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习题分析和解答
[第一章
△1. 3. 6一抽气机转速1m in 400-⋅=r ω，抽气机每分钟能抽出气体20 l (升)。

设容器的容积 V 0 = 2.0 1，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101 Mpa 降为 133 Pa 。

设抽气过程中温度始终不变。

〖分析〗： 抽气机每打开一次活门, 容器内气体的容积在等温条件下扩大了 V , 因而压强有所降低。

活门关上以后容器内气体的容积仍然为 V 0 。

下一次又如此变化，从而建立递推关系。

〖解〗： 抽气机抽气体时，由玻意耳定律得：
活塞运动第一次：
)(0100V V p V p +=
0001p V V V p +=
活塞运动第二次： )(0201V V p V p +=
020
01002p V V V p V V V p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+= 活塞运动第n 次： )(001V V p V p n n +=-
n n V V V p p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 000 V V V n p p n n +=00
0ln
（1） 抽气机每次抽出气体体积 l 05.0l )400/20(==V l 0.20=V Pa 1001.150⨯=p Pa 133=n p
将上述数据代入（1）式，可解得 276=n 。

则 s 40s 60)400/276(=⨯=t
1. 3. 8 两个贮着空气的容器 A 和 B ，以备有活塞之细管相连接。

容器A 浸入温度为 C 10001=t 的水槽中，容器B 浸入温度为 C 2002-=t 的冷却剂中。

开始时，两容器被细管中之活塞分隔开，这时容器 A 及 B 中空气的压强分别为 MPa 3053.01=p ，MPa 0020.02=p 。

它们的体积分别为 ,l 25.01=V l,40.02=V 试问把活塞打开后气体的压强是多少？
〖分析〗： 把活塞打开后两容器中气体混合而达到新的力学平衡以后，A 和 B 中气体压强应该相等。

但是应注意到, 由于 A 和 B 的温度不相等，所以整个系统仍然处于非平衡态。

我们不能把 A 和B 气体的整体作为研究对象, 而先把从 A 流入 B 的那部分气体作为研究对象，求出它的物质的量（ 即 mol 数 ），然后按照混合前后 A 和 B 总的物质的量不变这一点列出方程。

〖解〗：设原容器 A 中有 V ∆ 体积的气体进入容器 B ，且打开活塞后气体压强为 p 。

对原容器 A 中 剩下的)(1V V ∆- 体积的气体进行研究，它们将等温膨胀到体积 1V ，因而有
111)(pV V V p =∆-
（1）按照理想气体方程, 有 T pV R ν/= 关系，原容器 A 中 V ∆ 体积的气体和原容器 B 中 2V 体积的气体进行研究，它们合并前后物质的量应该不变，所以
2
222211T pV T V p T V p =+∆
（2）由（1）式、（2）两式化简可得 21221111)(T p p p V T V p pV V -=∆=- 21211222
11V T T V T V p T V p p ++=
代入上述数据，可以得到活塞打开后气体的压强 Pa 1098.24⨯=p 。

△1. 3. 10 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强 p 的空气。

先对管子加热，使从开口端温度 1 000 K 均匀变为闭端 200 K 的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为 100 K ，试问管中最后的压强是多大？
〖分析〗： 开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。

但是整体温度降为 100 K 以后, 长管中气体处于平衡态了。

关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为 100 K 以后的分子数相等的。

在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用 p= n kT 公式。

〖解〗：因为管子是一端开口的，所以 0p p =。

显然，管子中气体的温度分布应该是
x L x T 2001000200)(-+
=
（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。

考虑 x ~ x + dx 一 段气体, 它的分子数密度为 n ( x ) , 设管子的横截面积为 S, 考虑到 p = n kT , 则这一小段中的气体分子数为 x x kT Sp x x Sn N d )(d )(d =
=
管子中气体总分子数为 )(d 0x T x k Sp N L ⎰⋅=
利用（1）式可得 x L x k Sp N L d )800200(10-+⋅=⎰
管中气体最后的压强是p 1（01
p p =）, 温度是 T ， .则 kT SLp N /1=
由上面两式相等 , 最后可以计算出
020.05ln )8/1(p p p ≈⋅⋅=
即：管中气体最后的压强为020.0p 。

