最值 导数在经济问题中的应用

求使平均成本最小的产量，并求最小平均成本是多少？
C (q) 1 100 q 3 解 平均成本 C (q) q 25 q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 100 C (q) 2 25 q
令 C (q) 0, 得 q1 50,
q2 50（舍去）
q1 50 是平均成本函数 C (q) 的唯一驻点，
它不随产品产量的变化而变化。C0
变动成本： 原材料费用、工人工资等， 它随产品产量的变化而变化。C1 (q)
成本函数：
C C0 C1 (q)
C ( q ) 平均成本函数： C q
4、收入函数(收益函数)
总收入： 生产者出售一定量产品所得到的全部 收入。 设 R
总收入，
q
销售量，
p
价格，则
求：当日产量为100吨时的边际成本。
] 解 C( x) 1000 7 x 50 x , x [0,1000 25 C ( x) 7 x 25 7 2.5 9.5(元 / 吨) C(100) 7 100
C(100) 的经济解释：
▽
例2
设某种家具的需求函数为 q 1200 3 p,
f (1) 10, f (2) 7.
所求的最大值为 2,
最小值为 10 .
2、实际问题中的最值问题
在实际问题中，常常需要求在一定条件下，怎样 才能使用料最省，容积最大，平均成本最低，费用 最少等问题， 这些问题反映到数学上，都可归结为
求某一函数的最大（小）值问题。
● 利用导数解决实际问题中的最值时，若所建立的 函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 内只有一个驻点 x0 ，且从 实际问题可知 f ( x) 在 ( a, b) 内必定有最值，则 x0 就是最值点。
（三）经济分析中的最值问题 例1 某厂生产某种产品 q 千件时的总成本函数 2 C ( q ) 1 2 q q 为： （万元），单位销售价格
为： p 8 2q（万元/千件）， 试求：1）产量为多少时可使利润达到最大？ 2）最大利润是多少？
解 1）由已知得 R(q) q p q (8 2q) 8q 2q
1、需求函数 需求量： 在一定的价格水平下，消费者愿意而且 有支付能力购买的商品量。
需求量由多种因素决定。其中商品的市场价格是影响它的 一个主要因素。
设 qd
需求量，
p
价格，则
qd q( p)
● 一般地，需求函数是单调减少函数。
2、供给函数
供给量：在一定的价格水平下，生产者愿意生产 并可供出售的商品量。
求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量。
解
由
qd q s
得
15 2 p 3 p 5
解之， p 4 故 p0 4. 从而 q0 3 p0 5 3 4 5 7.
▽
3、成本函数
成本： 生产一定数量的产品所要投入的各种 生产要素的总费用。C
固定成本：厂房、设备等固定资产的折旧，管理者的固定工资等
试求该商品的收入函数 R (q ) ，并求销量为200件 时的总收入和平均收入。 q 解 由 q 1000 5 p 得 p 200 5 R(q) q p(q) 2 q q q ( 200 ) 200q . 5 5 又 R R(q) 200 q q 5 2 200 R(200) 200 200 32000 . 5 200 R (200 ) 200 160 . 5
令 S 0,
得驻点： r 从而
2 （唯一的驻点）
h 4.
当底半径 r 2 ，高 h 4 时所用的铁皮最省。
练习 制作一个底面为正方形，体积为 64 m 的
封闭长方体容器，如何设计才能使所用材料最省？
3
解 设底面正方形边长为 a，高为h ，
长方体的表面积为 s ,
由题意得：v 64 a h
a

