soblev空间
sobelev不等式
sobelev不等式
在数学分析中有一类关于Sobolev空间中的范数的Sobolev不等式。
这些不等式可以用于证明Sobolev嵌入定理，给出某些Sobolev 空间的包含关系。
而Rellich-Kondrachov定理指出在稍强的条件下，一些Sobolev空间可以被紧嵌入到另一个空间。
这类不等式得名于谢尔盖·利沃维奇·索博列夫。
令W(R)表示包含R上所有满足前k阶弱导数属于L的实值函数的Sobolev空间。
其中k是非负整数且有1≤p<∞。
Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果k>ℓ且满足1≤p<q<∞和(k−ℓ)p<nSobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性并且该嵌入连续。
在k=1且ℓ=0的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出其中p是p的Sobolev共轭
这个Sobolev嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接得出。
Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间C(R)。
Sobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。
(完整版)Sobolev空间的建立
Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B p m j C W .(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。
Sobolev空间W1,P(Rn)的一些新的刻画
),1 p , 满足 dxdy
N
Fn ( g ( x) g ( y ) ) x y
Np
N
则g W 1, p (
N
), 并且
n
lim
N
Fn ( g ( x) g ( y ) ) x y
Np
dxdy =K N，p
N
g ( x) dx
N
的关系 ................................................... 8
第三章 主要结果的导引.............................................. 11 第四章 定理 2、定理 3、定理 5 的证明................................. 16 4.1 定理 2、定理 3 的证明 .......................................................................... 16 4.1.1 一些有用的引理............................................................................ 16 4.1.2 定理 3 的证明................................................................................ 30 4.1.3 定理 2 的证明............................................................................... 36 4.2 定理 5 的证明 ......................................................................................... 37 第五章 公开问题.................................................... 55 参考文献........................................................... 56 附 谢 录............................................................ 57 辞........................................................... 73
变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用
变指数Sobolev空间在椭圆型微分方程中的应用随着自然科学和工程技术中许多非线性问题的不断出现, Sobolev空间表现出了其应用范围的局限性.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题的研究.具有变指数增长性条件的非线性问题是一个新兴的研究课题.在对这类非线性问题进行研究时,变指数Lebesgue空间及Sobolev空间发挥着重要的作用.在本文中,我们主要以变指数Sobolev空间W1,p(x)(?)为背景,研究了一类具变分结构的椭圆型p(x)-Laplace方程(组)及半变分不等式,其中? ? RN.由于指数p(x)为函数, p(x)-Laplace算子较之p-Laplace具有更为复杂的非线性性.