数理方程习题

2
u(0) = 0,
u(l) = 0.
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第一章 二阶常微分方程的边值问题
试证明特征值λ与特征函数X (x)所适合的特征值问题的性质1—性质4. 提示：先用上题的结果把微分算子转化成对称算子的形式. 10 试求下述特征问题 { −u′′ − λu = 0, 0 < x < l u′ (0) = 0, u(l) = 0,
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第一章 二阶常微分方程的边值问题
1 假 设 弦 的 张 力 为T0 = T0 (x)， 试 推 导 弦 平 衡 问 题 的 数 学 模 型（1.2.12） （1.2.13）. 2 如果考虑弦自身的重力，试推导弦平衡问题的数学模型. 3 证明 (a) δ (−x) = δ (x), 其中f (x) ∈ C ∞ (−∞, ∞). 4 求下列广义导数 { (a) f (x) = { (b) f (x) = { (c) f (x) = 0, x > 0 1, x < 0. 3, x>0 −1, x < 0. cos x, x > 0 0, x < 0. (b) δ (ax) = 1 δ (x), |a| (c) f (x)δ (x) = f (0)δ (x).
Ω
1 适合方 4πr
¯ 是下述边值问题的解 3 设u(x, y ) ∈ C 2 (Ω) [ ] − ∂ 2 u − ∂ 2 u + ∂ 2 u + a(x, y ) ∂u + b(x, y ) ∂u + c(x, y )u = f (x, y ), ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y u = φ(x, y ).
∂ωρ
¯ 上且不为常数的调和函数只能在Ω的边界∂ Ω上达 11 (强极值原理)一个定义在Ω 到它的最大和最小值. 试比较这个论断与定理4.2的差别. 提示：利用调和函数的平均值公式，通过反证法导出矛盾.
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第三章 变分方法与近似求解
通过与上面完全相仿的推导，我们得到⃗ c = (c1 , · · · cN )T 适合的代数方程组 ⃗∗ , K⃗ c=f ⃗∗ 为 这里荷载向量f ⃗∗ = f ⃗− f ( N +M ∑
∂y Γ2
其中Γ1 , Γ2 以及B + 的定义见上题. 8 设(r, θ)是平面上的极坐标，即 x = r cos θ, y = r sin θ, (0 ≤ θ ≤ 2π ).
试证明在极坐标(r, θ)下，Laplace方程可写为 ( ) 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u −∆u = − (r ) + 2 2 = 0. r ∂r ∂r r ∂θ 9 试证明：对于任意n = 0, 1, · · · un (r, θ) = rn (An cos nθ + Bn sin nθ), 是Laplace方程的解. (An , Bn 是任意常数)
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0<x<1
b. 取S N = Span{sin nπx, n = 1, · · · , 2N } 证明由Galerkin方法得到的近似解可 表为 uN (x) =
N 2 ∑ sin 2nπx π 3 n=1 n(4n2 − 1)
c. 通过直接计算求出它的精确解，并比较当N = 1, N = 2以及N = 3时的误差. ¯ 为下列第三类边值问题 4 设u ∈ C 2 (Ω) { −T ∆u = f (x, y ), (x, y ) ∈ Ω
∫x
0
u′ (l) + βu(l) = u1 .
可以化为具有对称形式的二阶常微分方程 − 其中 T0 (x) = e−
b(s)ds ∫x
0
, , .
c ˆ(x) = c(x)e−
b(s)ds
ˆ(x) = f (x)e− f 9 研究特征值问题
∫x
0
b(s)ds
{
u −d + b(x) du + c(x)u − λu = 0, dx2 dx
5 试用Green函数法求解边值问题 { d − dx ((1 + x2 ) du ) = f (x), dx a. u(0) = u0 , u(1) = u1 . { 2u −d + u = f (x), dx2 b. u(0) = u0 , u(1) = u1 . { 2u −x2 d + bx du + cu = f (x), dx2 dx c. u(0)有界, u(1) = u1 . (c > 0). 6 考虑下述定解问题 {
i=N +1
gi (φi , φ1 )H , · · ·
N +M ∑ i=N +1
)T gi (φi , φN )H .
由此可以看出通过变分原理与分片线性插值函数相结合，有限元方法从根本上 克服了Galerkin方法所带来的不足. 从而使变分方法焕发了新的生命力，得到 了工程与科学的很多领域的广泛认可，成为了当前解决实际问题的重要手段. 当然有关刚度矩阵的构成以及算法上的一些具体实施细节，例如区域的自动剖 分，节点的有序排列等内容已超出本课程的要求，在计算方法课程中有专门介 绍，在这里我们只介绍形成算法的基本原理，而不涉及算法的具体实施过程.
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第二章 POISSON 方程的边值问题
¯ = {(x, y )| r ≤ 1}上Laplace方程第一边值问 试通过叠加原理，求单位圆B
题的解
{
−∆u = 0, 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, u(1, θ) = φ(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π,
其中φ(0) = φ(2π ). ¯ ⊂ R2 ，若u(x, y )在Ω内适合Laplace方程，则称u(x, y )是定义 10 设平面区域Ω 在Ω内的调和函数. 试证明：若u(x, y )在Ω内调和，则对于任意小圆ω ¯ ρ = {(x − x0 )2 +(y − y0 )2 ≤ ρ2 } ⊂ Ω，有平均值公式 u(x0 , y0 ) = 1 2πρ u(x, y )dS.
−u′′ − λu = 0, 0 < x < 2π u(0) = u(2π ), u′ (0) = u′ (2π )
的特征值与相应的特征函数.
