经典相似三角形练习题(附参考答案)

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相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。

答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。

答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。

因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。

设BC=2x，则EF=3x。

由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。

因此，BC=6cm，
EF=9cm。

2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。

答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。

因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。

所以相似比为√(2/3)。

相似三角形判定专项练习30题(有答案)

相似三角形判定专项练习30题（有答案）1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？2．如图，△BAC、△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC=∠AGF=90°．若△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．3．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．4．如图，已知∠1=∠2，且AB•ED=AD•BC，则△ABC与△ADE相似吗？是说明理由．5．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．6．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．7．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．（1）证明：△ADC∽△AEB；（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．8．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．9．在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．（1）求证：DF=EF；（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．12．已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．13．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．14．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：（1）△DAE∽△EBA；（2）找出两个与△ABC相似的三角形（第2小题不要求写出证明过程）．15．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，△ABE和△ADC 一定相似．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）△ABD与△ACE相似吗？为什么？（3）图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．18．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF．19．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s 的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的22．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向C移动，速度为每秒2个单位，动点Q 从点C出发沿CD向D出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何？请说明理由．23．已知，如图，，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．24．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD （如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．25．如图，已知△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，∠BAC=∠MBN=90°，BD⊥AN．请找出与△ABD相似的三角形并给出证明，直接写出∠ANC的度数．26．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．设运动时间为t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．27．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，证明：△ABE∽△AEF．28．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，连接BD，AC，且DE⊥AC于E，交AB于F，求证：△AFD∽△ADB．29．已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN 是等腰三角形；（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．30．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．相似三角形判定专项练习30题参考答案：1．解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下： ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD ，设AB=AD=CD=4a ， ∵E 为边AD 的中点，CF=3FD ， ∴AE=DE=2a ，DF=a ，∴==2，==2，∴=，而∠A=∠D ， ∴△ABE ∽△DEF ． 2．解：△EAD ∽△EBA ，△DAE ∽△DCA ．对△ABE ∽△DAE 进行证明： ∵△BAC 、△AGF 为等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∠GAF=45°， ∴∠EAD=∠EBA ，而∠AED=∠BEA ， ∴△EAD ∽△EBA ． 3．证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠A=∠C=60°，BC=AB ， ∵AE=BE ， ∴CB=2AE ， ∵，∴CD=2AD ，∴==，而∠A=∠C ， ∴△AED ∽△CBD ． 4．解：△ABC ∽△ADE ，理由为：证明：∵AB •ED=AD •BC ，∴=，∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE ，即∠BAC=∠DAE ， ∴△ABC ∽△ADE ．5．证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB==10，∴DB=AD ﹣AB=15﹣10=5 ∴DB ：AB=1：2，又∵EB=CE ﹣BC=9﹣6=3， ∴EB ：BC=1：2，又∵∠DBE=∠ABC，∴△ABC∽△DBE．6．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．7．（1）证明：∵如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，∴∠ADC=∠AEB=90°．又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△AEB；（2）由（1）知，△ADC∽△AEB，则AD：AE=AC：AB．又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．8．证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB=∠DCE=90°，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC．9．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，∴EF=BC，DF=BC，∴DF=EF；（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；（3）△ADE∽△ACB．理由如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，而∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．11．证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵D为BC中点，且DE⊥BC，∴EB=EC．∴∠B=∠DCF．∴△ABC∽△FCD．12．证明：∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB．13．解：△ABD∽△CBE，△ABC∽△DBE．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE，∴∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE，∴△ABC∽△DBE14．解：（1）∵∠DEC=∠B，∴DE∥AB，∴∠DEA=∠EAB，又∵∠DAE=∠B，∴△DAE∽△EBA；（2）△CDE∽△ABC，△EAC∽△ABC．15．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90°．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．16．证明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴BD=CD，AD=CD，∴∠C=∠DAC，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠EAB=∠C，∴△EAB∽△ECA；（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，∴当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．17．解：（1）证明∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；（2）相似．证明：∵△ADE∽△ABC；∴，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE；（3）△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．18．证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠E+∠ECA=45°（三角形外角定理）．又∠ECF=135°，∴∠ECA+∠BCF=∠ECF﹣∠ACB=45°，∴∠E=∠BCF；同理，∠ECA=∠F，∴△EAC∽△CBF．19．（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．20．解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．22．解：要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ ∴只要或者∵AB=6，BC=8∴只要设时间为t则PC=8﹣2t，CQ=t∴t=或者t=；①当t=时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC理由：△ABC∽△PCQ∴∠BAC=∠CPQ∵∠BAC+∠ECP=90°，∴∠EPC+∠ECP=90°即PQ⊥AC；②当t=，△ABC∽△QCP，AC平分PQ理由：△ABC∽△QCP∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC∴PE=EQ=CE即AC平分PQ23．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE．理由：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△BAD∽△CAE，∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC，∴△AFE∽△BFC．24．（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE=DC，∵M、N分别为AE、CD的中点，∴AM=AE，CN=DC∴AM=CN；（2）解：∵△ABE≌△DBC，∴∠EAB=∠CDB，在△AMB和△DNB中∴△AMB≌△DNB（SAS），∴∠ABM=∠DBN，∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°，∴∠DBN+∠MBD=60°，即∠MBN=60°；（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．25．解：△ABD∽△CBN，理由：∵△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，BD⊥AN，∴∠MBD=∠NBD=∠BNM=∠ABC=45°，∴==，∵∠MBA+∠ABD=45°，∠ABD+∠CBN=45°，∴∠ABD=∠CBN，∴△ABD∽△CBN，∴∠BNC=∠ADB=90°，∵∠BNA=45°，∴∠ANC=45°．26．解：∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，∴BD=t，BE=8﹣2t，∴△BDE∽△BAC时，=，即=，解得t=2.4（秒）；当△BED∽△BAC时，=，即=，解得t=（秒）．综上所述，t的值为2.4秒或秒．27．证明：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．∴△ABE∽△ECF．∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEF=∠B=90°．∴△ABE∽△AEF．28．证明：∵∠AEF=∠ABC=90°，∠EAF=∠BAC．∴△EAF∽△BAC，=，即AE•AC=AF•AB．同理可得，△AED∽△ADC，=，即AE•AC=AD2，∴AD2=AF•AB，即=，又∵∠DAF=∠BAD，∴△AFD∽△ADB．29．证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．∵M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．在△ABM与△ACN中，，∴△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∴△AMN为等腰三角形；（3）由（2）得△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN，即∠MAN=∠BAC，又∵AM=AN，AB=AC，∴AM：AB=AN：AC，∴△AMN∽△ABC；∵AB=AC，AD=AE，∴AB：AD=AC：AE，又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE；∴△AMN∽△ABC∽△ADE．30．证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．。

