在一般条件下重积分变量变换公式的证明

数学分析 第二十一章 重积分
本节将给出在 具有一阶连续偏导数的 条件下, 重积分变量变 换公式(定理 21.13 )的一 般证明.
*§9 在一般条件下重 积分变量变换公
式的证明
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理.
引理 设变换T : x x(u,v) , y y(u,v) 将 uv平面
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第3步的证明 用平行于坐标轴的直线将uv平面分割成
大小相等的闭正方形，假定与int 交集不空的正方形
为I1, I2,L , In, 完全在int 内正方形为I1 , I2 ,L , Is,
不完全在int 内正方形为I1, I2,L , It. 再作的分割
x ui,vi , y ui,vi
T Ii
s
lim
T 0 i1
T
Ii
D.
最终得到
D J (u,v)dudv.
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I
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0
满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
(u1,v1) I .于是
T (u,v) x(u,v) , y(u,v) L(u1,v1) L I1 ,
这样就证明了T I L I1 .
uv uv 设I1的二邻边向量是l1,l2，由于L是仿射变换，L
I1
uv uv
是邻边向量为L l1 ，L l2 的平行四边形，故
LI1
xu,v xu0,v0 xu u0,v0 u u0 xv u0,v0 v v0
o, 0,
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
yu,v %y u,v
yu,v yu0,v0 yu u0,v0 u u0 yv u0,v0 v v0
由于 J u,v 在上可积及
J u,v J0 x u,v , yu,v 1，
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
有
s
J u,vdudv
lim
T 0 i 1
J ui,vi
Ii
s
lim J T 0 i1
ui , vi
J0
T
In
In
J
u,
v
dudv
4n
,
L
由定理16.2，存在u0,v0 I In int . 于是 0,
n1
存在u0,v0 的开邻域G int 满足第1步的结论.于是
当n充分大时In G. 从而
I
4n
In
T
In
In
J
u,
v
dudv
4n
,
即 I 0,令 0得到0 0，矛盾.
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
L
u,
v
°x u, %y u,
v v
x y
u0 u0
, ,
v0 v0
JT
u0
,
v0
u v
u0 v0
,
其中JT
u0
,
v0
xu yu
u0 u0
, ,
v0 v0
xv yv
u0 u0
, ,
v0 v0
.
由于x u,v ，y u,v 在u0,v0 处可微，因此 x u,v °x u,v
故(u0,v0)的邻域G1 int ,当(u,v)G1
J u,v J u0,v0 .
定义映射
°x u,v
%y u, v
x u0,v0 y u0,v0
xu yu
u0 u0
,v0 ,v0
u u
u0 u0
xv yv
u0 , v0 u0 , v0
v v
v0 v0
, .
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I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
(记为I1 ), 使
T
I1
I1
J
u,
v
dudv
4
.
再将I1等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一
个(记为I2 ),
T
使
I2
Байду номын сангаас
I2
J
u,v
dudv
42
.
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
这样我们得到正方形序列I1 I2 L 使
v0
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
°x %y
u1 u1
, ,
v1 v1
°x %y
u, u,
v v
.
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于是
u1 u a °x u1,v1 °x u,v b %y u1,v1 %y u,v a xu,v °xu,v b yu,v %yu,v
t
t
lim
T 0 i 1
Ii I
0 和 lim TD 0 i 1
T Ii I
0
同时成立.
为此，定义上的函数
u,v
1,
0,
u,v int , u,v .
因 u,v仅在零面积集上不连续，据定理21.7，
n
u,
v
在上可积.
由定理21.4，lim
T 0
i 1
i
I
i
I
0,
其中i是 u,v 在Ii I 上的振幅.因Ii不完全在int 内，
o, 0,
其中 u u0 2 v v0 2 .
设
JT u0,v0
1
a c
b d
,令M
a
b
c
d
.
(u0,v0)的邻域G G1,当(u,v)G,
x u,v °x u,v , yu,v %yu,v
2 2M
2 2M
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L
uv l1
L
uv l2
uv uv
J u0,v0 l1 l2 J u0,v0 I1 .
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因此 T I L I1 J u0,v0 I1
J u0,v0 1 2 I ,
J u,vdudv J u0,v0 I .
a x u,v °x u,v b y u,v %y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
上的由分段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一 地映成xy平面上的闭区域D，x x(u,v) , y y(u,v) 在上分别有一阶连续偏导数且其函数行列式
J (u,v) ( x, y) 0, (u,v) . (u, v )
则区域D的面积
(D) J (u,v)dudv.
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s
0 J u,vdudv J u,v dudv
i 1 Ii
s
t
J u,v dudv M IiI 0 T 0.
于是 i 1 IiI
s
i 1 s
D
lim
TD 0 i 1
T Ii
lim J u,vdudv TD 0 i 1 Ii
J u,vdudv
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任取正方形I int , 满足(u0,v0 ) I ,并设I边长是 .
任取 x(u,v) , y(u,v) T I ,其中(u,v) I .
设(u1,v1) L1 x(u,v) , y(u,v), 由于
°x u1 %y u1
, ,
v1 v1
°x u, %y u,
v v
JT
u0
,
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
证 证明分以下四步：
第1步：对(u0,v0)int , 0,(u0,v0)的邻域G,
当正方形I G且(u0,v0 ) I时，
T I J(u,v)dudv I .
I
第2步：正方形I int ， T I J (u,v)dudv.
T Ii I i 1,2,L ,n
和D的分割
TD T Ii I i 1,2,L ,n .
由于T在上的一致连续性，当 T 0时，TD 0.
t
t
又因为 U IiI 及D UT IiI ,可证
i 1
i 1
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且至少有t一个内点.i 1. 而nIi完全在int 内,i 0.
故 lim T 0 i1
I i I
lim
T 0
i
1
i
Ii
I
0.
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t
同理可证
lim
TD 0 i1
T IiI
0.
设 J u,v 在上的上确界为M,则
I
由此得到
T I J u0,v0 1 2 I
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
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第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
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第4步的证明
记J0
x,
y
u, v x, y
,以T
1代替T ,
以Ii代替D,T Ii 代替代入上式, 并由积分中值定
理，存在ui,vi Ii，使得
Ii T 1 T Ii J0 u,vdudv T Ii J0 x ui,vi , y ui,vi T Ii ,i 1,2,L , s.