1. 4. 1 在什么温度下，下列一对温标给出相同的读数（如果有的话）：
(1) 华氏温标和摄氏温标； （2）华氏温标和热力学温标； （3）摄氏温标和热力学温标?
〖提示〗：利用 F 32C 5900F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=t t ，
C K]15.273[0-=T t 。

〖答〗：（1）－40 ℃；（2）575 K ；（3）没有。

1. 4. 2 定体气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为 Pa 107.63⨯。

（1）用温度计测量 300 K 的温度时，气体的压强是多少？ （2） 当气体的压强为
Pa 101.93⨯ 时，待测温度是多少？
〖提示〗：
Pa 107.63tr ⨯=p 。

利用如下公式进行计算： K 16.273)(⋅=tr p p p T ( 体积不变 )
〖答〗：（1）Pa 104.73⨯；（2）371 K 。

1. 4. 3 用定体气体温度计测得冰点的理想气体温度为 273.15 K ，试求温度计内的气体在冰点时的压强与该气体在水的三相点时压强之比的极限值。

〖解〗： 利用公式.
K 16.273lim K 15.273tr 0
tr ⨯==→p p T p
所以
96999.016.27315.273lim
tr 0tr ==→p p p 1. 5. 2 试估计水的分子互作用势能的数量级，可近似认为此数量级与每个分子所平均分配到的汽化热数量级相同。

再估计两个邻近水分子间的万有引力势能的数量级，判断分子力是否可来自万有引力。

〖分析〗： 水中的分子热运动而不分散开, 是因为分子之间有作用力。

水的汽化是某些水分子有足够大的热运动能量，足以克服分子之间作用力而跑到外面成为自由的气体分子。

我们知道分子之间作用力势能是负的, 气体分子的势能为零。

所以汽化热是用来增加分子之间作用力势能的。

另外也要考虑到, 液体转变为气体时体积扩大作等压膨胀要对外做功，它所需要的能量也由汽化热提供。

但是一般说来这两者的数量级差不多相等，而且后者小于前者。

所以可以利用前者来估计分子互作用势能的数量级。

〖解〗： 水的汽化热为 -16kg J 1025.2⋅⨯，它的摩尔汽化热为
1
416m V,mol J 1005.4mol J 018.01025.2--⋅⨯=⋅⨯⨯=L
每摩尔有 N A 个分子，每个分子平均分摊到的汽化热为J 107.6/20A m V,p
-⨯==N L ε 可以认为 p ε 就是水的分子互作用势能的数量级。

至于水中两邻近分子的万有引力势能的数量级，可以利用万有引力势能公式来估计。

假定水中两最邻
近分子质量中心之间的距离为 m 108.310-⨯（ 利用上题的结果 ），则每个分子所平均分摊到的万有引力势能的数量级为J 106.152p -⨯=ε。

〖讨论〗：我们发现万有引力势能的数量级要比分子互作用势能小 3210-。

由于分子互作用势能来自
电磁相互作用，这说明万有引力相互作用要比电磁相互作用弱得多。

1. 6. 3 一容积为 l
2.11 的真空系统已被抽到 1.33×10-3 Pa 的真空。

为了提高其真
空度，将它放在温度为
C 3000 的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。

若烘烤后压强增为 1.33 Pa ，问器壁原来吸附了多少个气体分子？
〖分析〗： 烘烤时温度上升, 器壁所吸附的气体分子有足够大的能量克服器壁对它的吸引力而释放出来。

真空系统的压强相应增加。

利用 nkT p = 公式可以计算出吸附气体分子数。

〖答〗： 181088.1⨯。

1. 6. 4 一容器内贮有氧气，其压强为 MPa 101.0=p ，温度为C 270
=t ，试求：（1）单位体积内的分子数；(2) 氧气的密度；(3) 分子间的平均距离： (4) 分子的平均平动动能。

