3.2 基尔霍夫衍射理论
信息光学-第3章 标量衍射理论
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
基尔霍夫衍射理论
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§ 3. 基尔霍夫衍射理论
c.相干光场在自由空间传播的平移不变性
当观察屏足够远，衍射区相对小时，可得：
cos( n r ) 1
cos(
n
r0
)
1
此时点扩散函数为：
Q
h(P,Q )
1 e jkr j r
K ( )
1 e jkr j r
Optical Information Processing
光学信息处理
第二章
Scalar Quantity Diffraction Theory
标量衍射理论
§ 3. 基尔霍夫衍射理论
a.惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
p
1.惠更斯-菲涅耳原理
S*
波传到的任何一点都是子波的波源， 各子波在空间某点的相干叠加，就 决定了该点波的强度。
b.惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分
当令：
h ( p1, p )
1 e jkr j r
K ( )
基尔霍夫衍射公式可表示为：
U ( p ) U 0 ( p 1 ) h ( p 1 , p ) dS
S
h ( p 0 , p ) 的物理意义：
在p1点有一个单位脉冲（U0(p1)dS）在观察点p造成的复振幅分布。 ——脉冲响应函数或点扩散函数
dU ( p ) U ( p 1 ) K ( θ ) dS r
n
dS ·
r
p1
S(波前)
设初相为零
dU(p)
p·
§ 3. 基尔霍夫衍射理论
a.惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
K( ):倾斜因子
傅里叶光学课件 02_02基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射过程假设与近似(1)整个光波场内光矢量振动方向不变,或只考虑光矢量的一个分量;(2)衍射屏的最小尺度远大于波长.(3)观测距离远大于波长．光波衍射的线性系统分析基尔霍夫波衍射理论(书2.1惠更斯－菲涅耳原理与基尔霍夫衍射理论一、惠更斯－菲涅耳原理子波(次波)相干叠加0exp()(,)jkr K r θθdU (Q )0)jkr Σ••QrΣnθθS 1S 20exp()1(cos 2jkr r θi是在无限大不透光屏上有一开孔的情况下推导出的. 但可以推广到其它任何复杂的衍射屏。
只是此时，公式中:()()()i P U P t P =入射到衍射屏上的光场的复振幅分布，衍射屏的复振幅透过率。
光波衍射过程是线性系统变换基尔霍夫衍射积分公式为:1e (x )p j krjkr j r 1exp()1(cos 2λ=i 此式是一个叠加积分，满足线性系统的叠加性和均匀性。
因此衍射过程（光波从衍射平面到观察平面的传播过程）可以看作是一个线性系统。
是该线性系统的脉冲响应(点扩散函数可以看作是: 衍射屏上P 点的一个单位脉冲在场产生的复振幅分布。
它描述了衍射系统的特性。
相干光场在自由空间传播的平移不变性2z距z 足够大），且观察范围较0cos 1θ≈(U x 0r Si(x 0这表明，在满足一定条件下，衍射屏上各次波源在场点处所产生的复振幅分布具有相同的分布形式，只是发生了也就是说，具有平移不变性。
可写成卷积形式：21exp jk z zλ⎡+⎣0)(,)y h x x y y −−相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式21exp jk z j zλ⎡⎣220)()1y y z ⎡+−=⎢⎣一、菲涅耳近似(傍轴近似) →菲涅耳衍射在衍射屏和观察范围确定后，当项以后的高次项，不会引起明显的相位误差。
高次项中，起主要作用的是第3项，即当由第20()(28x x zπλ⎡−+⎣201()(8x x λ⎡−+⎣exp()exp jkz jk j z λ⎡=⎢⎣系统的脉冲响应可表示为：菲涅耳衍射的脉冲响应，仍具有平移不变性0002(,)exp exp()exp 2U x y jk jkz x jk j z z λ∞−∞⎡⎢⎣⎡+⎢⎣∫二、夫琅禾费近似（远场近似）→在菲涅耳近似的基础上，如果z 进一步增大，且进一步限定衍射屏透光区域，以至于：2max 2π 可以忽略，忽略该项所引起的相位误差很小22)y y x ⎤−exp())exp jkz x jk j z λ⎛=⎜⎝22exp 2(2y x j x z z πλ⎞+⎡−⎟⎢⎣⎠000)(,;,)y h x y x y dx 则衍射的光场分布为:从上式可以看出：夫琅禾费衍射仍是线性系统，但不是平移不变系统，不再具有平移不变性。
