正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示
消去式中各项的公因子，则有
j LI m RI m U sm
由此解出
U sm Im R jL
U sm R 2 ω 2 L2 e
ωL jψu arctan R
稳态响应电流为
i ( t ) Im I me j t
U sm
U Uψu
幅值相量与有效值相量的关系
有效值相量
Um
U m U m ψu
2Uψu 2U
相量图 (phasor diagram)
U
ψu
+1
在复平面上用以表示正弦量的矢量图，称为相量图。
正弦量与相量的关系：
Im
u( t ) Im U me jψu e jω t
ωL sinω t ψu arctan 2 2 2 R R ω L
由此看出，用相量表示正弦量后可以将电路的微分方程转化 为复数代数方程，从而使计算得以简化。能否直接由电路图写出 复数的代数方程呢？要做到这一步还必须介绍基尔霍夫定律的相 量形式和电路元件方程的相量形式 。
下面举例说明 例 求图示电路的正弦稳态响应 电流i (t)。 激励函数
解：
us ( t ) U sm sin( t ψu ) Im U sme jω t ω
设正弦稳态响应电流
பைடு நூலகம்
i ( t ) I m sin( t ψi ) Im[ I me jωt ] ω
电路的微分方程为
di ( t ) L Ri( t ) us ( t ) dt
代入i(t)和us(t)，可得
Im[j LI me j t RI me j t ] Im[U sme j t ]
第八章相量法
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
正弦量的相量表示
当某复数的实部和虚部已知时，这个复数就确定了。例如A=3+j4,b=
－3+j2，C=5－j6,在复平面上均有惟一的对应位置。
解:求两电流和，先把i=i1+ i2化为相量（或幅值或有效值）表示形式：
•
•
•
I I1I2
对有效值进行计算，已知U1=100；U2=50，则
•
I
=100∠0º+50∠-60º=100（cos0º+jsin0º）+50(cos60º-jsin60º)
100 50 (1 j
3)
150
'
j25
3
φ=arctan(b/a) (φ≤2π)
由三a角=r函co数sφ可知b= rsinφ （3-8）
由（3-8）看出，复数A的模在实轴上的投影a就是复数A的实部，在虚 轴上的投影b 就是复数A 的虚部。复数又可写成三角形式
A=rcosφ+ jrsinφ
(3-9)
根据高等数学的尤拉公式
ejφ= cosφ+ jsinφ 则式（3-9）又可写成
用相量表示为
•
U
=U（cosφ+jsinφ）=U ejφ=U∠φ
(3-12)
在实际计算中，相量（复数）的加减运算用代数法比较简单， 而极坐标法更适合于相量（复数）的乘除运算。
例3-5已知i1=141sin(ωt)A, i2=70.5sin(ωt-60º)A
求：总电流i=i1+ i2，并画出相量图。
4.2 正弦量的相量表示法
(1)2+(2)2
Im
I1m cos 1 I2m cos 2 I1m sin 1 I2m sin 2
2
2
(1)÷(2)
I1m sin 1 I2 m sin 2 arctan I cos I cos 1m 1 2m 2
将本题中 的I1m=100A, I2m=60A, Ψ1=45°, Ψ2=-30°
代入可得：
Im
70.7 52
2
70.7 30 129A
2
70.7 30 ' arctan 18 20 70.7 52
故得
i=129sin(ωt+18°20′)A
4.2 正弦量的相量表示法
i Im
0
T/2
2
T
t
t
-I m
三角函数
u=U m sin (ω t + Ψ) 相量图 复数式（相量式）
正弦量
正弦波形
相量（复数）
4.2.1 旋转有向线段表示正弦量
a. 在 u=U m sin (ω t + Ψ) 中
y A
Um 表示正弦电压的最大值 （A的长度） ω 表示正弦电压的角频率 Ψ 表示正弦电压的初相位
c.复数的三种表示方法： A=a+j b 实部
a2 b2 b arcty a r
b
虚轴 +1 A r
虚部
0 a
实轴 +1
a=r cos ψ
b=r sin ψ
复数的模 复数的辐角
A=a+j b= r cos ψ+j r sin ψ = r (cos ψ + j sin ψ)
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
