知识点归纳3：三角恒等式

知识归纳3-----三角恒等式：

（一）同角三角比的关系

1、倒数关系：1sin csc αα= ；1cos sec αα=；1

tan cot αα= 2、商数关系：sin tan cos ααα= ；cos cot sin α

αα

=

3、平方关系：2

2sin

cos 1αα+= ；221tan sec αα+=；221cot csc αα+=

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

六边形记忆法：

以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

同角三角比关系六角形记忆法 六角形记忆法： 1、倒数关系：对角线上两个三角比互为倒数 2、商数关系：六边形任意一顶点上的三角比等于与它相邻的两个顶点上三角比的乘积。

3、平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角比的平方和等于下面顶点上的三角比的平方 。

（二）诱导公式：

sin(2)sin cos(21)cos tan(2)tan cot(2)ot , c k k k k k Z απααπααπα

απα+=+---=+=+=∈ 公式诱导 ()sin()sin c 2os()cos tan()tan cot cot αααααααα

-=--=--=--=---公式诱导 ()sin()sin cos()cos tan()3

tan cot cot πααπααπαα

παα

+=-+=---+=+=-公式诱导

()sin()sin cos()4

cos tan()tan cot cot πααπααπααπαα

-=-=---=-=-公式---诱导 sin cos 2cos sin 2tan cot 2cot t 5

an 2π

ααπααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫

-= ⎪⎝⎭⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

公式---诱导 sin cos 2cos sin 2

tan cot 2co 6

t tan 2πααπααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭

⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

公式---诱导

作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角比的式子进行角变换的基本思路． 1、利用诱导公式2将负角的三角比变为正角的三角函数——去负；

2、利用诱导公式1的将任意角的三角比化为角度在区间 [0,2)π内的三角比——脱周；

3、利用其他诱导公式将上述三角比为锐角三角比——化锐.

同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角比的值。 注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。 ②求任意角的三角函数值。 步骤：

③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确根据三角比的定义sin y r α=

；cos x r α=；或tan y x

α=， ②先取 1r =，,x y 的值由三角比的值确定

③根据所取的,x y 或r 的值确定角α的终边所在的位置。

注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）； （5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）

（三）两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、两角和与差的正弦

cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ

-=++=-

2、两角和与差的余弦

sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin αβαβαβ

αβαβαβ

-=-+=+

3、两角和与差的正切

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=

- ；tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

--=+

公式三、 四、五、 六、

4、辅助角公式：sin cos a b αα+()sin A αϕ=+

其中A =，

角ϕ

满足cos ϕ=

sin ϕ=

常用的有：sin cos 4πααα⎛⎫±=

± ⎪⎝⎭

；sin 2sin 3πααα⎛

⎫±=± ⎪⎝

⎭

cos 2sin 6πααα⎛

⎫±=± ⎪⎝

⎭

（四）二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、二倍角的正弦：sin 22sin cos ααα=

2、二倍角的余弦：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

3、二倍角的正切：22tan tan 21tan α

αα

=

-

注意：二倍角的正、余弦有如下运用： 4、降次扩角公式：21cos 2cos 2αα+=

；21cos 2sin 2

αα=－ ； ()2

sin cos 1sin 2ααα±=± （五）半角的正弦、余弦、正切公式

1

、半角的正弦：sin 2

α

=2

、半角的余弦：cos 2

α

=3

、半角的正切：sin 1cos tan

2

1cos sin α

αα

αα

-===+

（六）万能置换公式 形式1：2

2tan

2sin 1tan 2

α

αα

=

+ ； 22

1tan 2cos 1tan 2

ααα

-=

+ ；2

2tan

2tan 1tan 2

α

αα

=-

如果令tan 2t α

=，则简单记为：22sin 1t t α=+；221cos 1t t α-=+；2

2tan 1t

t α=- 形式2：22tan sin 21tan ααα=+； 221tan cos 21tan ααα-=+； 22tan tan 21tan α

αα

=-