离散数学导论(第三版)

Y
y1 y2
f
g
X
Z
h
x1
z1
x2
z2
x3
• 逆运算（反函数） 定义：设f：XY是—一对应的函数，则f所构成的 逆关系叫f的逆映射或叫f的反函数，记以f—1：Y X （4）函数分类： • 一元函数：f (x) • 二元函数：f (x , y) • 多元函数：f (x1, x2 , …xn )
§3.3 常用函数
（6）集合的21个公式： 交换律： A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A 结合律： A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C 分配律： A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C） A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
同一律： A∪＝A A∩E＝A 零一律： A∪E＝E A∩＝ 互补律： A∪～A＝E A∩～A＝ 双补律： ～（～A）＝A
X
Y
x1
g
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
X
Y
x1
f
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
X
Y
x1
h
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
从图中可以看出函数f使得Y中的每个元素均有X中的 元素与之对应，这种函数叫做从X到Y上的函数，否则叫 做从X到Y内的函数。
从图中可以看出，函数g使得不但X中的每一个元素xi 唯一对应一个Y中的一个元素yj，而且也只有一个xi对应 yj，也就是说一个像只有一个像源与之对应，这种函数叫 做一对一的函数，否则叫做多对一的函数。
（8）n元有序组与笛卡尔乘积 n元有序组是一种特殊的集合结构形式，它有两个基 本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。 • 基本概念之一：有序偶。例：（a , b） • 基本概念之二： n元有序组。例：（a1 , a2 ,…an ） • 基本运算：笛卡尔乘积。例：AB
第二章 关系
关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关 联，主要有：
（5） 四种常用函数
• 常值函数：f (x)＝b
• 恒等函数：f (a)＝a
• 单调递增函数与严格单调递增函数：a<b，必有f (a)≤f (b)
：a<b，必有f (a)f (b)
• 单调递减函数与严格单调递减函数 ：a<b，必有f (a)f (b)
1 aA’ • 特征函数： f (a)＝
0 aA’
（6）六种常用关系 • 次序关系之一：偏序关系 • 次序关系之二：拟序关系 • 次序关系之三：线性次序关系 • 次序关系之四：字典次序关系 • 相容关系 • 等价关系
§2.4 闭包运算
（1）关系的闭包运算 • • 自反闭包 r (R) • • 对称闭包 s (R） • • 传递闭包 t (R）
（2）闭包的公式： r（R）＝R∪ s（R）＝ R∪～R
（3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） c＝a （b c） 2）交换律：a b＝b a 3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（ac） 4）单位元：a 1＝a 5）逆元：a a－1＝1 6）零元：a 0＝0 7）生成元
§5.3 同构与同态
（4）同构：（X，）与（Y，）存在一一对应函 数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1x2）＝g（x1） g（x2）此时则称（X,）与（Y，）同构。
自然数集
无限集
可列集——基数为0 实数集——基数为
整数集 有理数集
更大基数的集——（A）
第三篇 代数系统
代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研 究对象的学科。本篇共三章，第五章代数系统基础介 绍代数系统的一般原理与性质， 第六章群论，主要介 绍具有代表性的代数系统－群，最后第七章其它代数 系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、 格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的 完整的整体。
：a<b，必有f (a)f (b)
第四章 有限集与无限集
§4.1 有限集与无限集基本概念
（1）有限集与无限集的基本概念 • 有限集的两个定义 • • 集合S与Nn 一 一对应 • • 非无限集即为有限集 • 无限集的两个定义 • • S与一 一对应函数f：SS使得：f (S) S • • S存在与其等势的真子集
• 一个基本概念 • 两种表示方法 • 三种运算 • 九个公式 • 五种性质 • 六种常用关系
§2.1 关系基本概念
（1）一个主要的概念——二元关系的基本 概念：
