高考第一轮复习数学 多面体与正多面体

9.11 多面体与正多面体

●知识梳理

1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.

2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

●点击双基

1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是

A B

C D

答案：B

2.正多面体只有_____________种，分别为________________.

答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成的角的余弦值是_____________.

解析：过N 作NP ∥AM 交AB 于点P ，连结C 1P ，解三角形即可.

答案： 5

2 ●典例剖析

【例1】 已知甲烷CH 4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ等于

A.－31

B. 31

C.－ 21

D. 21

解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得

cos θ=

3

32)22()3()3(2

22⨯⨯-+=－

3

1

（设正方体的棱长为2）. 答案：A

【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.

解：如图，设正八面体的棱长为4a ，以中心O 为原点，对角线DB 、AC 、QP 为x 轴、y

轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－22a ，0）、B （22a ，0，0）、C （0，22a ，

0）、P （0，0，22a ），设E 为BC 的中点，连结PE 、QE 、OE ，则∠PEQ =2∠PEO 即为所求二面角的平面角，∵OE =2a ，OP =22a ，∴tan ∠PEO =2，∠PEQ =2arctan 2.设n =（x ，y ，z ）是AB 与PC 的公垂线的一个方向向量，则有n ·AB =x +y =0，n ·PC =y －z =0，解得

x

y

z A

B C D

O

P Q

E

n =（－1，1，1），所以向量BC =（－22a ，22a ，0）在n 上的射影长d =3

|

|BC n =

3

64a

即为所求.

特别提示

由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.

【例3】 三个12×12 cm 的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A 、B 两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.

A

B

(1) (2) (3)

解法一： 补成一个正方体，如图甲，V =21V 正方体-=2

1

×123=864 cm 3.

甲 乙

解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V =V 大三棱锥－3V 小三棱锥=864 cm 3. 思考讨论

补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法. ●闯关训练 夯实基础

1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有 A.2种 B.3种

C.4种

D.5种

解析：正多面体只有5种. 答案：B

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则异面直线C 1O 与EF 的距离为_____________.

A

1

E 答案： 4

2

培养能力

3.四面体的一条棱长是x ，其他各条棱长为1. （1）把四面体的体积V 表示为x 的函数f （x ）； （2）求f （x ）的值域； （3）求f （x ）的单调区间. 解：（1）设BC =x ，则S 到平面ABC 的垂足O 是△ABC 的外心，连结AO 并延长交BC

于D ，则D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ，求得AD =242x -，S ABC ∆=

4

x 24

x -.

设△ABC 的外接圆的半径为R ，求得R =241

x

-，SO =22

43x x --， ∴V =

31S ABC ∆·SO =12

x

23x -（0＜x ＜3）.

（2）f （x ）=

12

x

23x -=

12

1 )3(22x x -⋅=

1214

9

)23(22+--x ，

∵0＜x 2＜3，∴f （x ）∈（0，8

1

）. （3）∵当x =

2

6

时，f （x ）取得最大值， 又∵0＜x ＜3，∴f （x ）的单调递增区间是（0，

26］，递减区间是［2

6，3）. 4.（文）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1

的中点.

1

A （1）求证：直线

B 1O ⊥平面MA

C （2）求二面角B 1—MA —C 的大小.

（1）证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，OB ⊥AC ， ∴B 1O ⊥AC .

连结MO 、MB 1，则MO =3，B 1O =6，MB 1=3. ∵MO 2+B 1O 2=MB 12，∴∠MOB 1=90°. ∴B 1O ⊥MO .

∵MO ∩AC =O ，∴B 1O ⊥平面MAC .

（2）解：作ON ⊥AM 于点N ，连结B 1N . ∵B 1O ⊥平面MAC ，∴AM ⊥平面B 1ON . ∴B 1N ⊥AM .

∴∠B 1NO 就是二面角B 1—MA —C 的平面角. ∵AM =5，CM =5，∴AM =CM .

又O 为AC 的中点，∴OM ⊥AC .则ON =OA sin ∠MAO =5

32⋅

=

5

6.

在Rt △B 1ON 中，tan ∠B 1NO =

ON

O

B 1=5， ∴∠B 1NO =arctan 5，即所求二面角的大小为arctan 5.

说明：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的.第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.

（理）在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点. （1）求证：四边形A 1ECF 是菱形； （2）求证：EF ⊥平面A 1B 1C ；

（3）求A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的正切值. （1）证明：取A 1B 1的中点G ，连结C 1G 、GE .

∵A 1G ∥FC 1且A 1G =FC 1，∴A 1GC 1F 是平行四边形.∴A 1F ∥C 1G .同理C 1G ∥CE .∴A 1F ∥CE .由勾股定理算得A 1E =A 1F =CE =CF =

2

5

a ，∴四边形A 1ECF 是菱形. （2）证明：连结C 1B ，∵E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点，∴C 1F =BE .又C 1F ∥BE ， ∴C 1FEB 为平行四边形.∴C 1B ∥EF .而C 1B ⊥B 1C ，∴EF ⊥B 1C.又四边形A 1ECF 是菱形，∴EF ⊥A 1C .∴EF ⊥面A 1B 1C . （3）解：由（2）知，EF ⊥平面A 1B 1C ，又EF ⊂平面A 1ECF ，∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1ECF .∴B 1在平面A 1ECF 上的射影在线段A 1C 上.∴∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角.