正弦量的相量描述
《电工技术》知识点：正弦量的相量描述u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：正弦量的表示法：三角函数表示 波形表示 相量表示tϕ1ϕ2u 1u 2u=U m sin(ωt +ϕ) 反映正弦量的全貌包括三个要素11222sin 2sin 2sin u U t U t U t =+++=+ωϕωϕωϕ)()()(频率不变=+++U U U U U ϕϕϕϕ(cos cos )(sin sin )1122211222幅度变化=++U U U U ϕϕϕϕϕarctansin sin cos cos 11221122相位变化u U t =+ωϕ1112sin)(u U t =+ωϕ 2sin 222)(已知： =+u u u 12求：启示：在讨论同频率正弦量时，只要知道幅度与初相位即可。
综上所述：同频率正弦量相加，其结果仍是同一频率的正弦量。
▲ 正弦量的波形图及三角函数式表示法比较直观，但用于运算很繁琐！▲相量表示法是基于复数表示正弦量的一种方法相量表示法相量图相量式（复数式）相量表示法反映正弦量两个要素相量图 1、用旋转矢量表示正弦量表示方法：yxOA U m ϕωu U t =+ωϕ2sin)(在直角坐标系中取有向线段OA OA 的长度等于正弦量的幅值OA 与水平方向的夹角等于正弦量的初相角 以正弦量的角速度逆时针方向旋转 ω为什么能表示正弦量?ω正弦量的瞬时值 旋转向量在纵轴上的投影高度ϕω t+jϕω+1U mOOU mu U t =+ωϕ2sin)(对于每一个正弦量都可以找到与其对应的旋转向量。
因此对正弦量的分析,可以用与之对应的旋转向量进行。
综上所述：在实际应用中，正弦量的大小一般采用有效值表示，其表示符号为 。
、I m. U. 把这种仅反映正弦量大小和初相位的有向线段称为相量，其图形为相量图，符号 U m. 、I.2、用复数表示正弦量---相量式+j+1oUU mϕ.A = a +jb 代数式+j+1 oAϕab rr =a 2+b 2ϕ =arctan baA = r ϕ极坐标式=+θθθecos jsin j 由欧拉公式=+++ωϕωϕU U t t cos()j sin()m m +ωϕU t em j()t =+θωϕ令 ，则+ωϕU t e m j()设一复数为 如何用复数式表示正弦量u U t =+ωϕ2sin)(=ϕωU t e e Im[2]j j =ωU t e Im[2]j =+ωϕU e t Im[])m j(=+ωϕu U t sin()m 称该复数为正弦量u 的相量式。
相量表示法
解:
+1
0
30 -60
i1 和 i2 对应的电流向量 表达式分别为
10 30 A I1 5 60 A I2
I2
I 1的长度是 I 2的二倍。
三、复数
复数的四则运算 加减运算用代数式，实部与实 部，虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或相减。
二、正弦量的相量表示法
一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时,它们同以ω速度旋转,相 对位置保持不变。因此，在同一相量图 中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。 相量的写法为:大写字母的上方加一 个“.”。
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量 可以用复数表示。 １. 复数表示法： A= a+j b 代数式 j A A= r(cosψ +j sinψ ) 三角式 b 根据欧拉公式: r
这样，表示正弦电压 u U m sin t 的相量为
U e j U Um m m
为了使计算结果能直接表示正弦量的有 效值，通常使相量的模等于正弦量的有效 值，即可以表示为：
Ue j U U
注意！
（１）只有正弦量才能用相量表示；
（２）几个同频率正弦量可以画在同一 相量图上；
0
a
e j= cosψ+ j sinψ A = r e jψ 指数式 +1 A = r∠ψ 极坐标式
其中
a = r cosψ b = r sinψ
r
ψ
a b
2
2
= arctg ( b/a )
2. 正弦量的相量
一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值， 该复数称为正弦量的相量.
