常用相关分析方法及其计算.doc

二、常用相关分析方法及其计算

在教育与心理研究实践中，常用的相关分析方法有积差相关法、等级相关法、质量相关法，分述如下。

（一）积差相关系数

1. 积差相关系数又称积矩相关系数，是英国统计学家皮尔逊（Pearson）提

出的一种计算相关系数的方法，故也称皮尔逊相关。这是一种求直线相关的基本方法。

积差相关系数记作r，其计算公式为

XY

n

( x X

i )( y Y

i

)

r

XY n

i

(

1

x

i

n

2

X )

(

y

i

Y 2 )

(2-20)

i 1 i 1

式中x i 、y i 、X 、Y 、n 的意义均同前所述。

若记x x i X , y y i Y ，则（2-20）式成为

xy

r (2-21)

XY nS S

X Y

式中

xy

n

称为协方差，

xy

n

的绝对值大小直观地反映了两列变量的一致性程

度。然而，由于X 变量与Y 变量具有不同测量单位，不能直接用它们的协方差xy

来表示两列变量的一致性，所以将各变量的离均差分别用各自的标准差n

除，使之成为没有实际单位的标准分数，然后再求其协方差。即：

xy

1 x y

r ( ) (

XY S

nS S n S

X Y X Y

)

1 n Z X Z (2-22) Y

这样，两列具有不同测两单位的变量的一致性就可以测量计算。

计算积差相关系数要求变量符合以下条件：（1）两列变量都是等距的或等比的测量数据；（2）两列变量所来自的总体必须是正态的或近似正态的对称单峰分布；（3）两列变量必须具备一一对应关系。

2. 积差相关系数的计算

利用公式(2-20)计算相关系数，应先求两列变量各自的平均数与标准差，再

1

求离中差的乘积之和。在统计实践中，为方便使用数据库的数据格式，并利

于计算机计算，一般会将(2-20)式改写为利用原始数据直接计算r的公式。

XY 即：

n x y x y

i i i i

r (2-23)

XY

2 ( )2 2 ( )2

n x x n y y

i i i i

（二）等级相关

在教育与心理研究实践中，只要条件许可，人们都乐于使用积差相关系数来度量两列变量之间的相关程度，但有时我们得到的数据不能满足积差相关系数的

计算条件，此时就应使用其他相关系数。

等级相关也是一种相关分析方法。当测量得到的数据不是等距或等比数据，

而是具有等级顺序的测量数据，或者得到的数据是等距或等比的测量数据，但其所来自的总体分布不是正态的，出现上述两种情况中的任何一种，都不能计算积差相关系数。这时要求两列变量或多列变量的相关，就要用等级相关的方法。

1. 斯皮尔曼( Spearman) 等级相关

斯皮尔曼等级相关系数用r R 表示，它适用于两列具有等级顺序的测量数据，

或总体为非正态的等距、等比数据。

斯皮尔曼等级相关的基本公式如下：

2

6 D

r R 1 (2-24)

2

n(n 1)

式中：

D R X R

Y ____________

对偶等级之差；

n ____________ 对偶数据个数。

如不用对偶等级之差，而使用原始等级序数计算，则可用下式

4 R R 3

X Y

r R [ (n 1)] (2-25)

n 1 n(n 1)

式中：

R

X ___________ X

变量的等级；

R Y ____________Y

变量的等级；

n ____________ 对偶数据个数。

(2-25)式要求R X R Y ， 2 2

R X R ，从而保证

Y

2 2

S X S 。在观测变量

Y

中没有相同等级出现时可以保证这一条件。但是，在教育与心理研究实践中，搜集到的观测变量经常出现相同等级。在这种情况下，R

X R 的条件仍可得

Y

到保证，但 2 2

R X R 的条件则不能得到满足。在有相同等级出现的情况下，Y

2

2

R 随相同等级数目的逐渐增多而有规律地减少，其减少的规律如下：

2

t(t 1)

c

12

其中：

c ___________差数值（几个相同等级出现的R2 与没有相同等级出现的 2 R 之差）；

t ____________某一等级的相同数。

当一列变量中有多个相同等级出现时，他们的差数值为：

2

t (t 1)

c

12

从而，在出现相同等级情况下，计算斯皮尔曼等级相关系数的公式为：

2 2 2

x y D

r Rc (2-26)

2 2

2 x y

式中：

2 2

2 n(n 1) t(t 1)

x ；

12 12

2 2

2 n(n 1) t(t 1)

y ；

12 12

____________

n 对偶数据个数。

___________

t

各列变量相同等级数；

____________

D

对偶等级差数；

2. 肯德尔W 系数（肯德尔和谐系数）

肯德尔W 系数又称肯德尔和谐系数，是表示多列等级变量相关程度的一种

方法，它适用于两列以上等级变量。

肯德尔和谐系数用W 表示，其公式为

W

SS

Ri (2-27) 1 3

n

K (n n)

12

式中：