例如, p(x)-Laplace算子是非齐次的.这就使得在常指数情形下使用的研究方法对于变指数情形不再适用.在本文中,我们先在较为宽松的增长条件下对能量泛函的性质进行了讨论,然后结合变分的方法研究了此类p(x)-Laplace非线性问题的解.本文的主要内容如下:1.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,我们通过求与p(x)-Laplace方程相关的能量泛函φ的全球极小值点,得到了φ的一个非平凡临界点u0∈W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上非平凡弱解的存在性.然后,基于一类对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),进而得到了方程在RN上弱解的多重性.最后,通过上下解的方法,我们在有界域?上得到了方程弱解的一个分支结果.2.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace方程组弱解的研究.我们主要基于一类强不定泛函的临界点定理,得到了与方程组相关的能量泛函I的一列能量值趋于无穷的临界点{(un, vn)} ? W01 ,p(x)(?)×W01 ,p(x)(?),进而得到了此方程组Dirichlet边值问题在有界域?上弱解的多重性.3.对一类具有临界指数的p(x)-Laplace方程弱解的研究.首先,推广了Sobolev空间上的一类集中紧致性原理,我们在变指数Sobolev空间W1,p(x)(RN)上建立了集中紧致性原理.然后基于此集中紧致性原理,并结合对称的山路定理,我们得到了泛函φ的一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点{un} ? W1,p(x)(RN),从而得到了方程在RN上弱解的多重性.4.对一类具有次临界增长阶的p(x)-Laplace半变分不等式的研究.在这部分中,主要基于一类不可微泛函的临界点理论,我们对与半变分问题相关的局部Lipschitz连续泛函φ的临界点进行了研究.进而分别在?为RN的有界及无界域的情况下,证明了此不等式至少有一个非平凡的解u0∈W01 ,p(x)(?).本文所得的结论是相应的p-Laplace问题结论的推广.另外,从本文结论的证明过程中,我们也可以看出具变指数增长性条件的非线性问题与常指数情况的不同.。
ch53 Sobolev空间与广义解
sup pf = {x | x ∈ (a, b)且f ( x) ≠ 0}的闭包
显然， 是一个闭集， 显然，s sup f 是一个闭集， 称它为函数 f (x) 的 支集。 支集 。 如果 sup p ⊂ (a, b) ， 则称 f (x) 在 (a, b) 内有 支集． 支集．又记
虽然如此， 上面的要求中还出现了u x , u y 在Ω 上平方 虽然如此， 可积” 必须要求存在导数。 可积” 必须要求存在导数。如果把导数的概念再推 ， 不按经典微积分理论中的意义来理解， 广，不按经典微积分理论中的意义来理解，那么这 的就更为广泛了． 时所求得的变分问题的解 u ( x, y) 的就更为广泛了．
0, x ∈ (−1,0) f ( x) = 1, x ∈ [0,1]
∫
1
−1
g ( x)v( x)dx = − ∫−1 f ( x)v ( x) dx
' 1 '
−1
= − ∫0v ( x)dx = −v( x) |1 = v(0) ∀ v ∈ C0∞ (−1,1) 0
不等式， 再由 Schwarz 不等式，有
例如， 例如，取 (−1,1) 上的阶梯函数
0, x ∈ (−1,0) f ( x) = 1, x ∈ [0,1]
显 然 f ∈ L2 (−1,1) ， 但 它 没 有 广 义 导 数 f ' ( x) ∈ L2 ( −1,1) 。 事实上 ， 如果 f 有广义导数 事实上， g ∈ L2 (−1,1) ，则
| v(0) |=| ∫−1 g ( x)v( x) dx |≤|| g || . || v ||, ∀ v ∈ C0∞ (−1,1) (3.6)
索伯列夫空间形成溯因
土木工程
土木工程师利用索伯列夫空间来 分析和设计建筑结构的稳定性， 以及预测地震和其他自然灾害对
建筑物的影响。
计算机科学领域
图像处理
索伯列夫空间在图像处理中被广泛应用，用于图像压缩、去噪、 分割和特征提取等任务。
数据科学
在数据科学中，索伯列夫空间为数据降维、聚类和分类提供了有效 的工具，帮助研究人员更好地理解和分析大量数据。
THANK YOU
连通性
索伯列夫空间通常是连通 的，这意味着它们不能被 分割成两个不连接的部分 。
索伯列夫空间的重要性
理论物理
索伯列夫空间在理论物理中扮演 着重要的角色，它提供了一种描 述量子力学和相对论中出现的奇 异现象的工具。
微分方程
索伯列夫空间在微分方程中也扮 演着重要的角色，它提供了一种 更好地理解微分方程解的性质和 行为的方法。
边界的连通性
索伯列夫空间的边界是连通的，即从边界的任意一点出发， 通过连续的路径，都可以到达其他任意一点。
04
索伯列夫空间的应用 领域
物理学领域
量子力学
索伯列夫空间为量子力学提供了 数学框架，使得研究人员能够更 准确地描述微观粒子的状态，并
计算它们之间的相互作用。
相对论
