等腰三角形存在性问题解题策略(一)

A y
5
P2 5 O
5
x
P1
O
x
P3
M
x
O
N P4
① 当OA=OP时 P1(5,0) P2(-5,0)
② 当AP=AO时 P3(6,0)
③当PO=PA时 由△AON∽△POM 知
������������ ������������ ������������ = ������������
5
������������ 即5
（2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形16
③当DF=DE时 可知∠������������������ = ∠������������������
10
而∠������������������ = ∠������，∠������ = ∠������
∴ ∠������������������ = ∠������ ∴ ������������������������∽������������������������
=
2
3
得OP=265
P4(265,0)
例1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(3,4),在x轴上是否存在
动点P，使得△AOP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标。
A y
设点P(x,0), 则 OA=5 ������������ = ������2 ������������ = ������ − 3 2 + 42
（1）用含t的代数式表示EF的长
（2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出t的值
A
10
F
B tD4 E 16
解：（1）由������������//������������，可知，������������������������ ∽ ������������������������
∴ ������������ = ������������，即������������ = ������+4
∵PE∥AC ∴△ACB∽△PEB
������������ ������������ ������������ = ������������
即���1������0���=28 得PB=2.5
∴AP=7.5
③当QP=QB时
同理 △BQF∽△BAC
������������ ������������ ������������ = ������������
等腰三角形存在性问题 解题策略
东T阳r市a吴v宁e一li中ngin un黄焕sp才 lash
无从下手
常见 问题
多种情况，找点找不全
能找全点，但求解困难
例1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(3,4),在x轴上是否存在
动点P，使得△AOP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标。
y
A
A
y
策略一：两腰相等列等式
例2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,AB=10,Q是BC的中点，P是AB上
一点，连接PQ，若△PQB是等腰三角形，求AP的长。
A
A
A
10
P
6
P
P F
B
4Q
C
B
EQ
C
B
Q
C
①当BQ=BP时 BP=4 AP=6
②当PQ=PB时 过点P作PE⊥BC
则E是BQ的中点
������������ ������������
10 16
5 ������ + 4 ∴ ������������ = 8
10
(2)①当EF=ED时，有5
������+4 8
=4
12 ∴ ������ = 5
②当FE=FD时 可知∠������������������ = ∠������������������
即
������������ 8
=
4 10
得BF=3.2 ∴PB=6.4
∴AP=3.6
策略一：两腰相等列等式 策略二：三线合一找相似
例3. 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,DE=4cm,线段DE（端点D 从B开始）沿BC边，以1cm/s的速度向点C运动，过点E作EF∥AC，交AB于点 F，连接DF，设运动时间为t秒（t≥0）
O
x
① 当OA=OP时 ������2=5 x=±5 P1(5,0) P2(-5,0)
A
5
O
������2
②当AP=AO时 ������ − 3 2 + 42 = 5 x1=6,x2=0(舍) P3(6,0)
P ③当PO=PA时
������ − 3 2 + 42= ������2 x=265 P4(265,0)
C
5 ������+4
∴ ������������ = ������������，即 4 = 8
������������ ������������
10
16
156 ∴ ������ = 25
策略一：两腰相等列等式 策略二：三线合一找相似 策略三：两角相等转化角
C
而∠������������������ = ∠������，∠������ = ∠������
∴ ∠������������������ = ∠������，即D与B重合
∴ ������ = 0
例3. 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,DE=4cm,线段DE（端点D 从B开始）沿BC边，以1cm/s的速度向点C运动，过点E作EF∥AC，交AB于点 F，连接DF，设运动时间为t秒（t≥0）