第9章 像差的衍射理论
13.()exp⎞⎞ikr值由入射波决定，与不存在不透明屏时完全相同；23r′4r′5r′根据二项式展开公式同济大学物理系6789)=-0.5同济大学物理系10指向负方向。
()()()F w C w iS w =+⎞⎟⎠dt A(w=w 2⎤−ik B(w=w 2)()11⎥y y dy 同济大学物理系1112由此得到半平面屏的菲涅耳衍射图样振幅分布：()()()12,1λ∞⎡⎤⎛⎞=−−∞⎢⎥⎜⎟⎜⎟+⎢⎥⎝⎠⎣⎦U U x y F x F i z ST OBA同济大学物理系13维分布状焦点附近的三维光分布状态没有像差的透镜，由于系统孔径光阑的限制，会聚球面波受到孔径的衍射限制而形成夫琅禾费衍射，理想的点像在透镜焦平面上形成爱里斑。
如何分析在焦平面附近的光分布情况，即三维的光强分布！•用洛德尔函数计算衍射积分（P点的复振幅U(P)）在焦平面附近的任一点的光场复振幅分布就可以用德拜积分公式来表示，此积分公式把场表示成不同传播方向的平面波的叠加。
同济大学物理系14焦点附近的三维光分布状态维分布状Array1516r r17焦点附近的三维光分布状态维分布状()(4)ikq RiU P A ed λ−Ω=−Ω∫∫rr 德拜积分的说明：18(5)令：()cos ,cos ,a y r ηρθψ⎬==⎭θ、ψ分别为Q 点和P 点相对于OY≤≤轴的方位角。
0≤ρ≤1P(x,y,z)ÆP(r*sin ψ, r*cos ψ, z)Q(ξ,η,ζ)ÆQ(a ρ*sin θ, a ρ*cos θ, ζ)Q 点是球面W 上一点，则有：19202π⎛⎞2a Array21⎝⎠⎣⎦=−200()(11)U P e ed d fρρθλ∫∫上式中对θ的积分可利用贝塞尔恒等式：21πθ()()00exp cos 2J x jx d θψπ=−−⎡⎤⎣⎦∫代入到德拜积分式：()22121222()f i u iu a ia AU P e J v ed fρπρρρλ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=−∫把实部和虚部积分分开：2112iu ρ−=−()()()02,,J v ed C u v iS u v ρρρ∫22232411cos sinu u Array25()1J x Array26三维的强度分布：I ⎤⎞⎪⎬⎥⎟27⎠⎪⎦⎭2+n sv=0）28维分布状焦点附近的三维光分布状态图：圆孔衍射会聚球面波子午面上焦点附近的等照度线。
中科大-傅里叶光学Ch3【1】
第三章：标量衍射理论基础历史引言 数学预备知识 平面屏幕衍射的基尔霍夫理论 平面屏幕衍射的瑞利-索末非理论 瑞利-索末非理论推广到非单色波情形 在边界上的衍射 平面波的角谱1：历史引言光的波动理论形成 *惠更斯原理 *惠更斯——菲涅尔原理ndΣ QSΣ(波前)·θ r% dU ( p ) • p% U ( p) =% dU ( p ) ∫∫衍射:不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的偏离现像— Sommerfield标量衍射理论(傅立叶光学＼信息光学，波动光学，近场光学，激光光学）只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅和行为，而 假定任何别的有关分量也具有相同的行为，可以用同样 的方式来独立处理。
电场 \ 磁场 的各个分量通过麦氏方程耦合起来 , 并不能独 立的处理。
标量衍射理论的适用性和局限性 1、衍射孔径∑>λ 2、不要在太靠近孔径的地方观察衍射场 （傍轴条件） 比如：高分辨率光栅，使用标量衍射理论有其很 大的局限性 f=1/d，d越小越精细，则空间频率越高，场甚至 不能以辐射波的形式传播，以表面波的形式存在。
衍射理论的种类 1）惠－菲衍射理论 2）基尓霍夫衍射理论 3）瑞－索衍射理论 4）角谱衍射理论 5）边界衍射理论ＨＦ衍射理论v nv r21Q θdΣθ0% U ( p) =% dU ( p ) ∫∫ikr01v r01ΣSikr21% dU ( p ) •pikr01Ae % ( p ) = U (Q ) F (θ , θ ) e % dU dΣ = 0 r01 r21e F (θ 0 , θ ) dΣ r01ikr01% ( p ) = Ae U r21ikr21e ∫∫ F (θ 0 , θ ) r01 d Σ惠－菲原理的数学表达式2：数学预备知识２.１.