索伯列夫空间在相对论中扮演了关 键角色，为描述和计算物体的运动 提供了精确的工具。
索伯列夫空间形成溯因
汇报人： 2023-11-22
contents
目录
• 索伯列夫空间的基本概念 • 索伯列夫空间的形成机制 • 索伯列夫空间的特征与规律 • 索伯列夫空间的应用领域 • 索伯列夫空间研究的未来展望 • 相关案例分析
01
索伯列夫空间的基本 概念
空间的定义
sobolev空间的建立
Sobolev 空间的建立Sobolev 空间是以前苏联数学家Sobolev 的姓来命名的一类函数空间，这是因为他对Sobolev 空间的创立（20世纪30年代）做出了重要贡献.这类函数空间为微分方程特别是偏微分方程的理论研究提供了重要的工具.下文将详细介绍Sobolev 空间的一些主要内容.一、定义(一)弱导数的定义设()1,loc u v L ∈Ω，称v 是u 的关于i x 的弱导数（或广义导数），记为i v Du=，是指对任意()0C φ∞∈Ω，成立.iv dx udx x φφΩΩ∂=-∂⎰⎰ 对于多重指标()12,,,n αααα=，用记号12121,,nn ni x xx i αααααα==∂=∂∂∂∑称v 是u 的α阶弱导数（或广义导数），记为v D u α=，如果对任意()0C φ∞∈Ω，成立()1.v dx u dx ααφφΩΩ=-∂⎰⎰(二)Sobolev 空间的定义对1,p m ≥是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα.在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i)非负性当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α 对任意m ≤||α均成立⇔0=u ； 当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0max ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0max ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ； (ii)齐次性当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(max ||u D u mββαα=≤u D mααβ||max u β；(iii)三角不等式性当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mpp pdx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(max ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||max +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质 （一）完备性定理1 )(,Ωp m W 是Banach 空间.证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mppLjkpmjk pffDff||1,))((αα∑≤-=mppLjk pfDfD||1))(ααα⇒),(0∞→→-jkfDfDpLjkαα.即{})|(|mfDj≤αα是)(ΩpL中的Cauchy列，由)(ΩpL的完备性知，存在)|)(|(mLg p≤Ω∈αα，使得∞→→jgfDpLj,αα.在弱收敛的意义下，ααgfDj→，即对任意)111)((=+Ω∈qpL pϕ，有⎰⎰ΩΩ∞→→)(jdxgdxfDjϕϕαα.特别对任意)(Ω∈∞Cϕ，有⎰⎰ΩΩ∞→→)(jdxgdxfDjϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dxgdxfDjϕϕαα⎰Ω⋅-≤dxgfDj||||ϕαα→⋅-≤qp LLjgfDϕαα(应用Holder不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dxfdxgdxfjϕϕϕ0.其中)(Ω∈∞Cϕ.在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞jC),(ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j . 