高中数学最大值和最小值
新教材高中数学3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大值、最小值教师用书人教A版必修一
第2课时 函数的最大值、最小值问题导学预习教材P79－P81，并思考以下问题：1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？1．函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．函数的最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． ■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词(1)∃(存在)M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最小值是0，有f (0)＝0.(2)∀(任意)最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值为1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2 D.12，2 答案：C函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：选A.结合函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2＋2在(0，＋∞)上是增函数， 又因为x ∈N *，所以当x ＝1时，y min ＝2×12＋2＝4.答案：4图象法求函数的最值已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）.(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值． 【解】 (1)函数的图象如图所示．由图象可知f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f (0)＝－1.图象法求最值的一般步骤1．函数f (x )在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－2，f (2)B ．2，f (2)C ．－2，f (5)D ．2，f (5)解析：选C.由函数的图象知，当x ＝－2时，有最小值－2；当x ＝5时，有最大值f (5)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x （0≤x ≤2），2x －1（x >2），求函数f (x )的最大值和最小值．解：作出f (x )的图象如图．由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.利用函数的单调性求最值已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )是增函数．证明如下： ∀x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2），因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．[注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝x 2＋1x.(1)判断函数f (x )在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数f (x )在[－3，－1]上的最大值． 解：(1)函数f (x )在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x 1＜x 2≤－1，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 2x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2，由－3≤x 1＜x 2≤－1可得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， 即有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 可得f (x )在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数f (x )在[－3，－1]上递增， 所以f (x )的最大值为f (－1)，即为－2.函数最值的应用问题某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N . (2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大，最大利润为3.6万元．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)解：设摊主每天从报社买进x (180≤x ≤400，x ∈N )份晚报，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188，180≤x ≤400，x ∈N .因为函数y ＝－0.6 x ＋1 188在180≤x ≤400，x ∈N 上是减函数，所以x ＝180时函数取得最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．1.函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)解析：选B.观察函数图象知，f (x )的最大值、最小值分别为f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：选D.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x <0），画出f (x )的图象可知(图略)，f (x )既无最大值又无最小值．3．若函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________．解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数， 所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4. 答案：44．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程为x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． 所以f (x )在[1，2]上递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．[A 基础达标]1．函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2D ．3解析：选B.函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.2．(2019·河南林州一中期末考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1－x 2＋2，x <1的最大值为( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.3．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C.当a ＞0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2， 所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．函数f (x )＝2－3x在区间[1，3]上的最大值是________．解析：因为f (x )＝2－3x在[1，3]上为单调增函数，所以f (x )的最大值为f (3)＝2－1＝1.答案：16．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________． 解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是直线x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3， 解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：67．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______m.解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值18.答案：38．求函数y ＝f (x )＝x 2x －3在区间[1，2]上的最大值和最小值．解：∀x 1，x 2，且1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22（x 1－3）（x 2－3）＝（x 2－x 1）[3（x 1＋x 2）－x 1x 2]（x 1－3）（x 2－3），因为1≤x 1<x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4， 即6<3(x 1＋x 2)<12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0，x 1－3<0，x 2－3<0， 故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1，2]上为减函数，y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)若y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为x ∈[－5，5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1， 当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为直线x ＝－a . 因为f (x )在[－5，5]上是单调的， 故－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.[B 能力提升]10．设f (x )为y ＝－x ＋6和y ＝－x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知f (x )的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为6. 答案：611．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y )；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润．12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数； (2)求f (x )在[－3，3]上的最小值． 解：(1)证明：∀x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调递减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上也是减函数，所以f (x )在[－3，3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3，3]上的最小值是－2.[C 拓展探究]13．请先阅读下面材料，然后回答问题．对应问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．所以当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．(2)试研究函数y ＝1x 2＋x ＋2的最值情况． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，试研究其最值的情况． 解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0.正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4.当0＜u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14； 当u ＜0时，1u＜0，即f (x )＜0. 所以f (x )＜0或f (x )≥14. 即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)因为x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74， 所以0＜y ≤47，所以函数y ＝1x 2＋x ＋2的最大值为47⎝⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时，没有最小值． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)． 令u ＝ax 2＋bx ＋c ，①当Δ＞0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a＜0； 当4ac －b 24a ≤u ＜0时.1u ≤4a 4ac －b 2， 即f (x )≤4a 4ac －b 2； 当u ＞0时，即f (x )＞0.所以f (x )＞0或f (x )≤4a 4ac －b 2， 即f (x )既无最大值，也无最小值．②当Δ＝0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＝0，结合f (x )＝1u知u ≠0， 所以u ＞0，此时1u＞0，即f (x )＞0， f (x )既无最大值，也无最小值．③当Δ＜0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＞0，即u ≥4ac －b 24a＞0. 所以0＜1u ≤4a 4ac －b 2， 即0＜f (x )≤4a 4ac －b 2， 所以当x ＝－b 2a 时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，f (x )既无最大值，也无最小值．当Δ＜0时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2， 此时x ＝－ b 2a)，没有最小值．。
高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1
(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
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1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
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2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
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2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
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②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，
人教版高中数学第三册《函数的最大值和最小值(第1课时)》说课稿含教学设计
3.8函数的最大值和最小值（第1课时）人教版全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修Ⅱ）【教材分析】1．本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．2．教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值．3．教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．4．教学关键本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标：1．知识和技能目标（1）理解函数的最值与极值的区别和联系．（2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值．（2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处．（3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值．3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用．本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈回授”四个环节进行组织．题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．cm用此薄板折要分别,且不大于体积来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．2．如图为连续函数f(x)的图象：60cm用此薄板折要分别,不大于体积? 课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．游建龙。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高中函数最大值最小值的题型
高中函数最大值最小值的题型高中数学中的函数是一个非常重要的概念，在数学各个领域都有广泛的应用，本文就以函数的最大值最小值的为讨论的重点，来考虑如何解决函数最大值最小值的题型。
首先，让我们学习一些关于函数最大值最小值的基础知识：一个函数若满足一定条件，则它将可能具有一个最大值和一个最小值，分别称为函数的极大值和极小值。
极大值函数在定义域上的值大于等于其他点的值，极小值函数在定义域上的值小于等于其他点的值。
外，还有凸性函数和凹性函数，一个函数是凸的，就是在定义域的每一个不重叠的二分点的中间点上，函数的值都大于等于每一个分点上函数的值；而凹函数则相反，在定义域的每一个不重叠的二分点的中间点上，函数的值都小于等于每一个分点上函数的值。
其次，我们来考虑如何解决函数最大值最小值的问题：一是用微积分法来解决函数最大值最小值的问题：这是求解函数最大值最小值最常用的方法，它涉及到对函数凹凸性的判断，以及对函数的一阶导数和二阶导数的计算，并利用积分的定义和性质，对函数的极值点进行分析，最后确定函数最大值最小值的位置。
二是用函数图形法来解决函数最大值最小值的问题：函数图形法，即利用函数的图形特征，来推断函数的最大值最小值问题，其主要步骤包括先在x-y坐标轴上画出函数图形，观察函数图形的特征，比如函数是凸函数还是凹函数，然后根据变化范围确定函数最大值最小值的位置。
最后，我们来看一个关于函数最大值最小值的实际应用问题：已知函数f（x）=x2+2x-3，求该函数的极大值和极小值。
解：因为该函数是一个二次函数，其二阶导数f（x）=2，大于0，说明该函数是一个凸函数，所以f（x）的极大值在定义域内的极小值中，极小值在定义域内的极大值。
令f（x）=2x+2＝0，可得x=-1，此时函数f（x）=f（-1）=-2，故函数f（x）的极小值是-2，而f（x）的极大值可以继续用积分法求出，令f（x）的定积分为F（x），则F（x）=x3/3+x2-3x，此时F （1）=1/3+1-3= -2，故f（x）的极大值为-2。
人教版高中数学必修一《函数的最大值、最小值》PPT教学课件
3 f2.
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第三章 函数的概念与性质
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 解析：选 D.f(x)＝x－2（x2x（≥x0<）0），，画出 f(x)的图象可知(图略)， f(x)既无最大值又无最小值．
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第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)∃(存在) M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 y＝ x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0. (2)∀(任意) 最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤ M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M 的上(下)方．
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第三章 函数的概念与性质
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25x，－x2∈.8N，. 0≤x≤5，x∈N，
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第三章 函数的概念与性质
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
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第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
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高中数学 2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型课件
当 堂
自 主 导
积为 V＝(a－2x)2x，再利用三个正数的算术－几何平均值不
双 基 达
学 等式，变形为 xyz≤(x＋3y＋z)3 求解即可．
标
课
【自主解答】 设切去的小正方形的边长为 x(x<a2)，无
堂
课
互 动 探
盖方底盒子的容积为
V，则
V
＝
(a
－
2x)2x
＝
1 4
(a
－
2x)(a
－
时 作 业
当 堂
自 主
铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线
双 基
导
达
学 翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 标
才能使盒子的容积最大？
课
堂
课
互
时
动
作
探
业
究
图 2－4－1
菜单
RB ·数学 选修4-5
【思路探究】 设切去的小正方形的边长为 x，由题意可
课 前
知，折成的盒子的底面边长为 a－2x，高为 x，这时盒子的容
课 小值．
堂
课
互
【思路探究】 题设中的 ω 与 δ 的形式符合柯西不等式 时
动
作
探 究
的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．
业
菜单
RB ·数学 选修4-5
课 前
【自主解答】 由柯西不等式得 ω·δ＝[(
xl )2＋(
my )2
当 堂
自
双
主
导 ＋(
学
nz)2]·[( ax)2＋( by)2＋( cz)2]≥( al＋ bm＋ cn)2，
课 前 自
高中数学选择性必修二 第5章 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f(x)的最小值为0； 当 a<0 时，f(x)的最小值为257a3.