a 当小正方形边长为 时，能使盒的容积最大。 6
a v 0, 得驻点：x （惟一的驻点） 6
3 ( m ) 的带盖圆柱形 16 例2 要制造一个容积为 铁桶，问底半径 r 和高 h 分别为何值时，才能
使所用的铁皮最省？
解 设铁桶的表面积为 S ,
h 16 由题知 V 16 r 2 h h 2 r r 2 S 2r 2r h 16 32 2 2 2r 2r 2 2r . (r 0) r r 32 S 4r 2 r
1 L(q ) 40 q 5 令 L(q) 0, 得驻点
确实存在最大利润.
q 200
q 200 是利润函数 L(q) 的唯一驻点，又该问题 q 200 是利润函数的最大值点。故当…..
例3 设某产品的成本函数为： 1 2 C (q) q 3q 100 （万元）， 25 其中 q 是产量（单位：台）.
利润函数 L(q) R(q) C (q)
2
8q 2q 2 (1 2q q 2 ) 6q 1 3q 2 .
从而有
L(q) 6 6q
得驻点 q 1
令 L(q) 0,
q 1 是利润函数的 L(q) 的唯一驻点，又该问题
确实存在最大利润。
q 1 是利润函数 L(q) 的最大值点。
2
64 256 2 . s 2a 4ah 2a 4a 2 2a a a 256 s 4a 2 a 令 s 0, 得惟一驻点：a 4. h 64 4 a2
2
2
64 h 2 a
h
a
故….
五、导数在经济问题中的应用
（一） 经济分析中常见的函数
f ( x0 ) 的经济解释：
函数 f ( x) 在点 x0 处，当 x 改变一个单位时，
y
相应地近似改变 f ( x0 ) 个单位。
证明： y
x x0 x 1
dy x x0 f ( x0 ) x x 1 f ( x0 )
x 1
▽
例1 某化工厂日生产能力最高为1000吨，每日产品 的总成本 C （单位：元）是日产量 x（单位：吨） 的函数： C( x) 1000 7 x 50 x
故当产量为 1 千件时可使利润达到最大。 （2）最大利润为
L(1) 6 1 3 2 （万元）
例2 某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，
每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场
p 为价格）。 需求规律为 q 1000 10 p （ q 为需求量，
试求：1）成本函数，收入函数； 2）产量为多少吨时利润最大？
第3章 导数的应用
四、函数的最值
1、闭区间上连续函数的最大（小）值
f ( x)
最值
区间端点取得
[ a, b]
极值点
驻点
导数不存在的点
区间内部某点取得
y
O
a
x1
b x
● 求闭区间上连续函数 f ( x) 最值的步骤：
① 求出 f ( x) 在区间内部的所有驻点及导数 不存在的点。 ② 计算上述点及端点处的函数值。 ③ 比较计算出的函数值的大小，其中最大者就是 函数的最大值，最小者就是函数的最小值。 ◆ 若函数在闭区间上连续且单调，则最值在端点处
q 其中 p（单位：元）为家具的销售价格，（单位：件）
为需求量。试求销售450 件时的边际收入。 1 解 由 q 1200 3 p, 得 p (1200 q ) 3 收入函数为 R(q) q p
1 2 1 q (1200 q) 400 q q 3 3 2 边际收入函数为 R(q) 400 q 3 2 故 R(450) 400 450 100 . 3 ▽ R(450) 100 的经济解释：
又该问题确实存在最小平均成本。
q1 50 是平均成本函数 C (q) 的最小值点。
故当产量为 50 台时，平均成本最小，最小平均成本为
1 100 C (50) [ q 3 ]q 50 25 q
7 （万元/台）
解 1）成本函数 C (q) 60q 2000
q 1000 10 p
故收入函数 R(q) q p
1 p 100 q 10
1 1 2 q (100 q) 100 q q 10 10
2）利润函数 L(q) R(q) C (q)
1 2 (100 q q ) (60 q 2000 ) 10 1 2 40 q q 2000 . 10
供给量也由多种因素决定。
设 qs
供给量，
p
价格，则
qs q( p)
● 一般地，供给函数是单调增加函数。
● 市场均衡 对一种商品而言，若 此商品达到市场均衡。 市场均衡价格： p0 市场均衡数量： q0
qd q s
，则称
▽
例1 已知某产品的需求函数为： qd 15 2 p,
供给函数为：qs 3 p 5,
收入函数： 平均收入函数：
R(q) q p(q)
R(q) R q
5、利润函数
利润： 总收入与总成本之差。 L 利润函数： L(q) R(q) C (q)
L( q ) 平均利润函数： L q
● 盈利： 亏损：
L( q ) 0
L( q ) 0
盈亏平衡：L(q) 0
例2 设某商品的需求函数为：q 1000 5 p,
（二）边际
定义：若 f ( x) 是经济问题中的某个可导函数， 则称 f ( x )
f ( x) 的边际函数。
边际函数 f ( x ) 在点 x0 处的 边际函数值。
f ( x0 )
● 边际成本：C(q) ● 边际收益： R( q ) ● 边际利润： L(q )
▽
● 边际函数的经济解释
取得。
例 求 f ( x) x 5x 5x 1 在 [1,2] 上的
5 4 3
最大值和最小值。
解 f ( x) 5x 20x 15x 5x ( x 4x 3)
4 3 2
2
2
5x ( x 1)(x 3).
2
令 f ( x) 0 得驻点： x1 0, x2 1, x3 3（舍） 又 f (0) 1, f (1) 2,
例1 将边长为 a 的正方形四角截去四个相等的小
正方形，然后折成一个无盖的盒，问小正方形边长 为多少时，能使盒的容积最大？
a 2x
解 设所截小正方形的边长为 x,
由题意得：v (a 2 x)
2
x
x,
a x (0, ) 2

令
2 v 2(a 2 x)(2) x (a 2x) (a 2 x)(a 6 x).