第章波导TE波TM波传输系统

常微分方程的通解为三角函数的形式：
X A c o s(k xx ) B sin (k xx )
YC co s(kyy)D sin (kyy)
H z [ A c o s ( k x x ) B s i n ( k x x ) ] [ C c o s ( k y y ) D s i n ( k y y ) ] e j t z
T2Exkc2Ex 0 T2Ey kc2Ey 0 T2Ez kc2Ez 0 T 2Hz kc2Hz 0
用分离变量法求Ez，或Hz的解
2 x E 2 z 2 y E 2 z kc 2E z 0 , 2 x H 2z 2 y H 2z kc 2H z 0
令： E z(x ,y ,z ,t) X (x )Y (y )e j t z
得到：
1 X
2xX2 Y1y2Y2 kc2
0
2xX 2 kx2X0, y2Y2 ky2Y0
其中：
kc2 kx2 ky2
令： H z(x ,y ,z ,t) X (x )Y (y )e j t z
可以得到类似的结果
根据纵向分量的存在与否，对电磁波进行分类
1、TEM波，2、TE波，3、TM波
1、横电波----TE波 （Ez=0）
vv 2Ek2E0
vv 2H k2H0
----赫姆霍兹方程
vv
2Ek2E0
vv 2H k2H0
可以分解为三个标量方程
2Exk2Ex 0
2Hxk2Hx 0
2Ey k2Ey 0
2Hyk2Hy 0
2Ezk2Ez 0
2Hzk2Hz 0
E v 电( x 磁,y , 波z , 沿t ) z方E v ( 向x , 传y ) e 播j ，t z 各场H v 量( x 包,y , 含z ,t ) e jtH v z( 因x ,子y ) e j t z
----规则波导中 不存在TEM波
kc2 22
（单导体波导）
----kc截止波数
均匀介质、无源区简谐波的Maxell方程
H E v v j j E v H v (1 )(2 )
v •H v0(3) •E0(4)
对式（1) 、（2)、取 旋 度，式（3)、(4）代入其中， 有波动方程
第10章 波导----TE波、TM波传输系统
波导：能够引导电磁波的结构或装置，通常 指横截面具有一定形状的金属管
波导分类：
Waveguide
规则波导：截面的几何形状、尺寸和所填 充的介质都不变的直波导
非规则波导：
矩形波导，圆波导 金属波导，介质波导
矩形波导
Rectangular-Plate Waveguide
z2z1...znzn1z
t2t1
tntn1 t
vpd dzt
v
1(/c)2
vp v
相速度大于真空光速
群速度
包络（波包）的运动速度
A 0c o s(t z)ej( t z)
包络
载波
vg
d 1 d d/d
代入 k2kc2 ( v)2(2c )2
vg v 1(/c)2 ----群速度小于光速
电磁场沿横向坐标（x，y）是驻波分布 m表示场在宽边a分布的驻波的半波数
n表示场在窄边b分布的驻波的半波数
1、一组（m，n）的组合，称为一个模式，即 TEmn模或TMmn模 2、不同模式对应不同的截止波数kcmn 3、相同的m，n组合，TMmn模和TEmn模截止 波数kcmn相同----称为模式简并
ZW(TM)
ET HT
j
同理：ZW(TE)
ET HT
j
波阻抗Zw(TE)、 Zw(TM)
ZW(TM)
ET Ex Ey HT Hy Hx j
ZW(TE) H ET T H Exy H Exy j
代入 j 与 /k//k
ZW(TM) 1(/c)2 ZW(TE) / 1(/c)2
vg vp v2
波阻抗Zw(TM)、 Zw(TE)
横向电场与横向磁场的比值----波阻抗
对于TM波
jEx Hy
e E v v z T j E v e T v E x E yx j e v yH E (e v y x xH xj e v y( H e v x y H ) x je v yH H y v ) T
我们只研究：直的、均匀的波导 •直的：不弯、无分支 •均匀：截面恒定
y
特例：矩形金属波导 b
0
z
a
x
均匀 介 质H v v 、 无j源区E v 简v (1 谐)波的M axe•llH 方v v程0(3)
E j H (2 ) •E0(4)
两个旋度方程（1) 、（2)是独立的，可以分别展成三个标量方程
ZW (TE 10)
Ex Ey H y H x
1(
/2a)2
波导的波阻抗----波导中相对于波的传播方向成 右手螺旋关系的横向电场与横向磁场分量复振 幅的比值
边界条件
1 ， x 0 ,0 y b ,E z 0 ,左 璧 A 0
3 2 4 ， ， ， x y y a 0 b ,,,0 0 0 y x x b a a ,,,E E E z z z 0 0 0 ,,,右 底 顶 璧 璧 璧 kkxymnbaC ,,nm000,1,1,,22......
矩形波导中的主模
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对于矩形波导（a>b），TE10的截止频率最低， TE10称为矩形波导中的主模
kc
(m)2 (n)2
a
b
c
2 kc
对于TE模，m，n不能同时为0，否则所有
的场量为0；当 a>b 时，m，n取1，0才能
保证kc最小，TE10是TE模的主模
对于TM模，m，n任一不能为0，否则所
有的场量为0；，m，n取1，1才能保证kc最 小，TM11是TM模的主模
kH H Hc2 zx y (m0 ajk k jc 2 )c 2 2(n ( b (m na b) E ) )0 E 2s 0 in c ( o m s 2a ( m a x () m a x c )o )s s 2( i n n b ( (n nb by ))y 2) e j e t j 2tz z
边界条件 1、Hx=0，2、Hx=0，3、Hy=0，4、Hy=0
1， x0,0yb,H z0,左 璧
B0
x
2， xa,0yb, H xz0,右 璧kx
m,m0,1,2...
a
3， y0,0xa,Hz 0, 底 璧
D0
y
4， yb,0xa,Hz 0, 顶 璧ky y
n,n0,1,2...
b
H z H 0 c o s (m ax )c o s (n by )e j t z ,m ,n 0 ,1 ,2 ...
