离散数学样卷

一、判断题(每题1分，共10分。在括号内划“√”或“×”)（√）1、( q → p ) ∨﹁p是永真公式。

（×）2、若关系R具有自反性，则R一定不具有反自反性。

（×）3、设A、B为任意集合，若A×B = B×A，则A = B。

（√）4、4个顶点3条边的非同构无向简单图共有3个。

（×）5、度数序列相同的图一定是同构的。

（√）6、代数系统< Z6, ⊕6, ⊙6>是一个有限域。

（×）7、设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，则G恰有4个面。（×）8、循环群一定是阿贝尔群。

（×）9、群中只有幺元是幂等元。

（×）10、强连通图一定是欧拉图。

二、选择题(每题2分，共20分。每题有1－2个正确答案)

1、在整数个体域上，下列各式中真值为真的有（BD ）。

A、(∀x) (∃y)( xy=1)

B、(∀x) (∃y)( xy= 0)

C、(∃x) (∀y)( xy=1)

D、(∃x) (∃y)( xy= 2)

2、令F(x)：x是劳动，G(y)：y是机器，H(x, y)：x可以用y代替，则命题“并非一切劳动都能用机器代替”可符号化为（AB）。

A、﹁(∀x)( F(x) → (∃y)( G(y) ∧ H(x, y)))

B、(∃x)( F(x) ∧ (∀y)( G(y) →﹁H(x, y)))

C、﹁(∀x)( F(x) ∧ (∃y)( G(y) → H(x, y)))

D、(∃x)( F(x) → (∃y)( G(y) →﹁H(x, y)))

3、下列公式中与公式p→(q→r)等值的有（AD ）。

A、((p∧q)→r)

B、(p∨q)→r

C、p→(q∧r)

D、q →( p→r)

4、下列语句是命题的有( D )。

A、但愿中国队能取胜

B、这个语句是假的

C、x + y > 10

D、牙好，胃口就好

5、下列度数序列能构成无向简单图的度数序列的有（BC ）。

A、（1，3，4，4，4）

B、（2，2，2，2，2）

C、（1，1，2，2，2）

D、（1，1，2，2，3）

6、下列关系式正确的是( A )。

A、{∅}∈{∅，{∅}}

B、∅∈∅

C、∅∈{∅，{∅}}

D、{∅}∈{∅，{{∅}}}

7、设A = {1, 2, 3}，B = {a, b}，下列关系R为A到B的函数的有( A )。

A、R = {<1, a>,<2, a>,<3, a>}

B、R = {<1, a>,<2, b>}

C、R = {<1, a>,<1, b>,<2, a>,<3, a>}

D、R = {<1, b>,<2, a>,<3, b>,<1, a>}

8、下列四个格，是分配格的有（C）。

C．D．

．（）

A．B．

9、设是环，则下列说法不．正确的是（ D ）。

A、< A，o >是交换群

B、< A，*>是群。

C、*对o是可分配的

D、o对*是可分配的

10、在实数集合R上，下列定义的运算满足结合律的有( B )。

A、a* b= a + 2b

B、a * b = a + b -2ab

C、a * b = a - b +2ab

D、a * b= a - b -2ab

三、填空题(每题2分，共20分)

1、设A ={Φ}，B ={Φ,{Φ}}，则P(A)∩ P(B) =________________________。

2、(∃x)F(x) →(∀x) G(x, y)的前束范式为________________________________。

3、设p：明天天晴；q：我去爬山；那么“除非明天天晴，否则我不去爬山。”

可符号化为____________________________________________________。

4、设|A|=4，则A上共有_________个不同的等价关系。

5、设V = < R, + >，其中+为普通加法，R为实数集。对任意的x∈R，

令ϕ1(x) = x，ϕ2(x) = 2x，ϕ3(x) = x + 2，其中有_______个是V的自同构。6、群V＝< Z6, ⊕6>，其中Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}，⊕6为模6加法，

则V有___4_________个子群。

7、设B ={1, 2, 3}，G=为群，其中⊕为集合的对称差运算，那么方程{1, 2}⊕ X ={1, 3}的解是__{2,3}_________。

8、4个顶点的所有非同构树共有__3____棵。

9、下面3个图中，强连通图有_____3_____个。

10、假设下图为全集E，请用文氏图表示集合表达式：(B - C)⊕ A

四、（8分）求(p ∨ q ) → ( q ∧ r )的主析取范式、主合取范式、成真、成假解释。

五、（8分）使用谓词逻辑推理方法，证明下列推理是正确的。 “任何人如果喜欢音乐就不喜欢体育。每个人或者喜欢体育或者喜欢美术。有的人不喜欢美术，因而有的人不喜欢音乐。”（个体域为人的集合）

六、（7分）设集合A = {a , b , c , d }，A 上的关系R = {, , , }，

（1）判断关系R 具有哪些性质；

（2）求R 的传递闭包t (R )；

（3）若A 上的关系S = {, , ,,, }，求R o S 。

七、（7分）设集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A 上偏序关系R ={<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>,

<4, 1>, <4, 2>, <4, 3>, <4, 5>, <4, 6>,<5, 2>, <5, 3>, <5, 6>, <6, 3>}∪I A ， 其中I A 是A 上的恒等关系。

（1）画出偏序集的哈斯图；

（2）令B={1, 2, 4, 5}，求B 的最大，最小元，上界，下界。

（3）判断偏序集是否构成格，说明理由。

八、（6分）设G ＝{ f a,b (x ) = ax + b |a ≠ 0, a , b ∈R }，其中R 是实数，在G 上定

义函数的复合运算o ，证明是群。

九、（7分）右图是具有结点V 1，V 2，V 3，V 4的有向图：

（1）写出该图的邻接矩阵；

（2）求长度为3的通路总数和回路总数；

（3）求该图的可达矩阵；

十、（7分）右上图为无向图，

（1）判断它是否为平面图？若是，请画出它的一个平面嵌入图；否则说明理由。

（2）判断该图是否为欧拉图？是否为哈密尔顿图？说明理由。

B

C