三重积分的变式练习(方法总结)
三重积分的计算方法小结与例题-7页精选文档
三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
第九章,第五节、三重积分
,
: z 1 1 ( ( ) c , o s 2 ( s ) i ) } n z z 2 (c o ,ss i)n
f(x,y,z)dv f(c o ,s s i,z n )d d d.z
d 1 2 ( ( ) )d z z 1 2 ( (c c, ,o o s s) ) i i s s f ( n n c,o s, i z s ) d n .
第五节 三重积分(二)
• 一、利用柱面坐标计算三重积分 • 二、利用球面坐标计算三重积分 • 三、小结 练习题
2020/6/11
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标：设M(x, y,z)为空间内一点，
点 M在 xo面 y 上的 为 P投 (x,y)影
设点 P的极坐(标 ,)， 为
则三元 (,有 ,z)唯 序 一 数 确 M 的 组 定 位
z
zrco s
x rsincos, y rsinsin,
z rcos.
2020/6/11
•M(x,y,z)
rz
A xoy
y
•
例 5 计算I zdxdydz，其中 是抛物面.
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
由
z
x2
y2
,
z 4
4 z2 z1
知曲面与平面的交线为
x2
y2
4,
o (x, y) y x
z 4
D x y{x (,y)|x 2y24 } {,) ( |0 2 , 0 2 }
这样的三(元 ,,z)有 就序 叫 M 的 数 点柱 组面
z
规定： 0 ,
数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分5三重积分一、三重积分的概念引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ， 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i ni i i i T V f ∆∑=→10),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i ni i i i V f ∆∑=1),,(ζηξ.定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有J V f i ni iii-∆∑=1),,(ζηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z)在V 上的三重积分，记作J=⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(或J=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(，其中f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域.注：当f(x,y,z)=1时，⎰⎰⎰VdV 在几何上表示V 的体积.三积重分的条件与性质：1、有界闭域V 上的连续函数必可积；2、如界有界闭区域V 上的有界函数f(x,y,z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f(x,y,z)在V 上必可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D=[a,b]×[c,d], g(x,y)=⎰he dz z y xf ),,(存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x g ),(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ].设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意(ξi ,ηj )∈[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ], 有m ijk △z k ≤⎰-kk z z j i dz z f 1),,(ηξ≤M ijk △z k .现按下标k 相加，有∑⎰-kz z j i kk dz z f 1),,(ηξ=⎰he j i dz zf ),,(ηξ=g(ξi ,ηj )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤j i ji j i y x g ∆∆∑,),(ηξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴g(x,y)在D 上可积，且⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：若V={(x,y,z)|(x,y)∈D, z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y)} ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]时，其中D 为V 在Oxy 平面上的投影，z 1(x,y), z 2(x,y)是D 上的连续函数，函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D, G(x,y)=⎰),(),(21),,(y x z y x z dz z y x f 亦存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x G ),(存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰D dxdy y x G ),(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.证：记F(x,y,z)=⎩⎨⎧∈∈V V z y x ，Vz y x ，z y x f \),,(0),,(),,(0 , 其中V 0=[a,b]×[c,d]×[e,h].对F(x,y,z)应用定理21.15，(如图)则有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰0),,(V dxdydzz y x F=⎰⎰⎰⨯d][c,b][a,),,(hedz z y x F dxdy =⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.例1：计算⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22，其中V 为由平面x=1, x=2, z=0, y=x 与z=y 所围区域(如图).解：设V 在xy 平面上投影为D ，则 V={(x,y,z)|z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y),(x,y)∈D},其中D={(x,y)|0≤y ≤x,1≤x ≤2}, z 1(x,y)=0, z 2(x,y)=y, 于是⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22=⎰⎰⎰+D y y x dz dxdy 022=⎰⎰+D dxdy y x y 22=⎰⎰+21022x dy y x y dx=⎰212ln 21dx =2ln 21.例2：计算⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22，其中V 是由⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周而成的曲面与z=1所围的区域.解：V={(x,y,z)|22y x +≤z ≤1,(x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22=⎰⎰⎰+++Dyx dz z y x dxdy 12222)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+Ddxdy y x y x 2121)(2222=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ201022121rdrr r d=⎰πθ20407d =207π.定理21.16：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意x ∈[a,b], 二重积分I(x)=⎰⎰Ddydz z y x f ),,(存在，则积分⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 记D jk =[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界， 对任意ξi ∈[x i-1,x i ], 有m ijk △D jk ≤⎰⎰jkD i dydz z y f ),,(ξ≤M ijk △D jk .