初一数学竞赛专讲第⑹讲含例题及答案：图形与面积
初中数学竞赛：图形与面积(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的41。
另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图），即取BC 的中点D ，连接AD ，则S △ABD=S △ADC ，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座含例题练习及答案⑵
2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座（含例题练习及答案）第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑹ (4)
初一数学竞赛讲座第6讲 图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法, 数学竞赛中的面积问题不但具有直观性, 而且变换精巧, 妙趣横生, 对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时, 各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算, 一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外, 以下事实也非常有用, 它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形, 分析图形, 找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形, 在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线, 铺路搭桥, 沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分,如左下图构成4个小三角形, 面积都为原来的三 角形面积的41。
另外, 先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图）, 即取BC 的中点D, 连接AD,则S △ABD =S △ADC , 然后再将这两个小三角形分别2等分, 分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法, 如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2, 那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法, 把图形分成几个简单的容易求出面积的图形, 分别求出面积。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题25 图形面积的计算_答案[精品]
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专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △AGW =S △AGF −S △GWF =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48BC =484CF =12CF =12DE. 设△ABC 底边DE 上的高为ℎ1，△BDE 底边DE 上的高为ℎ2，则h =ℎ1+ℎ2.∴S △ADE +S △BDE =12∙DE ∙ℎ1+12∙DE ∙ℎ2=12∙DE ∙（ℎ1+ℎ2）=12∙DE ∙ℎ=12∙DE ∙12DE =6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5ℎ−12ℎ(5+x )=95ℎ=30，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲, 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例5 1133AEC ABC S S == ，1133BGF ABC S S ==.设=x PEC S，=y PFC S则=3x PBC S，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEPS=，则=4x ADP S.由APDBEPF S S =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS=⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQSS+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBPAEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPDS S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3.()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFSS=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）. 4. 8.5 提示：连HD. 5. 48 12481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKESAE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMDAMCSS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGDCMGS S=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDS SMGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADC BEAS S == S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。
初中数学竞赛图形与面积(含答案)