关系定义：从集合A到B的关系R是A× B的 一个子集。
（2）两种表示方法： • 集合表示法：有序偶的集合 • 图表示法：有向图
§2.2 关系运算
从图中可以看出，函数h使得X与Y间建立了—一对应 的关系，这种函数叫X与了间—一对应的函数。
§3.2 复合函数、反函数、多元函数
（3）两种运算： • 复合运算（复合函数）设函数f：XY，g：YZ则复合
函数h＝gf：XZ是一个新的函数。 定义：设函数f：XY，g：YZ，它们所组成的复合函数
或叫复合映射gf，也是一个函数h：XZ，即： h＝g f：{(x , z)|xX , zZ且至少存在一个yY，有y=f （x），z＝g（y）}．
第五章 代数系统基础
§5.1 代数系统一般概念
1．代数系统中的基本概念 （1）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数 系统（S , ）。 （2）子代数：代数系统（S, ），（S，）满足：
① SS ② 如 a , bS，ab = a b 则称（S，）为（S, ） 的子代数。
§5.2 代数系统常见的一些性质
§1.1 集合论基本概念
（1） 一个主要的概念——集合的基本概念：一些 不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。
（2）集合中的两个关系 • 集合间的比较关系： A＝B，A≠B，AB，
AB。 • 集合与元素间的隶属关系：aA，aA。
（3） 三种特殊的集合 • 空集 • 全集E • 幂集（A）。
§4.2 有限集
（2）有限集 有限集的基数——有限集元素个数 有限集的计数——计算有限集中元素个数 有限集计数的四种方法：
• |A∪B|＝|A|+|B|
• |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
•|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －
|B∩C|+|A∩B∩C|
t（R）＝∪i=1Ri
§2.5 次序关系
（7）次序关系 • 四个定义： 偏序关系：X上自反、反对称与传递的关系称偏序关系
并用‘≤ ’表示。 拟序关系：反自反、传递的关系称拟序关系并用‘< ’表示。 线性次序关系：X上偏序关系R如有x , yx必有x ≤y或y
≤ x则称R是X上线性次序关系。 字典次序关系：有限字母表∑ 上的偏序关系。 如建立∑＊上的次序关系： 设x=x1, x2,…xn , y=y1, y2,…ym ；x , y*；x1 , x2,…xn ,y1 ,
（4） 集合的四种表示法： • 枚举法。即将集合元素一一列举。例：{1, 2, 3,…} • 特性刻划法。即用元素的性质刻划集合。例：{x | p (x)} • 图示法。即用文氏图表示集合及集合间的关系。例：
A
AB
• 运算法。即用已知集合的运算构造新的集合。例： S＝A∪ （B∩C）
（5）集合的五种运算： • 交运算：A∩B • 倂运算：A∪B • 差运算：A－B • 补运算：～A • 对称差运算：A＋B
nห้องสมุดไป่ตู้
•|S1∪S2∪…∪Sn|＝∑i=1|Si|－1≤i＜∑j≤n
|Si∩Sj|＋ ∑ 1≤i＜j＜k≤n
n－1
|Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§4.3 无限集
（3）四个常用的无限集：
• 自然数集N
• 整数集I
• 有理数集Q
• 实数集R
（4） 无限集的势
（5） 无限集分类（按势分类）
离散数学导论(第三版)
第一篇 绪言
本篇是对离散数学的宏观介绍。 1． 计算机科学与离散数学 介绍离散数学在计算机科学发展中的作用与关系，明确 离散数学是掌握与研究计算机科学的基础理论与工具。 2．离散数学的特征 • 离散性 • 能行性 3．离散数学的内容 离散数学的主要内容为： • 集合论 • 代数结构 • 图论 • 数理逻辑
• 四个次序关系间的关系： • • R是拟序则r (R) = R • • R是偏序则R－Q是拟序 • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • R是拟序则必反对称
• 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
§2.6 相容关系
§2.7 等价关系
（9）等价关系
• 等价关系定义——X上自反、对称、传递的关系称等 价关系。
• 等价类——R是X上等价关系，对xX可构造一个X的 子集[x]R 称为x 对R的等价类。
• 划分——S的子集A1，A2，…An满足：① Ai均分离 (i=1，2，…，n) ② A1∪A2∪…∪An＝S则A＝｛A1，A2，…， An｝为S的划分，而Ai称为划分的块（i=1, 2,…n）。
（8）相容关系 • 相容关系定义——X上自反、对称关系称相容关系并用
“≈”表示 。
• 相容关系的极大相容块——设有集合X上的相容关系≈， 设A是X的子集，如A中任何元素都互为相容，且X—A中的 任何元素没有一个与A中的所有元素相容，则称A是X中的极 大相容性分块。
• 相容关系完全覆盖——X上相容关系≈，它的极大相 容性分块的集合称X的完全覆盖。
• 商集——X上等价关系R所构成的类产生X的划分叫X 关于R的商集记以X／R。