2017年徐汇区高三数学二模答案

参考答案

一、

填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)

1. {}1,4

2. (1,0)

3. []1,3

4. 1

5. 8

6. 7

10

7. |2,3x x k k Z π

π⎧⎫

=±

∈⎨⎬⎩

⎭

8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25

12. 1

二、 选择题：(共20分，每题5分)

13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题 17、

解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分

所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=

,--------4分 设,PC AB

的夹角为α，

则cos PC AB PC AB α⋅==

=⋅ 分

所以，,PC AB

的夹角为， 即异面直线PC 与AB 所成角的大小为arccos

.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，

可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =

，--------8分 又(0,2,0)BC = ，(2,2,2)PC =-

，--------10分

计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=

，--------12分

所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C = ，所以EF ⊥平面PBC .--------14分

18、(1) 因为函数41

()2x x

m f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分

即4141

22

x x x x

m m --⋅+⋅+=， 即441

22x x x x

m m +⋅+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分

(2)241()0,3102x x

f x k +=>+>，且2

2()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，

故原不等式等价于

221

31()

k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分

又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以

110,()2f x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，----------------------------11分 从而

2

21

312

k k ≥+，----------------------------12分 因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

. -------------------------------------------------------------------14分

19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得

1sin sin 2

AP AB AB

ABP APB

==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得

s i n s i n 1

C P B C B C

C B P C P B ==∠∠，-----------4分

又

3

1

BC AB =，s i n s i n A B P C B P ∠=∠，--------------------------------------------6分 故

2

3

AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0

120APC ∠=， ------------------------------9分

由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分 在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分

C A P

解得x

=

即无人机到丙船的距离为CP =3x

275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=

知，F 2、A 、B 三点共线，

且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x =1

，从而得A

，(1,B .--------------2分 所以，

2211

12a b

-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得22

12

a b ==. ---------------------------------------------------------------3分

因此，2W 的方程为22

11122

x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P =(x p +1,y p )，1F M

=(x M +1,y M )，

由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M p

x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分

由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有

2

222122(1)2()1

p p p p x y mx m my ⎧+=⎪

⎨⎪+--=⎩

，消去y p ，得

2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分

将

1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m

=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=

，因为1m >,所以143p m

x m

-=<-1，舍去. 所以，1

p x m

=

. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(

1m

)，