〖分析〗： 利用 nkT p = 公式可以得到单位体积内的分子数。

利用A m mN M = 和 nm ρ= 公式可以得到氧气的密度和分子质量。

利用
3/1L n = 和 2/3t kT ε=
可以分别求得分子间的平均距离 L 和分子的平均平动动能。

〖答〗：（1）-325m 1044.2⨯；（2）-3m kg 30.1⋅；（3）m 104.39-⨯；（4）J 10
2.621-⨯。

第二章
2．2．2 量x 的概率分布函数具有形式 22π4)ex p()(x ax A x f ⋅⋅-=,式中 A 和 a 是
常数，试写出x 的值出现在 7.999 9到8.000 1 范围内的概率 P 的近似表示式。

〖解〗： 归一化， 1d )(=⎰+∞∞-x x f
在上述积分中考虑到 f ( x ) 是偶函数，所以有
14/ππ8d )(2d )(2/30=⋅⋅==-+∞+∞∞-⎰⎰
a A x x f x x f 2/π)/(3/2a A =
可以知道处于7.999 9 ~ 8.000 1 范围内概率为
x e A P a ∆⋅⋅⋅⋅=-64π464
2000.0)64ex p(64π4π)/(5.03/2⋅-⋅⋅⋅⋅=a a
2. 3. 1 求MPa 0.101C,00下 3cm 0.1的 氮气中速率在-1s m 500⋅ 到 -1s m 501⋅
之间的分子数。

〖分析〗： 这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题, 应该用相对于最概然
速率的麦克斯韦速率分布, 即使用误差函数来求解。

但是注意到, -1s m 500⋅ 到 -1s m 501⋅ 之
间仅仅差 -1s m 1⋅，它要比 -1s m 500⋅ 小得多。

可以认为在 -1s m 500⋅ 到 -1s m 501⋅ 范围内
麦克斯韦速率分布是不变的。

它的概率等于在横坐标为 -1s m 500⋅ 到 -1
s m 501⋅ 之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积（ 这个梯形可以看作矩形 ）。

〖解〗： 设 MPa 0.101C,00下，3cm 0.1中的理想气体分子数为N , 利用洛施密特常量 3250m 107.2-⨯=n 可以得到
19256107.2107.2100.1⨯=⨯⨯⨯=-N
利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v v v d ~+ 之间的分子数为
v v kT mv kT m N v v Nf d )2/ex p()π2/(π4d )(222/3⋅-⋅⋅⋅= （1）
现在其中的 -1-1s m 1d ,s m 500⋅=⋅=v v , 氮气温度 K 273=T ，而氮分子质量
kg 1067.12827-⨯⨯=m 。

将它们代入（1）式即得到在 -1s m 500⋅到 -1
s m 501⋅ 之间的分子数为
161096.4⨯=∆N 。

N , 利用洛施密特常量 3250m 107.2-⨯=n 可以得到
19256107.2107.2100.1⨯=⨯⨯⨯=-N
利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v v v d ~+ 之间的分子数为
v v kT mv kT m N v v Nf d )2/ex p()π2/(π4d )(222/3⋅-⋅⋅⋅= （1）
现在其中的 -1-1s m 1d ,s m 500⋅=⋅=v v , 氮气温度 K 273=T ，而氮分子质量
kg 1067.12827-⨯⨯=m 。

将它们代入（1）式即得到在 -1s m 500⋅到 -1
s m 501⋅ 之间的分子数为
161096.4⨯=∆N 。

2. 4. 1 因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成 2维理想气体。

如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为 T ，试给出表示分子处于速率为 v 到 v +d v 范围内的概率 f (v ) d v 表达式。

〖解〗： 我们知道, 通常的麦克斯韦速度分布是 3 维的
z
z y y x x v v f v v f v v f d )(d )(d )(⋅⋅ （1）
其中速度在z y x ,,的3个分量上的分布函数都具有如下形式：
i 2i 2/1i i d )2/ex p()π2/(d )(v kT mv kT m v v f -⋅⋅= ),,i (z y x = （2）
显然，只能在XY 平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是
y y x x v v f v v f d )(d )(⋅x x v kT mv kT m d )2/ex p()π2/(22/1-⋅⋅=
y 2y 2/1d )2/exp()π2/(v kT mv kT m -⋅⋅⨯ （3）
这就是 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。

