)B ＝1009－1010，即2019A ＋B ＝－1.∴S 2019＝20192A ＋2019B ＝2019(2019A ＋B )＝－2019.7．(2018石家庄模拟，5分)在等差数列{a n } 中，首项a 1>0，a 2018＋a 2019>0，a 2018·a 2019<0，则使得前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( C ) A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4037解析：由已知得a 2018>0，a 2019<0.根据等差数列的性质可知S 4036＝40362(a 2018＋a 2019)>0，S 4037＝4037a 2019<0，所以使得前n 项和S n >0成立的最大正整数n 为4036.8．(2018河南模拟，5分)已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为 11 ．解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 7a 6<－1，且前n 项和S n 有最大值，∴a 1>0，d ＜0，且a 6>0，a 7<0，∴a 6＋a 7<0，故S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6>0, S 12＝12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2<0，∴使S n >0的n 的最大值为11.9．(2018苏州模拟，12分)在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3，n ≥2，且n ∈N *. (1)求a 2，a 3的值；答案：a 2＝1，a 3＝13解：∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3，n ≥2， ∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(4分) (2)设b n ＝a n ＋32n ，n ∈N *，求证：数列{b n } 是等差数列．答案：见证明过程证明：由题意，a n ＝2a n －1＋2n ＋3，得a n －2a n －1＝2n ＋3，∴a n ＋1－2a n ＝12n +＋3.(6分) ∵b n ＋1－b n ＝1132n n a +++－a n ＋32n ＝112n + [(a n ＋1－2a n )－3]＝112n + [(12n +＋3)－3]＝1，(10分) ∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．(12分)B 组(冲刺满分)10．(2018沈阳模拟，5分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 4≤4，2≤a 5≤3，则S 6的取值范围是 [0，30] ．解析：S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ，设S 6＝ma 4＋na 5＝m (a 1＋3d )＋n (a 1＋4d )＝(m ＋n )⋅ a 1＋(3m ＋4n )d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝6，3m ＋4n ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝－3，∴S 6＝9a 4－3a 5. 又∵1≤a 4≤4，2≤a 5≤3，∴9≤9a 4≤36，－9≤－3a 5≤－6，∴0≤9a 4－3a 5≤30，即0≤S 6≤30.11．(2018洛阳模拟，5分)设数列{a n }是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和S 10＝( C )A ．－10B ．－5C ．0D ．5解析：(法一)设等差数列{a n }的公差为d ，因为22224567a a a a +=+，所以22224675a a a a =--，即(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)．根据等差数列的概念和性质，可知－4da 5＝4da 6，即a 5＋a 6＝0.所以S 10＝102(a 5＋a 6)＝0.(法二)由22224567a a a a +=+，得(a 1＋3d )2＋(a 1＋4d )2＝(a 1＋5d )2＋(a 1＋6d )2，整理得2a 1＋9d ＝0.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝5(2a 1＋9d )＝0.故选C.12．(2016浙江，5分)如图24－1，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且||A n A n ＋1＝||A n ＋1A n ＋2，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，||B n B n ＋1＝||B n ＋1B n ＋2，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝||A n B n ，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( A )图24－1A ．{S n }是等差数列 B ．{2n S }是等差数列 C ．{d n }是等差数列 D ．{2n d }是等差数列解析：设锐角的顶点为O ，|OA 1|＝a ，|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|＝b ，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|＝d .设△A n B n B n ＋1的底边B n B n ＋1上的高为h n ，由三角形的相似，得11(1)n n n n OA h a n b h OA a nb+++-==+ ，21n n h h ++=|OA n ＋2||OA n ＋1|＝a ＋（n ＋1）b a ＋nb ，两式相加可得21n n n h h h +++=2a ＋2nba ＋nb ＝2，即有h n ＋h n ＋2＝2h n ＋1.由S n ＝12d ·h n，可得S n ＋S n ＋2＝2S n ＋1，则数列{S n }为等差数列．故选A.13．(2018淮安模拟，5分)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1(n ∈N *)，若不等式λa n ＋1≤n ＋8·（－1）nn 对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为( D )A ．25B ．21C ．－25D ．－21解析：由a 2n ＝S 2n －1(n ∈N *)及等差数列前n 项和的性质，知a 2n ＝(2n －1)a n .∵数列{a n }是各项均不为0的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴λ2n ＋1≤n ＋8·（－1）n n 对任意的n ∈N *恒成立，即λ≤2n ＋8·（－1）nn＋1＋16·(－1)n 对任意的n ∈N *恒成立．当n 为偶数时，上式化为λ≤2n ＋8n ＋17，又∵2n ＋8n ＋17≥22n ·8n＋17＝25，当且仅当n ＝2时取等号，∴λ≤25；当n 为奇数时，上式化为λ≤2n －8n －15，又∵⎣⎡⎦⎤2n －8n －15min ＝2×1－81－15＝－21，∴λ≤－21. 综上，λ≤－21，故选D.14．(2019改编， 8分)设数列{a n }的每一项都不为0，证明数列{a n }为等差数列的充要条件是：对于任意的n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. 