3.2 基尔霍夫衍射理论

e jkr U Q c U 0 P F 0 , dS r
惠更斯—菲涅耳衍射积分公式
可以看出：
常数 c
1 j
2
倾斜因子
n, r cosn, r0 cos F 0 ,
基尔霍夫假设：
（1）在上， U 0 P 与无屏时一样； （2） 外， U 0 P 0
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
e jkr U Q U 0 P F 0 , dS r
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。 因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组 合。因此，上式中的 U 0 P 可以理解为在任意单色光照 明下对孔径平面产生的光场分布。

U x, y U 0 x0 , y0 hx x0 , y y0 dx0 y0 U 0 x, y h x, y

上式表明：孔径平面上透射光场和观察平 面上光场之间存在卷积关系。
５. 衍射屏复振幅透过率的定义（重要）
在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种 各样的孔。 如今，我们将“能引起衍射的障碍物”统称为衍射屏。 例如： 障碍物的振幅以一定的分布衰减;（以一定的形式限定波 面的变化） 障碍物的相位延迟；（衍射屏的光学厚度发生变化） 或两者兼而有之。
满足以上条件，则有
1 e jkr h P , Q j r
2
r
z 2 x x 0 y y0
2
对r进行二项式展开并化简，有 脉冲响应： 1 h x , x0 ; y , y0
exp jk j z
x x0 2 y y0 2 z 2
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
x2 y2 circ r 1 t x , y circ d d 0
r d/2 r d/2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于 相位变化型的衍射屏，最典型的是 透镜 。
1. 波动方程(标量)
单色光场中任意一点Q的光振动u满足
其中
2 2 2 2 2 2 2 x y z
1 2u 2 u 2 2 0 c t
--------拉普拉斯算符
将单色光波分布
uQ, t U Q e j 2t
代入波动方程,得到 --------亥姆霍兹方程
3.2 基尔霍夫衍射理论
（一）惠更斯—菲涅耳原理
e jkr U Q C U 0 P K dS r
（1）
惠更斯—菲涅耳原理建立在“子波 源”的假说上。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。

上
（二）亥姆霍兹方程
2
y
x
x y t x , y rect , 0.2 2
（2）平行x轴的单狭缝，y轴上宽度为a。
y
x
x y y t x, y rect , ห้องสมุดไป่ตู้ rect a a
（3）双缝光栅，如图
y
a
d 2
0
a
d 2
x
xd /2 x d / 2 t x , y rect rect 1 a a

h x x0 , y y0
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所 产生的球面子波的形式是一样的。
h x x0 , y y0 exp jk jz 1
x x0 2 y y0 2 z 2

（2）
U Q U 0 P hP , Q dS 的物理意义

P点有一个单位脉冲，它 在观察点Q造成的光波分 布是 h P , Q ，它被称 为脉冲响应。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布U Q 是 上所 有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
条件：（1）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的 入射角都不大。 （2）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在 观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。
解决的方法：利用格林定理，通过假定 衍射屏的边界条件，求解波动方程，得 到基尔霍夫衍射公式。
你只需要知道这个方法 可以推导出基尔霍夫衍 射公式即可！
3.基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
a0 e r0
jkr0
jkr cosn, r cosn, r0 e r dS 2
表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：复振幅透过率， 有些场合里 又称为孔函数或瞳函数，一般用 t P 或 t x, y, z 表示。
前 后
U i P

衍射屏
U t P
定义：
U t P t P U i P
常用衍射屏的透过率函数表示（1）：
（1）一个矩形孔为 0.2 2mm 的衍射物。
对教材80页一段话的理解。
4. 光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
令
e jkr U 0 P F 0 , r dS
（1）
1 e jkr F 0 , h P , Q j r
则（1）式化简为
U Q U 0 P hP , Q dS
教材７９页（３－５０）
（1）孔径平面上的光波分 布是P0点发射的单色球面波 产生的； 因此有
a0 jkr0 U 0 P e r0
点光源P0照明平面屏幕
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
U Q
1 j
a0 e r0
jkr0
n, r cosn, r0 e jkr cos dS 2 r

2
k 2 U Q 0
k

2


2 c
说明: 1. 亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的 空间分布。 2. 我们今后假定，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布 必须满足亥姆霍兹方程。
2.基尔霍夫衍射理论的任务（所要解决的问题）
光场中任意一点Q的复振幅能否用光场中其他各点 的复振幅表示出来？ 比如：通过孔径平面的场分布计 算孔径后面任意一点的复振幅。