延伸探究 当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值.
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令 f′(x)＝0，得 x1＝－a3<x2＝a. 所以 f(x)在－a，－a3上单调递增，在－a3，a上单调递减，在[a,2a]上单 调递增. 因为 f(－a)＝－a3，f －a3＝257a3，f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3.
解决最优问题应从以下几个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域. (2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点， 则它就是最值点.
跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋 顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层， 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建 造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
解 f′(x)＝6－32x＋40502，令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6. 解得 x1＝5，x2＝－235(舍去). 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0， 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元.
最大值与最小值的数学期望的几种求法
最大值与最小值的数学期望的几种求法
一.求函数最值常用的方法
最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点,它涉及到高中数学知识的各个方面,解决这类问题往往需要综合运用各种技能,灵活选择合理的解题途径,而教材中没有作出系统的叙述.因此,在数学总复习中,通过对例题,习题的分析,归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程.
常见的求最值方法有:
1.配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.
2.判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.
3.利用函数的单调性首先明确函数的定义域和单调性,再求最值.
4.利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b 均为正数,是定值,a=b的等号是否成立.
5.换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t 的定义域范围,再求关于t的函数的最值.
还有三角换元法,参数换元法.
6.数形结合法形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值.
求利用直线的斜率公式求形如的最值.
7.利用导数求函数最值。
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值
2．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3. (1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值； (2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值； (3)(定轴动区间)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． 解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上． (1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数， 故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
上最低点的纵坐标．
【学透用活】 [典例 1] 已知函数 f(x)＝x3－－3x，2，xx∈∈[2－，15，]. 2]， (1)在直角坐标系内画出 f(x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解] (1)图象如图所示．
(2)由图象可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]；单调递减区间为(0,2)， 值域为[－1,3]．
[方法技巧] 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错 误，求解时一定注意．
【对点练清】
已知函数 f(x)＝1－6 x＋3(x∈[2,4])，求函数 f(x)的最大值和最小值． 解：设 x1，x2 是[2,4]上任意两个实数，且 x1<x2， 所以 f(x1)－f(x2)＝1－6 x1＋3－1－6 x2＋3 ＝1－6x1－1－6 x2＝61－ 1－x2x1－16－1x－2x1＝1－6xx11－1x－2x2， 因为 2≤x1<x2≤4，所以 x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在[2,4]上是增函数， 所以 f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.
高中数学4.2.2最大值、最小值值问题二 教案 (北师大选修1-1)
4。
2。
2 最大值、最小值值问题教学过程：一、创设情境，铺垫导入1．问题情境:在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm，宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）(60－2x）x=4(40－x）（30－x)x.2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活,培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围,在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后，引导学生发现，所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时,V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思",思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神,提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续,开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点:求最值问题的优化方法及相关问题,层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手法上，制作CAI课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习,本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想,引导学生主动参与到课堂教学全过程中．。
高中数学人教版A版必修一课件：第一章 《集合与函数概念》 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值
(1) 解析
作出函数 f(x) 的图象 ( 如图 ) ．由图象可知，当 x ＝±1
时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0
(2)解
任取 2≤x1<x2≤5，
x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ ， x1－1 x2－1 x1－x2 x2 x1 f(x2)－f(x1)＝ － ＝ ， x2－1 x1－1 x2－1x1－1 ∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)． x ∴f(x)＝ 在区间[2,5] 上是单调减函数． x－1 2 5 5 ∴f(x)max＝f(2)＝ ＝2，f(x)min＝f(5)＝ ＝4. 2－1 5－1
解
(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x，
1 2 － x ＋300x－20 0000≤x≤400， 从而 f(x)＝ 2 60 000－100xx＞400. 1 (2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－2(x－300)2＋25 000； ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000， 当 x＞400 时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当 x＝300 时 ，f(x)max＝25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元．
规律方法
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景” 译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析
新教材高中数学第三章函数概念与性质 单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,
新教材高中数学第三章函数的最大值最小值课件新人教B版必修第一册ppt
3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分； 当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分； 所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究 类型一 利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的 是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上 是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1） 所以Δf（Δxx） ＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1） ＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区 间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值． 【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值 【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大 值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .
