专题1 集合与常用逻辑用语、不等式 第2讲 不等式与线性规划

不等式与线性规划1．已知实数a ，b ，c ，( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 答案 D解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项； 对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项； 对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项． 故选D.2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0， 则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 32解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，如图，过C ⎝⎛⎭⎫1，12时取得最大值32.3．(2016·上海)设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为________． 答案 (2,4)解析 －1<x －3<1，即2<x <4，故解集为(2,4)．4．(2016·上海)设a >0，b >0，若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 由已知得，ab ＝1，且a ≠b ， ∴a ＋b >2ab ＝2.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>0，则x 0的取值范围是________________．答案 (1)9 (2)(－∞，0]∪(1，＋∞) 解析 (1)由值域为[0，＋∞)，可知当x 2＋ax ＋b ＝0时有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)， ∴⎝⎛⎭⎫c －a 2－(－c －a2)＝2c ＝6，解得c ＝9.(2)当x 0≤0时，由03x>0，得x 0≤0；当x 0>0时，由log 2x 0>0，得x 0>1，所以x 0的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________. (2)不等式22x x－＜4的解集为________．答案 (1)52(2)(－1,2)解析 (1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵22x x－＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.热点二 基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例2 (1)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，若a ⊥b ，则2m ＋4n 的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．8(2)已知正实数x ，y 满足xy ＋x ＋y ＝17，则x ＋2y ＋3的最小值为________． 答案 (1)C (2)12解析 (1)因为向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，a ⊥b ， 所以m ＋2(n －1)＝0，即m ＋2n ＝2. 所以2m＋4n≥22m·4n＝22m ＋2n＝222＝4(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4n ，m ＋2n ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0.5时，等号成立)，所以2m ＋4n 的最小值为4，故选C.(2)由题意，得y ＝17－x x ＋1>0，x >0，则0<x <17，所以x ＋2y ＋3＝x ＋34－2x x ＋1＋3＝(x ＋1)＋36x ＋1≥2(x ＋1)·36x ＋1＝12，当且仅当x ＝5时取等号，故x ＋2y ＋3的最小值为12.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练2 (1)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋bb ＋1的最大值为________．(2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋yb(a ≥b >0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ．8答案 (1)23(2)D解析 (1)∵正数a ，b 满足a ＋b ＝1， ∴a a ＋1＋bb ＋1＝a (b ＋1)＋b (a ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝2ab ＋a ＋b ab ＋a ＋b ＋1＝2ab ＋1ab ＋2＝2(ab ＋2)－3ab ＋2＝2－3ab ＋2 ≤2－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a a ＋1＋b b ＋1的最大值为23.(2)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(包括边界)所示．由z ＝x a ＋y b (a ≥b >0)，得y ＝－ba x ＋bz .当直线y ＝－bax ＋bz 经过点A 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，得A (2,6)，∴2a ＋6b ＝2，即1a ＋3b ＝1.∵a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋3b )＝4＋b a ＋3ab ，令ba ＝t ，则0<t ≤1， ∴a ＋b ＝4＋t ＋3t ，0<t ≤1.令f (t )＝4＋t ＋3t ，0<t ≤1，则f ′(t )＝1－3t 2＝t 2－3t 2<0，∴y ＝f (t )在(0,1]上是减函数．∴(a ＋b )min ＝f (1)＝4＋1＋3＝8.故选D. 热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为__________．(2)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14答案 (1)4 (2)D解析 (1)可行域为△ABC 及其内部，其中A (1,1)，B (0,2)，C (－1,0)，当直线z ＝3x ＋y 过点A 时取最大值4.(2)直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,8]C ．[2,8]D ．[2,10](2)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[－1,1)答案 (1)B (2)C 解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图知当目标函数z ＝4x ＋y 经过点B (2,0)时z 取得最大值，最大值为4×2＋0＝8；当目标函数z ＝4x ＋y 经过点O (0,0)时z 取得最小值，最小值为4×0＋0＝0，所以z ＝4x ＋y 的取值范围是[0,8]，故选B. (2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1,1].1．若点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.14D.18押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合． 答案 D解析 因为点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，所以a >0，b >0，且a ＋2b ＝1， 所以ab ＝12·a ·2b ≤12·(a ＋2b 2)2＝18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时，“＝”成立．故选D.2．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式． 答案 D解析 由定义知，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，x ≥12，y ≥1，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.52 C.72D ．