线性多变量系统线性系统理论完整
线性系统理论全PPT课件
为线性系统；
3
• 线性系统满足叠加性； • 线性系统可以用数学变换（付里叶变换， 拉普拉斯变换）和线性代数; • 线性系统的分类
定常系统：参数不随时间变化
时变系统；参数是时间t 的函数
4
2、线性系统理论的主要任务
主要研究线性系统状态的运动规律和改变
这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示
系统结构、参数、行为和性能间的确定的和 定量的关系。 分析问题：研究系统运动规律 综合问题：研究改变运动规律的可能性和方法
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
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• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
1/4,1/50
(1)系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n1) b1u (1) b0u
(3) 状态向量：以系统的 n 个独立状态变量
x1 t , L, xn t 作为分量的向量，即 x t x1 t , L, xn t .
线性系统理论总结ppt
线性系统理论总结ppt
一、线性系统简介
1.线性系统定义：
线性系统是指用线性微分方程、线性积分方程和线性算子（算子运算）来表示、描述和分析的一个系统。
这种系统的输入输出之间的关系可以表
示为线性函数的形式。
2.线性系统的实例：
线性系统的例子包括信号处理、控制系统、数字图像处理、模式识别
等等。
线性系统的应用也很广泛，可以应用在机器人、汽车、航空、通信、医疗和金融等行业中。
二、线性系统的演示
1.系统模型：
线性系统通常用状态空间模型来描述，该模型由一组线性微分方程以
及输入、输出和内部状态变量组成。
该模型的工作原理是：系统的输入到
达模型的输入，系统的内部状态变量发生改变，然后将内部状态变量产生
的输出发送到系统的输出端。
2.系统特性：
线性系统具有许多特性，包括平衡点、平稳性、稳定性、反馈和动力
学建模等等。
这些特性是线性系统能够更好地实现高效操作和有效控制的
基础。
三、线性系统的分析
1.状态变量分析：
状态变量是描述系统当前状态的量，它们通过系统的状态转移方程的变化反映系统的行为。
状态变量的分析包括：求出状态变量的收敛状态，判断系统的稳。
线性系统理论全
稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质
线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)
f
2
(
x,u,
e
线性系统理论
线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。
线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。
在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。
一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。
当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。
当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。
当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。
线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。
其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。
换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。
另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。
这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。
除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。
二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。
下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。
1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。
例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。
我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。
这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。
这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。
2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。
它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。
在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。
这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。
控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。
线性系统理论
linearsystemstheory以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。
20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。
美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。
20世纪60年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。
随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。
