三重积分的变式练习(方法总结)

域、截面区域可以不写出来！ ） 注：若被积函数为改为 ( x + y + z ) （ n 为正奇数） ，则截面法比较复杂。
2 2 2 n
方法四（球面坐标法）
I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r sin ϕ ⋅ r sinϕ dr + ∫ dθ ∫ 2 dϕ ∫
2 2 2 0 0 0 0
2π
ϕ0
1
2π
π
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ rdr ∫
0
1
1− r 2
0
dz = ∫ dθ ∫ r 3 1 − r 2 dr （计算复杂）
0 0
2π
1
方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最 后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法） I =
∫
z0
0
dz ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy + ∫ dz ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy
方法四（球面坐标法）
I = ∫ dθ ∫ 4 dϕ ∫ cosϕ r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr + ∫ dθ ∫π2 dϕ ∫ sin 2 ϕ r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算复杂!）
0 0 0 0 4 0
2π
π
1
2π
π
cos ϕ
注：比较变式 1 和变式 2 的方法四，区域为锥面与平面所围较旋转抛物面与平面所围，对应 的积分用球面坐标法更简单些。 （其他的变式说完后集中总结是否更好？以结语的方式进行总 结，缩短篇幅，总结更全面） 变式 3 被积函数不变，积分区域改为： Ω 由上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 与平面 z = 0 所围。
y 。 ) 等形式） x
2 2
方法四（球面坐标法）在球面坐标下，曲面 z = 1 、 x + y = 1 的方程分别为 r =
1 、 cos ϕ
π 1 π 2 2π 2π 1 2 2 4 cos ϕ 2 2 sin ϕ 2 r= ， 故 I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r sin ϕ ⋅ r sinϕ dr + ∫ dθ ∫π dϕ ∫ r sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr 0 0 0 0 0 sin ϕ 4
2 2
解：方法一（柱面坐标法） I = 方法二（投影法） I =
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ r dr ∫ 2 dz =
0 r
1
1
π
6
.
Dxy
2 2 ∫∫ ( x + y )dxdy ∫ 2
1
x + y2
dz = ∫∫ ( x 2 + y 2 )(1 − x 2 − y 2 )dxdy
Dxy
= ∫ dθ ∫ r 2 (1 − r 2 ) ⋅ rdr =
1
∫ dz ∫∫ ( x
0 Dz
2
+ y 2 )dxdy ( Dz : x 2 + y 2 ≤ 1) = ∫ dz ∫ dθ ∫ r 3dr
0 0 0
1
2π
1
点评：在一般的教材中，对柱面坐标法，多数只给出了先对 z 、再对 r 、最后对 θ 的三次积分。 上式表明，截面法结合二重积分的极坐标法就“导出”柱面坐标系下另外一种次序的三次积 分：先对 r 、再对 θ 、最后对 z 的三次积分。有的作者认为截面法（或先重后单法）需要满足 这两个条件使用才简便：① f ( x, y , z ) 只含有一个变量；② 截面的面积 Dz 容易求。这种限制 是片面的。本例及下面的变式说明，条件①②不满足时，使用截面法(结合二重积分的极坐标 法)也很简单（当然被积函数具备 f ( x 2 + y 2 ), f (
0
Dxy
2 2 3 3 ） ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dθ ∫ r dr ，故 I = ∫ dθ ∫ r dr ∫ dz（与（1）式的第二个等式相同！ 0 0 0 0 0
2π
1
2π
1
1
注：从上面的解答过程可以看出：三重积分的投影法结合二重积分的极坐标法就“导出”三 重积分柱面坐标法。因此，在使用柱面坐标法计算三重积分时，只需要先将区域投影到某个 坐标面得平面投影区域，再将投影区域改写成极坐标形式，这样就得到柱面坐标系下先对 z 、 再对 r 、最后对 θ 的三次积分！ 方法三（截面法） I =
解：方法一（柱面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ rdr ∫
0
1
1− r 2
0
dz = ∫ dθ ∫ r 3 1 − r 2 dr （计算复杂）
0 0
2π
1
方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最 后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法） I =
Dz 2 Dz
1 2π 1− z 2
1
=∫
2 2
0
dz ∫ dθ ∫ r 3 dr + ∫ 2 dz ∫ dθ ∫
0 0 2 0
2π
z
0
r 3dr = ?.