现按下标j,k 相加，有∑⎰⎰k j D i jkdydz z y f ,),,(ξ=⎰⎰Di dydz z y f ),,(ξ=I(ξi )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤i ii x I ∆∑)(ξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴I(x)在D 上可积，且⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：(如图)若V ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h], 函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意固定的z ∈[e,h], 积分φ(z)=⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(存在，其中D z是截面{(x,y)|(x,y,z)∈V}, 则⎰he dz z )(ϕ存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰h edz z )(ϕ=⎰⎰⎰heD zdxdy z y x f dz ),,(.证：证法与定理21.16证明过程同理.例3：计算I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222, 其中V 是椭球体222222c z b y a x ++≤1.解：I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222=⎰⎰⎰V dxdydz a x 22+⎰⎰⎰V dxdydz b y 22+⎰⎰⎰Vdxdydz c z 22.其中⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰⎰⎰-a a V xdydz dx a x 22,V x 表示椭圆面2222c z b y +≤1-22ax 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222222211a x c z a xb y ≤1. 它的面积为π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222211a x c a x b =πbc ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-221a x. ∴⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a dx a x a bcx 22221π=154πabc. 同理可得：⎰⎰⎰V dxdydz b y 22=⎰⎰⎰V dxdydz cz 22=154πabc.∴I=3(154πabc)=54πabc.三、三重积分换元法规则：设变换T ：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，把uvw 空间中的区域V ’一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V ’内连续且函数行列式J(u,v,w)=wz v z uz w yv y u yw x v x u x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠0, (u,v,w)∈V ’. 则当f(x,y,z)在V 上可积时，有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f |),,(|)),,(),,,(),,,((.常用变换公式： 1、柱面坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞<≤=z z ，z ，r y r ，r x πθθθ20sin 0cos , J(r,θ,z)=100cos sin 0sin cos θθθθr r -=r, 即有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ),sin , cos (.V ’为V 在柱面坐标变换下的原象.注：(1)虽然柱面坐标变换并非是一对一的，且当r=0时，J(r,θ,z)=0，但结论仍成立.(2)柱面坐标系中r=常数, θ=常数, z=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以z 轴为中心轴的圆柱面，θ=常数是过z 轴的半平面，z 的常数是垂直于z 轴的平面(如图).例4：计算⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, 其中V 是曲面2(x 2+y 2)=z 与z=4为界面的区域.解法一：V={(x,y,z)|2(x 2+y 2)≤z ≤4, (x,y)∈D}, D={(x,y)|x 2+y 2≤2}.⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22=⎰⎰⎰++4)(22222)(y x Ddzy x dxdy=⎰⎰+-+Ddxdy y x y x )](24)[(2222=⎰⎰-202220)24(rdrr r d πθ=⎰-2053)2(4dr r r π=⎰-2053)2(4dr r r π=38π.解法二：V 在xy 平面上的投影区域D=x 2+y 2≤2. 按柱坐标变换得 V ’={(r,θ,z)|2r 2≤z ≤4, 0≤r ≤2, 0≤θ≤2π}.∴⎰⎰⎰+V dxdydz y x )(22=⎰⎰⎰'V dz drd r θ2=⎰⎰⎰42320202r dz r dr d πθ=38π.2、球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=+∞<≤=πθϕπϕθϕθϕ20cos 0sin sin 0cos sin ，r z ，r y r ，r x ,J(r,φ,θ)=0sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕr co r r r r --=r 2sin φ≥0, 即有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕsin )cos ,sin sin , cos sin (2,V ’为V 在球坐标变换T 下的原象.注：(1)球坐标变换并不是一对一的，并且当r=0或φ=0或π时，J=0. 但结论仍成立.(2)球坐标系中r=常数, φ=常数, θ=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以原点为中心的球面， φ=常数是以原点为顶点, z 轴为中心轴的 圆锥面，θ=常数是过z 轴的半平面(如图).例5：求由圆锥体z ≥22y x +cot β和球体x 2+y 2+(z-a)2≤a 2所确定的立体体积，其中β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π和a(>0)为常数.解：球面方程x 2+y 2+(z-a)2=a 2可表示为r=2acos φ, 锥面方程z=22y x +cot β可表示为φ=β. ∴V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤2acos φ, 0≤φ≤β, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰VdV =⎰⎰⎰ϕβπϕϕθcos 202020sin a dr r d d =⎰βϕϕϕπ033sin cos 316d a =343a π(1-cos 4β).例6：求I=⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 为由222222c z b y a x ++≤1与z ≥0所围区域.解：作广义球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin cr z br y ar x , 则J=abcr 2sin φ. V 的原象为V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π} ∴⎰⎰⎰Vzdxdydz =⎰⎰⎰⋅1022020sin cos dr abcr cr d d ϕϕϕθππ=⎰2022sin 4πϕϕπd abc =42abc π.习题1、计算下列积分：(1)⎰⎰⎰+Vdxdydz z xy )(2, 其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1]；(2)⎰⎰⎰Vzdxdydz y x cos cos , 其中V=[0,1]×[0,2π]×[0,2π]；(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域； (4)⎰⎰⎰+Vdxdydz z x y )cos(, 其中V 由y=x , y=0, z=0及x+z=2π所围成.