（3）式也可以写为
y
x y x y x y x v v v v f v v v f v f d d ),(d d )()(=⋅⋅ （4） 其中 y x v v d d 实际上就是在2维速度空间中位置在 x x x v v v d ~+，y y y v v v d ~+ 范围内的正方形
这一微分元的面积，而 y y x x y x y x v v f v v f v v v v f d )(d )(d d ),(⋅=
是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。

设在 2 维速度空间中位置在 x x x v v v d ~+，y y y v v v d ~+ 范围内的这一微分元上的分子代表点数为 y x v v N ,d 。

显然它被除以微分元的面积
y x v v d d ，就是在 2维速度空间中的分子代表点的数密度 )
,(y x v v D ，所以 ),(d d /d ),(,y x y x v v y x v v Nf v v N v v D y x == ]2/)(exp[)π2/(222/1kT v v m kT m N y x +-⋅⋅=
（5）下面我们从速度分布导出速率分布。

我们知道2 维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 v v v d ~+ 的圆环内的概率 N N v /d 。

v N d 是在半径为 v v v d ~+ 的圆环内的分子代表点数。

它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度 ),(y x v v D 。

利用（5）式可以得到
v v v v D N y x v d π2),(d ⋅⋅=
v v kT mv kT m N d π2)2/ex p()π2/(2⋅-⋅⋅⋅=
v v kT mv kT m N d )2/ex p()/(2-⋅⋅=
所以分子处于速率为 v 到 v +d v 范围内的概率 f (v ) d v 的表达式为
v v kT mv kT m v v f N N v d )2/exp()/(d )(d 2-⋅== （7）
它就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布。

2. 4. 2 分子质量为 m 的气体在温度 T 下处于平衡。

若以 z y x v v v ,,及 v 分别表示
分子速度的 x 、y 、z 三个分量及其速率，试求下述平均值： （1）x v ；（2）2x v ；（3）2v v x ；（4）y x v v 2；（5）2)(y x bv v +。

〖分析〗： 在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质, 即互相排斥事件概率相加法则和相互统计独立的事件概率相乘法则。

另外, 因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数, 所以在积分时要区分被
积函数是偶函数还是奇函数。

对于偶函数，因为积分范围
+∞∞-~ 是对称区间, 所以应该分区间积分。

〖解〗： （1）麦克斯韦的速度的 x 、y 、z 三个分量分布可以表示为.
)2/ex p()π2/()(2i 2/1i kT mv kT m v f -⋅⋅= ),,i (z y x =
x x x v v kT mv kT m d )2/ex p()π2/(22/1-⋅⋅=⎰∞∞-
x x x v v kT mv kT m d )2/ex p()π2/(22/10⋅-⋅⋅=⎰
∞- 0d )2/ex p()π2/(22/10=⋅-⋅⋅+⎰
∞x x x v v kT mv kT m x x x x v v f v v d )(22⎰∞
∞-= m
kT v v kT mv kT m x x x /d )2/ex p()π2/(2222/10=⋅-⋅⋅=⎰∞ （3）由于vx 和 v2 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 的平均值等于零, 则有
022=⋅=v v v v x x （4）同样 v x , v y 相互独立, 和“（3）”类似
022=⋅=y x y x v v v v （5）利用概率相加法则
2222222
22)(y y x x y y x x y x v b v v b v v b v bv v bv v +⋅+=++=+ )1)(/(/0/22b m kT m kT b m kT +=++= 2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K ，压强为Pa 10304
⨯的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg 。

若器壁上有一面积为1.0×10
-3 ㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长
时间容器里的原子数减少为原有原子数的 e /1？
〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 Γ 来解。

应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 Γ 是个变量。

或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。

考虑在 t 到 t t d + 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N 变化为 N N d -, 其中 N d 就是在 t d 时间内泻流流出去的分子数, 列出N d 和 t d 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。

经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。

〖解〗： 在 t d 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为 4/d d -t A v n N =
其中 n 为气体分子数密度。