新人教版高中数学必修一函数的最大值最小值课件
本例的条件不变，试求函数 g(x)的最大值．
【解析】当 m≤1 时，g(x)max＝g(2) ＝－4m－11；
当 m>1 时 g(x)max＝g(0)＝－15. 综上所述，g(x)max＝－ －415m，－m11>，1. m≤1，
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为 x＝m 为例，区间为[a，b] ，则有
函数 f(x)＝－x2 的定义域为 R，存在实数 1，∀ x∈R，都有 f(x)≤1.那么 1 是函数 f(x)＝－x2 的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x20 ＝1.
1．任何函数都有最大值、最小值吗？ 2．如果函数有最大值，那么最大值是唯一的吗？
3．如果一个函数 f(x)是区间[a，b] 上的减函数，那么函数的最大值是 f(a) 还是
月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成 本＋利润)
【问题 1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？ 【问题 2】对于函数 R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？ 【问题 3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？
点拨：考查对称轴与区间的关系．
不含参数的最值问题 首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系， (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
含参数的最值问题 【典例】已知 g(x)＝x2－2mx－15，求函数 g(x)在 x∈[0，2]上的最小值．
2 3 ，当且仅当－x＝－3x ，x＝－ 3 时等号成立．所以函数 f(x)＝x＋x3 的值域为(－∞，－2 3]
高中数学知识点精讲精析 最大值,最小值问题
2.2 最大值，最小值问题1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,1．求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值和最小值。
【解析】)3)(1(3963)(2-+=+-='x x x x x f令0)(='x f ，得3,121=-=x x ， 由于15)4(,3)2(,22)3(,10)1(-==--==-f f f f所以，)(x f 在在]4,2[-上的最大值是10)1(=-f ，最小值是22)3(-=f 。
2． 已知某商品的需求函数为x Q 1001000-=，从成本函数为Q C 31000+=。
高中数学选修本(理科)函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值●教学目标(一)教学知识点解有关函数最大值、最小值的实际问题.(二)能力训练要求用有关求函数的最大值、最小值的知识，解决一些实际问题的最大值与最小值的能力.(三)德育渗透目标1.通过解有关函数最大值、最小值的实际问题，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.2.培养学生实际问题转化为数学问题的数学思想.3.通过解决实际问题，培养学生的数学应用意识，以及学生对数学的兴趣.●教学重点求解有关函数最大值、最小值的实际问题，这是培养学生能力的关键.●教学难点如何把实际问题转化成抽象的数学问题.解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们在这一章的开始讲了，我们之所以要学习有关函数的导数与微分的知识，是为了解决在日常生活、生产和科研中常常会遇到的一些实际问题.我们首先学习了第一部分导数的概念和运算，以及微分的概念和运算；接着第二部分是导数的应用，先是用导数来研究函数的单调性，然后是函数的极值和最值.而在日常生活、生产中经常会碰到一些有关最值的实际问题.比如像引言中提到的金属罐用料最省的问题.这节课，我们就来看一下，运用我们学过的知识，怎么样来解决，诸如此类的实际问题.Ⅱ．讲授新课(一)函数最值的实际问题(课本例题)(板书)［例1］圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取(如图3—36)，才能使所用材料最省？分析：解这类有关函数最大值、最小值的实际问题时，首先要把各个变量用字母表示出来，然后需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；接着运用数学知识求解，所得结果要符合问题的实际意义.也就是说最后要进行检验.这里要使用料最省，就是使圆柱形的表面积最小，并且体积一定.解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S =2πRh +2πR 2.∵V =πR 2h ，∴h =2R V . 图3—36∴S =S (R )=2πR ·2R V π+2πR 2=RV 22πR 2 ∵S ′=S ′(R )=－22R V +4πR . 令－22RV +4πR =0，即4πR 3－2V =0. 解得R =32πV ∴333222322244)2(πππππππV V V V V V RV h ===== 即h =2R∵当0<R <32πV 时，S ′<0. 当R >32πV 时，S ′>0. ∴S (R )在R =32πV 处有极小值， 且S 极小值=6π3224πV 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值.答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.注：在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )=0的情形称单峰函数，如果函数在这点有极大(或极小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(或最小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.［例2］在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图3—37)，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？图3—37解：设箱底边长为x ，则箱高h =260x - ∴箱子容积V (x )=x 2·h =x 2·26026032x x x -=- (0<x <60)令V ′(x )=21(120x －3x 2)=23x (40－x )=0. 解得x 1=0(舍去)，x 2=40.V (40)=16000.