解：(1)⎰⎰⎰+VdV z xy )(2=⎰⎰⎰+--1023352)(dz z xy dy dx =⎰⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+335231dy xy dx =⎰-522dx =14.(2)⎰⎰⎰VzdV y x cos cos =⎰⎰⎰202010cos cos ππzdz ydy xdx =21.(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz 3)1(=⎰⎰⎰---+++y x x z y x dz dy dx 1031010)1(=⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x dy y x dx 1021041)1(121=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1041211121dx x x =1652ln 21-. (4)⎰⎰⎰+VdV z x y )cos(=⎰⎰⎰-+xxdz z x y dy dx 20020)cos(ππ=⎰⎰-xydydx x 020)sin 1(π=⎰-20)sin 1(21πdx x x =21162-π.2、试改变下列累次积分的顺序： (1)⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(；(2)⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dy dx .解：(1)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x+y, 0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1}； ∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1} ∴I=⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(=⎰⎰⎰+-yx ydz z y x f dx dy 01010),,(.∵V 在yz 平面上的投影区域D yz ={(y,z)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-yydx z y x f dz dy 10010),,(+⎰⎰⎰--yy z y dx z y x f dz dy 1110),,(=⎰⎰⎰--yy z zdx z y x f dy dz 1010),,(+⎰⎰⎰-yz dx z y x f dy dz 10110),,(.∵V 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,z)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-xxdy z y x f dz dx 10010),,(+⎰⎰⎰--xx z x dy z y x f dz dx 1110),,(=⎰⎰⎰--xx z zdy z y x f dx dz 1010),,(+⎰⎰⎰-xz dy z y x f dx dz 10110),,(.(2)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x 2+y 2, 0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤x ≤1}； 在yz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1+y 2}； 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1+x 2}； ∴I=⎰⎰⎰+2201010),,(y x dz z y x f dy dx =⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dx dy=⎰⎰⎰10010),,(2dx z y x f dz dy y +⎰⎰⎰-+1110222),,(y z y ydxz y x f dz dy=⎰⎰⎰10110),,(dx z y x f dy dz z +⎰⎰⎰--111212),,(yz z dx z y x f dy dz .=⎰⎰⎰10010),,(2dy z y x f dz dx x +⎰⎰⎰-+1110222),,(x z x x dyz y x f dz dx=⎰⎰⎰10110),,(dy z y x f dx dz z +⎰⎰⎰--111212),,(x z z dy z y x f dx dz .3、计算下列三重积分与累次积分：(1)⎰⎰⎰Vdxdydz z 2, 其中V 由x 2+y 2+z 2≤r 2和x 2+y 2+z 2≤2rz 所确定；(2)⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx .解：(1) 由x 2+y 2+z 2≤2rz, 得S: x 2+y 2≤2rz-z 2, 0≤z ≤2r , 又由x 2+y 2+z 2≤r 2, 得Q: x 2+y 2≤r 2-z 2,2r≤z ≤r ∴⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰⎰⎰Sr dxdy z dz 220+⎰⎰⎰Qrr dxdyz dz 22=⎰-2022)2(r dz z rz z π+⎰-rr dz z r z 2222)(π=480595r π. (2)应用柱坐标变换：V ’={(r,θ,z)|r ≤z ≤22r -, 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, ∴⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx =⎰⎰⎰-2221020r rdz z rdr d πθ=⎰---1322]2)2[(6dr r r r r π.=⎰---10322]2)2[(6dr r r r r π=)122(15-π.4、利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积. (1)z=x 2+y 2, z=2(x 2+y 2), y=x, y=x 2；(2)2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c z =1 (x ≥0, y ≥0, z ≥0, a>0, b>0, c>0). 解：(1)V={(x,y,z)|x 2+y 2≤z ≤2(x 2+y 2), (x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x 2≤y ≤x }. ∴⎰⎰⎰V dxdydz =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰+xx dyy x dx 2)(2210=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-1063223)()(dx x x x x x =353. (2)令x=arsin 2φcos θ, y=brcos 2φcos θ, z=crsin θ, 则J=0cos sin cos cos sin 2sin cos cos cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2222θθθϕϕθϕθϕθϕϕθϕθϕcr c br br b ar ar a ---=2abcr 2cos φsin φcos θ,又V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰Vdxdydz =⎰⎰⎰1022020sin cos cos 2dr r d d abc ππϕϕϕθθ=3abc.5、设球体x 2+y 2+z 2≤2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.解：依题意，球体的质量M=⎰⎰⎰≤++++xz y x dV z y x 2222222,应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)|-2π≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤2sin φcos θ}. ∴M=⎰⎰⎰-θϕπππϕϕθcos sin 203022sin dr r d d =⎰⎰-πππϕϕθθ05224sin cos 4d d =58π.6、证明定理21.16及其推论. 证：证明过程见定理21.16及其推论.7、设V=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(222222c z b y a x z y x , 计算下列积分：(1)⎰⎰⎰---Vdxdydz c z b y a x 2222221；(2)⎰⎰⎰++Vc z by ax dxdydz e 222222.解：应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)| 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤1}. (1)⎰⎰⎰---VdV cz b y a x 2222221=⎰⎰⎰-10220201sin dr r abcr d d ϕϕθππ =42πabc . (2)⎰⎰⎰++Vc z b y ax dV e222222=⎰⎰⎰12020sin dr e abcr d d r ϕϕθππ=)2(4-e abc π.。