单色平面波表示法和亥姆霍兹Helmholtz方程单色波（实数）U ( P,t ) = U ( P ) cos[2πν t + ϕ ( p )]单色波的复数表示% Re[U ( P )e − i 2πν t ]% U ( P ) = U ( P )e − iϕ ( p ) → 复振幅U ( P ) → 实振幅U ( P, t )满足标量波动方程1 ∂2 ∇ U ( P, t ) − 2 2 U ( P, t ) = 0 c ∂t2% U ( P)满足不含时的helmholtz方程% ( ∇ 2 + k 2 )U ( P ) = 0自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅必满足Ｈ.Ｅ.2.2 格林定理衍射、传播→不见源只见面→表－里⇒高斯定理→格林定理定义：令U(P)和G(P)为位置坐标的两个任意的复值函数，S为包围体积 定义 V的封闭曲面，若U、G以及它们的一阶和二阶偏微商都是单值的并 且在Ｓ内和Ｓ上连续，则有：∂U ∂G ∫ V ∫ (G∇ U − U ∇ G)dv = ∫ ∫ (G ∂n − U ∂n )ds ∫ S2 2∂ 表示在S上每一点沿向外的法线方向上的偏微商。
基尔霍夫衍射公式推导
基尔霍夫衍射公式推导基尔霍夫衍射公式推导引言：基尔霍夫衍射公式是现代光学学科的重要组成部分之一，而作为学术领域中的高深理论，公式的具体推导过程也十分的繁琐，需要阅读者具有一定的专业知识和数学功底。
本文旨在为读者介绍基尔霍夫衍射公式的具体推导过程，帮助读者更好地掌握该重要理论。
一、基尔霍夫衍射公式的定义基尔霍夫衍射公式是描述光在遇到三维于多维不规则物体时的衍射特性的一种数学模型。
其一般形式为：U(P) = (1 / (2π)) ∫∫ U(Q) (k² - k´²) exp[-i(k - k´) · r] dq其中，U(P) 为入射光波到达光屏时，光波在位置 P 上的复振幅；U(Q) 为光源面元 Q 在某个方向上发出的光波复振幅；k 和 k´分别为反射或者折射光波的波矢量；r 表示观察点 P 到源点 Q 的矢量差。
二、基尔霍夫衍射公式的推导1. 洛仑兹方程推导在光电物理学中，洛仑兹方程是描述光在一个光学介质中传播的一般方程。
在推导基尔霍夫衍射公式时，洛仑兹方程的三维形式可以写成：∇²E + k²E = 0其中 E 表示光场复振幅，k 为光波波数。
这个方程是表征波动性的基本方程，可以用来研究平面波、球面波、柱面波等不同形式的波。
2. 泊松方程推导由于洛仑兹方程中的E 是一个向量场，因此可以对其进行分量化处理。
一般地，将 E 表示为 E = (E_x, E_y, E_z)，从而得到泊松方程的三维形式：∇²E_x + k²E_x = 0∇²E_y + k²E_y = 0∇²E_z + k²E_z = 0其中，k² = n²k²₀，k₀是真空中的波矢量，n 是介质的折射率。
这个方程是推导基尔霍夫衍射公式的基础。
3. 基尔霍夫-菲涅耳原理推导基尔霍夫-菲涅耳原理是描述波动的干涉与衍射现象的重要定理之一。
第三章 标量衍射理论(二)
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y
复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0
A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2
2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x
观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2
传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0
不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t
02-31.2 基尔霍夫衍射公式
E(P) 1
E eikr
E
eikr
d
4π n r
nr
eikr E(P)= C E(Q) K( )d
r
(10) (1)
如图所示，有一个无限大的不透明平面
屏，其上有一开孔 Σ，用点光源 S 照明，
(n, r)
并设 Σ 的线度δ 满足
n (n, l)
< <<Min(r, l)
l S
2 1
Q
R r
P
围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：
0
ikLeabharlann ik E=4π e ik4π ikeik
V
nn P
故有
E(P) 1
E eikr
E
eikr
(10)
d
4π n r
nr
GE n
E
G nd
4πE(P)
V
nn P
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。它将 P 点的光场与周围任一 闭合曲面Σ 上的光场联系了起来了。
2. 基尔霍夫衍射公式