当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，V →0即箱子容积很小∴16000是最大值.答：当箱底边长为40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000 cm 3.(二)精选例题1.求证：在同一圆的内接矩形中，正方形面积最大.分析：如果知道圆的半径R ，内接矩形的两邻边长分别为x ，y ，矩形面积S =xy ，就是要证x =y 时S 最大，由矩形、圆的性质可知，矩形的对角线就是圆的直径，把x 、y 的关系找出来，则y 可用x 表示，S 是关于x的函数，则可求S 的最大值.证明：设⊙O 的半径为R ，矩形ABCD 的两邻边长分别为x 、y .则矩形面积S =xy (0<x ，y <2R )∵∠ABC =∠ADC =90°，∴A 、O 、C 共线，∴AC =2R .∴x 2+y 2=(2R )2，y =224x R - (∵y >0) ∴S =x 224x R -.令S ′=0424422422222222=--=--⋅+-x R x R x R xx x R∴4R 2－2x 2=0，解得x 1=－2R (舍去)，x 2=2R ∴y =2)2(422=-R R R =x .又∵当x 或y 接近于0时，S 接近于0.当x 或y 接近于2R 时，S 接近于0.∴当x =y =2R 时，S 最大=2R 2.∴矩形为正方形.∴同一圆的内接矩形中，正方形面积最大.2.某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )=1200+752x 3(万元)，又知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？［生析］总利润=总的销售额－成本，总的销售额=单价×产品件数.所以关键是把单价用产品件数x 表示出来.图3—38解：设单价为q >0，由题意q 2·x =k当x =100时，q =50，∴502·100=k ，k =250000∴q 2·x =250000，即q =x 500. ∴总利润y =xq －c (x )=x ·x 500－1200－752x 3=500752-x x 3－1200. 令y ′=500·75221-x ·3x 2=x x 252625025-=0. ∴6250－225x =0，解得x =25.当x <25时y ′>0，当x >25时，y ′<0.∴当x =25时，y 有最大值.答：当产量为25万件时，总利润最大.3.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使体积为最大，则其高应为多少？解：设圆锥底面半径为R ，圆锥高为h∴h 2+R 2=202∴R =2400h -.∴圆锥体积V =31πR 2·h =31π(400－h 2)·h =31π(400h －h 3) 令V ′=31π(400－3h 2)=0，∵h >0 ∴解得h =3320 当h <3320时V ′>0，当h >3320时V ′<0. ∴当h =3320时，V 有最大值. 答：其高应为3320 cm ，体积最大. 4.在平面坐标系内，通过一已知点P (1，4)引一直线，使它在两坐标轴上的截距都为正，且图3—39两截距之和为最小，求这条直线的方程.解：设这条直线方程为y －4=k (x －1)令x =0得y =－k +4令y =0得x =－k 4+1 由题意⇒⎩⎨⎧<><⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-0440144k k k k k 或k <0.两截距之和d =－k +4－k 4+1=－k －k 4+5令d ′=－1－40)2)(2(4)1(2222=-+=-=-k k k k k k解得k 1=－2，k 2=2(舍去)当k <－2时，d ′<0当k >－2时，d ′>0∴当k =－2时，d 有最小值.∴这条直线的方程为y －4=－2(x －1)即y =－2x +6.5.平地放一重物，其重为P 牛顿，若此物体与地面之间的摩擦系数为μ，现加一外力F ，使之移动，问此力与水平方向夹角为多少时，最省力？解：水平方向F cos θ=f =μN .竖直方向F sin θ+N =P∴F sin θ+μ1F cos θ=P∴F =θμθcos 1sin +P令F ′=0)cos 1(sin )sin 1(cos 2=+--θμθθμθP∴cos θ=μ1sin θ，tan θ=μ，解得θ=arctan μ(∵0≤θ≤2π) 图3—40当θ<arctan μ时，F ′<0.当θ>arctan μ时，F ′>0.∴当θ=arctan μ时，F 取到最小值.答：此力与水平方向夹角为arctan μ时，最省力.6.数列{n n }中的最大项为第几项.n n 解：令y =n n ，n ∈N *n n n n y 1==.两边取对数ln y =n1ln n . 两边对n 求导，n n n n y y 11ln 12⋅+-=' ∴y ′=21n(1－ln n )·n n . 令21n(1－ln n )n n =0，∴n =e . n <e 时，y ′>0，y 是增函数，∴1<2. n >e 时，y ′<0，y 是减函数，∵n ∈N * ∴33>n n (n >3) 只要比较2与33，∵6369382=>=.∴当n =3时，y =n n 取到最大值. ∴数列{n n }中的最大项为第三项.［师生共评］这题中因为定义域是N *，所以n =e 不能取到，根据函数的增减性进行判断. Ⅲ.课堂练习1.把60 cm 的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时，矩形面积最大？解：设长、宽分别为x ，y .∴2(x +y )=60，y =30－x .矩形面积S (x )=xy =x (30－x )=30x －x 2令S ′(x )=30－2x =0，解得x =15.当x <15时，S ′(x )>0当x >15时，S ′(x )<0∴当x =15时，S (x )取得最大值.此时y =30－x =30－15=15.答：长、宽都为15 cm 时，矩形面积最大.2.把长100 cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？ 解：设一段铁丝长x cm ，则另一段铁丝长(100－x )cm. 则围成的正方形的边长分别为4x cm ，4100x - cm. ∴两个正方形面积之和为S (x )=(4x )2+(4100x -)2=81x 2－225x +625. 令S ′(x )=41x －225=0，解得x =50. 当x <50时，S ′(x )<0当x >50时，S ′(x )>0.∴当x =50时，S (x )取到最小值.答：应该把100 cm 的铁丝分成两段都是50 cm.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了有关解函数的最值的实际问题.首先把各变量用各字母分别表示出来，然后分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式.确定函数的定义区间，用数学知识求得最大、最小值.所得结果要符合问题的实际意义，即进行检验.如在区间内函数只有一个点使f ′(x )=0，且在这点上函数有极大或极小值，那么解实际问题时，可以不与端点值进行比较，而直接可以得出这就是最大或最小值.Ⅴ．课后作业(一)课本P 140，习题3.9 2(2)、3、4、5.(二)1.复习回顾本章基本内容.2.对本章各部分内容进行总结.●板书设计。
