第一章数学物理方程讲义的解法
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《微分几何》梅向明 黄敬之编，高等教育出版社
2021/2/23
10
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
一、曲线的表示
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下运动质点的位置为
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
其中 i , j, k 为单位正交基向量．
空间曲线定义： 区间(a, b)上点t 在映射：t (x(t), y(t), z(t)) 下像的集合
若曲线上所有点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t 为正 则参数． 几何意义：
• 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点
处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
2021/2/23
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例1 若参数曲线 C: r r(t) 常矢 , tR ，则其几何图形
2021/2/23
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第一章 微分几何
微分几何是采用微积分的方法研究几何图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。
微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解 空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。
2021/2/23
2
课程内容：
第一章：微分几何（4） 第二章：线性空间（4） 第三章：渐近方法（5） 第四章：格林函数法（5） 第五章：积分方程的解法（5）
2021/2/23
3
课程学习目标：
1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数 集的应用； 2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函 数的应用； 3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌 握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。 4、学习和提高编程分析实际问题的能力。
二、正则
假定所研究的曲线 r (t) 至少是t 的一阶连续可微函数。
定义 ：如果给定参数曲线 C: r r (t) , t(a, b) ． • 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r (t0 ) 为 C 的一个正则点． • 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r (t0 ) 为 C 的一个奇点；
1、三维空间中的曲线； 2、三维空间中的曲面； 3、曲面的第一、二基本形式； 4、曲面的曲率； 5、测地线； 6、张量简述。
2021/2/23
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：第一章 微分几何
推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何讲义》陈省身 陈维恒著，北京大学出 版社
dt 0
dt1
曲线202C1/2上/23 一点如取参数t 时为正则点，则在取t1表示时也为正14则点
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
第一章数学物理方程的解法
精品jing
课程特点：
数学物理方法是物理学类、电子信息科学 类和通信科学类的重要公共基础课和工具。
主要特色在于数学和物理的紧密结合， 将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问 题的分析中，通过物理过程建立数学模型， 通过求解和分析模型，对具体物理过程的深 入理解。提高分析解决实际问题的能力。
2021/2/23
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第一章 微分几何
微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的， 在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的 蒙日，德国的高斯、克莱因等。
经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具 特色，应用广泛的学科。
在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常 遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明 的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。
2021/2/23
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第一章 微分几何
微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。
微分几何解决问题的一般思路是：
参数方程定 义几何体
求导 从微积分导出能说
明几何学某些性质 的几何量
给定某些微 分量
求解
Leabharlann Baidu
确定几何体
2021/2/23
几何量
微分方程的解集即几何体
满足的条件（微分方程） 8
第一章 微分几何
仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值 对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例 子．
例2 半径为a，螺距为2πv的圆柱螺线，如视为动点的轨
迹，表示为 r (t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ，
其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的圆
2021/2/23
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学习要求：
按时到课，完成作业，及时复习。
考核方法：30%平时+70%期末（闭卷） 推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何》梅向明 黄敬之 编，高等教育出版社
《物理学中的数学方法》拜伦著，1982年，科学出 版社
故此时其奇点有且仅有一个：r(0) ． 该曲线是（－, 0）和（0, ）上的正则曲线。 三、同一曲线的不同参数表示
同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为r (t)，用t＝t (t1) 引入新参量t1，则r (t) r (t (t1)) ＝ r 1 (t1)，为保障t, t1一一对应且
为使t, t1增加的方向均相应于曲线正向，要求
周半径、角速率和向上速率．此时
r (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ，
说明该参数化使之成为正则曲线。
或者称该曲线是（－, ）上的正则曲线。
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例3 半立方抛物线光滑曲线
r (t) (t3 , t2 , 0) , tR ， 则 r (t) (3t2 , 2t , 0) ，
曲线C的表示：
C 可用向量形式的参数方程表示为
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k [x(t), y(t), z(t)]