与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。
前言第1章线性系统的数学描述1.1 线性系统的输入.输出描述1.1.1 线性系统1.1.2 非零初始条件与冲激输入1.2 线性系统的状态空间1.2.1 输入.输出描述的局限性1.2.2 状态与状态空间1.2.3 线性系统的状态空间描述1.2.4 物理系统状态方程的建立1.2.5 传递函数矩阵的状态参数矩阵表示1.2.6 传递函数矩阵G(s)的实用计算方法1.2.7 离散系统状态空间的描述1.3 线性系统等价的状态空间描述1.3.1 坐标变换1.3.2 线性定常系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.3.3 线性时变系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.4 状态方程的对角线规范形与约当规范形1.4.1 状态方程的对角线规范形1.4.2 状态方程的约当规范形1.5 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵1.5.1 子系统的并联联接1.5.2 子系统的串联联接1.5.3 子系统的反馈联接1.6 习题第2章线性系统的运动分析2.1 线性系统运动分析的数学实质2.1.1 运动分析的数学实质2.1.2 状态方程解的存在性和唯一性条件2.1.3 零输入响应和零状态响应及全响应2.2 线性定常系统的运动分析2.2.1 线性定常系统的零输入响应2.2.2 矩阵指数函数的性质2.2.3 几种典型的矩阵指数函数2.2.4 矩阵指数函数的计算方法2.2.5 线性定常系统的零状态响应2.2.6 线性定常系统的全响应及输出响应2.3 线性时变系统的运动分析2.3.1 线性时变系统的零输入响应2.3.2 线性时变系统的零状态响应2.3.3 线性时变系统的全响应及输出响应2.4 状态转移矩阵2.4.1 线性时变系统的状态转移矩阵2.4.2 线性时变系统的状态转移矩阵的性质2.4.3 线性定常系统的状态转移矩阵2.4.4 线性定常系统的状态转移矩阵的性质2.4.5 基于状态转移矩阵表示的线性定常系统的运动规律2.5 线性连续时间系统的时间离散化2.5.1 数字控制系统的基本形式2.5.2 离散化的假设条件2.5.3 线性连续时变系统的离散化2.5.4 线性连续定常系统的离散化2.6 线性离散时间系统的运动分析2.6.1 迭代法求解线性离散系统的状态方程2.6.2 线性离散时间系统的状态转移矩阵2.6.3 线性离散时变系统的状态运动规律2.6.4 线性离散定常系统的状态运动规律2.7 习题第3章线性系统的能控性与能观测性3.1 能控性和能观测性的定义3.1.1 能控性和能观测性的直观讨论3.1.2 能控性的定义3.1.3 能观测性的定义3.2 线性连续时间系统的能控性判据3.2.1 线性定常系统的能控性判据3.2.2 能控性指数3.2.3 线性时变系统的能控性判据3.3 线性连续时间系统的能观测性判据3.3.1 线性定常系统的能观测性判据3.3.2 能观测性指数3.3.3 线性时变系统的能观测性判据3.4 对偶系统与对偶原理3.4.1 对偶系统3.4.2 对偶原理3.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性3.5.1 线性离散时间系统的能控性和能达性3.5.2 线性离散时间系统的能控性判据3.5.3 线性离散时间系统的能观测性及其判据3.6 能控规范形和能观测规范形3.6.1 单输入一单输出系统的能控规范形3.6.2 单输入-单输出系统的能观测规范形3.6.3 多输入-多输出系统的能控规范形3.6.4 多输入-多输出系统的能观测规范形3.7 线性系统的结构分解3.7.1 能控性和能观测性在非奇异变换下的特性3.7.2 线性定常系统按能控性的结构分解3.7.3 线性定常系统按能观测性的结构分解3.7.4 线性定常系统的结构规范分解3.8 习题第4章传递函数矩阵的状态空间实现4.1 传递函数的能控和能观测规范形实现4.1.1 单输入-单输出系统传递函数的实现4.1.2 单输入一多输出系统传递函数的实现4.1.3 多输入.单输出系统传递函数的实现4.1.4 多输入.多输出系统传递函数的实现4.2 最小实现及其性质4.3 最小实现的解法4.3.1 降价法4.3.2 直接求取约当规范形的最小实现方法4.3.3 用汉克尔法直接求取传递函数矩阵的最小实现4.4 习题第5章系统运动的稳定性5.1 外部稳定性和内部稳定性5.1.1 外部稳定性5.1.2 内部稳定性j5.1.3 内部稳定性和外部稳定性的关系5.2 李亚普诺夫稳定性理论5.2.1 李亚普诺夫第一法和第二法5.2.2 自治系统、平衡系统和受扰系统5.2.3 李亚普诺夫意义下的稳定5.2.4 不稳定5.2.5 李亚普诺夫第二法的主要定理5.3 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据5.3.1 线性时变系统的稳定性判据5.3.2 线性定常系统的稳定性判据5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法5.4.1 变量梯度法5.4.2 克拉索夫斯基方法5.5 离散时间系统状态运动的稳定性5.5.1 离散时间非线性定常系统的李亚普诺夫稳定性定理5.5.2 离散时间线性定常系统的稳定性定理5.6 李亚普诺夫直接法在系统综合方面的应用5.6.1 连续时间线性定常系统稳定自d运动的衰减性能的估计5.6.2 平均积分值的计算5.7 习题第6章状态反馈6.1 状态反馈与输出反馈的概念6.2 状态反馈与输出反馈对系统能控性和能观测性的影响6.2.1 状态反馈和输出反馈对系统能控性的影响6.2.2 状态反馈对系统能观测性的影响6.2.3 输出反馈对系统能观测性的影响6.2.4 多输入能控系统转变为单输人能控系统6.3 系统的极点配置6.3.1 极点配置的概念6.3.2 极点配置的条件6.3.3 单输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.4 多输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.5 状态反馈对传递函数的影响6.4 输出反馈极点配置6.5 不完全能控系统状态反馈的极点配置和镇定6.5.1 不完全能控系统状态反馈的极点配置6.5.2 不完全能控系统状态反馈的镇定6.6 状态反馈解耦6.6.1 解耦问题的提法和结构假设6.6.2 系统结构特征量6.6.3 可解耦条件与解耦算法6.7 习题第7章状态观测器7.1 状态观测器的基本概念7.2 全维闭环状态观测器7.3 降维状态观测器7.4 基于观测器的状态反馈系统7.5 Rz函数观测器7.6 习题。
线性系统理论综述