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形之阳早格格创做一．解问题（共30小题）1．如图，正在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，供证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，面F正在BC上，连DF与AB的延少线接于面G．（1）供证：△CDF∽△BGF；（2）当面F是BC的中面时，过F做EF∥CD接AD于面E，若AB=6cm，EF=4cm，供CD的少．3．如图，面D，E正在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．供证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一面，BF⊥AE 于F，试道明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，正在△ABC战△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且面B，A，D正在一条曲线上，对接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中面．（1）供证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）正在图①的前提上，将△ADE绕面A按逆时针目标转动180°，其余条件稳定，得到图②所示的图形．请间接写出（1）中的二个论断是可仍旧创造；（3）正在（2）的条件下，请您正在图②中延少ED接线段BC于面P．供证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延少线上一面，对接EC，接AD于面F．正在不增加辅帮线的情况下，请您写出图中所有的相似三角形，并任选一对于相似三角形赋予道明．7．如图，正在4×3的正圆形圆格中，△ABC战△DEF 的顶面皆正在边少为1的小正圆形的顶面上．（1）挖空：∠ABC=_________°，BC=_________；（2）推断△ABC与△DEC是可相似，并道明您的论断．8．如图，已知矩形ABCD的边少AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动面M从A面出收沿AB目标以1cm/s的速度背B面匀速疏通；共时，动面N从D面出收沿DA目标以2cm/s的速度背A面匀速疏通，问：（1）通过几时间，△AMN的里积等于矩形ABCD里积的？（2）是可存留时刻t，使以A，M，N为顶面的三角形与△ACD相似？若存留，供t的值；若不存留，请道明缘由．9．如图，正在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对于角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从那四个小三角形中任选二个三角形的所有大概情况，并供出采用到的二个三角形是相似三角形的概率是几；（注意：齐等瞅成相似的惯例）（2）请您任选一组相似三角形，并给出道明．10．如图△ABC中，D为AC上一面，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，对接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以道明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对于；若不，请道明缘由；（3）供△BEC与△BEA的里积之比．11．如图，正在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC 上的任性一面，过面M分别做AB、AC的仄止线接AC 于P，接AB于Q．（1）供四边形AQMP的周少；（2）写出图中的二对于相似三角形（不需道明）；（3）M位于BC的什么位子时，四边形AQMP为菱形并道明您的论断．12．已知：P是正圆形ABCD的边BC上的面，且BP=3PC，M是CD的中面，试道明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）供梯形ABCD的里积S；（2）动面P从面B出收，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C 目标，背面C疏通；动面Q从面C出收，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A目标，背面A疏通，过面Q做QE⊥BC 于面E．若P、Q二面共时出收，当其中一面到达手段天时所有疏通随之中断，设疏通时间为t秒．问：①当面P正在B⇒A上疏通时，是可存留那样的t，使得曲线PQ将梯形ABCD的周少仄分？若存留，哀供出t 的值；若不存留，请道明缘由；②正在疏通历程中，是可存留那样的t，使得以P、A、D为顶面的三角形与△CQE相似？若存留，哀供出所有切合条件的t的值；若不存留，请道明缘由；③正在疏通历程中，是可存留那样的t，使得以P、D、Q为顶面的三角形恰佳是以DQ为一腰的等腰三角形？若存留，哀供出所有切合条件的t的值；若不存留，请道明缘由．14．已知矩形ABCD，少BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上疏通的二面．若P自面A出收，以1cm/s的速度沿AB目标疏通，共时，Q自面B出收以2cm/s的速度沿BC目标疏通，问通过几秒，以P、B、Q为顶面的三角形与△BDC相似？15．如图，正在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，面P 从面A启初沿AB边背B面以2cm/s的速度移动，面Q 从面B启初沿BC边背面C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B共时出收，问通过几秒钟，△PBQ 与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的少为几时，那二个曲角三角形相似．17．已知，如图，正在边少为a的正圆形ABCD中，M 是AD的中面，是可正在边AB上找一面N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出道明，若不克不迭，请道明缘由．18．如图正在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，面Q从B出收，沿BC目标以2cm/s的速度移动，面P 从C出收，沿CA目标以1cm/s的速度移动．若Q、P 分别共时从B、C出收，试商量通过几秒后，以面C、P、Q为顶面的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试正在腰AB上决定面P 的位子，使得以P，A，D为顶面的三角形与以P，B，C为顶面的三角形相似．20．△ABC战△DEF是二个等腰曲角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶面E位于边BC的中面上．（1）如图1，设DE与AB接于面M，EF与AC接于面N，供证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕面E转动，使得DE与BA的延少线接于面M，EF与AC接于面N，于是，除（1）中的一对于相似三角形中，是可再找出一对于相似三角形并道明您的论断．21．如图，正在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，面P沿AB边从面A启初背B以2cm/s的速度移动；面Q沿DA边从面D启初背面A以1cm/s的速度移动．如果P、Q共时出收，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P面）距大天8米，身下1.6米的小明从距路灯的底部（O面）20米的A面，沿OA天圆的曲线止走14米到B面时，身影的少度是变少了仍旧变短了？变少或者变短了几米？23．阳光彩媚的一天，数教兴趣小组的共教们来丈量一棵树的下度（那棵树底部不妨到达，顶部阻挡易到达），他们戴了以下丈量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小仄里镜．请您正在他们提供的丈量工具中选出所需工具，安排一种丈量规划．（1）所需的丈量工具是：_________；（2）请正在下图中绘出丈量示企图；（3）设树下AB的少度为x，请用所测数据（用小写字母表示）供出x．24．问题背景正在某次活动课中，甲、乙、丙三个教习小组于共一时刻正在阳光下对于校园中一些物体举止了丈量．底下是他们通过丈量得到的一些疑息：甲组：如图1，测得一根曲坐于仄天，少为80cm的竹竿的影少为60cm．乙组：如图2，测得书院旗杆的影少为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其细细忽略不计）的下度为200cm，影少为156cm．任务央供：（1）请根据甲、乙二组得到的疑息估计出书院旗杆的下度；（2）如图3，设太阳光芒NH与⊙O相切于面M．请根据甲、丙二组得到的疑息，供景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影少等于线段NG的影少；需要时可采与等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗心映照到室内，正在大天上留住2.7m 宽的明区（如图所示），已知明区到窗心下的墙足距离EC=8.7m，窗心下AB=1.8m，供窗心底边离大天的下BC．26．如图，李华早上正在路灯下集步．已知李华的身下AB=h，灯柱的下OP=O′P′=l，二灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的火仄距离OA=a，供他影子AC 的少；（2）若李华正在二路灯之间止走，则他前后的二个影子的少度之战（DA+AC）是可是定值请道明缘由；（3）若李华正在面A往着影子（如图箭头）的目标以v1匀速止走，试供他影子的顶端正在大天上移动的速度v2．27．如图①，分别以曲角三角形ABC三边为曲径背中做三个半圆，其里积分别用S1，S2，S3表示，则不易道明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正圆形，其里积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么闭系；（不必道明）（2）如图③，分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正三角形，其里积分别用S1、S2、S3表示，请您决定S1，S2，S3之间的闭系并加以道明；（3）若分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个普遍三角形，其里积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具备与（2）相共的闭系，所做三角形应谦足什么条件道明您的论断；（4）类比（1），（2），（3）的论断，请您归纳出一个更具普遍意思的论断．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．供AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）供BD、CD的少；（2）过B做BE⊥DC于E，供BE的少．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，供x，y，z的值；（2）已知：二相似三角形对于应下的比为3：10，且那二个三角形的周少好为560cm，供它们的周少．一．解问题（共30小题）1．如图，正在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，供证：△ADE ∽△EFC．解问：道明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．面评：原题考查的是仄止线的本量及相似三角形的判决定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，面F正在BC上，连DF与AB的延少线接于面G．（1）供证：△CDF∽△BGF；（2）当面F是BC的中面时，过F做EF∥CD接AD于面E，若AB=6cm，EF=4cm，供CD的少．解问：（1）道明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中面，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC ∥EF，F为BC中面，∴E为AD中面，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，面D，E正在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．供证：△ABC∽△FDE．解问：道明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一面，BF⊥AE 于F，试道明：△ABF∽△EAD．解问：道明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）面评：考查相似三角形的判决定理，闭键是找准对于应的角．5．已知：如图①所示，正在△ABC战△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且面B，A，D正在一条曲线上，对接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中面．（1）供证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）正在图①的前提上，将△ADE绕面A按逆时针目标转动180°，其余条件稳定，得到图②所示的图形．请间接写出（1）中的二个论断是可仍旧创造；（3）正在（2）的条件下，请您正在图②中延少ED接线段BC于面P．供证：△PBD∽△AMN．解问：（1）道明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中面，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的二个论断仍旧创造．（3）道明：正在图②中精确绘出线段PD，由（1）共理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE战△ABC皆是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD战△AMN皆为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延少线上一面，对接EC，接AD于面F．正在不增加辅帮线的情况下，请您写出图中所有的相似三角形，并任选一对于相似三角形赋予道明．分解：根据仄止线的本量战二角对于应相等的二个三角形相似那一判决定理可道明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解问：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．正在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图，正在4×3的正圆形圆格中，△ABC战△DEF 的顶面皆正在边少为1的小正圆形的顶面上．（1）挖空：∠ABC=135°°，BC=；（2）推断△ABC与△DEC是可相似，并道明您的论断．解问：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，已知矩形ABCD的边少AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动面M从A面出收沿AB目标以1cm/s的速度背B面匀速疏通；共时，动面N从D面出收沿DA目标以2cm/s的速度背A面匀速疏通，问：（1）通过几时间，△AMN的里积等于矩形ABCD里积的？（2）是可存留时刻t，使以A，M，N为顶面的三角形与△ACD相似？若存留，供t的值；若不存留，请道明缘由解：（1）设通过x秒后，△AMN的里积等于矩形ABCD里积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解圆程，得x1=1，x2=2，（3分）经考验，可知x1=1，x2=2切合题意，所以通过1秒或者2秒后，△AMN的里积等于矩形ABCD里积的．（4分）（2）假设通过t秒时，以A，M，N为顶面的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，果此有或者（5分）即①，或者②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经考验，t=或者t=皆切合题意，所以动面M，N共时出收后，通过秒或者秒时，以A，M，N为顶面的三角形与△ACD相似．（8分）9．如图，正在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对于角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从那四个小三角形中任选二个三角形的所有大概情况，并供出采用到的二个三角形是相似三角形的概率是几；（注意：齐等瞅成相似的惯例）（2）请您任选一组相似三角形，并给出道明．解问：解：（1）任选二个三角形的所有大概情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有二组（①③，②④）是相似的．∴采用到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）道明：（2）采用①、③道明．正在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）采用②、④道明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴正在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．面评：此题考查概率的供法：如果一个事变有n种大概，而且那些事变的大概性相共，其中事变A出现m种截止，那么事变A的概率P（A）=，即相似三角形的道明．还考查了相似三角形的判决．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一面，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，对接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以道明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对于；若不，请道明缘由；（3）供△BEC与△BEA的里积之比．解问：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴正在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）做AF⊥BD的延少线于F，设AD=DE=x，正在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．正在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．面评：原题主要考查了曲角三角形的本量，相似三角形的判决及三角形里积的供法等，范畴较广．11．如图，正在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任性一面，过面M分别做AB、AC的仄止线接AC 于P，接AB于Q．（1）供四边形AQMP的周少；（2）写出图中的二对于相似三角形（不需道明）；（3）M位于BC的什么位子时，四边形AQMP为菱形并道明您的论断．解问：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是仄止四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周少=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当面M中BC的中面时，四边形APMQ是菱形，∵面M是BC的中面，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是仄止四边形，∴仄止四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正圆形ABCD的边BC上的面，且BP=3PC，M是CD的中面，试道明：△ADM∽△MCP．解问：道明：∵正圆形ABCD，M为CD中面，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）供梯形ABCD的里积S；（2）动面P从面B出收，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C 目标，背面C疏通；动面Q从面C出收，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A目标，背面A疏通，过面Q做QE⊥BC 于面E．若P、Q二面共时出收，当其中一面到达手段天时所有疏通随之中断，设疏通时间为t秒．问：①当面P正在B⇒A上疏通时，是可存留那样的t，使得曲线PQ将梯形ABCD的周少仄分？若存留，哀供出t 的值；若不存留，请道明缘由；②正在疏通历程中，是可存留那样的t，使得以P、A、D为顶面的三角形与△CQE相似？若存留，哀供出所有切合条件的t的值；若不存留，请道明缘由；③正在疏通历程中，是可存留那样的t，使得以P、D、Q为顶面的三角形恰佳是以DQ为一腰的等腰三角形？若存留，哀供出所有切合条件的t的值；若不存留，请道明缘由．解问：解：（1）过D做DH∥AB接BC于H面，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是仄止四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是曲角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD 周少仄分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三面不克不迭组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或者t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q面做QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（分歧题意舍来）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒创造．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒创造．综上所述，t=或者8≤t ＜10或者10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ创造．14．已知矩形ABCD，少BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上疏通的二面．若P自面A出收，以1cm/s的速度沿AB目标疏通，共时，Q自面B出收以2cm/s的速度沿BC目标疏通，问通过几秒，以P、B、Q为顶面的三角形与△BDC相似？解问：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴通过秒或者2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，正在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，面P 从面A启初沿AB边背B面以2cm/s的速度移动，面Q 从面B启初沿BC边背面C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B共时出收，问通过几秒钟，△PBQ 与△ABC相似．解问：设通过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，通过2.5s或者1s时，△PBQ与△ABC相似（10分）．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分二种情况：（1）当BP与AB对于当令，有=，即=（2）当BP与BC对于当令，有=，即=，解得t=1s所以通过1s或者2.5s时，以P、B、Q三面为顶面的三角形与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的少为几时，那二个曲角三角形相似．解问：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使那二个曲角三角形相似，有二种情况：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，2）有=，∴AB==3；3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，4）有=，∴AB==3．故当AB的少为3或者3时，那二个曲角三角形相似．17．已知，如图，正在边少为a的正圆形ABCD中，M 是AD的中面，是可正在边AB上找一面N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出道明，若不克不迭，请道明缘由．解问：道明：分二种情况计划：①若△CDM∽△MAN，则=．∵边少为a，M是AD的中面，∴AN=a．②若△CDM∽△NAM，则．∵边少为a，M是AD的中面，∴AN=a，即N面与B沉合，分歧题意．所以，能正在边AB上找一面N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N面的位子谦足条件．18．如图正在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，面Q从B出收，沿BC目标以2cm/s的速度移动，面P 从C出收，沿CA目标以1cm/s的速度移动．若Q、P 分别共时从B、C出收，试商量通过几秒后，以面C、P、Q为顶面的三角形与△CBA相似？解问：解：设通过x秒后，二三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或者时，二三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，通过秒或者秒后，二三角形相似．（6分）面评：原题概括考查了路途问题，相似三角形的本量及一元一次圆程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试正在腰AB上决定面P的位子，使得以P，A，D为顶面的三角形与以P，B，C为顶面的三角形相似．解问：解：（1）若面A，P，D分别与面B，C，P对于应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或者AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若面A，P，D分别与面B，P，C对于应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．考验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．果此，面P的位子有三处，即正在线段AB距离面A的1、、6处．20．△ABC战△DEF是二个等腰曲角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶面E位于边BC的中面上．（1）如图1，设DE与AB接于面M，EF与AC接于面N，供证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕面E转动，使得DE与BA的延少线接于面M，EF与AC接于面N，于是，除（1）中的一对于相似三角形中，是可再找出一对于相似三角形并道明您的论断．解问：道明：（1）∵△ABC是等腰曲角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰曲角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）共理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图，正在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，面P沿AB边从面A启初背B以2cm/s的速度移动；面Q沿DA边从面D启初背面A以1cm/s的速度移动．如果P、Q共时出收，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似．解问：解：以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或者△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍来）．故当t=6或者t=时，以面Q、A、P为顶面的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P面）距大天8米，身下1.6米的小明从距路灯的底部（O面）20米的A面，沿OA天圆的曲线止走14米到B面时，身影的少度是变少了仍旧变短了？变少或者变短了几米？解问：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；共理，由△NBD∽△NOP，可供得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光彩媚的一天，数教兴趣小组的共教们来丈量一棵树的下度（那棵树底部不妨到达，顶部阻挡易到达），他们戴了以下丈量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小仄里镜．请您正在他们提供的丈量工具中选出所需工具，安排一种丈量规划．（1）所需的丈量工具是：；（2）请正在下图中绘出丈量示企图；（3）设树下AB的少度为x，请用所测数据（用小写字母表示）供出x．解问：解：（1）皮尺，标杆；（2）丈量示企图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树战标杆的影少分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．问题背景正在某次活动课中，甲、乙、丙三个教习小组于共一时刻正在阳光下对于校园中一些物体举止了丈量．底下是他们通过丈量得到的一些疑息：甲组：如图1，测得一根曲坐于仄天，少为80cm的竹竿的影少为60cm．乙组：如图2，测得书院旗杆的影少为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其细细忽略不计）的下度为200cm，影少为156cm．任务央供：（1）请根据甲、乙二组得到的疑息估计出书院旗杆的下度；（2）如图3，设太阳光芒NH与⊙O相切于面M．请根据甲、丙二组得到的疑息，供景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影少等于线段NG的影少；需要时可采与等式1562+2082=2602）解问：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，书院旗杆的下度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）正在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，对接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，对接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）正在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（分歧题意，舍来），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•黑银）阳光通过窗心映照到室内，正在大天上留住2.7m宽的明区（如图所示），已知明区到窗心下的墙足距离EC=8.7m，窗心下AB=1.8m，供窗心底边离大天的下BC．解问：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗心底边离大天的下为4m．面评：此题基原上易度不大，利用相似比即可供出窗心底边离大天的下．26．如图，李华早上正在路灯下集步．已知李华的身下AB=h，灯柱的下OP=O′P′=l，二灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的火仄距离OA=a，供他影子AC 的少；（2）若李华正在二路灯之间止走，则他前后的二个影子的少度之战（DA+AC）是可是定值请道明缘由；（3）若李华正在面A往着影子（如图箭头）的目标以v1匀速止走，试供他影子的顶端正在大天上移动的速度v2．解问：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．共理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身下为A'B'，A'C'代表其影少（如图）．由（1）可知，即，∴，共理可得：，∴，由等比本量得：，当李华从A走到A'的时间，他的影子也从C移到C'，果此速度与路途成正比∴，所以人影顶端正在大天上移动的速度为．27．如图①，分别以曲角三角形ABC三边为曲径背中做三个半圆，其里积分别用S1，S2，S3表示，则不易道明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正圆形，其里积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么闭系；（不必道明）（2）如图③，分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个正三角形，其里积分别用S1、S2、S3表示，请您决定S1，S2，S3之间的闭系并加以道明；（3）若分别以曲角三角形ABC三边为边背中做三个普遍三角形，其里积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具备与（2）相共的闭系，所做三角形应谦足什么条件道明您的论断；（4）类比（1），（2），（3）的论断，请您归纳出一个更具普遍意思的论断．解：设曲角三角形ABC的三边BC、CA、AB的少分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．道明如下：隐然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所做的三个三角形相似时，S1=S2+S3．道明如下：∵所做三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）分别以曲角三角形ABC三边为一边背中做相似图形，其里积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．供AE．解问：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）供BD、CD的少；（2）过B做BE⊥DC于E，供BE的少．解问：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）正在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，供x，y，z的值；（2）已知：二相似三角形对于应下的比为3：10，且那二个三角形的周少好为560cm，供它们的周少．解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周少为Ccm，则另一个三角形周少为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周少分别为240cm，800cm。

