单纯形法求解思路及重要参数的推导

单纯形法求解线性规划的思路及重要参数

的推导

在求解线性规划问题的算法中，单纯形法是一种成熟、简便、有效的算法，在目前应用最为广泛。因此，我们组通过查阅资料以及小组讨论的形式，分工合作，共同探讨出单纯形法求解线性规划的思路。

一般线性规划问题有时具有线性方程组的变量数大于方程个数

的情况, 这时就使得方程有不定的解。这时就可以使用单纯形法来求解，从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步

选择的单纯形。在这其中每一个单纯形所对应的解其实都相当于n维空间图形中的一个顶点，我们就是要一个顶点，一个顶点的找到使目标函数值更好的顶点, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。这样问题就得到了最优解。

具体的求解步骤来说有6步：1：建立基本可行解。2：计算变量的检验数。3：判断是否最优。4：若不是最优解，则换基。5：计算新的基本可行解。6：迭代计算直到求的最优解或者可判断无最优解为止。

接下来，我们通过具体的事例来详细介绍具体的求解步骤，并列出重要参数以及定理的推导过程。

某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品, 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B 两种原材料的消耗, 如下表所示。

该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2 元, 每生产一件产品Ⅱ可获利3元, 问应如何安排计划使该工厂获利最多?

解：根据题意建立其标准型：

max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 (1)

x1 +2x2 +x3 = 8

4x1 + x4 = 16 (2)

4x2 +x5 = 12

x j ≥0 , j = 1 , 2 , ⋯ , 5 一、建立基本可行解

在标准型中x3 , x4 , x5为转化为标准型时加入的松弛变量，从(2)式中可以看到x3, x4 , x5的系数列向量

1 0 0

P3 = 0 , P4 = 1 , P5 = 0

0 0 1

而这些列向量就可以看做一个初始可行基

1 0 0

B = ( P3 , P4 , P5 ) = 0 1 0

0 0 1

B 的变量

x 3 , x 4 , x 5 为基变量, 从(2)式中可以得到 x 3 = 8 -x 1 - 2x 2

x 4= 16 - 4x 1 (3) x 5= 12 - 4x 2

二、计算变量的检验数

将(3)式代入目标函数(1)式得到

z = 0 + 2

x 1 + 3x 2 (4)

当令非基变量x 1 = x 2 = 0 , 便得到z = 0。这时得到一个基可行解

X (0)，X (0)= ( 0 , 0 , 8 , 16 , 12) T

这个基可行解表示: 工厂没有安排生产产品Ⅰ、Ⅱ ; 资源都没有被利用, 所以工厂的利润指标z = 0。

三、判断是否最优（最优解的检验和解的判别）

线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解，无穷多最优解，无界解和无可行解四种情况，为此需要建立对解的判别准则。下面我们来讨论怎样判别解属于那一种情况。

''1

n

i i ij j j m x b a x =+=-

∑

（i=1,2,…,m ） (1-1)

将（1-1）式代入目标函数 目标函数式为（1-2）

''111m n

m

i i j i ij j i j m i z c b c c a x ==+=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦

∑∑∑ （1-3）

令

'

'01

1

,,1,...,m m

i i j i ij i i z c b z c a j m n =====+∑∑

于是

01

()n

j

j j

j m z z c

z x =+=+

-∑ （1-4）

再令

j j j c z σ=- （j=m+1,…,n ）

则

01

n

j

j j m z z x σ

=+=+

∑ （1-5）

1. 最优解的判别定理

若(0)'''12(,,...,,0,...,0)T m X b b b =为对应基B 的一个基可行解，且对于一切J=m+1,…,n,有0j σ≤，则为(0)

X 最优解。称j σ为检验数。 2. 无穷多最优解判别定理 若

(0)'''12(,,...,,0,...,0)T

m X b b b =为一个基可行解, 对于一切j = m+ 1 ,

⋯, n, 有σj ≤0 ,又存在某个非基变量的检验数σm + k = 0 ,则线性规划问题有无穷多最优解。

证只需将非基变量m k x +换入基变量中, 找到一个新基可行解。因σm + k = 0, 由(1 -2 )知, 0z z = 故(0)X 也是最优解。由前面提到的定理，即，若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的

顶点上达到最优，可知, (0)X ，(1)X 连线上所有点都是最优解 3. 无界解判别定理

若

(0)'''12(,,...,,0,...,0)T

m X b b b =为一基可行解, 有一个σm + k > 0 ,

并且对i = 1 , 2 , ⋯, m ，有,0i m k a +≤, 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。

证构造一个新的解(1)X ，它的分量为

(1)'',(0)i i i m k x b a λλ+=->

(1)m k x λ+=

(1)0,j

x =

j = 0 , j = m + 1 , ⋯ , n , 且j ≠m + k

因,0i m k a +≤ , 所以对任意的λ> 0 都是可行解, 把x ( 1 ) 代入目标函数内得

0m k z z λσ+=+

因σm + k > 0 , 故当λ→ + ∞ , 则z → + ∞ , 故该问题目标函数无界。

以上讨论都是针对标准型，即求目标函数极大化时的情况。当求目标函数极小化时，一种情况如前所述, 将其化为标准型。如果不化为标准型, 只需在上述1 , 2 点中把σj ≤0改为σj ≥0 , 第3 点中将m k σ+>0改写为σm + k < 0 即可。

对于本例来说，由（4）得到非基变量

x 1 , x 2的检验数为正数,