图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分还有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。
初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法
word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十六讲 面积与面积方法
第十六讲 面积与面积方法趣题引路】 如图16-1（1），五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图16-1（2）所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图16-1（2）中的折线CDE ）还保留着.张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多，请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路的方案（不计分界小路与直路的占地面积）.（1）写出设计方案，并在图16-1（2）中画出相应的图形； （2）说明方案的设计思路.图16-1（2）（1）MNDEB ADFH图16-2MND EBA解析 （1）画法如图16-2，连结EC ，过点D 作DF ∥EC ，交CM 于点F ，连结EF ，EF 即为所求直路的位置.（2）设EF 交CD 于点H ，由上面得到的结论，可知,ECF ECD S S △△ ,HCFEDH S S △△,ABCDE ABCFE S S 五边形五边形 .ABCDEEFMN S S 五边形四边形知识延伸】一、整体与部分例1（第12届“希望杯”试题）如图16-3所示，矩形ABCD 的面积是3002cm ，H 、E 、F 分别是AD 、BC 、CD 上的点，且AD=4HD ，BC=3BE ，F 是CD 的中点，求图中阴影部分的面积.解析 解法一： AD=4HD ，∴ AH=34AD. ∴ 2133112.5.248ABHABCD S AD AB S cm △ 同上，可得2150.6ECFABCDS Scm △四边形∴ 阴影部分的面积=2137.5ABCDABHECFS S S cm △△图16-4图16-3DCFEHBA解法二：如图16-4，连结BD 、ED. ∵ AD=4HD ， ∴211137.5.248DBHABCD S AD AB S cm △∵BC=3BE ， ∴211150.236BEDABCD S BC CD S cm △∵F 是CD 的中点，BC=3BE ， ∴2112150.2236DFEABCD S DC BC S cm △∴阴影部分的面积为2137.5.DBHBED DFES S S cm △△△点评：不规则图形的面积，我们通常利用整体与部分的关系，将它转化成几个规则图形的和或差.例2如图16-5，正方形的边长是a ，分别以四条边为直径画半圆，则图中4个半圆弧所围成的阴影部分的面积是.图16-5解析 阴影部分的面积=2221()4(1)a .222a a点评：四个半圆重叠成阴影部分，形成了一个正方形，所以四个半圆的面积减去正方形的面积等于阴影部分的面积.二、面积与线段比的相互转化例3如图16-6，梯形ABCD 被对角线分成4个小三角形，已知△A0B 的面积为252cm ，△BOC 的面积为352cm ，那么梯形ABCD 的面积是 2cm .解析 ∵ AB ∥DC ， ∴,DAB CAB S S △△（同底等高） ∴,DAB OABCAB OAB S S S S △△△△即235.DAOCBOS S cm △△又∵:::25:35,DAO DCO OAB CBOS S AO OCS S △△△△∴249,DOC S cm △ ∴2144.ABCDOABDAODOCCBDS S S S S cm △△△△故选A.点评：利用同底等高，可以将三角形的面积进行转化同时，利用线段之比，可以将面积联系起来试一试，你能求出题中ABDC的值吗？ 605.847ABD DBCS AB DCS △△ 根据AB AO BODC OC OD、、的值，你能得到什么猜想？ 图16-7（3）CBEDA（2）（1）A BAD BCOOCBDA如果AB//CD ，则有.ABAO BODC OCOD将△AOB 绕着O 点旋转一定的角度，则得到图16-7（2），仍然有AB AO BO DC OCOD ，故得到图16-7（3）中的规律：如果DE//BC ，则有.AD AE DEAB AC BC在AB//CD 的条件下，通过三角形的面积与三角形的底和高的关系，很容易证明.证明略.这一个结论在面积问题、线段比问题中有着广泛的应用.图16-63525OCBDA例4（第14届“希望杯”全国初一数学邀请赛第一试试题）如图16-8，△ABC 的面积为252cm ，AE=ED ，BD=2DC ，则阴影部分的面积为 2cm ，四边CDEF 的面积为 2cm图16-9图16-8解析 解法一：如图16-9，连结DF. 设,.DEBAEFS m S n △△∵AE=ED ， ∴,DEBAEB S S m △△ .DEFAEFS S n △△∵ BD ＝2DC ,∴ S △FDC ＝12S △FBD ＝12（m ＋n ）． 又∵ S △ABC ＝25 cm 2， ∴ （m ＋n ）＋（m ＋n ）＋12（m ＋n ）＝25 cm 2， ∴ m ＋n ＝10 cm 2，即阴影部分的面积为10 cm 2． ∵ S △DEB ＝12S △ADB ＝12×23S △ABC ＝253cm 2, ∴ S △AEF ＝10－253＝53cm 2, 四边形CDEF 的面积＝S △DEF ＋S △FDC ＝n ＋12（m ＋n ）＝203cm 2． 解法二：如图16－10，连结E C ．C图16－10∵ BD ＝2DC , ∴ S △ADB ＝23S △ABC ＝503cm 2, S △EDC ＝1S △BDE ，∵ AE ＝ED ， ∴ S △BDE ＝S △AEB ＝12S △ADB ＝253cm 2, ∴ S △EDC ＝12S △BDE ＝256cm 2． ∵∆∆AEF CEFS S ＝AFFC＝∆∆ABF CBF S S ＝∆∆ABE CBE S S ，∵∆∆AEF CEF S S ＝253252536+＝23． 