高中数学-最大值与最小值导学案
高中数学-最大值与最小值导学案学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念． 2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的最大值与最小值如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，则f (x 0)为函数f (x )在定义域上的最大值(最小值)．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最值的步骤 第一步，求f (x )在区间(a ，b )上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f (a )，f (b )比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．[基础自测]1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 【解析】 (1)×.反例：f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋1在[0,10]的最大值是f (10)，而不是其极大值f (1)．(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确．(3)×.反例：f (x )＝－x 2在[－1,1]上的最大值为f (0)＝0，不在区间端点取得． 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2．已知函数y ＝x 3－x 2－x ，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． 【解析】 y ′＝3x 2－2x －1，由y ′＝0得3x 2－2x －1＝0， 得x 1＝－13，x 2＝1.∵f (0)＝0，f (1)＝－1，f (3)＝27－9－3＝15， ∴该函数在[0,3]上的最大值为15. 【答案】 15[合 作 探 究·攻 重 难]求函数的最值求函数f (x )＝2x 3－12x (x ∈[－1,3])的最值．[思路探究] 求f ′(x )，研究f (x )在[－1,3]上的极值，并与f (－1)，f (3)比较确定最值．【自主解答】 f ′(x )＝6x 2－12＝6(x 2－2)＝6(x ＋2)(x －2)． 由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝ 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1，2)2 (2,3)3 f ′(x)－ 0 ＋ f (x )10↘－82↗18由上表知函数f (x )的最小值是－82，最大值是18.[规律方法] 求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.[跟踪训练]1．求函数f (x )＝x (1－x 2)，x ∈[0,1]的最值.【导学号：95902236】【解】 易知f ′(x )＝1－3x 2.令f ′(x )＝1－3x 2＝0，则x ＝±33. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1f ′(x)＋0 －f (x ) 0↗ 293 ↘ 0由上表知f (x )的最大值为239，最小值为0.含参数的函数最值问题a 为常数，求函数[思路探究] 此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a 进行分类讨论． 【自主解答】 f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只需考虑x＝a的情况．(1)0＜a＜1，即0＜a＜1时，当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2a a.(如下表所示)(2)a≥1时，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0时，x＝0时，f(x)有最大值0.当0＜a＜1时，x＝a时，f(x)有最大值2a a.当a≥1时，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.[规律方法]求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.[跟踪训练]2．已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝e x，h(x)＝x2＋ax＋a.(1)求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；(2)当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；【导学号：95902237】【解】(1)g′(x)＝e x，故g′(1)＝e，所以切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝e x.(2)f(x)＝e x·(x2＋ax＋a)，故f′(x)＝(x＋2)(x＋a)e x，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝－2.①当－2a≥－2，即0＜a≤1时，f(x)在[－2a，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，所以f(x)max＝max{f(－2a)，f(a)}．由于f(－2a)＝(2a2＋a)e－2a，f(a)＝(2a2＋a)e a，故f(a)＞f(－2a)，所以f(x)max＝f(a)．②当－2a＜－2，即1＜a＜2时，f(x)在[－2a，－2]上单调递增，在[－2，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，所以f(x)max＝max{f(－2)，f(a)}．由于f(－2)＝(4－a)e－2，f(a)＝(2a2＋a)e a，故f (a )＞f (－2)， 所以f (x )max ＝f (a )．综上得，f (x )max ＝f (a )＝(2a 2＋a )e a.由函数的最值求参数的值(范围)[探究问题]1. (1)若对任意的x ∈[1,2]，都有a ≥x 成立，则实数a 的取值范围是什么？ (2)若对任意的x ∈[1,2]，都有a ≤x 成立，则实数a 的取值范围是什么？ 