68 2 试证
第二章 POISSON 方程的边值问题
1 4πr √ 2 2 2 其中r = x + y + z ，是三维Laplace算子的基本解. 即u(x, y, z ) = u(x, y, z ) = 程 −∆u = δ (x, y, z ). 提示：定义 { } M0 = φ| φ(x, y, z ) ∈ C ∞ (R3 ), 且在充分大圆外为0 证明对于任意φ(x, y, z ) ∈ M0 ，有 ∫∫∫ u(x, y, z )(−∆φ)dxdydz = φ(0, 0, 0).
的特征值与相应的特征函数，并且讨论函数f (x)在区间0 ≤ x ≤ l上关于该特征 函数系的级数展开. 11 研究特征值问题 { d − dx (T0 (x) du ) − λρ(x)u = 0, dx −u′ (0) + β1 u(0) = 0, u′ (l) + β2 u(l) = 0,
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的性质，其中β1 ≥ 0，β2 ≥ 0，β1 + β2 ̸= 0. 12 求解周期特征值问题 {
d (T0 (x) du ) + c(x)u = δ (x − y ), − dx dx
−u′ (0) = 0,
u′ (l) = 0.
1.5 特征值与特征函数
45
其中c(x) ≥ c0 > 0. 若N (x, y )是该定解问题的解，则称其为微分算子Lu =
d − dx (T0 (x) du )具有第二边界条件的Green函数. dx
∂u T ∂n + αu = p(x, y ), (x, y ) ∈ ∂ Ω
之解，其中T, α是正常数，则上述定解问题与下列变分问题等价 J (u) = min J (v )
v ∈M
其中 ) ∫∫ ∫∫ ∫ ( ( 2 ) T 1 2 2 J (v ) = vx + vy dxdy − f vdxdy + αv − pv dS 2 2 Ω Ω ∂Ω ¯ }, α > 0, p为外力. M = {v | v ∈ C 1 (Ω) 5记
∂B
= 0.
的解，其中i = 1, 2, (x0 , y0 ) ∈ B, y0 > 0. 试证明对于固定的(x0 , y0 ), y0 > 0, u1 (x, y )是y 的奇函数，u2 (x, y )是y 的偶函数，即 u1 (x, y ) = −u1 (x, −y ), u2 (x, y ) = u2 (x, −y ). 提示：利用δ (x, y )的性质 δ (x, −y ) = δ (x, y )
d 称S (x, y )为微分算子Lu = − dx (T0 (x) du )具有第三边界条件的Green函数. dx
试用S (x, y )写出一般二阶常微分方程第三边界边值问题的解的表达式 { d − dx (T0 (x) du ) + c(x)u = f (x), dx −u′ (0) + αu(0) = u0 , 8 试证明以下形式的二阶常微分方程 − d2 u du + b(x) + c(x)u = f (x), 2 dx dx d du ˆ(x), (T0 (x) ) + c ˆ(x)u = f dx dx
v ∈M
其中 1 J (v ) = 2
∫
0
1
[v (x)] dx − 2
2 0
′
∫
1
v (x)dx − v (0).
3.3 有限元方法 3 试用变分方法求解下列边值问题 { 2u −d = cos πx, dx2 u(0) = u(1) = 0. a. 写出变分问题以及相应的变分形式（即虚功方程）
2.5 特征值与特征函数
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以及假定具有Dirac δ 函数作为右端的Poisson方程第一边值问题的解是唯一的. ¯ + 为上半圆{(x, y )| x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}，求以下两个边值问题的Green函数 6 记B { −∆u = δ (x − x0 , y − y0 ), (x, y ) ∈ B + u 以及 {
试用N (x, y )导出一般二阶常微分方程第二边值问题解的表达式 { d − dx (T0 (x) du ) + c(x)u = f (x), dx −u′ (0) = u0 , u′ (l) = u1 .
7 若S (x, y )是二阶常微分方程第三边界问题 { d − dx (T0 (x) du ) + c(x)u = δ (x − y ), dx −u′ (0) + αu(0) = 0, u′ (l) + βu(l) = 0, 的解，其中α, β ≥ 0, α + β ̸= 0, c(x) ≥ 0(即α, β 是不全为0的非负数). 则
∂B +
= 0,
−∆u = δ (x − x0 , y − y0 ), (x, y ) ∈ B + u
Γ1
= 0,
∂u ∂y Γ2
= 0,
其中 Γ1 + Γ2 = ∂B + , { } Γ1 = (x, y )| x2 + y 2 = 1, y > 0 , Γ2 = {(x, y )| − 1 ≤ x ≤ 1, y = 0} . 7 利用Green函数法，求半圆区域B + 上的边值问题解的表达式 + −∆u = f (x, y ), (x, y ) ∈ B u Γ1 = φ(x, y ), ∂u = ψ (x).
第三章 习题
1 设y = y (x)是一条连接点A(0, a)和点B (l, b)的光滑曲线，即y = y (x) ∈ C 1 [0, l]， 且y (0) = a, y (l) = b. 试建立连接A, B 两点的短程线所满足的变分问题以及等价的常微分方程边 值问题，并求出它的解. 2 求解以下变分问题： 设M = {v | v (x) ∈ C 1 [0, 1], v (1) = 0} 求u(x) ∈ M ，使得 J (u) = min J (v )
∂Ω
¯ 上的最大值必在边界∂ Ω上达到. 试证明当c(x, y ) ≥ 0, f (x, y ) < 0时，u(x, y )在Ω 4 试利用上题的结果证明：解u(x, y )连续依赖于边值φ(x, y )和右端f (x, y ). { } √ ¯ = (x, y )| r = x2 + y 2 ≤ 1 . 设ui = ui (x, y )是以下边值问题 5 记单位圆域B { −∆ui = δ (x − x0 , y − y0 ) + (−1)i δ (x − x0 , y + y0 ), (x, y ) ∈ B ui