《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点

本章需要重点掌握以下几个方面容：

● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数

与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.

● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.

三、本章的基本知识要点

(一)平面点集与多元函数

1.任意一点A 与任意点集E 的关系.

1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ⊂，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ⋂=∅，则称点A 是点集E 的外点。

3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。

4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o

U

A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的

聚点。

5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集.

1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。

4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。

5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2

R 上的完备性定理.

1) 点列收敛定义：设{}2

n P R ⊂为平面点列，2

0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作

0lim n n P P →∞

= 或 ()0,n P P n →→∞.

2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，对一切自然数k ，都有(),n n k P P ρε+<. 3）闭区域定理. 设{}n D 是2

R 中的闭域列，它满足：

(i) 1,1,2,...;n n D D n +⊃=(ii) (),lim 0n n n n d d D d →∞

==.

则存在唯一的点0,1,2,...n P D n ∈=.

4) 聚点定理. 设2

E R ⊂为有界无限点集，则E 在2

R 中至少有一个聚点。

5) 有限覆盖定理. 设2

D R ⊂为一有界闭域，{}α∆为一开域族，它覆盖了D （即

D αα

⊂⋃∆）

，则在{}α∆中必存在有限个开域12,,...m ∆∆∆，它们同样覆盖了D （即1

m

i D α=⊂⋃∆）

。 4. 二元函数

定义：设平面点集2

D R ⊂，若按照某对应法则f ，D 中每一点(),P x y 都有唯一确定的

实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数（或称f 为D 到R 的一个映射），记作

:f D R →,

P z a ，

且称D 为f 的定义域，P D ∈所对应的z 为f 在点P 的函数值，记作()z f P =或(),z f x y =。

（注：其它多元函数与二元函数相似）。 （二）二元函数的极限。

1. 定义 设f 为定义在2

D R ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数，

若对0ε∀>，都存在一个0δ>，使得()0,o

P U

P D δ∈⋂时，都有

()f P A ε-<.

则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记作()0

lim P D

P P f P A ∈→=。有时简记为

()0

lim P P f P A →=。

当P 、0P 分别用()()00,,,x y x y 表示时，上式也可写作()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=.

2. 重要定理及推论.

1）()0

lim P D

P P f P A ∈→=的充要条件：对于D 的任一子集E ，只要0P 是E 的聚点就有

()0

lim P E

P P f P A ∈→=。

2）设1E D ⊂，0P 是1E 的聚点，若()0

1

lim P E P P f P ∈→不存在，则()0

lim P D

P P f P ∈→也不存在。

3）设1E 、2E D ⊂，0P 是它们的聚点。若()0

1

1lim P E P P f P A ∈→=，()0

2

2lim P E P P f P A ∈→=，但12A A ≠，

则()0

lim P D

P P f P ∈→不存在。

4）极限()0

lim P D

P P f P ∈→存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件0n P P ≠的点列{}n P ，它所

对应的函数列(){}

n f P 都收敛。 3. 二元函数函数极限的四则运算.

若()()

()00,,lim

,x y x y f x y A →=，

()()

()00,,lim

,x y x y g x y B →=。则

1)

()()()()00,,lim

,,x y x y f x y g x y A B →±=±⎡⎤⎣

⎦；2)

()()

()()00,,lim

,,x y x y f x y g x y A B →=⋅;

3)

()()()()()00,,,lim

,0,x y x y f x y A

B g x y B →=≠.

4. 累次极限.

1) 定义：对于函数(),f x y ，若固定()()0

0,lim ,x x y y f x y y ϕ→≠=存在，且()0

lim y y y A

ϕ→=也存在，则称A 为(),f x y 在()000,P x y =处先对x 后对y 的累次极限，记为

()00

lim lim ,y y x x f x y →→，类似可定义()00

lim lim ,x x y y f x y →→。

2) 重要定理及推论. ① 若

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →与()00

lim lim ,x x y y f x y →→（或()00

lim lim ,y y x x f x y →→）都存在，则它们

相等； ② 若

()()

()00,,lim

,x y x y f x y →，()00

lim lim ,x x y y f x y →→和()00

lim lim ,y y x x f x y →→都存在，则三者相等；

③ 若()00

lim lim ,x x y y f x y →→与()00

lim lim ,y y x x f x y →→都存在但不相等，则()()

()00,,lim

,x y x y f x y →不

存在。

（三）二元函数的连续性

1. 定义 设f 为定义在点集2

D R ⊂上的二元函数，0P D ∈，若对0ε∀>，都存在一个

0δ>，只要()0,P U P D δ∈⋂，就有

()()0f P f P ε-<