三重积分的计算方法总结
2012届本科毕业论文论文题目：三重积分的计算方法总结学生姓名：所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学导师姓名：完成时间：2012年5月10日三重积分的计算方法总结摘要三重积分可用于求空间立体的体积及空间物体的质量，在几何与力学中也有广泛的应用，因此三重积分的计算显得非常重要。
本文给出了三重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了三重积分的几种计算方法。
首先，给出了在直角坐标系下将三重积分转化为三次累次积分的“先一后二法”和“先二后一法”，接着介绍了三重积分的柱面坐标变换和球面坐标变换以及由此引申的广义柱面坐标变换和广义球面坐标变换，最后又给出了利用对称性和奇偶性的计算方法，并作了推广即n重积分的计算。
每种方法都有相应的例题，以此加深了对这些方法的理解及应用。
三重积分的计算方法很多，本文主要从以上四个方面对三重积分的算法进行了概括总结，使三重积分的计算系统化。
关键词：三重积分，计算方法，坐标替换Three the calculation of multiple integral methodsAbstractThree points could be used to calculate the spatial volume and spatial object quality, in geometry and mechanics, but also has a wide application, so in three the calculation of multiple integral is very important.This paper gives three integral concept and its basic properties, are summarized on the basis of three integral of several calculation methods. First of all, given in Cartesian coordinates triple integral into three times of repeated integral" one after two " and" after the first two a law", then introduces the three integral cylindrical transform of coordinate and spherical coordinate transformation and the extended generalized cylindrical coordinate transform and generalized spherical coordinate transformation, finally, given the use of symmetry and parity calculation method, and made the promotion that the calculation of multiple integral. Each method has a corresponding example, to deepen to the understanding of these methods and application.Three integral calculation methods, this article mainly from the above four aspects of three integral algorithm is summarized in this article, the three triple integral calculation system.Key words:Three integral ，Calculation method ，Coordinate substitution目录1⋅引言 (1)2⋅三重积分的概念 (1)3⋅三重积分的基本性质 (2)3.1常值函数的积分值 (2)32⋅.函数线性组合的积分 (2)33⋅.积分对区域的可加性 (3)34⋅积分的不等式性质 (3)35⋅.积分的值与被积函数在分片光滑曲面上的值无关 (3)4⋅三重积分的计算方法 (4)41⋅在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算 (4)411⋅⋅当空间积分区域是由长方体、四面体或任意体形成时，将三重积分转化成三次累次积分． (4)⋅⋅用“先一后二”的方法计算三重积分 (4)412⋅⋅用“先二后一法”计算三重积分 (6)4134．2⋅三重积分的变量替换法 (9)4．2．1一般原理体积元素 (9)4.2.2 球面坐标变换 (10)4．2．3 柱面坐标替换 (12)4.2.4 其他变量替换 (13)4.3 利用积分区域的对称性以及被积函数的奇、偶性来进行计算 (14)4.4 三重积分算法推广——n重积分的计算 (16)4．4．1 仿射变换 (17)5．结论 (22)6．参考文献 (19)7．致谢 ............................................................................................. 错误!未定义书签。
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
练习105(三重积分的计算(投影法))- 答案
练习册 103 三重积分的计算（投影法）（答案）1、化三重积分()⎰⎰⎰Ωdv z y x f ,,为三次积分，其中积分区域Ω是由曲面22y x z +=和平面1=z 围成的闭区域。
解：画出积分区域Ω（如右图所示），（方法1）因为(){}1 ,10,20 ,,2≤≤≤≤≤≤=Ωz r r z r πθθ， 所以，()()dz z r r f rdr d dv z y x f r ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω110202,sin ,cos ,,θθθπ。
（方法2）因为(){}1 ,11,11 ,,2222≤≤+-≤≤--≤≤-=Ωz y x x y x x z y x ， 所以，()()dz z y x f dy dx dv z y x f y x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----Ω=111112222,,,,。
2、将三重积分()⎰⎰⎰Ω+dv z y x f ,22化成柱面坐标下三次积分，其中积分区域Ω是由()0 2222>≤++R Rz z y x 所确定的立体。
解： 2222Rz z y x ≤++ ， () 2222R R z y x ≤-++∴。
画出积分区域Ω（如右图所示），因为(){}2222 ,0,20 ,,r R R z r R R R r z r -+≤≤--≤≤≤≤=Ωπθθ， 所以，()()dz z r f rdr d dv z y x f r R R r R R R ⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω=2222 ,,,2020πθ。
3、计算⎰⎰⎰Ωdv z xy 32，其中积分区域Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 围成的闭区域。
解：画出积分区域Ω（如右图所示），(){}xy z x y x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω0 ,0,10 ,, ，dz z xy dy dx dv z xy xyx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴Ω0320103236411312817141414107506510004210=⋅=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx dy z xy dx x x xy。
高数BC三重积分
1 1 x y
2
2
dz x y z
2 2 2
1
例: {( x, y, z) x y r ,0 z h}
2 2 2
(r , h) f ( x y , z )dv
2 2
其中 f (u , v ) 连续,
求:
" rh
例.