答案：见证明过程证明：充分性：依题意，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① ∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①，得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1，(2分)等式两边同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ ∴a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.④④－③，得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，∴{a n }为等差数列．(4分) 必要性：设等差数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，显然成立；(5分) 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎡⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋⎦⎤…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1 ＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1， ∴对于任意的n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.(8分)。

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n n m
n k k +m k +2m
等差数列及其前 n 项和（讲义）
知识点睛
一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法
（1）列表法（2）图象法（3）公式法
①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质
（1）递增数列（2）递减数列（3）常数列（4）摆动数列
二、等差数列 1. 等差数列的概念
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．
（1）等差中项
（2）等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ．
2. 等差数列的性质
（1）通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N *
) ．（2）若{a }是等差数列，且k +
l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ，则a k +a l = a m + a n ．
（3）若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．
（4）若{a n }是等差数列，则{λ
a n + c }也是等差数列．
1
n n n
（5）若{a }，{b }是等差数列，则{
p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n
n
n
n
差数列．三、等差数列的前 n 项和
1
. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，
即
S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．
等差数列{a n }的前 n 项和公式
（1）已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ．
1 n n
2
（2）已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2
. 等差数列各项和的性质
= na 1 + n (n -1) d ．
2
（1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．
（2）两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系为 a n b n = S
2n -1 ． T 2n -1
（3）数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．
（4）等差数列{a n }前 n 项和的最值：
当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；
当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最大值．
2
n +1 n n n -1
n +1 n n n -1
精讲精练
1. 下面六个结论中：
①数列若用图象表示，从图象看是一系列孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是唯一的； ④数列不一定有通项公式；
⑤数列 1，2，3，…不一定是递增的；
⑥数列看作函数，其定义域为正整数集或它的有限子集
{1，2，…，n } ．
其中正确的是（）
A ．①②④⑥ C ．①③④⑤
B ．①④⑤⑥ D ．①②⑥
2. 数列-1，7，-13，19，…的通项公式a n = （
）
A ． 2n -1 C ． (-1)n 6n - 5
B ． -6n + 5 D ． (-1)n (6n - 5)
3. 数列 1，3，6，10，15，…的递推公式是（
）
A. a = a + n ，n ∈ N *
B. a = a + n ，n ∈ N *，n ≥ 2
C. a = a + n -
1，n ∈ N * D. a = a + n -
1，n ∈ N *
4. 在等差数列{a n } 中， a 1 + a 5 = 10 ， a 4 = 7 ，则数列{a n } 的公差
是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3
5. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ，则有（
）
A ． a 1 + a 101 > 0 C ． a 3 + a 99 = 0
B ． a 2 + a 100 < 0 D ． a 51 = 51
6.
在等差数列{a n } 中，S n 是其前 n 项和，且a 4 = 9 ，a 9 = -6 ，则 S n 取最大值时 n 的值为（） A ．6 或 7
B ．7 或 8
C ．5 或 6
D ．8 或 9
7.
已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 6 = a 8 + 6 ，则 S 7 = （）
A ．49
B ．42
C ．35
D ．24
4
8.
已知一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 12．5，则它的首项与公差分别是（） A ．0．5，
0．5
B ．0．5，1
C ．0．5，2
D ．1，0．5
9.
设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 = 12 ， S 6 = 42 ，则 a 10 + a 11 + a 12 =（）
A ．156
B ．102
C ．66
D ．48
10. 设数列{a n } ，{b n } 都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7 ， a 3 + b 3 = 21，
则a 5 + b 5 = ．
5
n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2， 2a 2 = a 2 2
n -1 (n ∈ N * ，
n ≥ 2) ，则通项公式a n = ．
12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ，
若 S n = 2n + 3 ，则 a 9 = ．
T n 3n -1 b 9
回顾与思考
6
+ a
【参考答案】
1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A
9．C 10．35 11
12．
37
50
7。