现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在以某些近似条件下，可 化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。
(6)
nn
表示在Σ上每一点沿向外法线方向的偏微商。
则由格林定理，有
(G
2E
E 2G )dV G E
E
G d
nn
V
V 是Σ 面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被积函数在 V 内 处处为零。因而
(G 2 E E 2G )dV 0
V
根据 函数
所满足的条件，可以选取 为球面波的波
eikr
G
(7)
31 衍射的基本理论.
这就是亥姆霍兹- -基尔霍夫积分 定理。 它将P点的光场与周围任一闭合曲 面Σ上的光场联系了起来； 实际上可以看作是惠更斯- -菲涅 耳原理的一种较为完善的数学表 达式。
10/23/2018
2. 基尔霍夫衍射公式
i ~ ~ e cos(n , r ) cos(n , l ) E ( P) E (l ) d (3 - 14) r 2
将光场当作标量处理，把光矢量一个分量当作一个独立标量来 处理； 近似理论； 对高分辨率衍射光栅，要达到精确的结果，还需考虑光场的矢 量性。
10/23/2018
1. 基尔霍夫积分定理
~ ikr ikr 1 E e e ~ E ( P) E d 4 n r n r
10/23/2018
光的衍射(圆孔、单缝)
圆孔衍射
S
*
单缝衍射
H
P
不但光线 拐弯，而 且在屏上 出现明暗 相间的条 纹。
S
G
*
- -衍射
10/23/2018
单缝衍射条纹特征
10/23/2018
衍射规律
10/23/2018
10/23/2018
圆孔衍射规律
10/23/2018
光的衍射(圆屏、直边)
衍射现象在数学处理上遇到很大困难， 许多实际问题得不到严格的解。 衍射理论大多是近似理论。
惠更斯原理 惠更斯－菲涅耳原理
10/23/2018
惠更斯原理
波面：光场中，相位相同点的构成的轨迹称为等相面， 也称波阵面。- -数学概念 惠更斯原理（图示） 任意时刻波面上的各点都可以作为次波源，各自发 出球面次波；在下一时刻，这些次波波面的包络面 即是该时刻的新波面。 较好地解释光的
第二章 光的标量衍射理论
2.1.1.2.衍射屏和衍射系统 障碍物—衍射屏
照明 空间
x0 , y0
衍射 空间
x, y
U 0 U0
U0是衍射屏前表面的复振幅
是衍射屏后表面的复振幅 U0
照明 空间
U0 U0
衍射屏
t
U x, y
(2.2.1)
．
y
．
0
复振幅分布U(x,y可分解为频率不同的复指数分 量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)
z
A( f x , f y )
exp[ j 2 ( f x x f y y)] 代表一个沿 cos f x ,cos f y 所确定方向传播的单色振幅平面波。
复振幅透射函数—屏函数 图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面 ( x0 , y0 ) U0 t ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 ) --瞳函数 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) 或 U0
exp( jkr ) dU ( P) CU ( P0 )dSK ( ) r
dS
U ( P0 )
n
P0
r
Σ
图2.1.2
U (P)
波面Σ 在P点的复振幅 (2.1.3)
P
Σ 上所有子波源在P点产生的总振动为
U ( P) C U ( P0 ) K ( )
exp( jkr ) dS r
y
3D
k与x轴夹角为 , 与y轴夹角为，与z轴夹角为
x
标量衍射理论-2
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 单色平面波与线性平移不变系统的本征函数 在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射 衍射过程 衍射 矢 量 波 衍 射 理 论 假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不 变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标 量 波 衍 射 理 论
波动光学
信息光学 （基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.2标量衍射理论
2015/3/27
