四边形专题课四边形中的类比探究(含答案)

四边形专题课四边形中的类比探究
一、证明题(共2道，每道50分)
1.(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE ＝CF.
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上，EF,GH，交于点O,∠FOH＝90°，EF＝4,求GH的长。

答案：(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠EAB+∠AEB=90°.
∵∠EOB=∠AOF＝90°,
∴∠FBC+∠AEB=90°,
∴∠EAB=∠FBC,
∴△ABE≌△BCF,
∴BE=CF．
(2)解：如图：过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形, ∴EF=BN,GH=AM, ∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN, ∴∠NO′A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN, ∴AM=BN, ∴GH=EF=4．
试题难度：三颗星知识点：正方形的性质
2.已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.
答案：解：
（1）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=a．
（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=a．
解题思路：（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
试题难度：三颗星知识点：正方形的性质。