( D1z : x 2 + y 2 ≤ z 2 (0 ≤ z ≤
2 2 ), D2 z : x 2 + y 2 ≤ 1 − z 2 ( ≤ z ≤ 1)) 2 2
本页已使用福昕阅读器进行编辑。 福昕软件（Ｃ）２００５－２００８，版权所有， 仅供试用。
利用一题多解和变式练习“玩转”三重积分的计算 大多数《高等数学》教材中都介绍了三重积分的四种计算法：直角坐标系下的截面法与 投影法，柱面坐标法和球面坐标法。在学习中要采取一题多解和变式练习，从中发现它们之 间的联系，并在比较中体会到如何根据区域和函数的类型选择最合适的方法，从而达到开拓 视野，锻炼思维的目的。下面通过例子加以说明。 例. 计算 I =
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ r dr ∫ dz =
0 r
1
1
π
10
.
Dxy
2 2 ∫∫ ( x + y )dxdy ∫
1 x2 + y 2
dz = ∫∫ ( x 2 + y 2 )(1 − x 2 + y 2 )dxdy
Dxy
= ∫ dθ ∫ r 2 (1 − r ) ⋅ rdr =
0 0 1
2π
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下面的每个变式练习题都要自己先用四种方法写出三次积分，并 比较繁简，择其一算出最终结果。
变式 1：被积函数不变，积分区域改为： Ω 由柱面 z = 解：方法一（柱面坐标法） I = 方法二（投影法） I =
x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围。
D1z z0 D2 z
1
= ∫ dz ∫ dθ ∫ r dr + ∫ dz ∫ dθ ∫
3 0 0 0 z0 0
z0
2π
z
1
2π
1− z 2
0
r 3 dr
（后面的变式投影区
( D1z : x 2 + y 2 ≤ z 2 (0 ≤ z ≤
2 2 ), D2 z : x 2 + y 2 ≤ 1 − z 2 ( ≤ z ≤ 1)) 2 2
方法四（球面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫ dϕ ∫
4 0
π
1 cos ϕ 0
r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr =
2 2 2
π
10
.
注：前三种方法均比较简单。如果将被积函数改为 x + y + z 或 标法也比较简单。
x 2 + y 2 + z 2 ，则球面坐
变式 2 被积函数不变，积分区域改为： Ω 由旋转抛物面 z = x + y 与平面 z = 1 所围。
∫
2π
0
dθ ∫ 2 dϕ ∫ r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算简单!）
0 0
π
1
变式 4 被积函数不变， 区域改为：Ω 由上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 与锥面 z =
x 2 + y 2 所围。
解：方法一（柱面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫
2 2
0
r ⋅ rdr ∫
截面区域可以不写出来！ ）
，则截面法比较复杂。 注：若被积函数为改为 ( x + y + z ) （ n 为正奇数）
2 2 2 n
方法四（球面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫
π /4
0
dϕ ∫
2cos ϕ
0
2
r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算简单!）
2 2 2 2
变式 7 被积函数不变，区域为： Ω 由球面 x + y + z = 2 z 与抛物面 z = x + y 所围。 解：方法一（柱面坐标法） I =
点评：这种算法也可算出结果，但上式积分比较复杂。原因是：平面和柱面方程在球面坐标 系下较复杂！如果将平面改为球面，将柱面改为锥面，则计算会简单很多（见变式 4） 。如果 被积函数改为 x + y + z ，则上面的积分就容易计算些。虽然此法不是首选方法，但在课堂
2 2 2
教学中，鼓励学生写出球面坐标下的三次积分，仍有助于他们理解这种方法，且可以使他们 在比较中弄明白在什么情况下用球面坐标法最合适。
cos ϕ / sin 2 ϕ
ϕ0
0
r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算简单!）
注：虽然积分形式比较复杂，但积分比较容易。 变式 6 被积函数不变，区域为： Ω 由球面 x + y + z = 2 z 与锥面 z =
2 2 2
x 2 + y 2 所围。
解：方法一（柱面坐标法） I =
0 D1z
1
2
+ y 2 )dxdy + ∫ dz ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy
1 D2 z
2
= ∫ dz ∫ dθ ∫ r 3dr + ∫ dz ∫ dθ ∫
0 0 0 1 0
1
2π
z
2
2π
2 z− z2
0
r 3dr （积分比较简单）
（后面的变式投影区域、
( D1z : x 2 + y 2 ≤ z 2 (0 ≤ z ≤ 1), D2 z : x 2 + y 2 ≤ 2 z − z 2 (1 ≤ z ≤ 2))
1
π
10
1
.
( Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1)
【注】如果例题不要，而把此变式当做例题，前面的两处点评该如何写？ 方法三（截面法） I =
∫ dz ∫∫ ( x
0 Dz
2
+ y 2 )dxdy = ∫ dz ∫ dθ ∫ r 3dr =
0 0 0
2π
z
π
10
. ( Dz : x 2 + y 2 ≤ z 2 )
∫
1
0
dz ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dz ∫ dθ ∫
Dz
1
2π
1− z 2
0
0
0
r 3dr =
பைடு நூலகம்
4π . 15
( Dz : x 2 + y 2 ≤ 1 − z 2 )
2
（后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！ ）
2 2 n
，则截面法比较复杂。 注：若被积函数为改为 ( x + y + z ) （ n 为正奇数） 方法四（球面坐标法） I =
0 0 1
2π
1
π
6
.
( Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1)
【注】如果例题不要，而把此变式当做例题，前面的两处点评该如何写？ 方法三（截面法） I =
∫ dz ∫∫ ( x
0 Dz
2
+ y 2 )dxdy = ∫ dz ∫ dθ ∫ r 3dr =
0 0 0
1
2π
z
π
6
. ( Dz : x 2 + y 2 ≤ z )
（后面的变式投影区域、截面区域可以不写出来！ ） 注：虽然写成两个积分，但计算比较简单！ 方法四（球面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫ 4 dϕ ∫ r 2sin 2ϕ ⋅ r 2sinϕ dr （计算简单!）
0 0 2 2
π
1
变式 5 被积函数不变，区域为：Ω 由半球面 z = 1 − x 2 − y 2 与旋转抛物面 z = x + y 所围。 解：此时两个曲面的交线在平面 z = z0 = ( 5 − 1) / 2 ，设 ϕ0 = arccos z0 ， 方法一（柱面坐标法） I =
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 ⋅ rdr ∫
0
1
1+ 1− r 2
r
dz = ∫ dθ ∫ r 3 (1 + 1 − r 2 − r )dr
0 0
2π
1
（计算复杂） 方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最 后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法） I =
∫ dz ∫∫ ( x
∫∫∫ ( x
Ω
2
+ y 2 )dxdydz, 其中 Ω 由柱面 x 2 + y 2 = 1 与平面 z = 1 所围。
解：方法一（柱面坐标法） I =
∫∫∫ r
Ω
2
⋅ rdzdrdθ = ∫ dθ ∫ r 3dr ∫ dz =
0 0 0
1
2π
1
1
π
2
.
方法二（投影法） I =
Dxy
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dxdy ∫ dz ( Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1) ，由二重积分的极坐标法，
2
1− r 2
r
dz = 2π ∫
2 2
0
r 3 ( 1 − r 2 − r )dr （计算
复杂） 方法二（投影法）鉴于投影法与柱面坐标法之间的关系，用投影法也会得到方法一所得的最 后一个式子，积分同样复杂！ 方法三（截面法） I =
∫
2 2
0
dz ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy + ∫ 2 dz ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy