2020北京市高考数学试题逐题解析

（2020 北京高考 1）☆☆☆☆☆
已知集合 = {−1,0,1,2}, = {|0 < < 3}，则⋂ =
（）{−1,0,1}
（）{0,1}
（）{−1,1,2}
（）{1,2}
解：选.
（2020 北京高考 2）★☆☆☆☆
在复平面内，复数对应的点的坐标是(1,2)，则 ⋅ =
在等差数列{ }中，1 = −9，5 = −1，记 = 1 2 … ( = 1,2, … )，则数列{ }
（）有最大项，有最小项
（）有最大项，无最小项
（）无最大项，有最小项
（）无最大项，无最小项
解：∵ 5 = 1 + 4，∴ −1 = −9 + 4，∴ = 2，∴ 2 = −7，3 = −5，4 = −3，5 = −1；
（本小题 13 分）★★★☆☆
如图，在正方体 − 1 1 1 1中，为1的中点．
（Ⅰ）求证：1 ∥平面1 ；
（Ⅱ）求直线1与平面1 所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：在正方体 − 1 1 1 1中，
∥ 1 1且 = 1 1，1 1 ∥ 11且1 1 = 1 1，∴ ∥ 1 1且 = 1 1，
在2 时刻，甲切线斜率比乙的小，∴甲切线斜率的相反数比乙大，甲企业污水治理能力比乙企业强；②正确；
在3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
综上，答案为①②③.
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三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（2020 北京高考 16）
∴四边形1 1为平行四边形，则1 ∥ 1，
∵ 1 ⊄平面1 ，1 ⊂平面1 ，∴ 1 ∥平面1 ；
（Ⅱ）以为原点，、、1分别为、、轴建空间直角坐标系 − ，
设正方体棱长为2，则(0,0,0)、1 (0,0,2)、1 (2,0,2)、 (0,2,1)，
业的污水排放量与时间 的关系为 = ()，用−
()−()
的大小评价在[, ]这段时间内企业污水治理能力
−
的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
3 / 11
给出下列四个结论：
① 在[1, 2 ] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
（）4
（）5
（）6
（）7
解：设圆心为，(3,4)，则|| = 1，在以(3,4)为圆心，半径为1的圆上，
|| = || − = 5 − 1 = 4，选.
1 / 11
（2020 北京高考 6）★★★☆☆

已知函数() = 2 − − 1则不等式() > 0的解集是
（）(−1,1)
（）(−∞, −1) ∪ (1, +∞)
（）(0,1)
（）(−∞, 0) ∪ (1, +∞)

解：(0) = 20 − 0 − 1，(1) = 21 − 1 − 1 = 0，
0
1
令() = 2 − − 1 > 0，得2 > + 1，
作图知， < 0或 > 1，选.
1
函数() = +1 + 的定义域是________．
>0
解：由题意{
，∴ > 0，定义域是(0, +∞).
+1≠0
（2020 北京高考 12）★★☆☆☆
2
2
已知双曲线: 6 − 3 = 1，则的右焦点的坐标为______；的焦点到其渐近线的距离是______．

解： = √6， = √3， = √6 + 3 = 3，右焦点(3,0)， =
（Ⅰ） 的值；
（Ⅱ） 和△ 的面积．
1
7
1
8
条件①： = 7， = − ；条件②， = ， =
9
.
16
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解：选择条件①
1
（Ⅰ）∵ = 7， = − ， + = 11，
7
1
∵ 2 = 2 + 2 − 2 ， ∴ 2 = (11 − )2 + 72 − 2(11 − ) ⋅ 7 ⋅ (− 7)，∴ = 8；
（）12 + 2√3
解：三棱柱上下底面是边长为 2 的等边三角形，
侧面为三个边长为 2 的正方形，
1
= 3 × (2 × 2) + 2 × (2 × 2 × 2 × 6 0°) = 12 + 2√3，选.
（2020 北京高考 5）★★★☆☆
已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为
当 < 6时，1 = −9，2 = 63，3 = −315，4 = 945，5 = −945；
当 ≥ 6时， 恒正且单增，∴ 恒负且单减；
综上，( ) = 4 = 945， 无最小值，选.
（2020 北京高考 9）★★★★☆
已知, ∈ ，则“存在 ∈ ，使得 = + (−1) ”是“ = ”的

30°
∴外接正6边形周长= 6 ⋅ = 12 ；
30°
1230°
+12 = 2，∴ = 3( 30° + 30°)，选.
∵
2







第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
（2020 北京高考 11）★☆☆☆☆
（Ⅱ）∵ = − 1 ， ∈ (0, )， ∴ = √1 − 2 = 4 3 ，
7
7
√


8
7
√3
由正弦定理得 = ， ∴ 4√3 = ， ∴ = 2 ，
7
1
1
√3
= 2 = 2 (11 − 8) × 8 × 2 = 6√3.
综上，充分必要，选.
（2020 北京高考 10）★★★★★
2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日(ay)。历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中
的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正6边形的周长和外切
正6边形（各边均与圆相切的正6边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值。按照阿尔 卡西的方

=
|3−√2∙0|
√1+2
1
√3
1
=
，渐进线： = ，即 − √2 = 0，
√2
√6
√2
= √3.
（2020 北京高考 13）★★★☆☆
⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 (
⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|
⃗⃗⃗⃗⃗ | =_______；
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅
⃗⃗⃗⃗⃗ =_______．
（）1 + 2
（）−2 +
（）1 − 2
（）−2 −
（）−10
（）10
解： = 1 + 2，∴ = − 2 = −2 + ，选.
（2020 北京高考 3）★★☆☆☆
在(√ − 2)5的展开式中， 2的系数为
（）−5
（）5
5−
解：+1 = 5 (√)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 >=
< ⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗ ⋅
4
2
1
=−
=− .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
3×2
3
⃗ |⋅|
|⃗
1
2
∴直线1与平面1 所成角的正弦值为 ．
3
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（2020 北京高考 17）
（本小题 13 分）★★★★☆
在△ 中， + = 11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
选择条件②
1
9
（Ⅰ）∵ = ， = ，, ∈ (0, )，
8
16
∴ = √1 − 2 =
（2020 北京高考 7）★★☆☆☆
设抛物线的顶点为，焦点为，准线为；是抛物线异己的一点，过做⊥于，则线段的垂直平
分线
（）经过点
（）经过点
（）平行于直线
（）垂直于直线
解：根据定义|| = ||，∴线段的垂直平分线经过点，选.
（2020 北京高考 8）★★★☆☆
（）充分而不必要条件
（）必要而不充分条件
（）充分必要条件
（）既不充分也不必要条件
(2 − 1) −
解：条件： = {
， ∈ ，∴ + = (2 − 1)或 = 2 + ， ∈ ；
2 +
结论： = ⟺ + = (2 − 1)或 = 2 + ， ∈ ；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = (2,0,2)，
⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,2,1)，

设平面1 的法向量为⃗ = (, , )，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = 0
2 + 2 = 0
⃗ ⋅
则{
，得{
，
2 + = 0
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ ⋅
令 = −2，则 = 2， = 1，则⃗ = (2,1, −2).
30°
30°
30°
在 △ 中， = 1 ⋅ = ，∴ = 2 ，
∴内接正6边形周长= 6 ⋅ = 12
30°
；



30°
30°
30°
在 △ 中， = 1 ⋅ = ，∴ = 2 ，
法，的近似值的表达方式是
30°
30°
（）3( + )
30°
30°
（）6( + )
2 / 11
60°
60°
60°
（）3( + )
60°
（）6( + )
360°
60°
解：如图作辅助线，圆心角 = 6 = ，
绝密★本科目考试启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数
学
本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束
后，将本试卷和答题卡
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
② 在2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③ 在3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④ 甲企业在[0, 1 ]，[1 , 2 ]，[2 , 3 ]这三段时间中，在[0, 1 ]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________．
解：−
()−()
表示两点连线斜率的相反数，
(−2) = (−2) 5
5−
2
，令
5−
= 2，得 = 1，
2
则 2 的系数为(−2)1 51 = (−2) × 5 = −10，选.
（2020 北京高考 4）★★☆☆☆
某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，
该三棱柱的表面积为
（）6 + √3
（）6 + 2√3
（）12 + √3
若函数() = ( + ) + 的最大值为2，则常数的一个取值为________．


解：取 = 2 ，得() = ( + 2) + = + = 2 ，符合题意.
（2020 北京高考 15）★★★★☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企
−
在[1 , 2 ]这段时间内，甲斜率比乙小，∴甲斜率的相反数比乙大，∴甲企业污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在[0, 1 ], [1 , 2 ], [2 , 3 ]这三段时间中，甲企业在[1 , 2 ]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在
[1 , 2 ]的污水治理能力最强．④错误；
已知正方形的边长为 2 ，点满足
2


解：作图如下，
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √ 2 + 2 = √22 + 12 = √5；
|

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅
⃗⃗⃗⃗⃗ = |
⃗⃗⃗⃗⃗ ||
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1 ∙ (−1) = −1.



（2020 北京高考 14）★★★☆☆