1 求 : lim 4 F (t )， t 0 π t
其中 F (t )
x2 y2 z 2 t 2
f ( x y z )d xd yd z
2 2 2
例. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,
(t ) F (t ) 2 2 f ( x y ) d D(t ) 2 2 f ( x y ) d D(t )
(预赛2016)求积分
I ( x y z)dv
其中 : 0 z 1 x y
(考研2015)设
是由平面
x y z 1 与三个坐标平面
所围成的空间区域, 则
( x 2 y 3 z ) dxdydz
1 4
例: 计算
( x y ) dv ,
2 2
1 2 2 x y 由z x y , z 2
2 2
和平面
z 1 所围的闭区域.
练习： 设 由锥面 和球面
所围成 , 计算：
(冲刺)计算
2
x y z 2 z
2
x dv
2
2
（练习）计算
( x y z ) dxdydz
2 2 2
其中
三重积分
问题一：利用对称性化简三重积分（ 的表示）
7三重积分练习
r 常数
球面
常数 常数
半平面 锥面 M (r, ,)
rM O y
x
r sin z r cos
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 z
d v r 2 sind rd d
d d r
因此有
r d
f (x, y, z)dxdydz
O
y
F(r, ,) r2 sin d r d d x d
D : 0 x a, 0 y b
1
x2 a2
因此
y
xydxdy
a
dx
b
1
x2 a2
xydy
0
0
b
D
a 0
1b2 2
(1
x2 a2
)
xdx
o
1 b2( x2 22
x4 4a2
)
a 0
1 2
b2 ( a2 2
a4 4a2
)
1 8
a2b2
ax
y 5x
例4 计算二重积分 (x 6,y其)d中xdy
改变积分
1
dy
2y
f ( x, y)dx
3
dy
3 y f ( x, y)dx 的
0
0
1
0
积分次序.
解：积分区域如图
y 3
x 3 y
0 y 1,0 x 2 y 1
1 y 3,0 x 3 y
0 x 2, 1 x y 3 x 2
o
2
3 x
原式
dx
0
1x
2
f ( x, y)dy
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
三重积分计算方法与技巧
三重积分计算方法与技巧《说说三重积分那些事儿》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠三重积分计算方法与技巧这个有意思的话题。
你说这三重积分啊，就像是一个调皮的小精灵，有时候蹦蹦跳跳很难抓住它的规律。
但别怕，咱有办法对付它！计算三重积分，那可得有点耐心。
它就像是做一道复杂的拼图，需要我们一点点把各个部分拼凑起来。
咱先得搞清楚积分区域的形状，就像知道要拼的是个啥图形。
有时候是个奇形怪状的家伙，这就需要我们好好观察，多转转脑袋。
说到技巧呢，那就像是我们手里的秘密武器。
比如说换元法，这就像是给小精灵换了身衣服，让它变得更好摆弄。
还有先一后二或者先二后一的方法，这就像是找到了解题的快捷通道，能让我们少走不少弯路。
记得我刚开始学的时候，看着那一堆符号和式子，脑袋都大了一圈儿。
但是别急呀，咱慢慢啃，一点点理解。
就像啃骨头一样，虽然难啃，但啃着啃着就有滋味了。
有时候碰上特别难搞的三重积分，那真的是让人头疼得不行。
就好像在一个迷宫里转来转去，找不到出口。
但咱不能泄气呀，静下心来仔细分析分析，说不定就能发现一个小破绽，然后顺着这个破绽就突破啦。
其实呀，学习三重积分的过程就像是一场冒险。
我们带着好奇心和勇气，去探索那些未知的领域。
有时候会遇到困难，但克服了这些困难，我们就会变得更强大。
而且，当你终于算出一个复杂的三重积分时，那种成就感简直爆棚啊！就像是打败了一个大怪兽，特别爽。
所以呀，大家别怕这三重积分，就拿它当成一个挑战自己的小游戏。
好好学那些方法和技巧，多练练就会发现它其实也没那么可怕啦。
只要咱有耐心、有决心，肯定能搞定这个小精灵，成为计算三重积分的高手！加油吧，朋友们！让我们一起在三重积分的世界里玩得开心，学得愉快！。
2,3重积分练习题及思考题(含解答)
u
1
1 1 1
o
v
思考题 计算 x[1 yf ( x 2 y 2 )]dxdy , 其中D是由
y x , y 1, x 1所围成的区域, f是连续函数.
3
D
解 由于被积函数含有抽象函数, 故无法直接积出. 因此要采用
z
法二
( x
2
0
2
y )dv
2
8
2
d d 2
0 2
4
8
1024 dz 3
O
x
y
如此题改为：
这个旋转曲面与平面 2, z 8所围区域 z .