第三章 标量衍射理论
15
三、衍射理论五：简化为傅里叶变换
– 3. 6、二次位相因子的消除1：远场与富里叶变换
1 k U ( x, y ) exp( jkz) U ( x0 , y0 ) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
U ( x, y ) U ( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0 dy0 h( x x0 , y y0 )
1 j r
e jkr
1 x x0 2 1 y y0 2 r z 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 1 ( ) ( ) 2 z 2 z h( x x0 , y y0 ) 1 k exp( jkz) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
– 3.4、菲涅耳衍射公式二次曲面近似的三种表示
（卷积、脉冲响应，FT）及其Matlab两种实现
– 3.5、菲涅耳变换：衍射可看做是输入受二次位相因子调制的FT – 3.6、二次位相因子的消除1：远场衍射或衍射的富里叶变换 及其Matlab实现 – 3.7、二次位相因子的消除2：光源作用的结果 – 3.8、二次位相因子的消除3：物体的自我调制成像
dx dy
0
0
1 k U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x 2 y 2 ) U ( x0 , y0 ) jz 2z k 2 exp j x0 y0 2z
2 exp j ( xx yy ) dx dy z
基尔霍夫衍射公式推导
基尔霍夫衍射公式推导基尔霍夫衍射公式是描述光通过一个狭缝缝隙后在远处屏幕上的衍射图样的公式。
我们可以用哈密顿原理把光的传播过程写成变分形式，然后对其进行泊松求和，最终得到基尔霍夫衍射公式。
设光源位置向量为$\mathbf{r}_0$，观察屏位置向量为$\mathbf{r}$，狭缝为在$y$轴方向，宽度为$b(x)$。
则以$\mathbf{r}$为观察点时，光场可以表示为：$$E(\mathbf{r})=\frac{1}{i\lambda}\int_S E(\mathbf{r}_0) e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\rho}dydz$$其中$\rho$为从光源点到观察点的距离，即：$$\rho=\sqrt{(x'-x)^2+y^2+z^2}$$$x'$为狭缝位置。
对$b(x)$作傅里叶变换，即：$$b(m)=\int_{-\infty}^{\infty} b(x)e^{-i2\pimx/\lambda}dx$$则$E(\mathbf{r})$可改写为：$$E(\mathbf{r})=\frac{1}{i\lambda}\int_{-\infty}^{\infty}b(m) \int_S E(\mathbf{r}_0)e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\rho-mx)}dydzdm$$进一步将狭缝的宽度$b(x)$拆分为$N$个小区间，每个小区间的宽度为$\delta x$，则$b(x)$可以写成：$$b(x)=\sum_{n=0}^{N-1}b_n rect\left(\frac{x-x_n}{\delta x}\right)$$其中$b_n$为第$n$个小区间的权重，$rect(x)$表示矩形函数。
将$b(x)$代入前面的公式中，得到：$$E(\mathbf{r})=\frac{\delta x}{i\lambda}\sum_{n=0}^{N-1}b_n\int_{-\infty}^{\infty} \int_S E(\mathbf{r}_0)e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\rho-mx_n)}rect\left(\frac{x-x_n}{\delta x}\right)dydzdm$$上式可以看做是$N$个成像问题的相干叠加。
3.2 基尔霍夫衍射理论
满足以上条件，则有
1 e jkr h P , Q j r
2
r
z 2 x x 0 y y0
2
对r进行二项式展开并化简，有 脉冲响应： 1 h x , x0 ; y , y0
exp jk j z
x x0 2 y y0 2 z 2
3.基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
a0 e r0
jkr0
jkr cosn, r cosn, r0 e r dS 2
教材７９页（３－５０）