线性系统理论课程大作业论文线性系统理论综述及其应用这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。
一．线性系统理论研究内容综述系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。
动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或影响的输入变量组如响应，产出。
表征系统动态的过程的数学描述具有两类基本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。
从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间系统和离散时间系统。
线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。
他是现代控制理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。
现代控制理论主要是着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。
线性系统的理论和方法是建立在建模的基础上。
在建模的基础上，可以进一步把线性系统的理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。
分析理论分为定量分析和定性分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。
系统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。
线性系统理论ppt课件
第一节 线性关系
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1，x2，x3只能在给定的若干个代数 关系内变化，并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系，都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项，反映这些 动态量对各个变量的依存关系。
xn
对于变系统系统，系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此，对于最简单的一维系统就有：
x=ax
对于二维系统，有：
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一，方程给定后，借助代数 方法，通过分析系数矩阵，可以全面的了解系统的动态行为。
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平 面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升，有的下降。影射汽车市场，诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
线性系统理论主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程
线性系统理论一、主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。
1、系统、系统模型，线性系统理论基本内容2、状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述3、连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析4、线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据5、对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解6、系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据7、系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题二、线性系统及其研究的对象一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。
因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。
控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。
但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
三、研究线性系统的基本工具研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。
用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。
线性系统理论1a
• 系统的研究方法 ——经验法 ——理论法：依据数学理论
➢建模（对真实系统的抽象） ➢建立数学描述 ➢分析 ➢设计 • 本课程的研究范围 ——对象：线性动态系统，数学模型已知 ——工具：数学
• §2－3 传递函数矩阵
对SISO系统，系统的传递函数h(s) 与脉冲 响应矩阵函数g(t)之间满足关系式
h (s) L [g (t)]g (t) L 1 [h (s)]
同样，对于p输入q输出的多变量系统，
H (s ) L [G (t)]G (t) L 1 [H (s )]
因为有
t
y(t) G(t )u()d
1
uc(t) c i(t)dt
d(it) Ldtuc(t)R(ti)ur(t)
duc(t) dt
1 i(t) C
di(t) dt
1 Luc
Ri(t) L
1 Lur
(t)
i(t) R ur(t)
L C uc(t)
在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性， 则其他变量的变化均可知道。
x&= f(x,u,t) y=g(x,u,t) ,t t0
• 可根据系统的状态描述对系统进行分类。 1)线性系统与非线性系统
在选定的一组状态变量下，称一个系统为非线性 系统，若其状态空间描述中，f 与(或)g 的某些分 量是x1,…,xn和u1,…,um的非线性函数。反之，若f 与g 的各分量均是x 与u 的线性函数，则称为线性 系统。线性系统的状态描述可表示为：
k
于是系统的输出为：
y G (ttk)u(tk) t
线性系统理论(xue)
线性系统理论Linear System Theory 1-1 状态空间的基本概念例1-1 图示RLC 网络。
设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。