又∵ S △AEF ＋S △CEF ＝S △ABC －S △ABD －S △EDC ＝25－503－256＝256（cm 2）． ∴ S △AEF ＝53cm 2, S △CEF ＝52cm 2,∴ 阴影部分的面积＝253＋53＝10 cm 2， 四边形CDEF 的面积＝256＋52＝203（cm 2） 解法三：如图16－11，作DP //AC ，交BF 于点P ． PA BCDEF图16－11∵ DP //AC ，AE ＝ED ，BD ＝2DC , ∴DP FC ＝BD BC ＝23DP AF ＝DE AE ＝1 ∴AF FC ＝23， ∴ S △ABF ＝25S △ABC ＝10 cm 2, 又∵ S △BDE ＝S △AEB ＝12S △ADB ＝253cm 2, ∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2, S CDEF ＝S △ABC －S △ABF －S △BDE ＝203cm 2． 解法四：如图16－12，作DP //BF ，交AC 于点P ．F EDCBAP图16－12∵ DP //BF ，AE ＝ED ，BD ＝2DC ， ∴DP BF ＝CD BC ＝13， DP EF ＝AD AE ＝2 ∴ EF BF ＝16， ∴EF BE ＝15， ∴ S △AEF ＝15S △AEB ＝15×253＝53（cm 2）∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2,S CDEF ＝S △ABC －S △ABD －S △AEF ＝203cm 2． 解法五：如图16－13，作EP //BC ，交AC 于点P ． PABCDEF图16－13∵ EP //BC ， ∴EP DC ＝AE AD ＝12． ① 又∵DC BC ＝13， ② ①×②得 EP BC ＝16． ∵ EP //BC ， ∴ EF BF ＝EP BC ＝16， ∴EF BE ＝15， ∴ S △AEF ＝15S △AEB ＝15×253＝53（cm 2）,∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2, S CDEF ＝S △ABC －S △ABD －S △AEF ＝20cm 2．解法六：如图16－14，作EP //AC ，交BC 于点P ．F ED CBAP图16－14∵ EP //AC , ∴PC DC ＝AE AD ＝12， ① 又∵DC BC ＝13② ①×②得 PC BC ＝16． ∵ EP //AC , ∴ EF BF ＝PC BC ＝16， ∴EF BE ＝15， ∴ S △AEF ＝15S △AEB＝15×253＝53（cm 2）, ∴ S △BDE ＋S △AEF ＝10 cm 2, S CDEF ＝S △ABC －S △ABD －S △AEF ＝203cm 2．点评：解法一的特点是：从已知条件出发，由D 点的位置可得到S △ADB ＝23S △ABC ＝503cm 2, S △ADC ＝13S △ABC ＝253cm 2,E 是AD 的中点，可得S △AEB ＝S △DEB ＝12S △ADB ＝253cm 2．适当地添加辅助线，可以充分地利用线段的比．从解法二的解题过程中，发现要求得△AEF 的面积，关键是求得AF FC 或BEEF，可以用如下方法来求． 如图16－15所示，D 是△ABC 的边BC 上的一点，E 是AD 上的一点，则有∆∆DBE ECD S S ＝∆∆ABD ACD S S ＝∆∆ABE ACE S S ＝BDDCECBA解法三是通过作平行线，将两个已知线段比联系起来解题，想一想，你能求出BEEF吗？ 例5（第11届“希望杯”试题）如图16－16所示，矩形ABCD 的面积是36，在AB 、AD 边上分别取点E 、F ，使得AE ＝3EB ，DF ＝2AF ，DE 与CF 交于O 点，求△FOD 的面积． 解析 解法一：如图16－16所示，过点F 作FG //AB ，交DE 于G ． OGFED CB A图16－16∵ FG //AB ，DF ＝2AF ，∴ FG AE ＝FD AD ＝23① ∵ AE ＝3EB ， ∴AE AB ＝34② ①×②得 FG AB ＝12． 又∵ AB ＝CD ，∴ FG CD ＝12． ∵ FG //CD ， ∴ FO OC ＝FG CD ＝12， ∴FO FC ＝13， ∴ S △FOD ＝13S △FDC ＝13×12×23AD ×CD ＝19S △BCD ＝4解法二：如图16－17所示，过点E 作EG //AD ，交CD 于G ，交FC 于H ．HAB C D EFGO图16－17∵ EG //AD ，AE ＝3EB ，∴HG DF ＝CG CD ＝14， ∴ DF ＝4HG ． ∴ DF ＝2AF , ∴ AD ＝32DF ＝6HG ，∴OD OE ＝FD EH ＝45． 连结EF ∴ S △FOD ＝49S △EFD ＝49×12×23AD ×34AB ＝19S △BCD ＝4． 解法三：如图16－18所示，延长DE 交CB 的延长线于点G ． OGFED CB A图16－18∵ CB //AD ，AE ＝3EB ，∴ GB AD ＝BE AE ＝13， ∴ AD ＝3GB ，CG ＝4GB ， ∵ DF ＝2AF , ∴ DF ＝23AD ＝2GB , ∴FO OC ＝DF CG ＝12， ∴ S △FOD ＝13S △FDC ＝13×12×23AD ×CD ＝19S △BCD ＝4．解法四：如图16－19所示，延长CF 交BA 的延长线于点G ．A B CD EFGO图16－19∵ AB //CD ,DF ＝2AF ,∴ AG CD ＝AF FD ＝12， ∴ CD ＝2AG ． ∵ AE ＝3EB , ∴ AE ＝34AB ＝34CD ＝32AG , ∴ EG ＝AE ＋AG ＝52AG , ∴OD OE ＝CD EG ＝45．∴ S △FOD ＝49S △EFD ＝49×12×23AD ×34AB ＝19S △BCD ＝4． 解法五：如图16－20所示，过点O 作OG //AB 交AD 于点G ． OGFED CB A图16－20∵ OG //CD //AB , ∴FG FD ＝OGCD, ① DG AD ＝OG AE , ② ①÷②得FG FD ×AD DG ＝AECD, ∴ FG DG ＝AE CD ×FD AD ＝34×23＝12, ∴FO OC ＝12∴S △FOD ＝13S △FCD ＝13×12×23AD ×CD＝19S △BCD ＝4． 