考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。

现在在上式两边都除以容器体积 V , 并且在 0到 t 之间进行积分 n n t V A v n n t
d )/1(d )4/(210⎰⎰=⋅-
)/ln()4/(12n n t V A v =⋅-
现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即 1)/ln(,e /1212-==n n n n
RT M A V RT M A V v
A V t m m π28π44⋅⋅=⋅⋅=⋅=
s 100=
即：经过100 s 容器内原子数减为原来的 e /1。

. 2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为 21,p p 。

两部分气体的温度均为 T ，摩尔质量均为 m M 。

试证明：如果隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为
A p p RT M t
m )(π2d d 21m -= 〖分析〗： 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边, 和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。

〖解〗： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为
mkT p ⋅=Γπ2/
现在分别用下标 1，2 分别表示隔板左、右气体的各个物理量。

在 t d 时间内通过单位面积小孔, 隔板左边净增加的分子数为 )
π2/1(21mkT p p ⋅⋅-=∆Γ
在 t d 内通过小孔的气体质量为 t A m m ∆⋅⋅∆Γ⋅=∆ A p p RT M A p p kT m t m ⋅-⋅=⋅-⋅⋅=21m 21π2π2d d
2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一
种简便方法。

考虑一半径为 m 1.0的球形容器，器壁上有一面积为 2cm 1的区域被冷却到液氮温度
( 77 K )，其余部分及整个容器均保持 300 K 。

初始时刻容器中的水蒸气压强为 Pa 33.1，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面，试问要使容器的压强减小为
Pa 1033.14-⨯，需多少时间 ?
〖解〗： 设 t 时刻分子数密度为 )(t n ，则 t d 时间内碰在 A ∆ 面积上的分子数为
t A v V t n t n d 4)()(d ∆-
=
利用 p = nkT 公式, 它可以化为 t A V v t t n t p t p d 4d )(d )()(d ∆-==
经过积分, 可以得到 )π2ex p()4ex p()(00t M
RT V A p t A V v p t p ⋅⋅∆-=⋅∆-=Pa
33.1Pa 1033.1)π2exp()(40-⨯=⋅∆-=t M RT V A p t p s 60.2π210
ln 4=∆=RT M A V t
2. 5. 5 若使氢分子和氧分子的 rm s v 等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 若使氢分子和氧分子的 rm s v 等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 已经知道月球的半径为地
球半径的0.27倍, 月球的重力加速度为地球的0.165倍。

〖分析〗： 在离地球中心距离为 R 的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率 v min （ 它称为逃逸速率 ）, 这些分子向上运动时, 只要不和其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。

其逃逸速率满足
2//E min,2
E mv R m GM = 在忽略重力加速度随高度的变化的情况下, 可以用地球表面的数据替代, 则E
E E E E min,2/2g R R GM v == （1）
其中 E g 是地球重力加速度，M E 是地球质量, E R 是地球半径。

同样，在月球表面上也有逃逸速率
M m in,v 。

和（1）式类似, 有如下表达式
M
M M M M min,2/2g R R GM v == （2）
其中下标M 表示月球的各物理量。

〖答〗： 氢分子和氧分子的 rm s v 分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为
K 100.14E H,⨯=T , K 106.15E O,⨯=T .
氢分子和氧分子的 rm s v 分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分别为
K 106.42M H,⨯=T ， K 104.73M O,⨯=T
2．6．1 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

〖分析〗： 在离地高为 z ~z z d + 的范围内的球壳体积为
z z R z V d )(π4)(d 2E +≈ （1）
[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。

而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。

]
当然, 我们也可以如下更清楚地求出： ]d d )(3d )(3[π34])()d [(π3
4)(d 32E 2E 3E 3E z z R z z R z R z R z z z V +⋅++⋅+=+-++=
忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有
z R z z V d )(π4)(d 2E +≈
〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积d V ( z ) 范围内的分子数
)/ex p()0(d )(π4)()(d )(d m 2E RT gz M n z R z z n z V z N -⋅⋅+=⋅=
z RT gz M R zR z n N d )/ex p()2(π4)0(m 2E E 20-⋅++=⎰
∞ 令 H g M RT =m / 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为)0(n ，所有大气的总分子
数为N ，则： z H z z R z H z z n N E d )/ex p(2d )/ex p()[0(π4020-+-=⎰⎰
∞∞
z H
z R d )]exp(02
E -+⎰∞]1)(221[π4)0(2E 2E 2E R mg kT R mg kT R mg kT n ⋅+⋅+⨯⋅= （2） 现在来估计 E /mgR kT 的数量级。