即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间. （二）可分性定理2 当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P k k ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-ΩpL gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用Weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-pp L h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的. （三）自反性定理3 设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. （四）(),0m p W Ω的等价范数定理4 设n R Ω∈是一个有界区域，或者Ω是夹在两个平行的超平面之间（称Ω为有限宽的），那么(),0m p W Ω中的半范数1,ppm pp m uD u αα*=⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∑成为一个范数，并且与通常范数,m p ⋅等价. （五）延拓定理定理5 设1,N p R ≤<∞Ω⊂是有界区域，,m C ∂Ω∈则对于任意0,k m ≤≤存在线性算子()(),,:,k p k p n k T W W R Ω→使得()(),,,,,..;,nK k k p R k p T u x u x a e x T uC uΩ=∈Ω≤其中(),,C C k p =Ω为常数. （六）Sobolev 不等式定理6 设()1,0p u W ∈Ω，则存在(),C C n p =，使得下列不等式成立,1,np p n puC Du p n -≤≤<和11sup ,.n pp u C Du p n -Ω≤Ω>定理7 设Ω为有界区域，1,1,C p n ∂Ω∈≤<则存在正常数(),,,C C n p =Ω使得对任意()1,,p u W ∈Ω成立,1,,.p p uC u*ΩΩ≤三、建立Sobolev 空间的意义随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。
sobolev空间范数
sobolev空间范数Sobolev空间范数是数学分析中常用的一种函数空间范数，它在偏微分方程、泛函分析等领域中具有重要的应用。
本文将介绍Sobolev空间范数的定义、性质以及一些常见的应用。
我们来定义Sobolev空间范数。
给定定义在一个开集上的函数f，我们可以定义它的一个特定阶数的Sobolev空间W^{k,p}(Ω)。
其中k是一个非负整数，p是一个大于等于1的实数，Ω是定义域。
对于任意一个在Ω上具有连续的k个偏导数的函数f，我们可以定义它的Sobolev范数为：||f||_{W^{k,p}(Ω)} = \left( \sum_{|\alpha|\leq k} \int_{Ω} |D^{\alpha} f|^p dx \right)^{1/p}这里，α是一个多重指标，D^α是偏导数算子，|α|表示指标α的阶数之和。
Sobolev范数的定义中，我们对函数f的各个阶数的偏导数进行了加权求和，并取这个和的p次方根。
这个范数的定义允许我们度量一个函数在各个阶数的导数上的平滑程度。
Sobolev空间范数的一个重要性质是它是完备的。
也就是说，对于一个在Sobolev空间中的Cauchy序列，存在一个极限函数使得序列中的函数逐点收敛到这个极限函数，并且这个极限函数也属于Sobolev空间。
这个性质使得Sobolev空间成为了一个良好的函数空间，可以用来研究偏微分方程的解的存在性和唯一性。
除了完备性外，Sobolev空间范数还具有嵌入定理的性质。
嵌入定理指出，如果定义域Ω是一个有界开集并且k大于等于定义域的维数n除以p，那么函数f属于Sobolev空间W^{k,p}(Ω)中就意味着它在Ω上的p次方可积。
这个性质使得Sobolev空间成为了研究函数的可积性的一个有力工具。
Sobolev空间范数在偏微分方程的研究中有广泛的应用。
例如，在椭圆型偏微分方程的理论中，我们经常需要研究解的正则性。
通过定义适当的Sobolev空间范数，我们可以得到解的Hölder连续性、可微性等结果。
Soblev空间
专家2007年12月25日
表
课程名称：Sobolev空间
课程代码：011.562
英文名称：Sobolev Spaces
课程类型：√讲授课程□实践（实验、实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试+研讨成绩(60+40)
教学方式：讲授
适用专业：基础数学,应用数学
适用层次：硕士□√博士□√
开课学期：春
总学时/讲授学时：48/48
教学大纲：（章节目录）
第一章预备知识:
1.泛函分析和实分析基本知识回顾.
2.嵌入和紧嵌入算子的定义,连续函数空间的嵌入定理.
3.广义函数基本知识回顾.
第二章Lp空间:
1.基本性质.
2.磨光篹子与光滑函数逼近.
3.相对紧集的特征.
4.一致凸和一致光滑性.
5.对偶空间的Riesz表示定理.
第三章Sobolev空间Wm, p(Ω):
1.Lions的迹空间与内插性质.
2.迹空间的算子半群表征.
3.迹定理与Ws, p(Ω)的定义,内在范数.
4.嵌入定理简介.
教材：
R. A.Adams.《Sobolev Spaces》, Academic Press, New York.
主要参考书：
[1] V. G. Maz’ja.《Sobolev Spaces》, Springer, New York.
[2] W. P. Ziemer.《Weakly Differentiable Functions: Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation》, Springer, New York.