点评：本题根据条件容易求出S △ADE 和S △CDF 的面积，而要求S △FOD 的面积，关键是求得O 点分线段DE 或线段FC 的比．好题妙解】佳题新题品味 例 如图16－21，在⊙O 中，ADB ＝90°，弦AB ＝a ，以B 为圆心，BA 为半径画圆弧交⊙O 于另一点C ，求由两条圆弧所围成的月亮形（图中阴影部分）的面积S ．图16－21解析 AC 是⊙O 的直径，连结BC ，则△ABC 是等腰直角三角形，所以OA ＝12AC a ．所以，以B 为圆心的扇形ABC 的面积S 1＝π⋅AB 2＝πa 2,⊙O 的上半部分面积S 2＝12π⋅OA 2＝4πa 2． 于是，S 2＝S 1．两边同减去公共部（不含阴影的弓形AC ）的面积，得S ＝S △ABC ＝12a 2． 点评：将不规则图形的面积用几个规则图形的面积的和、差表示出来．中考真题欣赏例 （北京海定区中考题）如图1，在方格纸中有四个图形①、②、③、④，其中面积相等的图形是（ ）① ② ③ ④ A ．①和② B ．②和③ C ．②和④ D ．①和④解析 通过等积变形发现①相当于6个小正方形的面积，②相当于6个小正方形的面积，③相当于8个小正方形的面积，④相当于7个小正方形的面积．巧妙地对图形进行分割或等积变换是解决问题的重要方法． 故选A ．竞赛样题展示例（2000年新加坡数学竞赛题）如图，AD 、BE 、CF 交于△ABC 内一点P ，并将△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，求△ABC 的面积．30407084PF E DCBA解析】设未知的两个小三角形的面积为x 和y ， 则40843070BD x DC y +==+即844703x y +=+① 又70844030AE x EC y +==+即847070x y+=② ①÷②，得70470370yy =•+，解得y =35． 再由②得x =56． 因此，S △ABC =315．点评 引入方程的思想，通过面积比与线段比之间的转化实现目标．过关检测】A 级1．如图，已知△ABC 的面积为1，且12BD CE AF DC EF FD ===．求△DEF 的面积． F ECBA2．已知□ABCD 中，E 是AB 的中点，AB =10，AC =9，DE =12，求□ABCD 的面积S ．3．如图，E 、F 是正方形ABCD 的两边AB 、BC 的中点，AF 、CE 交于G 点．若正方形的面积等于1．求四边形AGCD 的面积．GFEDCBA4．如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5、8、10，求四边形AEFD 的面积．1085F E D CBA5．三角形三条高的长度分别为3、4、5.当三边长都取最小整数时，求最短边的长度．6．如图，在直角梯形ABCD 中，底边AB =13，CD =8，AD ⊥AB ，且AD =12．求A 到BC 边的距离．DCBAB 级1．如图，长方形ABCD 的面积是150cm 2，E 是AB 的四等分点，F 是BC 的三等分点，G 是CD 的中点，则△EGF 的面积为 ．2．如图所示，长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则△DPN 的面积为 ．N3．如图所示，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6cm 2，则长方形ABCD 的面积是 cm 2．ABDEFC4．如图所示，两个半径为1的14圆的扇形叠放在一起，其中POQO'是正方形，则阴影部分的面积是 ．5．如图所示，△ABC 的面积为1，△BDE 、△DEC 、△ACE 的面积相等，则△ADE 的面积是 ．EA6．（2003年全国初中数学联合竞赛试题）如图所示，△ABC 的面积为1，D 是AB 边上一点，且13AD AB ，在AC 边上取一点E ，使得四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15EDC BA。
【数学竞赛】七年级数学思维探究(26)图形面积的计算(含答案)
海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师，在数学史上，他以出色解决几何测量问题而闻名．他提出了不少计算图形面积和体积的精确或近似公式，其中包括著名的已知三角形三边，求三角形面积的“海伦公式”．26．图形面积的计算 解读课标面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：1．常见图形面积计算公式；2．等底等高的两个三角形面积相等；3．等高（或等底）两个三角形面积的比等于对应底（或高）的比．面积的计算主要是求一些非常规图形的面积．非常规图形面积的计算往往可转化为常规图形面积的计算，在转化的过程中常用到恰当连线、图形割补、等积变形、代数化等知识方法． 熟悉以下基本图形．S 2S 1S 1S2S 1S 2S 3S 4S 1S 2S 4S 3问题解决例1 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，AOB △和BOC △的面积分别为225cm 和，梯形的面积是__________2cm ．ODC BA隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积需求出DOC △的，过线段的比把三角形面积联系起来．例2 如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么AEG △的面积的值（ ）．A ．只与m 的大小有关B ．只与n 的大小有关C ．与m 、n 的大小都有关D ．与m 、n 的大小都无关GF ED CBA试一试 略例3 如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点O ，已知OB OD =，2OC OE =．设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形COD 和四边形AEOD 的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ． （1）求13:S S 的值；（2）如果22S =，求4S 的值．E OD CBA试一试 恰当连线（如连OA ），把线段比转化为对应的三角形面积比．