2 状态空间描述中常用的基本概念例1-1 图示RLC 网络。
设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。
用矩阵表示状态空间表达式：⎪⎨+−−=u x R x x 11&1-2 线性连续系统状态空间表达式的建立1......)((b s b s b s b s Y G n n ++++−1 N(s)/D(s)的串联分解——可控标准型实现x&x x⎤⎡⎡00010L &状态变量图例1-5 已知系统微分方程：u u T y y y +=ω+ωζ+试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。
21u x x x+ζω−ω−=22&2 可观测标准型实现设可控标准型实现为例1-6 已知系统微分方程：试求可观测标准型实现，并绘制其状态变量图。
3 并联分解——Jordan标准型实现⎤⎡−s L 0001ss s s U s G 89)()(23++==例1-7 已知某系统传递函数:⎡1⎤4 矩阵的特征方程、特征值1）方阵2 线性定常连续系统状态方程的求解2-1 齐次状态方程的解⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−=⎥⎦⎢⎣22x 32x &解：用拉氏变换的方法:例2-1 求已知状态方程的状态转移矩阵。
2-2 状态转移矩阵的性质例2-2 已知状态转移矩阵，求Φ-1和系统矩阵A。
性质9 若例2-3已知系统矩阵，求状态转移矩阵及其状态转移矩阵的逆。
非齐次状态方程：例2-4 已知状态空间描述及零初始条件，输入为单位阶跃，求状态方程的解SISO系统：例9-29 已知系统动态方程，试求系统的传递矩阵。
⎡x&9-4-2开环与闭环传递矩阵MIMOU(s)E(s)Y(s)由图可知：3-1 线性系统的可控性与可观性3-1-1 问题的提出例3-2 已知系统状态空间表达式，⎧3-2 可控性问题基本概念考虑线性系统：3-3 可观测性的基本概念3-4 线性定常系统可控性判据考虑线性定常系统：例3-3 判断已知系统的可控性。
线性系统理论04共26页
0L
1
0
a 0 a 1 a 2 L a n 1
1
新 的 反 馈 阵 ： K I k 0 k1 L k n 1
得
到
：
x&I ( A I y cxI
bI K
I
)x
bIv
状态反馈与极点配置
0
0
AI bI KI M
0
(a0 k0)
1 0 M 0 (a1 k1)
x&
1 0
0 0
x
1 1
u
y 2 1 x
设计状态观测器，使其极点为－10，－10。
状态观测器：实现－全维状态观测器
检测系统的能观性：
因为L
c cA
2 2
1 0
满秩，系统能观，可构造观测器。
A
Gc
1 0
0 0
g1 g2
2
1
1 2g1
2g2
g1
g2
f
()
det[ I
(A
Gc)]
det
(1 2g1 2g2
)
2 (2g1 g2 1) g2
g1
g2
状态观测器：实现－全维状态观测器
与期望值比较，得
2g1 g2 1 20
g2 100
因此，G
g1
g
2
60.5 1 0 0
所 以 ： x&ˆ ( A G c ) xˆ b u G y
120 2 0 0
➢ 降维状态观测器：估计不能由输出计算得到的其他状态变量
x & A x B u x R n ， u R r yCx yRm
若系统是完全能观的，C的秩是m，m个完全状态变 量可以直接计算出来，而只需构造一个状态观测器估 计出其他 (n-m)各状态变量。
线性系统理论_1
第一篇线性系统理论尽管任何实际系统都含有非线性因素，但在一定条件下，许多实际系统可用线性模型充分地加以描述，加之在数学上处理线性系统又较为方便，因此线性控制系统理论在控制工程学科领域中占有重要地位，是应用最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制等现代控制理论及构造各类现代控制系统的基础．众所周知，经典线性控制系统理论以传递函数为主要数学工具，侧重研究系统外部特性，这种方法在分析设计单变量系统时卓有成效，但随着航空航天、工业过程控制等高技术的发展，系统越来越复杂，需要分析与设计多变量系统。
5O年代末、60年代初，学者卡尔曼等人将古典力学中的状态、状态空间概念加以发展与推广，用来描述多变量控制系统，并深刻揭示了用状态空间描述的系统的内部结构特性，如可控性与可观测性，从而奠定了现代线性控制系统的理论基础。
在此基础上形成了适于多变量系统的状态反馈、输出反馈等新的反馈设计方法，以实现系统闭环极点的任意配置、消除或抑制扰动、稳定并精确地跟踪、解除或削弱交叉耦合影响，达到满足系统的各项动、静态性能指标要求。
本篇将系统介绍现代线性系统理论的基本内容。
第一章介绍状态空间分析法一般理论，主要介绍定常连续、时变连续、离散系统状态空间数学模型的建立及其解的特性．第二章介绍系统以状态空间描述后内部结构特性（含稳定性、可控性、可观测性）的分析方法，详细论证了定常系统各种结构特性的判别准则，对时变系统情况只作简介；其中应用李雅普诺夫理论所作的稳定性分析只限于线性系统。
第三章着重介绍用状态反馈实现闭环极点任意配置的系统综合方法。
第一章状态空间分析法经典控制理论中基于传递函数建立起来的如频率特性、根轨迹等一整套图解分析设计方法，对单输入-单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地应用。
- 1 -- 2 -由于60年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，需处理多输入-多输出、时变、非线性等方面的问题，加之数字计算机技术的卓越成果，有可能对这些复杂系统进行分析设计和实时控制，于是推动了状态空间分析设计方法的形成和发展．运用状态空间描述系统，是现代控制理论的重要标志，它弥补了用传递函数描述系统的许多不足之处，诸如传递函数对于处在系统内部的中间变量不便描述，甚至对某些中间变量还不能够描述，忽略了初始条件的影响。
线性多变量系统(线性系统理论完整
线性系统理论课件
x0 xe
* * 所确定的球域 S ( ) 内，至少存在一个初态 x0 ，由 x0出发的，t t 0时的状态x
不满足下列不等式
* x xe (t; x0 , t0 ) xe
t t0
则称状态 x e 是不稳定的。
2）几何意义
S ( )
* 0x
x2
H ( )界面
函数，李氏认为在判断一个系统的稳定时，不一定非要找到系统的真正能量函数，
可以根据不同的系统虚构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数）。 李氏函数能满足一定的条件，也就可根据它来判断系统的稳定性了。
李氏函数一般是状态分量 x1 , x2 ,, xn 和时间 t 的标量函数，用V ( x, t )表示。若
Re{i ( A)} 0, 其中n为系统的维数.