该课程所属基层教学组织（教研室、系）专家小组意见：
索布列夫空间大纲
索布列夫空间大纲
索布列夫空间（Sobolev space）是数学中的一个概念，主要用于描述函数空间，特别是处理偏微分方程时。
它是在实数域上的一个函数集合，其元素除了满足一定的可积性条件外，还满足一定的导数条件。
Sobolev空间H^s(R^n)可以定义为：函数f的集合，其所有n阶弱导数都存在，并且满足一定的积分条件。
具体来说，对于实数s，如果f的所有n
阶弱导数都存在，并且满足：
∫(∑│D^αf(x)│^2)dx < ∞
其中D^α表示f的α阶导数，α是0到n的整数。
那么f就属于
H^s(R^n)。
这个概念在偏微分方程、调和分析、复分析等领域都有重要的应用。
例如，在偏微分方程中，Sobolev空间常常用来描述解的存在性、唯一性和正则性。
请注意，这只是对索布列夫空间的一个非常基础的介绍，具体的内容和应用会涉及到更复杂的数学概念和技巧。
如需更深入的学习，建议查阅数学专业的书籍或资料。
索伯列夫(Sobolev)空间嵌入定理与集中紧性原理(三稿)
索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理摘要本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛函知识的理解。
关键词弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理Key words摘要...............................................................................................I Abstract .. (II)引言................................................................................................1 一、预备知识...................................................................................2 1.1 弱导数定义.................................................................................2 1.2 Sobolev 空间,()m p W ...................................................................2 1.3 引理..........................................................................................2 二、嵌入定理的证明与集中紧性原理......................................................5 2.1 嵌入定理的证明...........................................................................5 2.2 集中紧性原理............................................................................10 2.3 结论........................................................................................12 参考文献.. (13)索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev 发展起来的。
泛函分析中的Lp空间与Sobolev空间
泛函分析中的Lp空间与Sobolev空间泛函分析是现代数学的一个重要分支，它涉及了许多基本的概念和工具，其中两个重要的概念就是Lp空间和Sobolev空间。
一、Lp空间Lp空间是泛函分析中最基本的空间之一，它是由具有有限p次幂的可测函数组成的集合。
在Lp空间中，函数的p次幂可积，即可测函数f满足∫(|f|^p)dx < +∞。
当p=2时，Lp称为L2空间，它具有特殊的性质，是许多分析问题的重要工具。
Lp空间的定义使得我们能够度量函数的大小，其中p表示度量的方式。
当p趋于无穷大时，Lp空间上的范数也趋于无穷，这意味着函数在整个空间中无界。
相反，当p趋于1时，Lp空间上的范数变为函数的绝对值之和，这使得我们能够刻画有界函数。
在实际应用中，Lp空间用于定义范数、收敛以及函数空间中的距离等概念。
它在概率论、图像处理、信号处理等领域都有广泛的应用。
二、Sobolev空间Sobolev空间是在Lp空间的基础上进一步发展而来的，它引入了导数的概念。
在Sobolev空间中，函数不仅包含自身的信息，还包含了其导数的信息，这使得我们能够研究函数的更多性质。