9、练习：被积函数改为e^z, 下题作为思考题！
思考题 计算
2 2
e
2
z2 2
x y
b
x
思考题 设函数f (u)连续,证明 1 f ( x y )dxdy f (u)du
x y 1 1
y o
1 1
证 法一
x y 1
f ( x y )dxdy
f ( x y )dy dx
0 1 1 x x 1
1
x
1
dx
1
0
1
1 2
y x
y y
e dx .
y x
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
y x2
1
x
2
x
e dy
y x
1
换元法计算三重积分
xcos ysin
z z
0 0
2
z
坐标面分别为
z z
M(x,y,z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
o
y
x
(x,y,0)
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的
时候我们讲过极坐标的转化 面积微d 元为dd 体积微元 d vddd z
4
1
Dz
oy x
a
zdz 2 d
2cos 2d
0
0
0
o
y
2 x
2cos
4a2
2co3sd
8
a3
30
9
例2. 计算三重积 分
1dxxd2ydzy2, 其中由抛物面
x2y24z与平面 zh(h0)所围成 .
z
4 2 zh
h
解: 在柱面坐标系下 : 02h
z
d
因此 f(x,y,z)dxdydz
z d
dz
其中
F(,,z)dddz
o
F (,, z ) f (c,o s, s i z )n xd d
y
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
第三节 三重积分
换元法计算三重积分
一、柱面坐标求三重积分 二、球面坐标求三重积分
回顾 三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 (x,y,z) C ,求分布在 内的物质的
质量 M .
高数讲义第三节三重积分(二)
Dxy : 0 2 , 0 a
x2 y2 z2 z ,
4
o
y
: 0 2 , 0 a, z a, x
Dxy
I ( x2 y2 )dxdydz 02 d 0ad a 2dz
2 0a 3(a )d
a5. 10
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
: 0 2 , 0 2, 2 z 4，
例 5 计算 I zdxdydz，其中 是抛物面
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
Dxy {(x, y) | x2 y2 4}
{(, ) | 0 2 , 0 1}
z1 x2 y2 2, z2 4,
3
z2 2
4 2
d
2
3
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点， 点 M 到原点的距离记为 r ,
有向线段 OM 与 z 轴正向的夹角记为 ，
点 M 在xoy 面上的投影 为P ( x, y)
自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段 z
OP 的角度记为
则三元有序数组( r, , )
例 5 计算I zdxdydz，其中 是抛物面.
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
由
z
x2
y2 ,
z 4
知曲面与平面的交线为
x2
y2
4,
z4
o
y
x
Dxy {(x, y) | x2 y2 4} {(, ) | 0 2 , 0 2}
z1 x2 y2 2, z2 4,
y
sin
,
z z.
o
• P(, )
三重积分的变量代换
f (x, y, z)dxdydz f [x(u,v, w), y(u,v, w),z(u,v, w)]J dudvdw.
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例1. 求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:
( a 1 x b 1 y c 1 z ) 2 ( a 2 x b 2 y c 2 z ) 2 ( a 3 x b 3 y c 3 z ) 2 h 2 , a1 b1 c1
z
ra3cosa
4 2 d
2sin d
a 3 cosr2 dr
0
0
0
r
3 2a30 2sincod s
1
3
y
a3
x
dvr2sin drdd
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轮换对称性：
若积分区域Ω的表达式中将 x, y, z 依次轮换,表达式 不变,则称Ω关于 x, y, z 轮换对称. 此时有
f(x, y,z)dv f(y,z,x)dvf(z,x,y)dv.
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例4. 计算三重积分 (x2y2z2)dxdydz,其中
为锥 z面 x2y2与球面 x2y2z2R2所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
: 04
0 2
4
(x 2y2z2)d xdyd z
oy
2
d
4sin d
Rr4 dr
x
0
0
0
1R5(2 2)
dvr2sin drdd
z
直角坐标与球面坐标的关系
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
3用柱面坐标或球面坐标把三重积分化为三次积分