设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且kg 1067.129,km 104.6276E -⨯⨯=⨯=m R 100124.0104.68.91067.1292731038.162723E <<=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--mgR kT （3）
利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。

我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。

显然，用近似方法进行计算要简便得多。

这时
H R n mg kT R n N ⋅⨯==2E 2E π4)0()(π4)0( 其中 H 为大气标高。

由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

2. 6. 2 试估计质量为 kg 109 的砂粒能像地球大气一样分布的等温大气温度的数量级。

〖分析〗：（1）我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过布朗粒子的质量比一般的分子
大几个数量级。

从能量均分定理可以知道，
6/2/2/2/2/2222v m kT v m v m v m x y x ==== 若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。

同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级， 相应地其均方速率要小十几个数量级。

当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位移根本测量不出, 则砂粒的布朗运动（或者说无规运动）可以不必考虑。

可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。

（2）布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高 kT /
mg 应该都相同。

〖答〗： K 1018。

2. 7. 1 求常温下质量 M 1 =3.00 g 的水蒸气与 M 2 =3.00 g 的氢气组成的混合理
想气体的摩尔定体热容。

〖分析〗： 显然，3.00 g 水蒸气的物质的量是 mol )6/1(，3.00 g 氢气的物质的量是
mol 5.1。

由于氢气有 5个自由度，水蒸气有 6个自由度，根据能量均分定理，mol 1 氢气的内能为 RT )2/5(，mol 1水蒸气的内能为 RT )2/6(。

M 1 =3.00 g 的水蒸气与 M 2 =3.00 g 的氢气组成的混合理想气体的内能为 RT )]2/5(5.1)2/6()6/1[(⨯+⋅。

混合理想气体的物质的量为
mol ]5.1)6/1[(+，所以 mol 1 这种混合理想气体的内能为
20/51m RT U =
气体的定体热容 1
1m K mol J 2.21d d --⋅⋅==T U C V
2. 7. 3 一粒小到肉眼恰好可见、质量约为 11
10-kg 的灰尘微粒落人一杯冰水中。

由于表
面张力而浮在液体表面作二维自由运动，试问它的方均根速率是多大?
〖分析〗：灰尘微粒作二维布朗运动，它应该有如下关系 222212121v m v m v m y x =+
按照能量均分定理 kT v m v m y x 21212122==
〖答〗：
-15s m 107.2⋅⨯-。

第三章
3. 1. 1 一细金属丝将一质量为 m 、半径为 R 的均质圆盘沿中心轴铅垂吊住。

盘能绕轴自
由转动。

盘面平行于一水平板，盘与平板间充满黏度为 h 的液体。

初始时盘以角速度 0ω 旋转。

圆盘面与大平板间距离为d ，且在圆盘下方任一竖直直线上液体的速度梯度处处相等。

试求 t 秒时盘的旋转角速度。

〖分析〗： 因为圆盘与水平板之间存在相对运动，故存在如下的黏性力， A z u ηf ⋅⋅
-=d d
在不同 r 处的线速度 r ωr u ⋅=)( 不同，但是圆盘下方任一竖直直线上的速度梯度都处处相
等，所以在 r 处任一竖直直线上液体的速度梯度是d r ω/⋅。

现在以离开中心轴距离 r r r d ~+ 的
小圆环上，中心角为
θd 的一小块圆盘为研究对象（它的面积时可以近似认为它是底边为 θr d 高为 r d 的矩形）。

计算它受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩。

〖解〗：圆盘受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩分别为
dr θr d r ωη
f d d ⨯⋅-= θr r d r ωηr θr d r ωηr M d d )d d (d 2⋅-=⨯⋅-⨯=
对上式中的 θd 从 π2~0 积分，再对 r d 从 0 ~ R 积分。