对于（2），设AOE S x =△，利用三角形面积之间的关系建立方程．例4 如图，ABC △的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点．求：（1）四边形PECF 的面积； （2）四边形PFGN 的面积．P Q M NGF E D CBA试一试 （1）连CP ，设PCF S x =△，PCE S y =△，可建立关于x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；（2）连NC ，仿（1），先求出BNC △的面积，再得出BNG △面积，进而可求四边形PFGN 的面积．例5 如图①，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点．求图中阴影部分的面积．解法1 如图①，14AMD AMC S S ==△△，AMG S △为公共部分，所以AGD MCG S S =△△，因为AMG △与AMD△的高相等（以A 为顶点作高），MCG △与MCD △的高相等（以C 为顶点作高），所以AMG MCG AMD MCD S S MG S S MD==△△△△，即141142MCG MCG S S -=△△， 解得16MCG S =△，11263S =⨯=阴影．图①图②图③解法2 如图②，连接GB ，由正方形的对称性得ABG AGD S S =△△， 又1122AMG ABG AGD S S S ==△△△，所以2211=22212343AGD AMD S S S =⨯=⨯⨯=+阴影△△． 解法3 如图③，连接BD 、BG ，设BD 、AC 交于点O ，AMG S x =△，因为14AMD AOD ABCD S S S ==△△，所以GOD AOD AGD AMD AGD AMG S S S S S S x =-=-==△△△△△△． 又BOG GOD S S x ==△△，BMG AMG S S x ==△△， 因为AOB AGM GOB BMG S S S S =++△△△△， 即14x x x =++，所以112x =． 所以()123AGD MCG AMD AMG S S S S S =+=-=阴影△△△△．皮克公式例6 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x ．④③②①（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如S x S =．2个格点．此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S =___________．（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？ 试一试 本例是按多边形内部的点来分情况探究的．对于（3），可以研究当多边形内部的点数为3、4、5等的情况，从特殊到一般作出猜想． 数学冲浪 知识技能广场1．如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果2175cm S =，2215cm S =，那么大正方形的面积S =_____________2cm ．S 4S 3S 2S 12．图中最大正方形的边长是10cm ，那么，阴影部分的总面积是__________2cm ．3．如图，将边长为4cm 的等边ABC △沿边BC 向右平移2cm 得DEF △，DE 与AC 交于点G ，则:ABC ABFD S S =四边形△_____________．GF EDCBA4．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①摆放时，阴影部分的面积为1S ；若按图②摆放时，阴影部分的面积为2S ，则1S ____________2S （填“>”、“<”或“=”）．图①图②5．如图，在直角扇形ABC 中，分别以AB 、AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成1S 、2S 、3S 、4S 四部分，则2S 与4S 的大小关系是（ ）． A ．24S S < B ．24S S = C ．24S S > D ．无法确定的S 4S 3S 2S1D CB A6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数为（ ）．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．如图，在长方形ABCD 中，11223AE BG BF AD AB =====，E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（ ）．A ．8B ．12C ．16D ．208．如图，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形COD的面积是1，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是（ ）． A ．16 B ．15 C ．14 D ．13ODCB A9．如图，正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求DEK △的面积．10．如图，ABC △的边30cm AB =，25cm AC =，点D 、F 在AC 上，点E 、G 在AB 上，::::1:2:3:4:5ADE DEF EFG FGC GBC S S S S S =△△△△△，求AD 和GE 的长．GF ED CBA思维方法天地 11．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是__________．12．如图，三角形ABC 的面积为1，:2:1BD DC =，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为______________．PE DCBA13．如图，长方形ABCD 中，60cm AD =，45cm AB =，Q 为CD 的中点，在BC 上取一点P ，使APQ △的面积等于2900cm ，则BP =_______________．ABCD PQ14．如图，若P 为平行四边形ABCD 内的一点，且5PAB S =△，2PAD S =△，则PAC S =△______________．