或写为分量形式的参数方程 x x(t)
y y(t) , t(a, b) ．
2021/2/式23 中t 称为 C 的参数
z z(t)
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
一、曲线的表示
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下运动质点的位置为
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k
其中 i , j, k 为单位正交基向量．
空间曲线定义： 区间(a, b)上点t 在映射：t (x(t), y(t), z(t)) 下像的集合
若曲线上所有点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t 为正 则参数． 几何意义：
• 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点
处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例1 若参数曲线 C: r r(t) 常矢 , tR ，则其几何图形
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第一章 微分几何
微分几何是采用微积分的方法研究几何图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。
微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解 空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。
2021/2/23
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课程内容：
第一章：微分几何（4） 第二章：线性空间（4） 第三章：渐近方法（5） 第四章：格林函数法（5） 第五章：积分方程的解法（5）
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课程学习目标：
1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数 集的应用； 2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函 数的应用； 3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌 握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。 4、学习和提高编程分析实际问题的能力。
二、正则
假定所研究的曲线 r (t) 至少是t 的一阶连续可微函数。
定义 ：如果给定参数曲线 C: r r (t) , t(a, b) ． • 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r (t0 ) 为 C 的一个正则点． • 若 r (t0) 0 ，则称 t t0 的对应点 r (t0 ) 为 C 的一个奇点；
1、三维空间中的曲线； 2、三维空间中的曲面； 3、曲面的第一、二基本形式； 4、曲面的曲率； 5、测地线； 6、张量简述。
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：第一章 微分几何
推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何讲义》陈省身 陈维恒著，北京大学出 版社
dt 0
dt1
曲线202C1/2上/23 一点如取参数t 时为正则点，则在取t1表示时也为正14则点
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
第一章数学物理方程的解法
精品jing
课程特点：
数学物理方法是物理学类、电子信息科学 类和通信科学类的重要公共基础课和工具。
主要特色在于数学和物理的紧密结合， 将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问 题的分析中，通过物理过程建立数学模型， 通过求解和分析模型，对具体物理过程的深 入理解。提高分析解决实际问题的能力。
2021/2/23
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第一章 微分几何
微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的， 在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的 蒙日，德国的高斯、克莱因等。
经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具 特色，应用广泛的学科。
在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常 遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明 的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。
2021/2/23
7
第一章 微分几何
微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。
微分几何解决问题的一般思路是：
参数方程定 义几何体
求导 从微积分导出能说
明几何学某些性质 的几何量
给定某些微 分量
求解
Leabharlann Baidu
确定几何体
2021/2/23
几何量
微分方程的解集即几何体
满足的条件（微分方程） 8
第一章 微分几何
仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值 对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例 子．
例2 半径为a，螺距为2πv的圆柱螺线，如视为动点的轨
迹，表示为 r (t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ，
其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的圆
2021/2/23
4
学习要求：
按时到课，完成作业，及时复习。
考核方法：30%平时+70%期末（闭卷） 推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何》梅向明 黄敬之 编，高等教育出版社
《物理学中的数学方法》拜伦著，1982年，科学出 版社
故此时其奇点有且仅有一个：r(0) ． 该曲线是（－, 0）和（0, ）上的正则曲线。 三、同一曲线的不同参数表示
同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为r (t)，用t＝t (t1) 引入新参量t1，则r (t) r (t (t1)) ＝ r 1 (t1)，为保障t, t1一一对应且
为使t, t1增加的方向均相应于曲线正向，要求
周半径、角速率和向上速率．此时
r (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ，
说明该参数化使之成为正则曲线。
或者称该曲线是（－, ）上的正则曲线。
2021/2/23
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例3 半立方抛物线光滑曲线
r (t) (t3 , t2 , 0) , tR ， 则 r (t) (3t2 , 2t , 0) ，
曲线C的表示：
C 可用向量形式的参数方程表示为
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k [x(t), y(t), z(t)]
或写为分量形式的参数方程 x x(t)
y y(t) , t(a, b) ．
2021/2/式23 中t 称为 C 的参数
z z(t)
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线