等差数列及其前n项和(讲义及答案)

n n m

n k k +m k +2m

等差数列及其前 n 项和（讲义）

知识点睛

一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念

按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法

（1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法

①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质

（1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列

二、 等差数列 1. 等差数列的概念

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．

（1） 等差中项

（2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ．

2. 等差数列的性质

（1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N *

) ． （2） 若{a }是等差数列，且k +

l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ．

（3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．

（4） 若{a n }是等差数列，则{λ

a n + c }也是等差数列．

1

n n n

（5） 若{a }，{b }是等差数列，则{

p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n

n

n

n

差数列． 三、 等差数列的前 n 项和

1

. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，

即

S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．

等差数列{a n }的前 n 项和公式

（1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ．

1 n n

2

（2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2

. 等差数列各项和的性质

= na 1 + n (n -1) d ．

2

（1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．

（2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S

2n -1 ． T 2n -1

（3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．

（4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值：

当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；

当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值．

2

n +1 n n n -1

n +1 n n n -1

精讲精练

1. 下面六个结论中：

①数列若用图象表示，从图象看是一系列孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是唯一的； ④数列不一定有通项公式；

⑤数列 1，2，3，…不一定是递增的；

⑥数列看作函数，其定义域为正整数集或它的有限子集

{1，2，…，n } ．

其中正确的是（ ）

A ．①②④⑥ C ．①③④⑤

B ．①④⑤⑥ D ．①②⑥

2. 数列-1，7，-13，19，…的通项公式a n = （

）

A ． 2n -1 C ． (-1)n 6n - 5

B ． -6n + 5 D ． (-1)n (6n - 5)

3. 数列 1，3，6，10，15，…的递推公式是（

）

A. a = a + n ，n ∈ N *

B. a = a + n ，n ∈ N *，n ≥ 2

C. a = a + n -

1，n ∈ N * D. a = a + n -

1，n ∈ N *

4. 在等差数列{a n } 中， a 1 + a 5 = 10 ， a 4 = 7 ，则数列{a n } 的公差

是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3

5. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ，则有（

）

A ． a 1 + a 101 > 0 C ． a 3 + a 99 = 0

B ． a 2 + a 100 < 0 D ． a 51 = 51

6.

在等差数列{a n } 中，S n 是其前 n 项和，且a 4 = 9 ，a 9 = -6 ，则 S n 取最大值时 n 的值为（ ） A ．6 或 7

B ．7 或 8

C ．5 或 6

D ．8 或 9

7.

已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 6 = a 8 + 6 ，则 S 7 = （ ）

A ．49

B ．42

C ．35

D ．24

4