【提示】 (1)a ≥2 (2)a ≤1.2．(1)若存在x ∈[1,2]，使a ≥x 成立，实数a 的取值范围是什么？ (2)若存在x ∈[1,2]，使a ≤x 成立，实数a 的取值范围是什么？ 【提示】 (1)a ≥1 (2)a ≤2.3．已知函数y ＝f (x )，x ∈[m ，n ]的最大值为y max ，最小值为y min ，(1)若对任意的x ∈[m ，n ]，都有a ≥f (x )成立，实数a 的取值范围是什么？ (2)若对任意的x ∈[m ，n ]，都有a ≤f (x )成立，实数a 的取值范围是什么？ 【提示】 (1)a ≥y max (2)a ≤y min4．已知函数y ＝f (x )，x ∈[m ，n ]的最大值为y max ，最小值为y min ， (1)若存在x ∈[m ，n ]，使a ≥f (x )成立，实数a 的取值范围是什么？ (2)若存在x ∈[m ，n ]，使a ≤f (x )成立，实数a 的取值范围是什么？ 【提示】 (1) a ≥y min (2)a ≤y max已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；[思路探究] 把a 分离出来，转化为求函数的最值问题．【自主解答】 由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a ≤2lnx ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min＝4.即实数a 的取值范围是(－∞，4] [规律方法]1．“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．2．此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，若存在实数x ∈[0,2π]，使得f (x )＜t 成立，则实数t 的取值范围是__________．【解析】 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . ∵x ∈[0,2π]，∴当x ∈[0，π]时，f ′(x )≤0，∴f (x )在[0，π]单调递减． 当x ∈[π，2π]时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[π，2π]单调递增． ∴f (x )min ＝f (π)＝－π，∴t 的取值范围t ＞－π. 【答案】 (－π，＋∞)[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．函数f (x )＝x 3－12x ＋8(－3≤x ≤3)的值域是________．【解析】 令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，而f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24，则f (x )max ＝24，f (x )min ＝－8.【答案】 [－8,24]2．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为________.【导学号：95902238】【解析】 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1g ′(x)－ 0 ＋ g (x )单调递减极小值单调递增所以当＝3时， g (x )有最小值g ⎛⎪⎫3＝－63.【答案】 －6393．函数f (x )＝e xsin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为__________．【解析】 f ′(x )＝e x(sin x ＋cos x )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数，∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e π24．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 【答案】 15．已知函数f (x )＝ln x －x ＋a ，x ∈(0，e]，若f (x )≤0恒成立，求实数a 的取值范围.【导学号：95902239】【解析】 由f (x )＝ln x －x ＋a 得 f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )递增；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，f (x )递减． ∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝－1＋a ，据题意可得－1＋a ≤0，所以a ≤1， 即实数a 的取值范围是(－∞，1]．。
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【名师点评】 点：
求解函数在固定区间上的最值，
在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几 (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数 值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用
作差或作商，甚至要分类讨论．
变式训练1
求下列函数的最值：
(1)f(x)＝3x－x3(－ 3≤x≤3)； 1 (2)f(x)＝6－12x＋x ，x∈[－ ，1]． 3
【思路点拨】 求f′x → 令f′x＝0得到相应的x的值 → 划分区间 → 列表 → 观察在相应区间上的单调性 → 确定极值点 → 求极值与端点值并比较大小 → 确定最值
【解】 (1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0解得x＝－ 或 x＝ . 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
含参数的最值问题
函数解析式中含有参数，求最值，往往需要讨论， 可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较 函数值的大小等方面进行参数分界的确定．
alnx 设 a>0，函数 f(x)＝ . x (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)求函数 f(x)在区间[a,2a]上的最小值
例2
【思路点拨】 先求导，判断极值与区间端点值的 大小． 【解】 (1)函数的定义域是(0，＋∞)，又 f′(x)＝ 1－lnx a· 2 ，由于 a>0，所以解不等式 f′(x)＝ x 1－lnx 1－lnx a· 2 >0， 得 0<x<e； 解不等式 f′(x)＝a· 2 <0， x x 得 x>e.