相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题及答案相似三角形是几何学中的一个重要概念，它指的是两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。

下面是一些相似三角形的练习题及答案，供同学们练习和参考。

练习题1：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 2/3，求BC/EF的比值。

答案1：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边的比值相等。

因此，BC/EF = AB/DE = 2/3。

练习题2：在三角形ABC中，点D在边BC上，且AD是三角形ABC的高。

已知AD = 6cm，AB = 8cm，AC = 10cm，求BD和DC的比值。

答案2：由于AD是三角形ABC的高，根据相似三角形的性质，三角形ABD与三角形ACD相似。

设BD = x，DC = y，则有：\[ \frac{AB}{BD} = \frac{AD}{DC} \]\[ \frac{8}{x} = \frac{6}{y} \]由于三角形ABD和三角形ACD共享边AD，根据相似三角形的面积比等于边长的平方比，我们有：\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]\[ \frac{8}{10} = \frac{x}{y} \]解得 x = 4.8cm，y = 6cm，所以BD:DC = 4.8:6 = 4:5。

练习题3：已知三角形PQR与三角形XYZ相似，且∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，求∠R与∠Z的比值。

答案3：由于三角形PQR与三角形XYZ相似，且对应角相等，根据三角形内角和定理，我们知道∠P + ∠Q + ∠R = 180°，∠X + ∠Y + ∠Z = 180°。

由于∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，我们可以得出∠R = ∠Z，所以∠R:∠Z = 1:1。

练习题4：在三角形ABC中，点E在边AB上，点F在边AC上，且EF平行于BC。

已知AE:AB = 1:2，求AF:AC的比值。

答案4：由于EF平行于BC，根据平行线的性质，三角形AEF与三角形ABC相似。

相似三角形经典练习题(4套)附带答案

练习（一）一、填空题：1. 已知a ba b+-=2295，则a b：=__________2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm3. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。