2.2正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。
相量的数学基础是复数。
采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。
我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。
图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。
② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。
图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。
正弦量的相量表示法
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
例3: 图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为：
uB 220 2 sin (314 t 120 )V uC 220 2 sin (314 t 120 )V
试求uAB ，并画出相量图。
解:(1) 用相量法计算：
相量图: 把相量表示在复平面上的图形
可不画坐标轴
U
I
⑤相量的书写方式 I 模用最大值表示 ，则用符号： Um 、m
I 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、
如：已知 u 220sin(ω t 45)V 220 j45 Um 220 j45 V U e e V 则 或 2
AB
220 ( 1 0.5 j 0.866 )V
220 1.73 30V
UCBiblioteka -U B U AB UA
380 30 V
所以uAB 380 2 sin ( ω t 30 )V
(2) 相量图
30
UB
正误判断
u 220 sin(ω t 45)V
220 U 45 V？ 2
有效值 j45 •
1.已知：
3.已知：
I 4e
j30
A
复数
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
220 e45 V？ Um
2.已知： I 10 60A
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
求：i i1 i2 。
i2 11 2 sin(314t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
正弦量的相量表示法
ψ
0
_
t
试写出表示uA=220 √2 sin314t V, uB=220 √2 sin(314t–120 ) V, uC=220 √2 sin(314t+120 ) V, 的相量，并画出相量图。
解Leabharlann 分别用有效值相量UA、 UB和UC
UC
表示uA、 uB和uC
120° U A 120°
UB
它们的相量图为：(右图)
§3-3. R、L及C的交流电路 、 及 的交流电路
在考虑电阻、电感或电容元件时，都将 它们看成是理想元件。即只考虑其主要 因素而忽略其次要因素。 交流电路与直流电路对电阻、电感或电 容的作用结果都不同。 电容对直流电路相当于开路；电感对直 流电路相当于短路。 而在交流电路中电容有充放电现象存在， 有电流通过电感有自感电动势出现而阻 碍电流变化。
§3-2. 正弦量的相量表示法
正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 三 要素表示出来。 要素 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法： u = Um sin ωt + ψ) ( ②正弦波形图示法: (见右图) u +
相量表示法。 ③ 相量表示法。
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
正弦量的相量表示
4.相量图
只有同频率的相量才能在 同一复平面内作相量图
例1.指出下列各表达式那些是正确的，那些 是错误的。
1) i 5 sin(t 30 ) 5e
j 30
2) I 1030
10045 100 2 sin(t 45 ) 3) U
4)
20 I 20e
5 I 2 4 6
1)
I 1 4 6
2)
i1 4 2 sin( 314t
6
)
5 i 2 4 2 sin( 314t ) 6
例4.写出电流
i1 ( t ) 5 sin(t 45 ) A, i2 ( t ) 10 2 sin(t 120 ) A
iu 1, i
角频率 有效值 初相位
I1 o
i1
i2
i 2 I2
i1+i2 i3
I t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想
3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
j( t Ψ )
无物理意义
A(t ) 2 Ie 2 Icos(t Ψ ) j 2 Isin( t Ψ )
的相量形式，求解i1(t)+i2(t)。 5 I 10 120 A I 45 A 解： 2 1 2
5 I1 I 2 45 10120 2 5 (cos 45 j sin 45 ) 10(cos 120 j sin 120 ) 2 5 2 1 5 2 3 ( 10 ) j ( 10 ) 2 2 2 2 2 2 2.5 j 6.16 6.65112.1 A
3.2 正弦量的相量表示法
所以：i sin(t 30 ) sin(t 150 )
3、 = 2–1=90°正交
(1)用相量图叠加
如： i1 =3sin(ωt +30°) i2 =4sin(ωt +120°)
求和
则： Im= Im12 + Im22 = 5
θ =arctan(对边/邻边) = 53°
(本例）=1+θ =83° i=5sin(ωt+83°)
现有复数A =|A| e j
相量图
A
+1