5押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点． 答案 B解析 由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中阴影部分所示的四边形ABCD 及其内部．因为目标函数z ＝x ＋2y 可化为y ＝－x 2＋z 2，其表示过可行域上的点(x ，y )，斜率为－12且在y轴上的截距为z 2的直线；由图可知，当z ＝x ＋2y 过点D (12，1)时，z 取得最小值z min ＝12＋2＝52.故选B. 4．若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－2,0)押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点． 答案 A解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min .因为对任意a ，b ∈(0，＋∞)，a b ＋16b a ≥2a b ·16b a ＝8(当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b 时取等号)，所以x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选A.A 组 专题通关1．已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．ln a >ln b B.1a <1bC ．a 2>abD ．a 2＋b 2>2ab答案 D解析 只有当a >b >0时A 成立；只有当a ，b 同号时B 成立；只有当a >0时C 成立；因为a ≠b ，所以D 恒成立，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0， 所以“0<x <1”⇒“f (x )<0”；若f (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x ＋12<0，解得0<x <1或－1<x ≤0，所以－1<x <1， 所以“f (x )<0”D ⇒/“0<x <1”．故选A. 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最小值为( )A ．1B ．3 C.265 D ．－19答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋2y －2≥02x －y －2≤0，表示的平面区域如图所示(图中阴影部分)，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线z ＝3x ＋4y 经过点(－1，32)时，z 取得最小值，最小值为3.4．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( ) A ．－5 B ．－12C.12 D ．5答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0表示的可行域如图阴影部分所示．y －1x －1表示可行域内的点(x ，y )与点P (1,1)连线的斜率．结合图形可知，当点(x ，y )取直线2x ＋y －2＝0与x －y ＋1＝0的交点A (13，43)时，y －1x －1取得最小值，最小值为－12.5．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤16，22 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤213，1答案 D解析 ∵t t 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)．又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝⎛⎭⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝⎛⎭⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)．故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤213，1. 6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0答案 A解析 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0表示的平面区域，可得点(2,0)，(0,2)．要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0表示的平面区域的面积为4，那么直线kx －y ＋2＝0与直线x ＝2的交点应为(2,4)，将其代入kx －y ＋2＝0，得k ＝1.7．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y元，则y ＝20×4＋10×⎝⎛⎭⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．8．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析 由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x ＋8xy≥2 2y x ·8xy＝8， 所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.9．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)解 令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， 其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a －3)． ①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根分别为0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． 综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．B 组 能力提高11．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.12．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16n 取得最小值，若曲线y ＝x α过点P (m 5，n 4)，则α的值等于( ) A ．－1 B.12 C ．2 D ．3答案 B解析 因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，所以1m ＋16n ＝m ＋n m ＋16m ＋16n n ＝n m ＋16mn ＋17≥25，当且仅当m ＝15，n ＝45时，1m ＋16n 取得最小值．所以曲线y ＝x α过点P (125，15)，即15＝(125)α，所以α＝12.13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋2＝0与平面区域D 有公共点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－4,0) B ．[－4,0]C ．(－∞，－4)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 D解析 如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0对应的平面区域D 是以点(－1,0)，(0,1)和(1,0)为顶点的三角形．直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋2＝0可化为m (x －y )＋2x －y ＋2＝0，该直线恒过点(－2，－2)．若直线与平面区域D 有公共点，经过点(1,0)时，直线的斜率取得最小值23，经过点(－1,0)时，直线的斜率取得最大值2，则23≤m ＋2m ＋1≤2.解得m ≤－4或m ≥0，故实数m 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x <20)，13(200－x ) (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x <20)，13x (200－x ) (20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。