可以得到 d R ωM 4π24
⋅-= （1）
利用刚体动力学中的转动定律t ωJ M d /d =，其中J 为圆盘转动惯量，现在2/2mR J =。

把（1）式代
入转动定律分离变量后两边积分，最后得到 t 秒时圆盘的旋转角速度为
)πex p(20md t R ηωω-⋅=
ê 3. 3. 3 两个长圆筒共轴套在一起，两筒的长度均为 L ，内筒和外筒的半径分别为 R
1 和R
2 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 T 1 和T 2 ，且T 1 > T 2 ，已知两筒间空气的导热系数为 κ，试证明每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为
)()/ln(π22112T T R R κL Q -=•
〖分析〗： 在这里的温度梯度不是常数，即 )/()(d /d 2121R R T T r T --≠
否则, 若把内筒和外筒之间的空间分割为一系列厚度相等的圆柱壳层。

按照
t rL T κQ d π2dr d d ⋅⋅⋅-=
这一计算公式, r 从 1R 逐步变化到 2R , 则在 t d 时间内, 由内筒向外传递的热量将逐步增加。

这不符合稳态传热（ 在 t d 时间内, 在每一圆柱面上通过的热量应该是相等的 ）条件。

唯一的可能是在内筒和外筒之间的温度梯度不是常数。

为此必须取半径为 r r r d ~+ 的某一圆柱壳层为对象，研究它的传热过程。

〖解〗： 设在t d 时间内, 由内筒向外传递的热量为常量 •=Q t Q d /d 。

现在取半径 r r r d ~+ 的某一圆柱壳层为研究对象。

则
rL T κQ π2dr d ⋅⋅
-=•
T rL κr Q d π2d -=• 两边积分，可以得到 )()/ln(π22112T T R R κL Q -=•
3. 3. 6 两根金属棒 A 、B 尺寸相同，A 的导热系数是 B 的两倍，用它们来导热。

设高
温处与低温处的温度保持恒定，求将 A 、B 并联使用和串联使用时热传递能量之比 ( 设棒的侧面是绝热的 )。

〖分析〗：对于一个存在稳定热流的均匀棒可以将傅里叶定律表示为热欧姆定律，也就是说
A L T κt Q ∆-=d d
（其中A L κ,, 分别是金属棒的热导系数、长度和截面积）可以被改写为 T T T I R U ⋅= （1）
其中 T U T ∆= 称为温压差（相当于欧姆定律中的电势差），κA L R T /= 称为热阻（相当于电阻）， t Q I T d /d = 称为热流（相当于电流）。

（1）式称为热欧姆定律。

我们可以利用它来解决一些类似于串、并联的传热问题。

〖解〗： 设 A 、B 金属棒的导热系数分别是 21κ,κ，热阻分别是 21,T T R R ，它们的串联
热阻和并联热阻分别为 并串T T R R ,。

考虑到 212κκ=，则
221212123A κL )κκκκ(A L R R R T T T =⋅+=+=串 （2）
22121221221213A κL )κκκκ(L A A κκL R R R R R T T T T T =+⋅⨯⋅⋅=+⋅=并
（3）（2）式被（3）式除，可以得到
并串T T R R )2/9(=
3. 3. 7 半径 m 1.0=a 的铀球，在原子裂变过程中以体积热产生率
-33m W 105.5⋅⨯=H 均匀地、恒定不变地散发出热量。

已知铀的热导率 -1-1K m W 46⋅⋅=κ ，试问达稳态时，铀球的中心与外表面间的温度差是多少?
〖分析〗：对于球体内部有恒定不变地均匀散发出热量的传热问题，它达到稳态的条件是：单位时间内，从半径为 r ~r r d + 的球壳向外传递的热量，应该等于单位时间内以 r 为半径的球内所产生的总的热量。

假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到；假如后者小于前者，铀球内部温度会降低，稳态仍然未达到。