题3 题7 题84. 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。

5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________二、选择题：1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：72. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：题3 题4 题5①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题：1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。

相似三角形练习题及答案

、填空题:3、在等腰Rt △ ABC中，斜边长为c,斜边上的中线长为m，则m:c =AD&如图，△ AED^AABC其中/ 1 = / B,则——7、如图，△ ABC 中，/ ACA 90°,C[U AB 于D,若/ A= 30°，则BDBC=、选择题:12、等边三角形的中线与中位线长的比值是(A、J3:1B、J3:2 J 313、已知廿5 =z，则下列等式成立的是(A 、B、716C、BC AB若BO 6, A吐10」BD= ,CD=第6题图第7题图8、如图，梯形ABCD中, DC// AB, DC= 2cm A吐3.5cm,且MN/ PQ// AB厘BE=14、已知直角三角形三边分别为a,a+b,a+2b , （a>0,b>0），则a:b=（）15、AABC 中, A 吐12, BCh 18，CAh24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,则最短的一边是（）16、已知a,b,c 是^ABC 的三条边，对应高分别为h a ,h b ,h c ，且a:b:c = 4:5:6 ,那么h a : h b : h c 等于（）17、一个三角形三边长之比为4:5:6,三边中点连线组成的三角形的周长为 30cm 则原三角形最大边长为（）A 1: 3B 、1: 4C 、2: 1D 3: 1A 27B 、12C 、18D 20A 4: 5: 615B 、 6: 5: 4C 、15: 12: 10D 10: 12:A 、44厘米B 、40厘米C 36厘米D 24厘个20、如图，在平行四边形 ABCC 中，E 为BC 边上的点，若BE ECh4: 5, AE 交 BD于F ,则BF: FD 等于（）A 4: 5B 、3: 5 21、C 、4: 9D 3: 8解答题:已知（X —y ） y =2:3, 求 3x —2y 如图，在Rt △ ABC 中, CD 为斜边AB 上的高，且 AO6厘米，AD= 4厘米, 22、求AB 与BC 的长24、如图，Rt A ABC 中斜边 AB 上一点 M MNL AB交AC 于N,若AMh 3厘米，AB AO5: 4,求MN 的长。

相似三角形练习题(超经典含答案)

1．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k（k≠1），则k的值是A．∠A︰∠A′B．A′B′︰ABC．∠B︰∠B′D．BC︰B′C′2．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式不成立的是A．AD AEDB EC=BAD DEDB BC=．CAD AEAB AC=．DAB ACDB CE=．3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=A．7 B．7.5 C．8 D．8.54．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD︰DB=3︰5，那么CF︰CB等于A．5︰8 B．3︰8 C．3︰5 D．2︰55．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是A．△ABC和△BAD B．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABC D．△ABD和△BDC和△ABC6．在相同时刻的物高与影长成正比例，如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米，那么影长为30米的旗杆的高是A．25米B．24米C．20米D．18米7．△ABC和△A′B′C′相似，记作__________，相似三角形__________的比叫__________，当相似比为1时，两个三角形__________.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=60°，∠B=40°，∠A′=60°，当∠C′=__________时，则△ABC∽△A′B′C′.9．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=6cm，A′B′=8cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________．10．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则AFE△与BCF△的面积比等于__________．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且14FC BC．图中相似三角形共有__________对．12．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是________．（填一个即可）13．如图，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC并延长到D ，使12CD CA =，连接BC 并延长到E ，使12CE CB =，连接ED ，如果量出DE 的长为25米，那么池塘宽AB 为________米．14．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．16．如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．（1）求证：AE=BD；（2）求证：△BOE∽△COD；（3）已知CD=10，BE=5，OD=6，求OC的长．17．如图，甲、乙两人分别从A（1）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4的速度行走．t h后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？18．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点（靠近A点），BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于A．18 B．22C．24 D．4619．在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF=90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ一定相似的是A．Ⅰ和ⅡB．Ⅰ和ⅢC．Ⅰ和ⅣD．Ⅲ和Ⅳ20．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有A．1个B．2个C．3个D．4个21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=__________．22．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．23．（2018•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为 A ．14cm B ．16cm C ．18cmD ．30cm24．（2018•毕节市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC =3：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为A ．2：5B ．3：5C ．9：25D ．4：2525．（2018•巴中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ．下列结论：①OE OB =OD OC ；②DE BC =12；③DOE BOC S S △△=12；④DOE DBES S △△=13．其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．（2018•阜新）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 中点，BD 和CE 相交于点F ，如果DF =2，那么线段BF 的长度为__________．27．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=___________m．28．（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）29．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE–BE；（2）连接BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．1．【答案】D【解析】对应边的比是相似比，且有顺序性，故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′． 2．【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===，∴选项A ，C ，D 均正确；故选B ． 3．【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即436DF =．∴364.54DF ⨯==．∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5．4．【答案】A【解析】∵DE ∥BC ，∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5， ∵EF ∥AB ，∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5，故CF ︰CB =5︰8．故选A ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米，则1.6230x=，解得x =24． 7．【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′；对应边；相似比；全等【解析】ABC △和'''A B C △相似，记作ABC A'B'C'△∽△，相似三角形对应边的比叫相似比，当相似比为1时，两个三角形全等.故答案为：ABC A'B'C'△∽△，对应边，相似比，全等. 8．【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒，180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒，,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒，∴当80C'∠=︒时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为：80.︒ 9．【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为6384AB A B ==''．故答案为：34． 10．【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，∵E 为AD 的中点，四边形ABCD 为矩形，∴12AE BC =，∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：1:4.11．【答案】312．【答案】∠ADB =∠BAC （或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=）【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角，∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证；也可添加BD BABA BC=，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证． 13．【答案】50【解析】∵12CD CA =，12CE CB =，∴12CD CE AC CB ==．∵∠ACB =∠DCE ，∴△ACB ∽△DCE ．∴12DE CD AB AC ==． ∵DE =25米，∴AB =50米．故答案为：50． 14．【答案】3【解析】在ABC △中，9086C AC BC ∠===，，，10AB ∴==．又6BD BC ==，4AD AB BD ∴=-=．DE AB ⊥，90ADE C ∴∠=∠=︒．又A A ∠=∠，AED ABC ∴△∽△．DE ADBC AC∴=． ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=． 15．【解析】(1)48,AD DB ==，4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ，,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16．【解析】（1）∵△ABC ∽△DEC ，CA =CB ，17．【解析】（1）因为A点坐标为（1），所以OA=2，由题意知OM=2－4t，ON=6－4t，若246426t t--=，解得t=0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．（2）因为甲到达O点的时间为21h42t==，乙到达O点的时间为63h42t==，所以12t=或32时，O、M、N三点不能连接成三角形．①当12t<时，如果△OMN∽△OBA，则有246462t t--=，解得122t=>（舍去）；②当1322t<<时，∠MON>∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当32t>时，424662t t--=，解得322t=>．所以当t=2时，△OMN∽△OBA．18．【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB，∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B．19．【答案】B20．【答案】C【解析】若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴AD APBP BC=，∴273APAP=-，∴AP2−7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴AP AD BC BP=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴AP ADBP BC=，∴273APAP=-，∴AP=145．检验：当AP=145时，BP=215，AD=2，BC=3，∴AP ADBP BC=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，故选C．21．【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC=AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴3=4 DEBA，∵3=343DE DEEC CD DE==--．故答案为：3：1．22．【解析】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵AG=x，∴BG=4–x，∴242xCF-=，∴CF=44x-，由（1）知，BF'=CF=44x-，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-，当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-（0≤x≤3）；。