PHDCBA15．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，1214BCE CDF ABCD S S S ==⋅=平行四边形△△，则CEF S =△___________．F EDC BA16．如图，大圆中有4个面积相等的小圆，已知小圆半径为5cm ，大圆半径等于小圆直径，则空白部分的面积是__________2cm （π取3）．17．如图，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 的中点，O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于D ，连接CO 并延长交AB 于F ．求四边形BDOF 的面积．O F EDCBA18．如图，ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===，求GHI ABC 的面积的面积△△的值．G IHF E DCBA应用探究乐园19．在如图①至图③中，ABC △的面积为a ． 探索（1）如图①，延长ABC △的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若ACD △的面积为1S ，则1S =__________（用含a 的代数式表示）；（2）如图②，延长ABC △的边BC 到点D ，延长CA 到点E ，使C D B C =，AE CA =，连接DE ．若DEC△的面积为2S ，则2S =_________（用含a 的代数式表示），并写出理由；图①图②图③图④（3）在图②的基础上延长AB 到点F ，使B F A B =，连接FD 、FE ，得到DEF △（如图③）．若阴影部分的面积为3S ，则3S =________（用含a 的代数式表示）． 发现像上面那样，将ABC △各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF △（如图③），此时，我们称ABC △向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的DEF △的面积是原来ABC △面积的______倍．应用去年在面积为210m 的ABC △空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把ABC △向外进行两次扩展，第一次由ABC △扩展成DEF △，第二次由DEF △扩展成MGH △（如图④）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少2m ？20．如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，求正方形盒子的面积．红绿黄26．图形面积的计算 问题解决例1 144 ()235c m A O DB OC S S ==△△，AOD DOCABO BOCS S DO S BO S ==△△△△，得()249cm DOC S =△． 例2 B 连AC ，AC GE ∥，212AGE GCE S S n ==△△．例3 （1）23S S =，212S S =，得13:1:2S S =． （2）由22S =，得11S =，32S =，连接OA ， 设AOE S x =△，则1AOD AOB S S x ==+△△， 因2AOC AOE S S =△△．故122x x ++=，解得3x =，14x +=，所以4347S =+=．例4 （1）133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①+②，得16x y +=，即16PECF S =四边形．（2）连NC ，ND ，设NGB S a =△，NCE S b =△， 则2NOG S a =△，2NEA S b =△，则1332233a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121421a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1115321642BEC BNG PFGN PECF S S S S =--=--=四边形四边形△△．例6 （1）12S x =；（2）112S x =+；（3）112S x n =+-．数学冲浪1．108 2．25 3．2:1 ABC ADFC S S =四边形△ 4．= 5．B 6．D 7．B 8．B 9．16DEK BEFG S S ==正方形△10．设cm AD x =，则2cm DF x =，3cm AF x =， 由():123:43:2AFG FGC S S =++=△△，得2cm FC x =， 3225AC x x =+=，故5x =，即5cm AD =，同理AE EG =，2AG BG =，20cm AG =，10cm EG =．11．8.5 连HD 12．73013．40cm 设cm BP x =，则()60cm PC x =-，由()1451145604560456090022222APQ S x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯=△，得40x =．14．3 设PAH S m =△，PCH S n =△，则1252BHC BHC ABCD S n m S S ++=-+=平行四边形△△．15．74 连AC ，DE ，则1B C ES =△，12CDF S =△，4ABCD S =平行四边形，2AB EB =，E 为AB 中点，4AD FD =，34AF AD =，3344AEF ADE S S ==△△，13741244CEF CDF AEF BCE ABCD S S S S S =---=---=平行四边形△△△△．16．150 如图，因为1与2、3与4、5与6、7与8、9与10、11与12部分的面积相等，所以空白部分的面积为半个大圆的面积，即20.5π1050π150⨯⨯==（平方厘米）．17．16 设BOF S x =△，BOD S y =△，则14AOE COE AOB COB S S S S ====△△△△， 14AOF S x =-△，34ACF S x =-△，14BCF S x =+△．