(4)
jHyExE xz (5)
jHz
Ey x
Ex y
(6)
Exk1c2[E xz jH yz] Hyk1c2[jE xz H yz]
Eyk1c2[E yz jH xz]
用电磁场的纵 向分量可以完 全表示横向分 量-----只要求出 纵向分量，就 可以得出电磁 场的全部分量
Hx k1c2[jEyz H xz]
考E v 虑( x 到,y 电,z 磁,t 波) 沿zE v 方( x 向,传y ) 播e j ， t 各z 场量H 包v ( 含x ,y e, jz t, t ) z 因H 子v ( x ,y ) e j t z
E v(x,y,z,t)evxm Ex(x,y)ejtz
H v(x,y,z,t)e vxH xm (x,y)ejtz
E z E 0 s in (m ax )s in (n by )e j t z,m ,n 0 ,1 ,2 ...
TM波的场分量
E E E z x y E k k 0 c c 2 2 s( ( in m n b a (m ) a )E E 0 0 xs )c is o n is (n ( m (m a n a bx x y )) )c e s o j is n t( (n n b zby y ))e e j j t t zz
evyEym(x,y)ejtzevzEzm(x,y)ejtz e vyH ym (x,y)ejtze vzH zm (x,y)ejtz
得到：
z
将Maxell的（1）、（2）方程分解成分量形式
jj E Exy H yH z xH H yxz(1)(2)
jEz
Hy x
Hx y
(3)
jHx
Ez y
Ey
2xE2x2yE2x2Exk2Ex0
令：
T2
2 x2
2 y 2
kc2 k2 2
T2Exkc2Ex 0
同理： T2Ey kc2Ey 0 T2Ez kc2Ez 0
vv
T 2Ekc2E0 vv
----波导中的波动方程
T 2Hkc2H0
2 T
----横向拉普拉斯算子
纵向分量（z分量）的波动方程及其解
vv 矢量方程： T 2Ekc2E0
TE波的场分量
E xjk c 2(n b)H 0c o s(m ax )sin (n by )ej t z E E y z 0 jk c 2(m a)H 0s in (m ax )c o s (n by )e j t z
H x k c 2(m a)H 0sin (m ax )c o s(n by )ej t z H H kcz 2y H (k mc 2 0 ac (o n )b s 2() m H a (n0 bx c o ))2c so (m sa (n b x 2) y )s (e im n j a( tn b )z2 y )(ne bj )t2 z2
(2)2 (m)2(n)2
c
ab
c
2
2
(m)2 (n)2 kc
ab
只有当工作波长小于某个模式的截止波 长时，该模式才能在矩形波导中传播
相移常数
2 k2 kc2
k2kc 2k1(/c)2
λ和k分别为TEM波的工作波长和相移常数
波导波长
g2 k1 2 ( /c)21( /c)2
相速度
t 1 z 1 t 2 z 2 . . . t n z n c o n s t .
2、横磁波----TM波 （Hz=0）
Ex
kc2
Ez x
Hx
j
kc2
Ez y
Ey
kc2
Ez y
Hy
j
kc2
Ez x
Ez Hz 0
2Ez x2
2yE2z
kc2Ez
0
用分量变量法，得到：
E z [ A c o s ( k x x ) B s i n ( k x x ) ] [ C c o s ( k y y ) D s i n ( k y y ) ] e j t z
TE10模的特征参数
(kc )TE10 a v
( )c TE10
1
2
kc
2a
(f )c TE10
c
2a
( )T E 102( a)22 1(2 a)2
(vp)TE10
(
v/ )TE10
1()2
2a
V与λ是无界媒质内的相速度与波长
TE10模的特征参数
(v g )T E 1 0 v1 /(c )T E 1 0 v1 /2 a
E v(x,y,z,t)evxExm(x,y)ejtz
H v(x,y,z,t)e vxH xm (x,y)ejtz
evyEym(x,y)ejtzevzEzm(x,y)ejtz e vyH ym(x,y)ejtze vzH zm (x,y)ejtz
2E xk2E x 2x E 2x 2y E 2x 2zE 2xk2E x
表示衰减的场分布，矩形波导中不能传播相应的电磁波
1、γ为虚数时，kc < k，表示沿z正向传播的电磁波
j
k2kc 2j
2(m )2(n )2j
ab
波导中能够维持TEmn或TMmn模式的传输
即要求： 2(m)2(n)2
ab
要求波长满足
2
2
(m)2
a
(n)2
b
截止波长
0 时，电磁波刚好截止时的临界波长λc
Ex
j
kc2
Hz y
Hx
kc2
Hz x
Ey
j
kc2
Hz x
Hy
kc2
Hz y
Ez 0 Hz
2Hz x2
2yH2z
kc2Hz
0
令： H z(x ,y ,z ,t) X (x )Y (y )e j t z
得到：
1 X
2xX2 Y1y2Y2 kc2
0
2xX 2 kx2X0, y2Y2 ky2Y0
其中： kc2 kx2 ky2
4、对于TEmn模，其中m，n可以为0，但不能 同时为0；对于TMmn模，m，n都不能为0，不 存在TMm0或TM0n模
矩形波导中的参量
kc2
(m)2
a
(n)2
b
----kc截止波数
2(m)2(n)22
ab
(m)2(n)22
ab
----γ传播常数
1、E v ( γ为x ,实y ,z 数,) 时 ，E v k( x c , >y k) ，e 则z：H v ( x ,y ,z ,) H v ( x ,y ) e z