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1．解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ．例3 分析由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =．在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解（1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等；（2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；（4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等；（6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．）例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形之阿布丰王创作时间：二O二一年七月二十九日一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE ∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF 与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD 于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,获得图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F．在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明．7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF 的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=_________°,BC=_________；（2）判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时,动点N从D点动身沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问：（1）经过几多时间,△AMN的面积即是矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD相似？若存在,求t的值；若不存在,请说明理由．9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是几多；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形,并给出证明．10．如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有,请写出一对；若没有,请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A ⇒D⇒C方向,向点C运动；动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时动身,当其中一点达到目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为极点的三角形与△CQE相似？若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在,请说明理由；③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在,请说明理由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为极点的三角形与△BDC相似？15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时动身,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC相似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为几多时,这两个直角三角形相似．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N（不含A、B）,使得△CDM与△MAN相似？若能,请给出证明,若不能,请说明理由．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P 从C动身,沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C动身,试探究经过几多秒后,以点C、P、Q为极点的三角形与△CBA相似？19．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P 沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时动身,用t（秒）暗示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似．22．如图,路灯（P点）距空中8米,身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了几多米？23．阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去丈量一棵树的高度（这棵树底部可以达到,顶部不容易达到）,他们带了以下丈量工具：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们提供的丈量工具中选出所需工具,设计一种丈量方案．（1）所需的丈量工具是：_________；（2）请在下图中画出丈量示意图；（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．问题布景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了丈量．下面是他们通过丈量获得的一些信息：甲组：如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm,影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组获得的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组获得的信息,求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3,景灯的影长即是线段NG 的影长；需要时可采纳等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内,在空中上留下宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离,窗口高,求窗口底边离空中的高BC．26．如图,李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在空中上移动的速度v2．27．如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3暗示,则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系；（不用证明）（2）如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3暗示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE ∽△EFC．解答：证明：∵DE ∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF 与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD 于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,（6分）∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,获得图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN．又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD,由（1）同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F．在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=135°°,BC=；（2）判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°,BC=；（2）相似；∵BC=,EC==；∴,；∴；又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时,动点N从D点动身沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问：（1）经过几多时间,△AMN的面积即是矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD相似？若存在,求t的值；若不存在,请说明理由解：（1）设经过x秒后,△AMN的面积即是矩形ABCD面积的,则有：（6﹣2x）x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,（2分）解方程,得x1=1,x2=2,（3分）经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积即是矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或（5分）即①,或②（6分）解①,得t=；解②,得t=（7分）经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N 同时动身后,经过秒或秒时,以A,M,N 为极点的三角形与△ACD 相似．（8分） 9．如图,在梯形ABCD 中,若AB ∥DC,AD=BC,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是几多；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形,并给出证明．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②,①③,①④,②③,②④,③④（2分）其中有两组（①③,②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB 与△COD 中, ∵AB ∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB, ∴△AOB ∽△COD （8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB 与△CBA 中有 AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB ≌△CBA,（6分）∴∠ADO=∠BCO ．又∠DOA=∠COB,∴△DOA ∽△COB （8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A 呈现m 种结果,那么事件A 的概率P （A ）=,即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC 中,D 为AC 上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD 于E,连接AE ．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有,请写出一对；若没有,请说明理由；（3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．解答：解：（1）AD=DE,AE=CE ．∵CE ⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt △CED 中,∠ECD=30°． ∴CD=2ED ．∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD ． ∴AE=CE ．（2）图中有三角形相似,△ADE ∽△AEC ；∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC, ∴△ADE ∽△AEC ；（3）作AF ⊥BD 的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt △CED 中, 可得CE=,故AE=． ∠ECD=30°．在Rt △AEF 中,AE=,∠AED=∠DAE=30°, ∴sin ∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广．11．如图,在△ABC 中,AB=AC=a,M 为底边BC 上的任意一点,过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于P,交AB 于Q ．（1）求四边形AQMP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M 位于BC 的什么位置时,四边形AQMP 为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB ∥MP,QM ∥AC,∴四边形APMQ 是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB ． ∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB ．∴BQ=QM,PM=PC ．∴四边形AQMP 的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a ．（2）∵PM ∥AB,∴△PCM ∽△ACB,∵QM ∥AC,∴△BMQ ∽△BCA ；（3）当点M 中BC 的中点时,四边形APMQ 是菱形, ∵点M 是BC 的中点,AB ∥MP,QM ∥AC,∴QM,PM 是三角形ABC 的中位线．∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC ．又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形,∴平行四边形APMQ 是菱形．12．已知：P 是正方形ABCD 的边BC 上的点,且BP=3PC,M 是CD 的中点,试说明：△ADM ∽△MCP ．解答：证明：∵正方形ABCD,M 为CD 中点, ∴CM=MD=AD ．∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM ． ∴．∵∠PCM=∠ADM=90°, ∴△MCP ∽△ADM ．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A ⇒D⇒C方向,向点C运动；动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时动身,当其中一点达到目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为极点的三角形与△CQE相似？若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在,请说明理由；③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在,请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10,P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H．∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==．∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==,DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ,10﹣t=,化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=,t=＞8（分歧题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述,t=或8≤t＜10或10＜t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为极点的三角形与△BDC相似？解答：解：设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°, （1）当∠1=∠2时,有：,即；（2）当∠1=∠3时,有：,即,∴经过秒或2秒,△PBQ ∽△BCD ．15．如图,在△ABC 中,AB=10cm,BC=20cm,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时动身,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似．解答：设经过秒后t 秒后,△PBQ 与△ABC 相似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ ∽△ABC 时,有BP ：AB=BQ ：BC,即（10﹣2t ）：10=4t ：20,解得（s ）（6分）当△QBP ∽△ABC 时,有BQ ：AB=BP ：BC,即4t ：10=（10﹣2t ）：20,解得t=1．所以,经过或1s 时,△PBQ 与△ABC 相似（10分）．解法二：设ts 后,△PBQ 与△ABC 相似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP 与AB 对应时,有=,即=,解得（2）当BP 与BC 对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s 或时,以P 、B 、Q 三点为极点的三角形与△ABC 相似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB 的长为几多时,这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=,AD=2,∴CD==．要使这两个直角三角形相似,有两种情况：1）当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 2）有=,∴AB==3；3）当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时, 4）有=,∴AB==3．故当AB 的长为3或3时,这两个直角三角形相似．17．已知,如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N （不含A 、B ）,使得△CDM 与△MAN 相似？若能,请给出证明,若不能,请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①若△CDM ∽△MAN,则=． ∵边长为a,M 是AD 的中点,∴AN=a ．②若△CDM ∽△NAM,则．∵边长为a,M 是AD 的中点,∴AN=a,即N 点与B 重合,分歧题意．所以,能在边AB 上找一点N （不含A 、B ）,使得△CDM 与△MAN 相似．当AN=a 时,N 点的位置满足条件．18．如图在△ABC 中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q 从B 动身,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点P 从C 动身,沿CA 方向以1cm/s 的速度移动．若Q 、P 分别同时从B 、C 动身,试探究经过几多秒后,以点C 、P 、Q 为极点的三角形与△CBA 相似？解答：解：设经过x 秒后,两三角形相似,则CQ=（8﹣2x ）cm,CP=xcm,（1分）∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似．（3分）（1）那时,,∴x=；（4分）（2）那时,,∴x=．（5分）所以,经过秒或秒后,两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为极点的三角形与以P,B,C 为极点的三角形相似．解答：解：（1）若点A,P,D 分别与点B,C,P 对应,即△APD ∽△BCP,∴=, ∴=,∴AP 2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测：当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6, ∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD ∽△BCP ．当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BCP ．（2）若点A,P,D 分别与点B,P,C 对应,即△APD ∽△BPC ． ∴=,∴=,∴AP=．检验：当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD ∽△BPC ．因此,点P 的位置有三处,即在线段AB 距离点A 的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,（4分）而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE,∴．（8分）又∵BE=EC,∴,（10分）则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时动身,用t（秒）暗示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得：t=；③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=；④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时,以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似．22．如图,路灯（P点）距空中8米,身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了几多米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP．∴,即,解得,MA=5米；同理,由△NBD∽△NOP,可求得米,∴小明的身影变短了5﹣米．23．阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去丈量一棵树的高度（这棵树底部可以达到,顶部不容易达到）,他们带了以下丈量工具：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们提供的丈量工具中选出所需工具,设计一种丈量方案．（1）所需的丈量工具是：；（2）请在下图中画出丈量示意图；（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．解答：解：（1）皮尺,标杆；（2）丈量示意图如图所示；（3）如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴．（7分）24．问题布景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了丈量．下面是他们通过丈量获得的一些信息：甲组：如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计）的高度为200cm,影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组获得的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组获得的信息,求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3,景灯的影长即是线段NG 的影长；需要时可采纳等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴,即,（2分）∴DE=1200（cm）．所以,学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：,即,∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中,根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602,∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴（7分）,又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8,∴,解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：,即,∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN．∴,即,（6分）∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中,根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0,解得：r1=12,r2=﹣3（分歧题意,舍去）,∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内,在空中上留下宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离,窗口高,求窗口底边离空中的高BC ．解答：解：∵AE ∥BD,∴△ECA ∽△DCB,∴．∵,,∴CD=6m ． ∵, ∴, ∴,∴BC=4,即窗口底边离空中的高为4m ．点评：此题基本上难度不年夜,利用相似比即可求出窗口底边离空中的高．26．如图,李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O ′P ′=l,两灯柱之间的距离OO ′=m ．（1）若李华距灯柱OP 的水平距离OA=a,求他影子AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A 朝着影子（如图箭头）的方向以v 1匀速行走,试求他影子的顶端在空中上移动的速度v 2．解答：解：（1）由已知：AB ∥OP,∴△ABC ∽△OPC ．∵,∵OP=l,AB=h,OA=a, ∴,∴解得：．（2）∵AB ∥OP,∴△ABC ∽△OPC,∴,即,即．∴．同理可得：,∴=是定值．（3）根据题意设李华由A 到A',身高为A'B',A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知,即,∴,同理可得：,∴, 由等比性质得：,当李华从A 走到A'的时候,他的影子也从C 移到C',因此速度与路程成正比 ∴,所以人影顶端在空中上移动的速度为．27．如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3暗示,则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系；（不用证明）（2）如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3暗示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3暗示,则S1=S2+S3．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE,∴AE：AC=AD ：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB,∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中,根据勾股定理得：BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=；（2）在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．解：（1）设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为（C+560）cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm 时间：二O二一年七月二十九日。

相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

这种说法正确吗？A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似，AB=6cm，DE=3cm，那么AC的长度是多少？A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=40°，那么∠C是多少度？A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC=8cm，求DE的长度。

5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=70°，求∠C的度数。

三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AC=4cm，DF=6cm，AB=5cm，求EF的长度。

7. 在三角形ABC中，已知AB=6cm，AC=4cm，BC=8cm，判断三角形ABC 是否为直角三角形，并说明理由。

四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明∠C=∠F。

9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，AC/DF=2/3，证明BC/EF=2/3。

五、应用题10. 在平面直角坐标系中，点A(-3,4)，B(1,-2)，C(5,6)，点D(-1,1)，E(3,-6)，F(7,3)，判断三角形ABC与三角形DEF是否相似，并求出相似比。