i 1,2,, n
当矩阵A给定后则一旦导出其特征多项式 ( ( s) det(sI A) s n n 1s n 1 1s 0 那么就可利用劳斯 霍尔维茨( Routh Hurwitz 判据而直接由系统 )
有限常数 k , G (t ) 的每一个元 g ij (t ) (i 1,2,, q; j 1,2,, p) 均满足关系 式：
二 内部稳定性
0
g ij (t ) dt k
ˆ ˆ 或者等价地当G( s)为真的有理分式函数矩 阵时G( s)的每一个元传递函数 ˆ g ij ( s)的所有极点均具有负实 部
对t具有连续的一阶导数存在，对 xi (i 1,2,, n)具有连续的一阶偏导数存在， 且满足如下条件
(1) (2) (3) (4)
V ( x, t ) 0, V ( x, t ) 0, V ( x, t ) 0,
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x(t)
x2
(t)
x
n
(t
)
状态空间 状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同 于状态的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 , , xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t),u2 t , , u p (t)
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法
二是多项式矩阵方法
1/2,4/5
1.3 本书的论述范围
1：状态空间法 2：多项式矩阵法
2/2,5/5
第一部分: 线性系统时间域理论
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不
能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
L
iL Uc R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
U (s)
s n an1s n1 a1s a0
可以导出其状态空间描述为
x Ax bu y cx du
x Rn A Rnn
b Rn1
c R1n
d R11
1/18,14/50
结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
yq
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u(1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
g(s) y(s) bn1s n1 b1s b0 u(s) s n an1s n1 a1s a0
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性
状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
线性多变量系统
选用教材： 郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社 教学参考书：陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社
何关钰著 线性控制系统理论 辽宁人民出版社
线性系统的时间域理论
线性系统的复频率域理论
第一章 绪 论 第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性
X
AX
Bu
Y CX Du
线性时变系统
X A(t) X B(t)u
Y C(t) X D(t)u
3/7,7/50
连续时间线性系统的方块图
D(t)
X
X
U
B(t)
C(t)
Y
A(t)
4/7,8/50
人口分布问题状态空间描述的列写示例
假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡 村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综 合线性系统的运动和特性的一种理论和方法
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1
yq
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
yq
1/4,1/50
(1).系统的外部描述
u1
yq
外部描述常被称作为输出—输入描述
3/3,3/5
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的 学科
主要内容:数学模型→ 分析理论→ 综合理论
发展过程:经典线性系统理论,现代线性系统理论
主要学派:
状态空间法
几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合
设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年 所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口 迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全 国人口数
x1(k 1) 1.01 (1 0.04)x1(k) 1.01 0.02x2 (k) 1.01 5104u(k) x2 (k 1) 1.01 (1 0.02)x2 (k) 1.01 0.04x1(k) 1.01 5104u(k)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统
当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.
设系统的状态空间描述为 x f (x, u, t) y g(x, u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,
u,
t
)
f
2
(
x,
u,
t
)，g
(
x,
u,
t
)
g2
(
x,
u,
t
)
f
n
(
x,
u,
t
)
g
q
(
x,
u,
t
)
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元为x、u的非线性函数,该系统 称为非线性系统
2/4,2/50
状态和状态空间的定义
u1
yq
状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 u2
x1, x2, , xn
y2
能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组up Nhomakorabeayq
状态 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1(t), x2 t, , xn (t)
（向量） 所组成的一个列向量
x1 (t)
由输入输出描述导出状态空间描述
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
其传递函数描述
g(s) Y (s) bm s m bm1s m1 b1s1 b0
从特性的角度
线性系统 非线性系统
集中参数系统 : 属有穷维系统 分布参数系统 : 属于无穷维系统
2/3,2/5
线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理.
若表征系统的数学描述为L L(c1u1 c2u2 ) c1L(u1 ) c2 L(u2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用 ②模型类型的多样性 ③数学模型的基本性 ④建立数学模型的途径 ⑤系统建模的准则
6/7,10/50
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
D(k)
x(k 1)
x(k)
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
写成矩阵形式
x1
x2
(k (k
1) 1)
0.9696 0.0404
0.0202 0.9898
x1 x2
(k) (k )
5.0510
5.05 104
4
u
(k
)
y(k) 1
1
x1 x2
(k) (k )
亦可表为 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
确定性系统和不确定性系统
称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入 和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性, 或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
2/2,13/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
J
ia
1
La 0
e
0
1ia
上式可表为形如 X AX Bu Y CX Du