3,4章线性代数练习题

一． 1.设行列式a a a a 111221

22=m ，a

a a a 131123

21=n ，则行列式a

a a a a a 11121321

2223

++等于（ ）

A. m+n

B. -(m+n)

C. n -m

D. m -n

2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭

⎪

⎪⎪，则A -1等于（ ）

A. 13000

12000

1⎛⎝

⎫⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪ B. 1000

12000

13⎛⎝

⎫⎭

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝

⎫

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

D. 1

2000

130001⎛⎝ ⎫⎭

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭

⎪

⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）

A. –6

B. 6

C. 2

D. –2

4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C

5.设n 维向量组,1α,2α,3α…s α（n s ≤≤3）线性无关的充分必要条件是___________。

(A) 存在一组不全为0的常数k 1，k 2,…k s 使得k 11α＋ k 22α＋…k s s α0≠； (B) 该组中的任意两个向量都线性无关；

(C) 该组中存在一个向量，他不能由其它向量线性表出； (D)

该组中任意一个向量都不能由其它向量线性表出

6． 设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为－1，3，4，则A 的逆矩阵A -1的特征值为___________。

(A) －1，3，4 (B) －1，4

1

,

31 (C) 1，9，16 (D) －1，1，1 7． 若1α，2α是齐次方程组AX=0的两个线性无关的解，A 为5阶方阵，k 1，k 2为任意常数，若k 11α＋ k 22α为AX=0的通解，则R （A ）＝___________。

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

8、设12λ=是可逆阵A 的一个特征值，则矩阵1

213A -⎛⎫

⎪⎝⎭

有一个特征值等于（ ）。

()()()()43113424

A B C D

9、设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）

(A).所有r -1阶子式都不为0 (B).所有r -1阶子式全为0 (C)至少有一个r 阶子式不等于0

(D).所有r 阶子式都不为0

10、已知矩阵34A ⨯的行向量组线性无关，则矩阵34T A ⨯的秩等于（ ）

()()()()1234A B C D

11、设A =100010002⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（

）

(A)100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)110010002⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(C)100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(D)101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

二、

1、.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .

2．设A ，A 分别为n 元齐次线性方程组AX=b 的系数矩阵和增广矩阵，则该方程组有解的充分必要条件是___________。

3．设向量组1α，2α，3α，4α线性无关，则向量组1α－2α， 2α－3α，3α－4α，4α－1α是线性___________的。 4．设A=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛ d c b a ，则A 的两个特征值之和为___________。

5、设A 为n 阶矩阵，*0,A A ≠是矩阵A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位阵，若A 有特征值λ，则矩阵()2

*A E +必有特征值 。

6、设122212221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

，矩阵A 的特征值为 ；1

A E -+的特征值为

7、设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β，

如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______ 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______

8、当=k 时，)5,,1(k =β能由)1,1,2(),2,3,1(21-=α-=α线性表示？ 三、

1.设A =120340121-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪⎪⎪

，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T

；

（2）|4A |. 2.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪⎪

210

3，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪

⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

3.设矩阵A =12102242

662102333334-----⎛⎝

⎫

⎭

⎪⎪

⎪

⎪. 求：（1）秩（A ）；

（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。

4. 求下列线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 12341234

1234123432638502412432

---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪的解．

5．给定,)1,1,1,1(1T =α,)1,1,1,1(2T --=αT )1,2,1,2(3=α,)1,1,1,1(4T --=α求向量组,1α,2α,3α4

α的一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组表示。

6．已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 与矩阵B=1 0 0 0 x 0 0 0 1 ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭－相似，求x,并求可逆矩阵P ，使得 P －

1AP ＝B

7.求下列向量组的秩及其一个最大线性无关组：

()()()()12346,4,1,1,2,1,0,2,3,4,1,4,9,16,22,7,1,0,1,3T

T

T

T

a a a a =-=-=--=-

8、讨论λ取何值时，下列方程组分别有解与无解？

123123212

31,

,;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪

++=⎨⎪++=⎩ 9、设有向量组

1232112,1,1,1054a b c αααβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

试问当,,a b c 满足什么条件时：

(1) β可由123,,ααα线性表示，且表示方法唯一?

(2) β不能由123,,ααα线性表示？

(3) β可由123,,ααα线性表示，但表示方法不唯一？并写出一般表达式。

10、求下列非齐次线性方程组的通解：

123412341

2342121255

x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪

-+-=-⎨⎪-++=⎩； 四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

1.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A

2.

2.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。