（1）孔径平面上的光波分 布是P0点发射的单色球面波 产生的； 因此有
a0 jkr0 U 0 P e r0
2.基尔霍夫衍射理论的任务（所要解决的问题）
光场中任意一点Q的复振幅能否用光场中其他各点 的复振幅表示出来？ 比如：通过孔径平面的场分布计 算孔径后面任意一点的复振幅。
பைடு நூலகம்
解决的方法：利用格林定理，通过假定 衍射屏的边界条件，求解波动方程，得 到基尔霍夫衍射公式。
你只需要知道这个方法 可以推导出基尔霍夫衍 射公式即可！
一惠更斯菲涅耳原理二亥姆霍兹方程波动方程标量单色光场中任意一点q的光振动u满足拉普拉斯算符将单色光波分布亥姆霍兹方程与时间变量无关因此多用于解决单色光场的空间分布
3.2 基尔霍夫衍射理论
（一）惠更斯—菲涅耳原理
e jkr U Q C U 0 P K dS r
（1）
4. 光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
令
e jkr U 0 P F 0 , r dS
（1）
1 e jkr F 0 , h P , Q j r
基尔霍夫衍射理论
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射。 此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
~ E x, ik exp ikz1 ~ 2 2 y exp x y E x1 , iz1 2z1 ik y1 exp xx 1 yy 1 dx1 dy1 z1
2 2 2 2 2 1 x x1 y y1 1 x x1 y y1 r z1 1 2 2 2 8 z z 1 1
此为菲涅耳近似。 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此 时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。
~ ~ E E 0 n
r - cos n , 2
l d
§5－2基尔霍夫衍射理论
1 令：c i Aexp ikl ~ E Q l cos(n , r ) cos(n , l ) K 2
3.夫琅和费近似：
x 2 y 2 xx1 yy1 r z1 2 z1 z1
ik exp ikz1 ~ ~ 2 2 x x1 y y1 dx1dy1 E x, y E x1 , y1 exp iz1 2 z1
r z1 1 2
z
2 1
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
将此r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公
式，得： 菲涅耳衍射的计算公式：
三、夫琅和费近似：
ik exp ikz1 ~ ~ 2 2 E x, y E x1 , y1 exp x x1 y y1 dx1 dy1 iz1 2 z 1
衍射理论基础
由于
G n
e jk lim 0
e jkr / r r r
E 2 E Eik d E ( P)d 4 E ( P) n
衍射理论基础
从惠更斯原理到菲涅耳—基尔霍
夫衍射公式
衍射是指波遇到障碍物时偏离原来直线传播的物理现象。
偏离几何光学传播定律，只能通过波动光学的方法来 分析衍射现象
目录
1 2 3 4 惠更斯—菲涅耳原理 基尔霍夫衍射理论 菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射 基尔霍夫边界条件的问题
1、惠更斯－菲涅尔原理
P
s2 s1 t0
t1
ut
•波前（等相面）上的每
个点都可以看作是一个次
t2
O
级扰动中心（子波源），
它们能产生球面子波
1、全局性：空间各点的扰动相互联系；
2、局域性：来自不同波源的扰动能够叠加。
点源通过波前对观察点的影响
Q
r
R S
Z Q Σ
θ
r
P
Σ＇ ＇ Z
eikr 2 球面波形式： ,k r （波前是球面，P点的扰动与波前的选取无关）
eikr
r
d
e jkr
r
d
菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
3
菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射
衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离小得多，且 观察屏上的考察范围也比观察屏到孔径的距离小得 多，则有傍轴近似
y1 Q C ∑ z1 x1
r
y
P
x
cos 1 + cos 2 1 2
1 1 r z1
基尔霍夫衍射公式瑞利
dU(x, y) A e jkr ds r
U ( p) A 1 e jkrds A为常量 r