Sobolev空间中的函数是函数及其导数在Lp空间中的广义函数。
具体来说，对于可测函数f，如果其导数在Lp空间中存在，则称其为Sobolev空间中的元素，记为f∈W^{1,p}(Ω)，其中Ω是定义域。
Sobolev空间的引入使得我们能够研究更加光滑的函数，它在偏微分方程、变分问题等领域具有重要的应用。
通过Sobolev空间，我们可以定义弱解、变分、黎曼积分等概念，为实际问题的求解提供了有力的工具。
总结：Lp空间和Sobolev空间是泛函分析中重要的概念，它们为我们研究函数的性质和解决实际问题提供了有效的工具。
Lp空间具有度量函数大小的能力，而Sobolev空间则引入了导数的概念，使得我们能够研究更加光滑的函数。
这两个空间在数学理论以及实际应用中都有广泛的应用价值。
rellich紧嵌入定理
rellich紧嵌入定理Rellich紧嵌入定理将一个域（一个开放和连通的子集）中的Sobolev 空间嵌入到另一个Sobolev空间中。
在数学和物理学中，Sobolev空间是由广义导数所组成的函数空间，它们比Lp空间更强大，因为它们对于微分算子是有意义的。
Sobolev空间在分析中的应用非常广泛，例如它们被用于研究偏微分方程的解以及其他部分的算法。
Rellich紧嵌入定理的正式陈述如下：在域 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ 中，令 $W^{k,p}(\Omega)$ 表示 $L^p$ 函数的Sobolev 空间，其中函数 $f$ 的前 $k$ 个广义导数在 $L^p$ 意义下存在，并且 $k$ 和 $p$ 是正整数。
则存在一个连续映射 $R:W^{k,p}(\Omega) \to L^q(\Omega)$，使得 $q$ 满足以下条件：$$\frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{k}{n}$$并且 $R$ 可以将 $W^{k,p}(\Omega)$ 中的任何有界集映射成$L^q(\Omega)$ 中的紧集。
这意味着 Rellich 定理将 Sobolev 空间映射到了一个更小的空间中，其中更小的空间是一个紧空间，而且映射是连续的。
Rellich紧嵌入定理的证明使用了引理，其中最重要的引理被称为Arzelà–Ascoli 定理。
它表明，任何 $W^{k,p}(\Omega)$ 中的有界集都可以是在一些等度连续且均匀有界的函数族中的紧子集。
这种连续性的性质使得这些函数族在函数之间的间隔变小时会收缩。
Rellich 定理的一个应用是研究紧嵌入。
紧嵌入是指将一个 Banach 空间嵌入到另一个 Banach 空间中，使得映射将原始空间中的有界集转换为目标空间中的紧集。
显然，对于紧嵌入的需求经常出现于实际应用中。
Rellich 定理提供了一种简单的方法来获取一些空间的紧嵌入。
函数分析中的Sobolev空间研究
函数分析中的Sobolev空间研究Sobolev空间是函数分析中的重要研究对象，它在许多数学领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨Sobolev空间的定义、性质及其在函数分析中的重要性。
一、Sobolev空间的定义Sobolev空间是一种函数空间，其成员为具有一定次数的弱导数的函数。
对于充分光滑的函数，我们可以直接定义其Sobolev空间为其自身。
而对于不充分光滑的函数，我们则需要引入分布导数的概念来定义Sobolev空间。
分布导数是广义导数的一种推广，它能够处理不光滑函数的导数。
二、Sobolev空间的性质1. 嵌套性质：Sobolev空间具有嵌套性质，即对于两个Sobolev空间Wk,p(Ω)和Wm,q(Ω)，若k>m且p≤q，则Wk,p(Ω)嵌套于Wm,q(Ω)。
2. 线性性质：Sobolev空间具有线性性质，即对于任意两个函数u 和v以及常数α、β，有αu+βv∈Wk,p(Ω)。
3. 范数性质：Sobolev空间中的函数可以通过范数进行度量。
一般情况下，Sobolev空间的范数为函数及其导数在Lp(Ω)中的范数。
4. 紧性性质：Sobolev空间具有紧性性质，即存在紧嵌入，即Wk,p(Ω)嵌入于Lp*(Ω)，其中Lp*(Ω)表示p*次可测函数的空间。
三、Sobolev空间的应用Sobolev空间在函数分析及其应用中具有广泛的用途。
以下是Sobolev空间在数学和物理领域中的一些应用示例：1. 偏微分方程：Sobolev空间在偏微分方程的研究中扮演着重要角色。
通过引入Sobolev空间，我们可以更好地研究偏微分方程的解的存在性、唯一性及正则性等性质。
2. 函数逼近：Sobolev空间在函数逼近中也起到关键作用。
通过使用Sobolev空间中的函数逼近原理，我们可以将不光滑的函数用光滑的函数逼近，从而简化问题的分析。
3. 泛函分析：Sobolev空间是泛函分析领域中的重要工具。