答案：1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形，因为AB²+AC²=BC²。

8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等，所以∠C=∠F。

9. 根据相似三角形的性质，对应边的比值相等，所以BC/EF=AB/DE=2/3。

10. 三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为3/2。

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。

以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。

答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。

答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。

答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。

答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。

已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。

因此，AC = 6.25cm。

8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等的条件是：A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案：A2. 下列选项中，哪一项不是相似三角形的性质？A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案：B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。

答案：4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且∠A=∠A'=60°，则∠B与∠B'的关系是________。

答案：相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

答案：在相似三角形中，由于对应角相等，根据正弦定理，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。

这是因为正弦值与角的大小成正比，而相似三角形的对应角大小相同，因此它们的正弦值之比也相同。

四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求三角形ABC的面积。

答案：首先，利用余弦定理计算BC的长度。

根据余弦定理，BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。

代入已知值，得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39，所以BC = √39 cm。

然后，利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A，代入已知值，得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。

7. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:5，求三角形ABC与三角形DEF的面积比。

答案：由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。

相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案### 相似三角形测试题及答案#### 测试题一：基础概念题题目：下列哪组三角形是相似的？A. 等腰三角形和直角三角形B. 两个等腰直角三角形C. 两个等边三角形D. 两个不同形状的三角形答案：B、C解析：相似三角形的定义是两组对应角相等，且两组对应边的比相等的两个三角形。

选项B中的两个等腰直角三角形，它们的两个锐角相等，且两组对应边的比相等，因此是相似的。

选项C中的两个等边三角形，它们的三个角都相等，并且三组对应边的比也相等，因此也是相似的。

#### 测试题二：计算题题目：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 3:2，求AC:EF 的比值。

答案：AC:EF = 3:2解析：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，它们的对应边的比值是相等的。

因此，AC与EF作为对应边，它们的比值也应该是3:2。

#### 测试题三：应用题题目：在平面直角坐标系中，三角形PQR的顶点坐标分别为P(1,2)，Q(4,6)，R(1,6)。

点S(2,4)是否在以PQ为斜边的相似三角形PQS的内部？答案：是的，点S(2,4)在以PQ为斜边的相似三角形PQS的内部。

解析：首先计算PQ的长度，使用距离公式得到PQ = √[(4-1)² + (6-2)²] = √13。

然后计算PS和QS的长度，PS = √[(2-1)² + (4-2)²] = √2，QS = √[(2-4)² + (4-6)²] = √13。

由于PS < PQ < QS，根据三角形的不等式定理，点S在以PQ为斜边的三角形PQS 的内部。

#### 测试题四：证明题题目：若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，请证明∠C = ∠F。

答案：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

相似三角形一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E ，连接AE ．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：_________ ；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC 〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：此题考查的是平行线的性质与相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：〔1〕证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，〔2分〕∴△CDF∽△BGF．〔3分〕〔2〕解：由〔1〕△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，〔6分〕∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．〔8分〕3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，〔2分〕∴∠BAF=∠AED．〔4分〕∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．〔5分〕∴△ABF∽△EAD．〔6分〕点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：〔1〕证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=．又∵AB=AC，∴△ABM≌△A．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．〔2〕解：〔1〕中的两个结论仍然成立．〔3〕证明：在图②中正确画出线段PD，由〔1〕同理可证△ABM≌△A，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．〔3分〕如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．〔6分〕∴△AEF∽△BEC．〔7分〕7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= 135°°，BC=；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：〔1〕∠ABC=135°，BC=；〔2〕相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由解：〔1〕设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，如此有：〔6﹣2x〕x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，〔2分〕解方程，得x1=1，x2=2，〔3分〕经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．〔4分〕〔2〕假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或〔5分〕即①，或②〔6分〕解①，得t=；解②，得t=〔7分〕经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．〔8分〕9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：〔1〕任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④〔2分〕其中有两组〔①③，②④〕是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=〔4分〕证明：〔2〕选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD〔8分〕选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，〔6分〕∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB〔8分〕．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD于E，连接AE．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：〔1〕AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．〔2〕图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；〔3〕作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：此题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与三角形面积的求法等，X围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：〔1〕∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．〔2〕∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；〔3〕当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由〔1〕知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．解答：解：〔1〕过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=〔AD+BC〕AB=×〔2+8〕×8=40．〔2〕①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8假如△PAD∽△QEC如此∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=假如△PAD∽△CEQ如此∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8〔不合题意舍去〕∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，〔1〕当∠1=∠2时，有：，即；〔2〕当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．解答：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，如此有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即〔10﹣2t〕：10=4t：20，解得t=2.5〔s〕〔6分〕当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=〔10﹣2t〕：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似〔10分〕．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，如此有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t 分两种情况：〔1〕当BP与AB对应时，有=，即=〔2〕当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，2）有=，∴AB==3；3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，4）有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①假如△CDM∽△MAN，如此=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②假如△CDM∽△NAM，如此．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似．当AN=a 时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，如此CQ=〔8﹣2x〕cm，CP=xcm，〔1分〕∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．〔3分〕〔1〕当时，，∴x=；〔4分〕〔2〕当时，，∴x=．〔5分〕所以，经过秒或秒后，两三角形相似．〔6分〕点评：此题综合考查了路程问题，相似三角形的性质与一元一次方程的解法．19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：〔1〕假如点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．〔2〕假如点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：〔1〕∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，〔4分〕而∠MBE=∠E=45°，∴△BEM∽△E．〔6分〕〔2〕与〔1〕同理△BEM∽△E，∴．〔8分〕又∵BE=EC，∴，〔10分〕如此△E与△MEN中有，又∠E=∠MEN=45°，∴△E∽△MEN．〔12分〕21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30〔舍去〕．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．解答：解：〔1〕皮尺，标杆；〔2〕测量示意图如下列图；〔3〕如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．〔7分〕24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕解答：解：〔1〕由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，〔2分〕∴DE=1200〔cm〕．所以，学校旗杆的高度是12m．〔3分〕〔2〕解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．〔5分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔6分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴〔7分〕，又ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔5分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，〔6分〕∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8．〔7分〕在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+〔r〕2=〔r+8〕2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3〔不合题意，舍去〕，∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕25．〔2007•某某〕阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题根本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：〔1〕由：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．〔2〕∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．〔3〕根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长〔如图〕．由〔1〕可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，如此c2=a2+b2〔1〕S1=S2+S3；〔2〕S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；〔3〕当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；〔4〕分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，如此S1=S2+S3．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=〔AB+BD〕：AB，∴AE：9=〔15+5〕：15．∴AE=12．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：〔1〕Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；〔2〕在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：〔1〕设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．〔2〕设一个三角形周长为Ccm，如此另一个三角形周长为〔C+560〕cm，如此，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。