若令：A• j =|A| e j ·e j 90° 则有：A• j = |A|e j ( + 90°)
由此知，A j使A逆时针旋转90°
相量图 Aj
90°
A
同理， A（- j）使A顺时针旋转90° 故：复平面中，j 是旋转90°的算子符。
+1
接3.3
4.复数的极坐标形式 A = A
复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法 +j
一、正弦量的相量表示法
b(t)
若，令复数A绕原点， 以ω的角速度、 逆时针方向旋转，
A
ω
A ωt
+1
则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为：
b(t)=|A|sin(ωt +)
形式完全相同
i(t)=Imsin(ωt +)
但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
三、相量表示法举例 例1. i=5 2 sin(ωt+30 °) 极大值相量式： Im=5 2∠30° 有效值相量式： I =5∠30°
相量图
5 Iω
30°
+1
正弦量的相量表示
b| A| sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A 1A 2A 1ej1A 2ej2A 1A 2ej(12)
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u (t)u 1(t)u 2(t)R e( 2U •1ejwt)R e( 2U •2ejwt)
R e( 2U •1ejwt2U •2ejwt)R e( 2(U •1U •2)ejwt)
可得其相量关系为： U U 1U 2 U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
也可借助相量图计算
Im U2
U
U1
41.9
30 60
Re
首尾相接
U
Im
U2
U1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
wy y i 2 I co t s i) (I I i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法在物理学中，正弦量（sine wave）是一种振荡量，它可以以普遍的正弦函数的形式来表示。
它往往用来表示物理或数学模型中的规律性或周期性变化，因此拥有在物理研究中重要的应用价值。
正弦量也是数字信号处理、生物科技、通信和声学中的重要组成部分。
正弦量的相量（phasor）表示法是对正弦量的一种数学表示方式，用一个复数来表示整个正弦波的大小和相位（即时间延迟）。
正弦量的复数表示法可以将其分解成两个部分，一部分用有理解题目中提到的正弦量的大小（模）来表示，另一部分用相应的正弦量的角度（相角）来表示。
弦量的相量表示法可以用工程学中常见的极坐标和/或复平面形式来表示，可以用曲线图和/或数字示意来表示。
正弦量的相量表示法的基本原理是用一个复数来表示正弦量的实部和虚部，采用极坐标和/或复平面形式来表示。
在极坐标中，我们可以用极径（r）和极角（θ）来表示正弦量：在极坐标中，极径表示正弦量的大小，而极角表示正弦量的相位。
在复平面上，我们可以采用复数的形式来表示正弦量，即复数z的实部和虚部：在复平面上，复数的实部表示正弦量的大小，而复数的虚部表示正弦量的角度。
正弦量的相量表示法有几个优点。
首先，正弦量的相量表示法可以用数字的形式来精确地表示正弦量的相位。
其次，正弦量的相量表示法可以用复数的形式来精确表示正弦量的大小。
最后，正弦量的相量表示法使得正弦量的数学操作变得简单、高效。
正弦量的相量表示法在很多情况下都有重要的应用价值。
例如，在电机控制中，正弦量的相量表示法可以用来描述电机的运动，以及与其相关的特性，如频率、相位和相应的电压、功率等。
此外，正弦量的相量表示法在电子学的元件分析和模拟中也有广泛的应用价值。
由于正弦量的相量表示法的众多优点，在现今的工程学研究中，它得到了越来越广泛的应用。
正弦量的相量表示法为物理学、数字信号处理、生物科技、通信和声学等领域的研究提供了一种新的模型来建立物理模型和模拟信号运行行为，从而改善现有系统的性能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(cos 30 j sin 30 )
e
j 30
所以：i sin(t 30 ) sin(t 150 )
例3.
=90º 正交 求和
(1)用相量图叠加 Im Im2
2
如： i1 =3sin(ωt +30°) i2 =4sin(ωt +120°) 则： Im= Im12 + Im22 = 5
–Im2 正弦量叠加， 是用相量图叠加？ 还是用相量式叠加？ 酌情.
I m I m1 I m1 (3 cos 30 j 3 sin 30 ) (4cos120 j 4sin120 ) =„„
例3.2.1
已知 u1 8 2 sin(t 60)V，u2 6 2 sin(t 30)V，
求u u1 u2。
【解】 用相量式求 U1 8600 4 j6.9V
U2 6 300 5.2 j3V
U U1 U2 9.2 j3.9V 1023 V
u 10 2 sin(t 23) V
U1
用相量图求 U= 82+62 =10
U
三、相量表示法举例
例1.
i=5 2 sin(ωt+30 °) Im=5 2∠30° I =5∠30°
相量图 30°
5
I
ω
+1
极大值相量式： 有效值相量式：
或标 I（ m 5
2）
例2.
u =12sin(ωt –90°)
相量图 +1
极大值相量式： Um =12∠– 90° 有效值相量式： U =6
2∠ – 90°
330 430 730
结果：i=7sin(ωt+30°)
例2. Δ =180° 反相 如：i1=3sin(ωt + 30°) i2 =4sin(ωt – 150°) 则：i=1sin(ωt – 150°) 求和
(1)用相量图叠加
Im1
30°
两极大值相减， 相位取极大值大的那个.