习题10-33．用柱面坐标或球面坐标把三重积分⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(化为三次积分，其中Ω分别是由如下各组不等式所确定的区域：（1）22z x y ≥+，2z ≤； 解：这是与yoz 平面对称的区域，只须画与yoz 平面上的截面，用柱面坐标，2222{(,,)|21}x y z x y z x y Ω=+≤≤+≤2{(,,)|2,01,02}r z r z r r θθπ=≤≤-≤≤≤≤， 所以221200(,,)(cos ,sin ,)r r f x y z dV d dr f r r z rdz πθθθ-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3）2222a z y x ≤++，)(3222y x z +≤；解：两个球面的交线是：⎩⎨⎧+==++)(32222222y x z a z y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+2341222a z a y x 方法一：用柱面坐标，}41,)(3)(3|),,{(2222222a y x y x z y x z y x ≤++≤≤+-=Ω }41,|),,{(2222222222a y x a y x a z y x a z y x ≤+≤--≤≤---⋃ }20,210,33|),,{(πθθ≤≤≤≤≤≤-=a r r z r z r }20,21,|),,{(2222πθθ≤≤≤≤-≤≤--⋃a r a r a z r a z r ，所以2/200(,,)(cos ,sin ,)a f x y z dV d dr f r r z rdz πθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰20/2(cos ,sin ,)aa d dr f r r z rdz πθθθ+⎰⎰⎰. 方法二：用球面坐标， 再交点处6πϕ=和65πϕ=，球面方程为：a =ρ， }656,20,0|),,{(πϕππθρϕθρ≤≤≤≤≤≤=Ωa ，25/620/60(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin af x y z dV d d f d πππθϕρϕθρϕθρϕρϕρΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 4．在柱面坐标系中或球面坐标系中计算下列三重积分：（1）22x y edV +Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22x y z +=和平面1z =所围成的区域；解：在柱面坐标系中22{(,,)|1,01,02}r z x y z r θθπΩ=+≤≤≤≤≤≤，222221100x y r r e dV d dr e rdz πθ+Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 221321002()[(2)](2)r r e r r dr r e e πππ=-=-=-⎰. （3）⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22，其中Ω是由曲面22y y x -=和平面0=x 、0=z 、1=z 所围成的区域；解：在柱面坐标系中}2/0,sin 20,10|),,{(πθθθ≤≤≤≤≤≤=Ωr z z r ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ω102sin 202/022zdz r dr d dV y x zθπθ ⎰⎰⎰==2/0sin 203sin 2022/0|6121πθθπθθd r dr r d ⎰⎰-==2/022/03sin )cos 1(34sin 34ππθθθθd d 98]cos cos 31[342/02=-=πθθ. 5．利用三重积分求下列立体Ω的体积，其中Ω分别为： （1） 由抛物面222z x y =--和锥面z =所围成的区域；解：这是对称区域，只须画与yoz 平面上的截面，可以看成-xy 型区域2222{(,,)|2,1}x y z z x y x y Ω=≤≤--+≤221200()r r V d dr rdz πθ-Ω=⎰⎰⎰1232341001152(2)2[]346r r r d r r r r πππ=--=--=⎰. （3） 由球面2222x y z z ++=和锥面z =所围成的上半区域；解：用球面坐标，{(,,)|02cos ,02,0}4x πρθϕρϕθπΩ=≤≤≤≤≤≤ 22cos 24000()sin V d d d ππϕθϕρϕρΩ=⎰⎰⎰32cos 3440001162sin |cos sin 33d d ππϕπϕρϕπϕϕϕ==⎰⎰ ⎰--=10643)3134(dx x x x 4404cos |3ππϕπ=-=.。
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利用一题多解和变式练习“玩转”三重积分的计算 大多数《高等数学》教材中都介绍了三重积分的四种计算法：直角坐标系下的截面法与 投影法，柱面坐标法和球面坐标法。在学习中要采取一题多解和变式练习，从中发现它们之 间的联系，并在比较中体会到如何根据区域和函数的类型选择最合适的方法，从而达到开拓 视野，锻炼思维的目的。下面通过例子加以说明。 例. 计算 I =
∫
1
0
dz ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dz ∫ dθ ∫
Dz
1
2π
1− z 2
0
0
0
r 3dr =
4π . 15
( Dz : x 2 + y 2 ≤ 1 − z 2 )
2
（后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！ ）
2 2 n
，则截面法比较复杂。 注：若被积函数为改为 ( x + y + z ) （ n 为正奇数） 方法四（球面坐标法） I =
∫∫∫ ( x
Ω
2
+ y 2 )dxdydz, 其中 Ω 由柱面 x 2 + y 2 = 1 与平面 z = 1 所围。
解：方法一（柱面坐标法） I =
∫∫∫ r
Ω
2
⋅ rdzdrdθ = ∫ dθ ∫ r 3dr ∫ dz =
0 0 0
1
2π
1
1
π
2
.
方法二（投影法） I =
Dxy
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dxdy ∫ dz ( Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1) ，由二重积分的极坐标法，
方法四（球面坐标法）dθ ∫ dϕ ∫
4 0
π
1 cos ϕ 0
r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr =
2 2 2
π
10
.
