§3.5 直线与平面的相关位置

§3.5 直线与平面的相关位置

一、位置关系

1. 设直线l: ＝＝和平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0，

则l与π的相互位置关系有下面的充要条件:

(1) 相交：AX＋BY＋CZ≠0;

(2) 平行：AX＋BY＋CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D≠0;

(3) 直线在平面上：AX＋BY＋CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D＝0.

2. 在直角坐标系下, 平面π的法矢量为＝{A, B, C}, 直线l的方向矢量= {X, Y, Z}. 从几何上看：l与π相交的条件AX＋BY＋CZ≠0 就是不垂直于; l与π平行的条件AX＋BY＋CZ＝0, Ax0＋By0＋Cz0+D≠0就是⊥且直线l上的点(x0, y0, z0)不在平面π上;

l在π上的条件AX＋BY＋CZ＝0, Ax0＋By0＋Cz0+D＝0 就是⊥且l上的点(x0, y0, z0)在平面π上.

二、夹角

1．如图4-8, 当直线和平面不垂直时，直线和平面间的夹角ϕ是指这直线和它在平面上的射影所构成的锐角. 当直线和平面垂直时，规定直线与平面间的夹角ϕ为直角.

2．在{O;,,}下，l：＝＝和平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0间的夹角由下式确定

sinϕ＝.

进而由此式直接得到l//π或l⊂π的充要条件是

AX＋BY＋CZ＝0.

l⊥π的充要条件是＝＝.

例1. 证明直线l：＝＝与平面π：2x+y－z+3＝0相交，并求出它们的交点和夹角.

解：因为⋅＝{－1, 1, 2}⋅{2, 1, －1}＝－3≠0, 所以l与π相交.

将直线l的方程化为参数式

代入平面方程解得t＝1，从而得交点为 (－1, 2, 3).

因为 sinϕ＝＝,

所以直线l与平面π间的夹角为ϕ＝.

例2. 决定直线l:和平面π：(A1+A2)x+(B1+B2)y

+(C1+C2) z＝0的相互位置.

解：因为l的方向矢量

＝{X, Y, Z}＝，

平面π的法矢量＝{A1+A2, B1+B2, C1+C2}, 又

⋅＝(A1+A2)+(B1+B2)+(C1+C2)

＝+＝0.

且显然l上有一点(0, 0, 0)在π上，故l在平面π上.

例3. 设直线与三坐标平面的夹角为λ, μ, ν，试证

cos2λ＋cos2μ＋cos2ν＝2.

证明：如图4-9, 设直线的方向矢量为, 它与xOy平面的夹角为λ, 则它与z轴的夹角为γ＝－λ，同理与x, y轴夹角为α＝－μ，β＝－ν. 从而

sinα＝cosμ, sinβ＝cosν, sinγ＝cosλ.

所以 cos2λ＋cos2μ＋cos2ν＝sin2γ＋sin2α＋sin2β＝2.

例4. 求下列球面的方程：

(1) 与平面x＋2y＋2z＋3＝0相切于点M(1, 1,－3)且半径r＝3的球面；

(2) 与两平行平面π1：6x－3y－2z－35＝0和π2：6x－3y－2z＋63＝0都相切且与其中之一相切于点M(5, －1, －1)的球面.

解: (1) 显然M在已知平面上，故只要求出球心即可. 设球心为P(x0, y0, z0)，则P, M所在直线为

＝＝,

则有且 (x0－1)2＋(y0－1)2+(z0+3)2＝32，

即t2＋(2t)2+(2t)2＝9, t＝±1,

故球心有二个P1(2, 3, －1)，P2(0, －1, －5),

从而所求球面方程有二个 (x－2)2＋(y－3)2＋(z＋1)2＝9,

x2＋(y＋1)2＋(z＋5)2＝9.

（2）显然M∈π1，设球心为P (x0, y0, z0)，则P, M所在直线方程为

l：＝＝,

或

代入π2方程求交点

6(6t＋5)－3(－3t－1)－2(－2t－1)＋63＝0,

t＝－2.

故l与π2交点的坐标为M'(－7, 5, 3)，从而P为M, M'之中点

x0＝＝－1, y0＝＝2, z0＝＝1,

球面半径r＝＝7.

故所求球面方程为 (x+1)2+(y－2)2+(z－1)2＝49.

作业题：

1. 判别下列直线与平面的相关位置:

(1) ＝＝与 2x+7y－3z＋1＝0;

(2) ＝＝与 2x－y－z－9＝0;

(3) 与 5x－3y＋2z－5＝0.

2. 求直线＝＝与平面x＋y＋z－2＝0的交点到(3, 4, 5)的距离.

3. 直线与平面间的夹角ϕ的取值范围是什么？

4. l⊥π时，如何从

sinϕ＝

推出

＝＝？