90°
U 6 2
ω
四.相位差为特殊角的正弦量的叠加 例1. = 2–1=0
同相
求和
(1)用相量图叠加 Im Im1 30° Im2
如： i1 =3sin(ωt+30°) i2 =4sin(ωt+30°)
则：i=7sin(ωt+30°) 两极大值相加，相位相同 (2)用相量式叠加
I m I m1 I m1
正弦交流电的 三要素
交流电完整地变化一次所需要的时间
f=1/T(HZ) 产生交流电的发电机转子旋转的角速度 ω= 2π/T =2πf
7、相位
8、初相位 9、相位差
数学表达式中的电角(ωt + )
t =0时的相位 两个同频率正弦交流电的相位之差 = (ωt + 2)– (ωt + 1) = 2–1
这样，大大简化了正弦交流电路的分析计算过程。
下面，先回顾复数→ →
3.2.1 复 数 复数的表示形式:
1.复数的代数形式 A=a + j b
+j
虚部 b
A
模|A|= a 2 b2 ； 辐角 =arctg(b/a) 实部 a=|A|cos ; 虚部 b=|A|sin 2.复数的三角函数形式 A =|A|(cos +jsin) 3.复数的指数形式 A = A e jψ 4.复数的极坐标形式 A = A
例4. 正弦量相减
如：i1=3sin(ωt + 30°) i2=4sin(ωt + 120°) 求：i= i1–i2=? 解： i= i1 +(–i2)， 对i1和(–i2)求和， 得： Im=
(1)用相量图叠加 Im2
1θ
Im1 Im
32+42
=5
θ=arctan (I2/I1)=53° =–23° = 1 –θ =30° –53° ∴ i1– i2=5sin(ωt – 23°) (2)用相量式叠加
a 实部
+1
复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法
一、正弦量的相量表示法 若，令复数A绕原点， 以ω的角速度、 逆时针方向旋转，
+j b(t)
A
ωt
ω A
+1
则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为： b(t)=|A|sin(ωt +) 形式完全相同 i(t)=Imsin(ωt +) *用旋转复数虚部表达式，可表示正弦量的解析式， *这说明，正弦量可以借用复数来表示， *用来表示正弦量的复数， 叫做相量， 用大写字符上加“· ”来表示。
3.2 正弦量的相量表示法
正弦量的三角函数表示法较为简单， 抓住频率、幅值和初相位三要素即可； 正弦量的波形图表示法较为直观， 能形象地描述各正弦量的变化规律； 但这两种方法都不便于运算。 不仅简明、扼要，而且便于运算。 正弦量的“相量表示法”， 相量表示法，就是用复数表示正弦量， 并且把正弦量的各种运算，也以复数的代数运算的形式进行，
第3章
正弦交流电路
3.1 正弦交流电路及其基本物理量 3.2 正弦量的相量表示法
3.3 单一参数的交流电路 3.4 RLC串联的交流电路 3.5 功率因素的提高
3.6 电路谐振
3.1 正弦交流电及其基本物理量
一、正弦交流电
即按正弦规律变化的电流和电压 下面以电流为例介绍： 1、正弦交流电的波形 3、正弦交流电的方向
(2)用相量式叠加
Im
Im2
150°
I m I m1 I m1 (3 cos 30 j 3 sin 30 ) [4 cos(150 ) j4 sin(150 )]
(3 cos 30 j 3 sin 30 ) (4 cos 30 j 4 sin 30 )
600
θ=arctan(8/6)=53°
=θ-30° =23°
300
θ
U2
∴ u 10 2 sin(t 23) V
小结：正弦量的四种表示法 以u(t)=Umsin(ωt +)为例
u Um
波形图
ψ T
ωt
解析式
u = Umsin ωt+ψ
U ω
瞬时值
相量图 相量式
ψ
+1
U a jb Ue j U
二、正弦量相量表示法的几种形式 以i(t)=Imsin(ωt +)为例 极大值相量式 Im =Im(cos +jsin)
Im = Im e j Im = Im∠
有效值相量式 I =I(cos +jsin)
I =I e j I =I∠
说明
三角函数形式 指数形式
极坐标形式
在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压 和电流的响应将是同频的正弦量。 因此在分析正弦交流电路时，可以不考虑频率，仅用幅值 (或有效值)和初相位两个量来表示正弦量。 所以在相量表达式中仅包含幅值与初相位的信息是可行的。 但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
θ =ar例）=1+θ =83°
i=5sin(ωt+83°)
极大值用勾股定理求， 的正、负要分析 (2)用相量式叠加
I m I m1 I m1 (3 cos 30 j 3 sin 30 ) (4cos120 j 4sin120 ) =„„
注意: 相量只能表示正弦量，但不等于正弦量。
四、复平面中j 的几何意义
=e j 90° j= 0+ 0+1j =cos90° + j sin90°
现有复数 A =|A| e j
相量图
A +1
相量图
A • j =|A| e j · e j 90° 若令： A • j = |A|e j ( + 90°) 则有： 由此知， A j使A逆时针旋转90° Aj
i + 正半周 u
－
R
i +
-
t
负半周
－
i u +
R
2、正弦交流电的表达式
i= Imsin(ωt + )
二、正弦交流电的物理量 (以i(t)为例)
1、瞬时值 i(t) 交流电任何时刻的取值 2、极大值 Im 瞬时值中的最大值
3、有效值 I
4、周期T 5、频率f 6、角频率ω
I= Im/ 2 交流电每秒钟变化的次数
90°
A
+1
同理， A （- j）使A顺时针旋转90° 故： 复平面中，j 是旋转90°的算子符。