经典相似三角形练习题附参考答案

相似三角形令狐采学一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD 于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE 于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N辨别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针标的目的旋转180°，其他条件不变，获得图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加帮助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB标的目的以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA标的目的以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过几多时间，△AMN的面积即是矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为极点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分红了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的几率是几多；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M辨别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C标的目的，向点C运动；动点Q从点C 出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A标的目的，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点达到目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为极点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有合适条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有合适条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q 辨别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB标的目的运动，同时，Q自点B 出发以2cm/s的速度沿BC标的目的运动，问经过几秒，以P、B、Q为极点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P 从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q辨别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为几多时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M 是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不克不及，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC标的目的以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA标的目的以1cm/s的速度移动．若Q、P辨别同时从B、C出发，试探究经过几多秒后，以点C、P、Q为极点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为极点的三角形与以P，B，C为极点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA 的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）暗示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距空中8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA 所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了几多米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去丈量一棵树的高度（这棵树底部可以达到，顶部不容易达到），他们带了以下丈量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的丈量工具中选出所需工具，设计一种丈量计划．（1）所需的丈量工具是：_________；（2）请在下图中画出丈量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．问题布景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了丈量．下面是他们通过丈量获得的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组获得的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组获得的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长即是线段NG的影长；需要时可采取等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在空中上留下2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离空中的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的标的目的以v1匀速行走，试求他影子的顶端在空中上移动的速度v2．27．如图①，辨别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积辨别用S1，S2，S3暗示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积辨别用S1，S2，S3暗示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积辨别用S1、S2、S3暗示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积辨别用S1，S2，S3暗示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD 于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG ，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE 于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N辨别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针标的目的旋转180°，其他条件不变，获得图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N辨别是BE，CD的中点，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD ，由（1）同理可证△ABM ≌△ACN ， ∴∠CAN=∠BAM ∴∠BAC=∠MAN ．又∵∠BAC=∠DAE ，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC ．∴△AMN ，△ADE 和△ABC 都是顶角相等的等腰三角形． ∴△PBD 和△AMN 都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN ，∠PDB=∠ANM ，∴△PBD ∽△AMN ．6．如图，E 是▱ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加帮助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．阐发：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF ．解答：解：相似三角形有△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF ．（3分）如：△AEF ∽△BEC ．在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3．（6分） ∴△AEF ∽△BEC ．（7分）7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°， ∴△ABC ∽△DEC ． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 标的目的以1cm/s的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 标的目的以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过几多时间，△AMN 的面积即是矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为极点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x 秒后，△AMN 的面积即是矩形ABCD 面积的，则有：（6﹣2x ）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2合适题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN 的面积即是矩形ABCD 面积的．（4分）（2）假设经过t 秒时，以A ，M ，N 为极点的三角形与△ACD 相似，由矩形ABCD ，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都合适题意，所以动点M ，N 同时出发后，经过秒或秒时，以A ，M ，N 为极点的三角形与△ACD 相似．（8分）9．如图，在梯形ABCD 中，若AB∥DC，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分红了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的几率是几多；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的几率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB 与△COD 中，∵AB ∥CD ，∴∠CDB=∠DBA ，∠DCA=∠CAB ， ∴△AOB ∽△COD （8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴∠DAB=∠CBA ，∴在△DAB 与△CBA 中有AD=BC ，∠DAB=∠CAB ，AB=AB ，∴△DAB ≌△CBA ，（6分）∴∠ADO=∠BCO ．又∠DOA=∠COB ，∴△DOA ∽△COB （8分）．点评：此题考查几率的求法：如果一个事件有n 种可能，并且这些事件的可能性相同，其中事件A 呈现m 种结果，那么事件A 的几率P （A ）=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD 于E ，连接AE ．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．解答：解：（1）AD=DE ，AE=CE ．∵CE ⊥BD ，∠BDC=60°，∴在Rt △CED 中，∠ECD=30°．∴CD=2ED ．∵CD=2DA ，∴AD=DE ，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD ． ∴AE=CE ．（2）图中有三角形相似，△ADE ∽△AEC ； ∵∠CAE=∠CAE ，∠ADE=∠AEC ，∴△ADE ∽△AEC ；（3）作AF ⊥BD 的延长线于F ，设AD=DE=x ，在Rt △CED 中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt △AEF 中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin ∠AEF=，∴AF=AE •sin ∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，规模较广．11．如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，M 为底边BC 上的任意一点，过点M 辨别作AB 、AC 的平行线交AC 于P ，交AB 于Q ．（1）求四边形AQMP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M 位于BC 的什么位置时，四边形AQMP 为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB ∥MP ，QM ∥AC ，∴四边形APMQ 是平行四边形，∠B=∠PMC ，∠C=∠QMB ．∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠PMC=∠QMB ．∴BQ=QM ，PM=PC ．∴四边形AQMP 的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a ．（2）∵PM ∥AB ，∴△PCM ∽△ACB ，∵QM ∥AC ，∴△BMQ ∽△BCA ；（3）当点M 中BC 的中点时，四边形APMQ 是菱形，∵点M 是BC 的中点，AB ∥MP ，QM ∥AC ，∴QM ，PM 是三角形ABC 的中位线．∵AB=AC ，∴QM=PM=AB=AC ．又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形，∴平行四边形APMQ 是菱形．12．已知：P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD ，M 为CD 中点，∴CM=MD=AD ． ∵BP=3PC ，∴PC=BC=AD=CM ． ∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP ∽△ADM ．13．如图，已知梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD 的面积S ；（2）动点P 从点B 出发，以1cm/s 的速度，沿B ⇒A ⇒D ⇒C 标的目的，向点C 运动；动点Q 从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C ⇒D ⇒A 标的目的，向点A 运动，过点Q 作QE⊥BC 于点E ．若P 、Q 两点同时出发，当其中一点达到目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点P 在B ⇒A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P 、A 、D 为极点的三角形与△CQE 相似？若存在，请求出所有合适条件的t 的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为极点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有合适条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不克不及组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q 辨别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB标的目的运动，同时，Q自点B 出发以2cm/s的速度沿BC标的目的运动，问经过几秒，以P、B、Q为极点的三角形与△BDC相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q辨别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．解答：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似（10分）．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为极点的三角形与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为几多时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，2）有=，∴AB==3；3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，4）有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不克不及，请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②若△CDM∽△NAM，则．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC标的目的以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA标的目的以1cm/s的速度移动．若Q、P辨别同时从B、C出发，试探究经过几多秒后，以点C、P、Q为极点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）那时，，∴x=；（4分）（2）那时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为极点的三角形与以P，B，C为极点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D辨别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D辨别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA 的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN 与△MEN 中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN ∽△MEN ．（12分）21．如图，在矩形ABCD 中，AB=15cm ，BC=10cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （秒）暗示移动的时间，那么当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为极点的三角形与△ABC 相似．解答：解：以点Q 、A 、P 为极点的三角形与△ABC 相似，所以△ABC ∽△PAQ 或△ABC ∽△QAP ， ①当△ABC ∽△PAQ 时，，所以，解得：t=6；②当△ABC ∽△QAP 时，，所以，解得：t=；③当△AQP ∽△BAC 时，=，即=，所以t=；④当△AQP ∽△BCA 时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q 、A 、P 为极点的三角形与△ABC 相似．22．如图，路灯（P 点）距空中8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了几多米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP ， ∴△MAC ∽△MOP ．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD ∽△NOP ，可求得NB=1.5米， ∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去丈量一棵树的高度（这棵树底部可以达到，顶部不容易达到），他们带了以下丈量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的丈量工具中选出所需工具，设计一种丈量计划．（1）所需的丈量工具是：；（2）请在下图中画出丈量示意图；（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母暗示）求出x ．解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）丈量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a ，树和标杆的影长辨别为AC=b ，EF=c ，∵△DEF ∽△BAC ，∴，∴，∴．（7分）24．问题布景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了丈量．下面是他们通过丈量获得的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm 的竹竿的影长为60cm ．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm ．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm ．任务要求：（1）请根据甲、乙两组获得的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M ．请根据甲、丙两组获得的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长即是线段NG 的影长；需要时可采取等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD ．∴△ABC ∽△DEF ．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm ）．所以，学校旗杆的高度是12m ．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt △NGH 中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O 的半径为rcm ，连接OM ，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（•白银）阳光通过窗口照射到室内，在空中上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离空中的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离空中的高为4m．点评：此题基本上难度不年夜，利用相似比即可求出窗口底边离空中的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的标的目的以v1匀速行走，试求他影子的顶端在空中上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在空中上移动的速度为．27．如图①，辨别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积辨别用S1，S2，S3暗示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积辨别用S1，S2，S3暗示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积辨别用S1、S2、S3暗示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若辨别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积辨别用S1，S2，S3暗示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长辨别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）辨别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积辨别用S1、S2、S3暗示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BD C，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长辨别为240cm，800cm。

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。

因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。

2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。

因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。

3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。

设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。

4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。

因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。

所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。

5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。

相似三角形经典题（含答案）（Si...