注：前三种方法均比较简单。如果将被积函数改为 x + y + z 或 标法也比较简单。
x 2 + y 2 + z 2 ，则球面坐
变式 2 被积函数不变，积分区域改为： Ω 由旋转抛物面 z = x + y 与平面 z = 1 所围。
0
Dxy
2 2 3 3 ） ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dθ ∫ r dr ，故 I = ∫ dθ ∫ r dr ∫ dz（与（1）式的第二个等式相同！ 0 0 0 0 0
2π
1
2π
1
1
注：从上面的解答过程可以看出：三重积分的投影法结合二重积分的极坐标法就“导出”三 重积分柱面坐标法。因此，在使用柱面坐标法计算三重积分时，只需要先将区域投影到某个 坐标面得平面投影区域，再将投影区域改写成极坐标形式，这样就得到柱面坐标系下先对 z 、 再对 r 、最后对 θ 的三次积分！ 方法三（截面法） I =
截面区域可以不写出来！ ）
，则截面法比较复杂。 注：若被积函数为改为 ( x + y + z ) （ n 为正奇数）
2 2 2 n
方法四（球面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫
π /4
0
dϕ ∫
2cos ϕ
0
2
r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算简单!）
2 2 2 2
变式 7 被积函数不变，区域为： Ω 由球面 x + y + z = 2 z 与抛物面 z = x + y 所围。 解：方法一（柱面坐标法） I =
解：方法一（柱面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ rdr ∫
0
1
1− r 2
0
dz = ∫ dθ ∫ r 3 1 − r 2 dr （计算复杂）
0 0
2π
1
方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最 后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法） I =
方法四（球面坐标法）
I = ∫ dθ ∫ 4 dϕ ∫ cosϕ r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr + ∫ dθ ∫π2 dϕ ∫ sin 2 ϕ r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算复杂!）
0 0 0 0 4 0
2π
π
1
2π
π
cos ϕ
注：比较变式 1 和变式 2 的方法四，区域为锥面与平面所围较旋转抛物面与平面所围，对应 的积分用球面坐标法更简单些。 （其他的变式说完后集中总结是否更好？以结语的方式进行总 结，缩短篇幅，总结更全面） 变式 3 被积函数不变，积分区域改为： Ω 由上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 与平面 z = 0 所围。
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下面的每个变式练习题都要自己先用四种方法写出三次积分，并 比较繁简，择其一算出最终结果。
变式 1：被积函数不变，积分区域改为： Ω 由柱面 z = 解：方法一（柱面坐标法） I = 方法二（投影法） I =
x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围。
Dz 2 Dz
1 2π 1− z 2
1
=∫
2 2
0
dz ∫ dθ ∫ r 3 dr + ∫ 2 dz ∫ dθ ∫
0 0 2 0
2π
z
0
r 3dr = ?.
( D1z : x 2 + y 2 ≤ z 2 (0 ≤ z ≤
2 2 ), D2 z : x 2 + y 2 ≤ 1 − z 2 ( ≤ z ≤ 1)) 2 2
1
π
10
1
.
( Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1)
【注】如果例题不要，而把此变式当做例题，前面的两处点评该如何写？ 方法三（截面法） I =
∫ dz ∫∫ ( x
0 Dz
2
+ y 2 )dxdy = ∫ dz ∫ dθ ∫ r 3dr =
0 0 0
2π
z
π
10
. ( Dz : x 2 + y 2 ≤ z 2 )
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ r dr ∫ dz =
0 r
1
1
π
10
.
Dxy
2 2 ∫∫ ( x + y )dxdy ∫
1 x2 + y 2
dz = ∫∫ ( x 2 + y 2 )(1 − x 2 + y 2 )dxdy
Dxy
= ∫ dθ ∫ r 2 (1 − r ) ⋅ rdr =
0 0 1
2π
cos ϕ / sin 2 ϕ
ϕ0
0
r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算简单!）
注：虽然积分形式比较复杂，但积分比较容易。 变式 6 被积函数不变，区域为： Ω 由球面 x + y + z = 2 z 与锥面 z =
2 2 2
x 2 + y 2 所围。
解：方法一（柱面坐标法） I =
D1z z0 D2 z
1
= ∫ dz ∫ dθ ∫ r dr + ∫ dz ∫ dθ ∫
3 0 0 0 z0 0
z0
2π
z
1
2π
1− z 2
0
r 3 dr
（后面的变式投影区
( D1z : x 2 + y 2 ≤ z 2 (0 ≤ z ≤
2 2 ), D2 z : x 2 + y 2 ≤ 1 − z 2 ( ≤ z ≤ 1)) 2 2
0 0 1
2π
1
π
6
.
( Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1)
【注】如果例题不要，而把此变式当做例题，前面的两处点评该如何写？ 方法三（截面法） I =
∫ dz ∫∫ ( x
0 Dz
2
+ y 2 )dxdy = ∫ dz ∫ dθ ∫ r 3dr =
0 0 0
1
2π
z
π
6
. ( Dz : x 2 + y 2 ≤ z )
点评：这种算法也可算出结果，但上式积分比较复杂。原因是：平面和柱面方程在球面坐标 系下较复杂！如果将平面改为球面，将柱面改为锥面，则计算会简单很多（见变式 4） 。如果 被积函数改为 x + y + z ，则上面的积分就容易计算些。虽然此法不是首选方法，但在课堂
2 2 2
教学中，鼓励学生写出球面坐标下的三次积分，仍有助于他们理解这种方法，且可以使他们 在比较中弄明白在什么情况下用球面坐标法最合适。
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ rdr ∫
0
1
1+ 1− r 2
r
dz = ∫ dθ ∫ r 3 (1 + 1 − r 2 − r )dr
0 0
2π
1
（计算复杂） 方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最 后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法） I =
∫ dz ∫∫ ( x
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ rdr ∫
0
1
1− r 2
0
dz = ∫ dθ ∫ r 3 1 − r 2 dr （计算复杂）
0 0
2π
1
方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最 后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法） I =