通过引入Sobolev空间，我们可以定义Sobolev范数及其对应的内积，从而给出Sobolev空间上的完备度的刻画。
索布列夫空间大纲
索布列夫空间大纲全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：索布列夫空间是拓扑空间理论中非常重要的一个概念，它是由俄罗斯数学家索布列夫于1923年首次提出的。
索布列夫空间在数学领域中应用广泛，特别是在函数分析、实变函数论、泛函分析等领域具有重要意义。
本文将从索布列夫空间的定义、性质和应用方面进行介绍。
索布列夫空间的定义：索布列夫空间是指拓扑空间中的一种特殊类型，它具有特定的性质使得在该空间中可以定义一种拓扑结构。
在索布列夫空间中，每个点都可以用其周围的开集来描述，即该点的任何一个邻域都包含在一个开集中。
具体而言，索布列夫空间满足以下几个性质：1. 索布列夫空间是第二可数的，即存在可数的拓扑基，使得空间中的任意开集都可以由这些基中的元素来表示。
2. 索布列夫空间是局部紧致的，即每个点都有一个紧的邻域。
4. 索布列夫空间是Hausdorff的，即空间中的任意两个不同的点都有不相交的邻域。
索布列夫空间的性质：索布列夫空间具有许多重要的性质，其中最为突出的是其完备性和完全性。
索布列夫空间是完备的，即它是一个度量空间，其中的Cauchy序列都有极限。
而索布列夫空间也是完全的，即它是一个度量空间，其中的每个柯西序列都收敛于空间中的一个点。
这些性质使得索布列夫空间成为拓扑空间理论中非常重要的一个概念。
索布列夫空间的应用：索布列夫空间在数学领域的应用非常广泛，特别是在实分析、泛函分析和拓扑学等领域。
索布列夫空间可以用来研究函数序列的极限性质、收敛性质以及函数空间的拓扑结构。
索布列夫空间还可以用来研究连续函数的性质、紧支集的性质以及度量空间的性质等。
在实际应用中，索布列夫空间被广泛应用于信号处理、图像处理、数值计算等领域。
索布列夫空间是拓扑空间理论中非常重要的一个概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过对索布列夫空间的研究和应用，我们可以更好地理解和分析拓扑空间的结构和性质，进而推动数学领域的发展和进步。
希望本文的介绍能够给读者带来一些启发和帮助。
sobolev空间与变分原理
sobolev空间与变分原理
Sobolev空间是数学中的一个概念，它是函数空间的一类，主要用于描述函数的可微性以及函数空间的一些性质。
在Sobolev空间中，函数的定义域可以是实数域或者更复杂的区域，而函数的值可以是实数或者复数。
变分原理则是物理学中的一个基本原理，它描述了自然界中各种物理现象之间的变化关系。
在物理学中，变分原理通常用于描述系统的能量变化和系统状态的变化之间的关系。
Sobolev空间和变分原理之间有着密切的联系。
在数学中，Sobolev空间中的函数可以用来描述物理现象的变化，例如波动方程、热传导方程等。
而在物理学中，变分原理则可以用来描述这些物理现象的变化规律，例如最小作用量原理、哈密顿原理等。
因此，Sobolev空间和变分原理是相互关联的两个领域，它们在数学和物理学中都有着广泛的应用。
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完备空间可以看成是一些好的经典函数空间的完备化. H m, p 是C 函数按范数 4.2 完备化得到的空间 H 0m, p 是Cc 函数按范数 4.2 完备化得到的空间
m
L 1 p
H m, p
,1 p , Lp ( )
p
H
m ,
max D u
特别的，p 2时，记H m,2为H m , 这时可引进内积， u, v m
D u , D v
m
L2
定理4.1：H m, p 为Banach空间. 根据H m, p 的定义，易知如下性质：
1.4 Sobolev空间
1.非负整指数Sobolev空间H m, p 定义4.1：设 R n是一给定的区域，对m 0,1 p 定义Sobolev空间H m, p 为满足条件D u Lp (), m的广义函数u全体所构成的集合，并装备以范数 u u D u m
函数的傅里叶变换
2. 函数1的傅里叶变换
1.3.3紧支集广义函数的Fourier变换
定理3.4：若T E( Rn ), 则T T , eix .
定义3.2 : 若函数a( x, ) C ( Rxn Rn ), 且对任意重指标，，有
x a ( x, ) C , (1 )
1 H 0, p =LP 2 若m1 m2 0, 则H m , p H m , p ，又若p1 p2 1, 且为 有界区域，则H m, p H m, p . 3 若u H m, p , m, 则D u H m , p
m
, 其中C , 为常数，则a称为S m类函数，记为a S m
定义3.3：若函数a( x, ) S m，则可以定义 R n R n 的线性连续映射A为
1 i x , Au ( x) e a( x, ) u d , 算子A称为拟微分算子，a( x, )称为A的象征。 n (2 )