相似三角形经典题(含答案)（Similar triangle classic questions(including answers)）Similar triangle classical exercisesExample 1. Choose a similar triangle from the following trianglesExample 2 is known: as in figure ABCD, the ratio of the perimeter to the sum if...Figure 3 cases, known to, to prove that.Example 4 which of the following statements are true and which ones are wrong?(1) all right triangles are similar. (2) all isosceles triangles are alike(3) all isosceles right triangles are similar. (4) all equilateral triangles are alikeFigure 5 example, D is a point on the AC, D DE E the dotted line, in the side, the small triangle and point D, point E and a vertex with similar composition. Draw as much as possible to meet the conditions of the graphics, and that of line DE painting.Figure 6 cases, a person holding a small scale paintings engraved with cm, standing about 30 meters away from the poles, the arm straight forward, small scale vertical ruler, see about 12 paintings just over the poles, the known arm length of about60 cm high, for the wire rod.Figure 7 cases, in order to measure a high-rise MN Xiaoming, put a mirror in the A from N 20m, NA back to C along the Xiao Ming, just from the mirror to see the roof of M, if m, his eyes from the ground height of 1.6m, please help you calculate Xiaoming the height of the building (accurate to 0.1M).The two triangles in the 8 lattice diagram are similar triangles, and the reasons are givenExample 9 determines whether the case is similar and explains the reasons for the following groups of conditions:(1)(2)(3)Example 10. In the following graph, there is no similar triangle. If it exists, show them in letters, and briefly explain the basis for identificationExample 11 is known: as in Fig., in the case of angular bisector, try using a triangle similar relation descriptionExample 12, the known three side length is 5, 12 and 13, and its similar maximum length is 26, the area of S.13 cases in a mathematics activity class, the teacher let thestudents to the playground to measure the height of the flagpole, and then come back to AC measurement method for their measurement is. Xiaofang: take a 3.5 meter high pole upright in the 27 meters away from the flagpole at C (pictured), then walk along the BC direction D, the top of the flagpole and pole top A visual E is in the same line, C D, and measured the distance between two points is 3 meters, Xiaofang mesh is 1.5 meters high, so that you can know the high flagpole. Do you think this measurement method is feasible? Please explain the reasonFigure 14. cases, in order to estimate the width of the river on the other side of the river, we can select a target as A, on this side of the river and then points B and C, so, then choosing E, BC and AE to determine the intersection point is D, measured in meters, meters, meters, you can find the distance between the two sides of AB roughly?Figure 15. cases, in order to find the island peak height of AB, DC and FE to establish a benchmark in D and F, the benchmark is 3 feet high, separated by 1000 step (step 1 is equal to 5 feet), and AB, CD and EF in the same plane, from the G DC benchmark back the 123 step, can see peaks A and C benchmark top end in a straight line, from the H FE benchmark 127 steps back, can see peaks A and E benchmark top on a straight line. How much is the horizontal distance BD AB and its peak height and benchmark CD? (ancient problems)Figure 16 example, known Delta ABC boundary AB = AD, AC = 2, BC = high on the side.(1) seeking the length of BC;(2) if there is a square edge on AB, the other two vertices are on AC, BC, respectively, and the area of this square is calledSimilar triangle classic Exercises answer1. cases of the solution, five and six, and the similar, similar, three or four, and similar2. solution is a parallelogram, so, l ~,Again, so, and the perimeter of the perylene ratio is 1:3.Again, dry.3 cases analysis, so as to, if further proof, the problem must pass.To prove dreams, *.Again, l,Star.To dreams, *.In dreams, and in R ~Case 4. analysis (1) is incorrect, because in the right triangle, the size of the two angles is uncertain, so the shape of the right triangle is different(2) not correct either,The vertices of an isosceles triangle are not of definite size, so the shape of an isosceles triangle is also different(3) right. There are isosceles right triangle ABC and, among them,Then,The three sides are a, B, and C, and the edges are,Then,So, l ~.(4) is correct, and is an equilateral triangle, the corresponding angles are equal, the corresponding edge is proportional to it.Answer: (1) and (2) incorrect. (3) and (4) correctExample 5. solutions:Painting slightly.The analysis of 6. cases of the narrative can draw the geometry as shown below, the CM cm m, m, m, and BC. ~ ~ because, again, so, so you can find the BC long.So, l ~ solution. Hence.Again, l,So, l ~ *,.And cm cm meters, meters, meters, meters. The pole star is 6 meters high.Example 7. analysis according to the law of Physics: the incident angle of light is equal to the angle of reflection, so that the similarity relation is clearBecause the solution, so so.So, that is. So (m)This shows that this is a practical application, the method seems simple, but in fact it is very clever, saving the use of instrumentation to measure the troubleExample 8.. It is impossible to judge these two graphs if they are not painted in the grid. In fact, the lattice virtually adds to the condition the length and the angleThe solution is in the grid, so..,Again. So. So ~.Explain the problems encountered in the grid point, we must fully find the various conditions, do not make omissionsIn 9. cases (1) because the solution to it;(2) because the two triangles only, the other two are not equal, and not so similar;(3) because, so it is similarIn 10. cases (1) and two equal solution; (2) to two equal;(3) to two equal; (4) to both sides proportionally equal angles;(5) to both sides proportionally equal angles; (6) to both sides proportionally equal angles.Analysis of 11. cases with a 65 degree angle of the isosceles triangle, the angle is 72 degrees, and BD is the bisector of the corner, so, you can launch to, and then by the similar triangle corresponding edge is proportional to the ratio between the line launched.That star.But equally, dry.And so, so, so, so, L.That (1) has two angles equal, then the two triangles are similar, this is the judgment of two triangles. The most commonly used method, and according to the equal angle position, can determine which side is the corresponding edge.(2) to explain the product of a line, or the square formula, usually to prove the scaling formula, or, again, to derive the product formula or the square formula according to the basic nature of the proportionBy the analysis of 12 cases of the three sides can be judged as a right triangle, and because it is also a right triangle, so, then by the maximum edge length is 26, can calculate the similarity ratio, two right angle side to calculate, and obtain the area.The solution of a three side in order,,, L.And to dreams, *,Again, *. *.13. cases analysis method to judge whether it is feasible, should consider the use of this method combined with our existing knowledge can be obtained according to the flagpole high. This measuring method, F to G, CE to H, so that, and GF, HF, EH and AG, this can be obtained, so the AB can be obtained. The flagpoleThe solution is feasible. The reasons are as follows:The flagpoles high. F for G, CE H (pictured). So ~.Because, soSo, that is, by, so the solution (m)So the height of the flagpole is 21.5 metersIt shows that the method should be practical and feasible in concrete measurementExample 14. solutions:,L ~, (m), a: between the two sides of AB is roughly 100 meters away.Example 15. answer: rice, step, (Note:.)16. cases analysis: BC long, need to draw solution, because AB and AC are higher than AD, so there are two kinds of situations, namely D in BC or D in the BC extension line, so long for the BC to two to discuss the situation. For the area of a square key is the length of the side for a square.Solution: (1) as above, by the AD BC group, by the Pythagorean theorem BD = 3, DC = 1, BC = so BDDC = 3 + 1 = 4.As follows, BD = 3, DC = 1, so BC = BD = CD = 3-1 = 2.(2) as shown by the graph, BC = 4, and so is ABC. Hence, the right triangle.The AEGF is a square, set GF = x, FC = 2x,GF "AB dreams, so, that is. So, dry.As follows, when BC = 2,AC = 2, Delta ABC is an isosceles triangle, as an CP AB in P, AP = r,In Rt APC, by the Pythagorean theorem CP = 1,Dreams GH / / AB, R ~ Delta CGH Delta CBA, dreams, RTherefore, the square has an area of orThird (lower) similar triangleFirst pages, 6 pages(similarity triangle's nature and application) practice rollFill in the blanks1. When the similarity ratio between two similar triangles is 3, their perimeter ratio is..;2, if the delta delta A to ABC 'B' C ', and the perimeter of delta ABC is 12cm, then the perimeter of delta A' B 'C' for;3, as shown in Figure 1, in ABC, BE, CD line intersect at point G, then the delta GED:S Delta GBC= = S;4, as shown in Figure 2, the ABC / B= / AED, AB=5, AD=3, CE=6, AE=;5, as shown in Figure 3, ABC, M AB is the midpoint of the N on BC, BC=2AB / BMN= / C, is a ~ Delta, similarity ratio =;6, as shown in Figure 4, the trapezoidal ABCD, AD / / BC S, Delta ADE:S Delta BCE=4:9, Delta ABD:S Delta ABC= S;The perimeter of 7 and two similar triangles are 5cm and 16cm, respectively, and the ratio of the bisector of their corresponding angles is;8, as shown in Figure 5, the BC=12cm in ABC, D, and F are three points AB, E, G is three points AC, DE+FG+BC=;The ratio of the area of the two and the 9 triangles is 2:3, and the ratio of them to the angle is equal to the ratio of the height of the opposite side;10, it is known that there are two triangles similar, one side length is 2, 3 and 4 respectively, and the other side length is x, y and 12 respectively. Then the values of X and y are respectively;Two, multiple-choice questions11, the following polygon must be similar to (), A, two rectangles, B, two diamond, C, two squares, D, two parallelogramIn 12, ABC, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, the shortest edge of another and it is similar to the triangle is 5cm, is the longestside (18cm) is A, B, 21cm C, 24cm D, 19.5cm13, as shown in ABC, BD, CE to the high point of O, the following conclusion is wrong ()A, CO, CE=CD, CA, B, OE, OC=OD, OBC, AD, AC=AE, AB, D, CO, DO=BO, EO14, known in ABC / ACB=900, CD, AB in group D, if BC=5, CD=3, AD (long)A, 2.25 B, 2.5 C, 2.75 D, 315, as shown in figure ABCD, the edge of square BC is on the bottom QR of the isosceles right triangle PQR,The other two vertices, A and D, are on PQ and PR, and PA:PQ equals ()A, 1:B, 1:2, C, 1:3, D, 2:316, as shown in figure D, and E are Delta ABC edge AB and AC point, ==3,And / AED= / B, Delta AED and delta ABC is the area ratio is ()A, 1:2, B, 1:3, C, 1:4, D, 4:9Three, answer questions17, figure, known in the delta ABC, CD=CE / A= / ECB, CD2=AD - BE test.18, known as shown in ABC, DE, BC, AD=5, BD=3, S and delta ADE:S Delta ABC value.19, known square ABCD, C straight line, respectively, AD, AB extension line at points E, F, and AE=15, AF=10, square ABCD for the length of the side.20, known as shown in the equilateral Delta CDE and B respectively, A ED, DE extension line, DE2=AD and EB, and the degree of angle ACB.21, known as shown in ABC / C=600, AD, BC in D group, BE group AC E, Delta CDE Delta CBA to explain.22, known, as shown in figure F, ABCD edge, DC extension of the line point, link AF, pay BC at G, hand in BD at E, try to explain AE2=EG EF24. ABC, D, E / C=900, respectively AB, AC on AD, AB=AE AC, ED AB (13) to verify the aboveIn 25, ABC, M and AC is the midpoint, side of the AE=BA connection EM, and extend the BC line to D, verify the BC=2CDAB=AC, the 26 known isosceles triangle ABC, AD, BC in group D, CG, AB, AD, AC BG respectively in E, F, BE2=EF and EG prove:27, known in ABC, AD / BAC=900 BC in D P group, AD midpoint, BP extension line AC to E EF BC in F, an EF2=AE AC confirmation:28., as shown in the parallelogram,1. APD ~ CDQTwoMap your own painting, with a triangle of 30 degrees can be drawn outDreams of an isosceles triangle ABC / ABC = 120 DEGL / DAP= / DCQ=30 / CDQ / PDA=150 ~ * ~ / ADP / APD=150 degrees and dreamsL / CDQ= / APD / DAP= / QCD and dreamsStar delta APD Delta CDQ ~ AP/CD=PD/DQ frequencyD is the midpoint of AC AD=DC dreams AP/DP=AD/DQ AP/AD=PD/QD perylene perylene perylene / PDQ= / PAD dreamsStar delta APD to DPQ3. a triangle has 1 angles of 30, and the other has 2 30 degrees angles, in favor of the 155| review (6)(1) dreams / ABC=120 / A= / L degrees, C=30 degrees,Dreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees degrees,L / APD= / CDQ,Star delta APD to CQD(2) set up; as shownDreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees, degrees, R / APD= / CDQ / A= / C, andStar delta APD to CQD / A= / C only, the other corresponding angle are not equal, therefore, Delta APD and delta DPQ is similar;(3), two triangle into a more general condition, but the ABC must be an isosceles triangle, and / EDF= / A, otherwise it is not established.。

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