x1y1
ds
n r
U(x1,y1) U'(x1,y1)
U ( p)
U
(
x1
,
y1
)
e
jkr
r
dx1dy1
t(x1,y1)
e jkr
t(x1, y1 )U (x1, y1 )
V
(G 2U
U
2G)dV
S
(G
U n
U
G )dS n
指S面上每一点沿法线向外的方向导数。 n 如果U是复光场分布，则把G一般称为格林函数。
U是复数光场，必然满足亥母霍兹方程
2U k 2U 0
如果选择的G也满足
2G k 2G 0
则有
(G 2U U 2G)dV 0
n
即空间不存在光场。所以，条件①使得空间不存在光场，条件②又表示 在上有场，所以两者是矛盾的。
索末菲重新选用了格林函数
G
exp( jkr) r
exp( jkr1 ) r1
n
θ
r1
r
•
其中r1由 p点的对称点p1点算起。
P1
P•
根据基尔霍夫积分公式有
U (P) 1
4
U
V
即有
S
(G
U n
U
G )dS n
0
基尔霍夫选择的格林函数为： G( p) e jkr r
它表示圆心在p点的单位振幅的球面波，所以满足
惠更斯菲涅尔原理基尔霍夫衍射理论
A expikR
R
Σ＇ Z＇
§5－1惠更斯－Z菲涅尔原理
~ EQ
A expikR
R
RQθ
Σ
r
S
P
Σ＇ Z＇
式中，A是离点光源单位距离处的振幅，
R是波面∑’的半径。
在Q点处取面元dσ，面元发出的子波~在P点 产生的复振幅与在面元上的复振幅 EQ、面 元大小和倾斜因子K(θ)成正比。
面元dσ在P点产生的复振幅可以表示为
定，与不存在不透明屏时完全相同。即
§5－2基尔霍夫衍射理论
E~ Aexpikl
E~
n
A
cos
n,
l
l
ik
1
expikl
l l
cos
n,
l
表示外向法线与从S到上某点Q的
矢量之间
l
夹角的余弦。
（ 假2定）在~不透明E~ 屏右侧∑1上，
E 0
n
假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件：
§5－2基尔霍夫衍射理论
R
E~
n
ikE~ R 2d
Ω为∑2对P点所张立体角。
由索末菲辐射条件：
在辐射场中 lim E~ ikE~ R 0
而 是有界的
exp ikR
R
R
R
n
则R→∞时，可不考虑∑ 的贡献。 即
将
E~（P）
E~
n
1
4
E~
n
A cos
exp ikr
r
n,
l
ik
2
E~
n
expikr
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
二、惠更斯－菲涅耳原理 此是研究衍射现象的理论基础： 波动具有两个基本性质： 1、波动是扰动的传播，一点的扰动能够引 起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有 联系的； 2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。
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y
x
x y t x , y rect , 0.2 2
（2）平行x轴的单狭缝，y轴上宽度为a。
y
x
x y y t x, y rect , rect a a
（3）双缝光栅，如图
y
a
d 2
0
a
d 2
x
xd /2 x d / 2 t x , y rect rect 1 a a
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
x2 y2 circ r 1 t x , y circ d d 0
r d/2 r d/2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于 相位变化型的衍射屏，最典型的是 透镜 。
3.2 基尔霍夫衍射理论
（一）惠更斯—菲涅耳原理
e jkr U Q C U 0 P K dS r
（1）
惠更斯—菲涅耳原理建立在“子波 源”的假说上。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
上
（二）亥姆霍兹方程
1. 波动方程(标量)
单色光 2 2 2 x y z
1 2u 2 u 2 2 0 c t
--------拉普拉斯算符
将单色光波分布
uQ, t U Q e j 2t
代入波动方程,得到 --------亥姆霍兹方程
解决的方法：利用格林定理，通过假定 衍射屏的边界条件，求解波动方程，得 到基尔霍夫衍射公式。
你只需要知道这个方法 可以推导出基尔霍夫衍 射公式即可！
3.基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
a0 e r0
jkr0