〖解〗： 现在以半径为 r ~r r d + 的球壳为研究对象，设 r 及 r r d + 处的温度分别为 T r T r T d )(),(+。

由于球壳内、外表面之间存在温度梯度，有热量从球壳向外传输，球壳通过的热量
2
π4d d d d d d r r T A z T t Q ⋅⋅-=⋅⋅-=κκ
达到稳态时球壳在单位时间内透过的热流应该等于以 r 为半径的铀球在单位时间内产生的热量 （假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到），所以
2
3π4d d π34r r T r H ⋅-=⋅κ
r r H T a T T a d 3d 00κ⎰⎰=K 20.06)0(2132
20-≈-=-⋅-=-κκHa a H T T a
3. 5. 1 热容为 C 的物体处于温度为 0T 的媒质中，若以 0P 的功率加热，它所能达到的最高温度为 1T 。

设系统的漏热遵从牛顿冷却定律，试问加热电路切断后，物体温度从 1T 降为 2/)(01T T + 时所需的时间是多少?
〖分析〗： 牛顿冷却定律可以表示为
)(d /d 0T T a t Q --=
其中 0T 为环境温度。

若以 0P 的功率加热，它所能达到的最高温度为 1T , 这说明 0P 的功率加热恰好被 1T 温度时物体向环境的漏热相平衡,因而温度不再上升，由此可以定出 a 。

〖解〗： 从上面的分析可以得到如下关系：
)(d /d 0T T a t Q --= ， )
(010T T a P -=
另外又有 T C Q d d =
将上述3个公式联立后积分，
02/)(0010d )(d 101T T T P T T C t T T T t
-⋅--=⎰⎰+
最后得到
0012ln P T T C t -⋅
= 3. 6. 5 试估计宇宙射线中质子抵达海平面附近与空气分子碰撞时的平均自由程。

设质子直径为10 –15 m ，宇宙射线速度很大。

〖分析〗：这个问题的情况和上一题十分类似，碰撞截面可以利用 4/π2d σ=公式，平均自由程可以利用 n σ/1=λ 公式。

这里的 d 就是空气分子的有效直径，简单地认为 219m 10-≈σ。

而 n
是空气的分子数密度，简单认为 -325m 10
≈n 。

〖答〗： m 106-。

3. 6. 6 从反应堆 ( 温度K 0004=T ) 中逸出一个氢分子 ( 有效直径为
2.2m 1010-⨯) 以方均根速率进入一个盛有冷氩气 ( 氩原子的有效直径为m 10
6.310-⨯，氩气温度为300 K ) 的容器，氩原子的数密度为 -325m 100.4⨯ 。

试问：(1) 若把氢分子与氩原子均看作刚性球，它们相碰时质心间最短距离是多少? （2） 氢分子在单位时间内受到的碰撞次数是多少?
〖分析〗： （1）分子之间相碰时质心间最短距离就是分子碰撞有效直径，对于刚性分子，它就是两个相碰分子的半径之和。

（2）在计算分子之间碰撞的平均频率时要用到相对运动平均速率 12v 。

对于温度相同的同种分子 v v 212=，但是对于异种分子，特别是平均速率不相同的分子之间的碰撞，v v 212≠
，我们可以这样利用近似方法得到它。

把‘1’ 分子相对于‘2 ’ 分子的相对运动速度矢
量写为 2112v v v -=
其相对运动速率的平方
221212212)()(v v -==v v 2221212v v v v +⋅-= （1）
取平均值
22212122212121222v v v v v v v v +⋅-=+⋅-=v （2）
上式最右边第二项表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而
θθcos cos 212121⋅==⋅v v v v v v （3）
因为（3）式中的余弦函数是偶函数，它的平均值为零，所以（1）式可以表示为
22212221212v v v +=+=v v 又有如下近似条件可以利用
()212212v v ≈，2
121)(v v ≈，2
222)(v v ≈
所以
222112)()(v v v +≈ （4） 利用这一公式可以计算相对运动平均速率。

〖解〗：（1）对于刚性分子，氢分子与氩原子相碰时质心间最短距离也就是氢分子与氩原子碰撞的有
效直径
m 109.2m 108.1m 101.1101010A -H ---⨯=⨯+⨯=d （5） （2）从反应堆中逸出的一个氢分在单位时间内受到的氩原子平均碰撞总次数为。