高中数学最大值和最小值

【名师点评】 点：
求解函数在固定区间上的最值，
在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几 (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数 值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用
作差或作商，甚至要分类讨论．
变式训练1
求下列函数的最值：
(1)f(x)＝3x－x3(－ 3≤x≤3)； 1 (2)f(x)＝6－12x＋x ，x∈[－ ，1]． 3
1 1 由于 f(a)－f(2a)＝lna－ ln(2a)＝ (lna－ln2)， 2 2 e 所以若 <a≤2， 则 f(a)≤f(2a)， 此时 f(x)min＝f(a)＝lna； 2 1 若 2<a<e， 则 f(a)>f(2a)， 此时 f(x)min＝f(2a)＝ ln(2a)． 2 综上所述，当 0<a≤2 时，f(x)min＝lna； 1 当 a>2 时，f(x)min＝ ln(2a)． 2
【思路点拨】 求f′x → 令f′x＝0得到相应的x的值 → 划分区间 → 列表 → 观察在相应区间上的单调性 → 确定极值点 → 求极值与端点值并比较大小 → 确定最值
【解】 (1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0解得x＝－ 或 x＝ . 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极
值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a
，b]上有极值．
课堂互动讲练
考点突破 求函数的最值 在求函数的最大值和最小值时，需要先确定函数的
极值，因此函数极值的求法是关键．
例1
求下列函数的最值．
3
(1)f(x)＝2x －12x，x∈[－1,3]； 1 (2)f(x)＝ x＋sinx，x∈[0,2π]． 2
3
解：(1)f′(x)＝3－3x2，令 f′(x)＝0，得 x＝± 1， ∴f(1)＝2，f(－1)＝－2，又 f(－ 3)＝0，f(3)＝－ 18. ∴f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝－12＋3x2＝0，∴x＝± 2. ∵当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，－2)内为增函数， ∵当 x∈(－2,2)时，f′(x)<0， ∴f(x)在(－2,2)内为减函数， 1 ∴当 x∈[－ ，1]时，f(x)为减函数． 3 1 269 ∴f(x)min＝f(1)＝－5，f(x)max＝f(－ )＝ . 3 27
1.3.3
最大值与最小值
学习目标 1.理解最值的概念，了解函数的极值与最值的区别 和联系． 2 .会用导数求在给定区间上函数的最大值及最小 值．
课前自主学案
温固夯基
若函数 y ＝ f(x) 可导，则“f′(x) ＝ 0 有实根” 是 “f(x)有极值”的___________ 必要不充分 条件．
含参数的最值问题
函数解析式中含有参数，求最值，往往需要讨论， 可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较 函数值的大小等方面进行参数分界的确定．
alnx 设 a>0，函数 f(x)＝ . x (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)求函数 f(x)在区间[a,2a]上的最小值
例2
【思路点拨】 先求导，判断极值与区间端点值的 大小． 【解】 (1)函数的定义域是(0，＋∞)，又 f′(x)＝ 1－lnx a· 2 ，由于 a>0，所以解不等式 f′(x)＝ x 1－lnx 1－lnx a· 2 >0， 得 0<x<e； 解不等式 f′(x)＝a· 2 <0， x x 得 x>e.
x f′(x) f(x) (－∞， － ) ＋ － 0 极大值 (－ ， － ) 0 极小 值 ( ∞) ，＋
＋
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18， f( 2)＝－8 2， f(－ 2)＝8 2； 所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18. 1 (2)f′(x)＝ ＋cosx， 2 令 f′(x)＝0，又 x∈[0,2π]， 2 4 解得 x＝ π 或 x＝ π. 3 3
故函数 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调 递减． e (2)①当 2a≤e，即 a≤ 时，由(1)知，函数在[a,2a] 2 上单调递增，所以 f(x)min＝f(a)＝lna； ②当 a≥e 时，由(1)知，函数在[a,2a]上单调递减， 1 所以 f(x)min＝f(2a)＝ ln(2a)； 2 e ③当 <a<e 时，需比较 f(a)与 f(2a)的大小， 2
知新益能 1．最大值与最小值 x∈ I 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意_______, f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(，则称 x0)) f(x )为函数f(x)在 总有___________________ 0 定义域I上的最大值(最小值)． 2．求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的 步骤 极值 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的_____ ； 端点 (2)将函数y＝f(x)的各极值与_____ 处的函数值y＝ 最大值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_______ ，最小 最小值 的一个是_______.
问题探究
1．能否认为函数的最大值一定是函数的极大值，函 数的最小值必是函数的极小值？
提示：这种说法不正确．当函数在闭区间的端点取
得最值时，这样的最值一定不是极值．
2．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么在[a，b]上一定存在最值和极值吗？ 提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数
9分
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x f′ (x) 0
2 0， π 3
π 0
Fra Baidu bibliotek
2 4 π， π 3 3
π 0
4 π，2π 3
2π
＋
－
＋
极大值 f(x) 0 ＋
极小值 π π－
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.