jkr cosn, r cosn, r0 e r dS 2
2
k 2 U Q 0
k
2
2 c
说明: 1. 亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的 空间分布。 2. 我们今后假定，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布 必须满足亥姆霍兹方程。
2.基尔霍夫衍射理论的任务（所要解决的问题）
光场中任意一点Q的复振幅能否用光场中其他各点 的复振幅表示出来？ 比如：通过孔径平面的场分布计 算孔径后面任意一点的复振幅。
e jkr U Q c U 0 P F 0 , dS r
惠更斯—菲涅耳衍射积分公式
可以看出：
常数 c
1 j
2
倾斜因子
n, r cosn, r0 cos F 0 ,
基尔霍夫假设：
（1）在上， U 0 P 与无屏时一样； （2） 外， U 0 P 0
教材７９页（３－５０）
（1）孔径平面上的光波分 布是P0点发射的单色球面波 产生的； 因此有
a0 jkr0 U 0 P e r0
点光源P0照明平面屏幕
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
U Q
1 j
a0 e r0
jkr0
n, r cosn, r0 e jkr cos dS 2 r
h x x0 , y y0
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所 产生的球面子波的形式是一样的。
h x x0 , y y0 exp jk jz 1
x x0 2 y y0 2 z 2
对教材80页一段话的理解。
4. 光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
令
e jkr U 0 P F 0 , r dS
（1）
1 e jkr F 0 , h P , Q j r
则（1）式化简为
U Q U 0 P hP , Q dS
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
e jkr U Q U 0 P F 0 , dS r
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。 因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组 合。因此，上式中的 U 0 P 可以理解为在任意单色光照 明下对孔径平面产生的光场分布。
满足以上条件，则有
1 e jkr h P , Q j r
2
r
z 2 x x 0 y y0
2
对r进行二项式展开并化简，有 脉冲响应： 1 h x , x0 ; y , y0
exp jk j z
x x0 2 y y0 2 z 2
表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：复振幅透过率， 有些场合里 又称为孔函数或瞳函数，一般用 t P 或 t x, y, z 表示。
前 后
U i P
衍射屏
U t P
定义：
U t P t P U i P
常用衍射屏的透过率函数表示（1）：
（1）一个矩形孔为 0.2 2mm 的衍射物。
（2）
U Q U 0 P hP , Q dS 的物理意义
P点有一个单位脉冲，它 在观察点Q造成的光波分 布是 h P , Q ，它被称 为脉冲响应。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布U Q 是 上所 有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
条件：（1）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的 入射角都不大。 （2）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在 观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。
U x, y U 0 x0 , y0 hx x0 , y y0 dx0 y0 U 0 x, y h x, y
上式表明：孔径平面上透射光场和观察平 面上光场之间存在卷积关系。
５. 衍射屏复振幅透过率的定义（重要）
在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种 各样的孔。 如今，我们将“能引起衍射的障碍物”统称为衍射屏。 例如： 障碍物的振幅以一定的分布衰减;（以一定的形式限定波 面的变化） 障碍物的相位延迟；（衍射屏的光学厚度发生变化） 或两者兼而有之。