x f′(x) f(x) (－∞， － ) ＋ － 0 极大值 (－ ， － ) 0 极小 值 ( ∞) ，＋
＋
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18， f( 2)＝－8 2， f(－ 2)＝8 2； 所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18. 1 (2)f′(x)＝ ＋cosx， 2 令 f′(x)＝0，又 x∈[0,2π]， 2 4 解得 x＝ π 或 x＝ π. 3 3
9分
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x f′ (x) 0
2 0， π 3
π 0
2 4 π， π 3 3
π 0
4 π，2π 3
2π
＋
－
＋
极大值 f(x) 0 ＋
极小值 π π－
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
故函数 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调 递减． e (2)①当 2a≤e，即 a≤ 时，由(1)知，函数在[a,2a] 2 上单调递增，所以 f(x)min＝f(a)＝lna； ②当 a≥e 时，由(1)知，函数在[a,2a]上单调递减， 1 所以 f(x)min＝f(2a)＝ ln(2a)； 2 e ③当 <a<e 时，需比较 f(a)与 f(2a)的大小， 2
3
解：(1)f′(x)＝3－3x2，令 f′(x)＝0，得 x＝± 1， ∴f(1)＝2，f(－1)＝－2，又 f(－ 3)＝0，f(3)＝－ 18. ∴f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝－12＋3x2＝0，∴x＝± 2. ∵当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，－2)内为增函数， ∵当 x∈(－2,2)时，f′(x)<0， ∴f(x)在(－2,2)内为减函数， 1 ∴当 x∈[－ ，1]时，f(x)为减函数． 3 1 269 ∴f(x)min＝f(1)＝－5，f(x)max＝f(－ )＝ . 3 27
1.3.3
最大值与最小值
学习目标 1.理解最值的概念，了解函数的极值与最值的区别 和联系． 2 .会用导数求在给定区间上函数的最大值及最小 值．
课前自主学案
温固夯基
若函数 y ＝ f(x) 可导，则“f′(x) ＝ 0 有实根” 是 “f(x)有极值”的___________ 必要不充分 条件．
问题探究
1．能否认为函数的最大值一定是函数的极大值，函 数的最小值必是函数的极小值？
提示：这种说法不正确．当函数在闭区间的端点取
得最值时，这样的最值一定不是极值．
2．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么在[a，b]上一定存在最值和极值吗？ 提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数
1 1 由于 f(a)－f(2a)＝lna－ ln(2a)＝ (lna－ln2)， 2 2 e 所以若 <a≤2， 则 f(a)≤f(2a)， 此时 f(x)min＝f(a)＝lna； 2 1 若 2<a<e， 则 f(a)>f(2a)， 此时 f(x)min＝f(2a)＝ ln(2a)． 2 综上所述，当 0<a≤2 时，f(x)min＝lna； 1 当 a>2 时，f(x)min＝ ln(2a)． 2
f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极
值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a求函数的最大值和最小值时，需要先确定函数的
极值，因此函数极值的求法是关键．
例1
求下列函数的最值．
3
(1)f(x)＝2x －12x，x∈[－1,3]； 1 (2)f(x)＝ x＋sinx，x∈[0,2π]． 2
知新益能 1．最大值与最小值 x∈ I 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意_______, f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(，则称 x0)) f(x )为函数f(x)在 总有___________________ 0 定义域I上的最大值(最小值)． 2．求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的 步骤 极值 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的_____ ； 端点 (2)将函数y＝f(x)的各极值与_____ 处的函数值y＝ 最大值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_______ ，最小 最小值 的一个是_______.