由AOF ACF BOF BCF S S AF S BF S ==△△△△，得134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-，解得112x =．同理有14COD S y =-△，34ACD S y =-△，14ABD S y =+△，由BOD ABD COD ACD S BD S S CD S ==△△△△，得112y =． 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形．18．17连BG ，设ABC S S =△，DCG S x =△，BGF S y =△，则1332233x y S x y S ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，同理可得121EAH FBI S S S ==△△，又13ADC BEA S S S ==△△，得12532121GCEH HAFI S S S S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭四边形四边形，这样21011321217GHI S S S ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭△，即17GHI ABC S S =△△． 19．探索：（1）a ；（2）2a ；理由：连接AD ，CD BC = ，AE CA =，DAC DAE ABC S S S a ∴===△△△，22S a ∴=； （3）6a ； 发现：7应用：拓展区域的面积：()()227110480m -⨯=．20．51.2 移动黄块到左边缘，在移动的过程中，黄块露出的部分减少多少，绿块露出的部分就增加多少，即“黄+绿”141024=+=不变．当黄块移动到靠左边缘时，由于红块是正方形，大盒也是正方形，可得这时“黄”=“绿”24212=÷=，易知此时“左上”⨯“右下”=“右上”⨯“左下”，可得“右上”1212207.2=⨯÷=，所以“大盒”的面积2012127.251.2=+++=．绿红黄。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑼
初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。
我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。
运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。
即：这里，建立数学模型是关键的一步。
也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。
下面介绍一些典型的数学模型。
一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。
若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。
这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。
例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。
为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有x＋2y＝1.2×20＝24。
长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。
于是有x=12， y＝6。
例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。
总共可以获利:（50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。
七年级数学竞赛题：图形面积的计算
七年级数学竞赛题：图形面积的计算计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1．常见图形面积的计算 ．由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解． 2．非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常见图形面积的和或差来表示．计算图形的面积还常常用到以下知识： 1．等底等高的两个三角形面积相等；2．等底的两个三角形面积的比等于对应高的比； 3．等高的两个三角形面积的比等于对应底的比． 熟悉如下基本图形、基本结论：例1 2002年8月，将在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条直角边的立方和等于 ．(2002年北京市竞赛题) 解题思路 从向外补形人手．例2 如图，ABC S ∆=1，若BDE S ∆=DEC S ∆=ACE S ∆，则ADE S ∆=（ ）(“五羊杯”竞赛题)(A)51 (B)61 (C) 71(D) 81解题思路 因条件未给出具体线段的长，故不宜用公式直接求出ADE S ∆，考虑由BDE S ∆=DEC S ∆能推出什么．例3如图，平行四边形ABCD 的面积为30 cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9 cm 2，AD=5cm ，求DE 长． (北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其他线段表示．例4如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形．已知BE=80 cm ，CE=60 cm ，DE=40 cm ，AE=30 cm ，问： 丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍?(“华罗康金杯”赛决赛试题)解题思路 甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口．例5如图，△ ABC 的面积为l ，D 、E 为 BC 的三等分点，F 、G 为CA 的三等分点，求四 边形PECF 的面积．解题思路 连CP ，设PFC S ∆=x ，PEC S ∆=y ，建立x ，y 的二元一次方程组．A1．如图，正方形的边长为a ，小圆的直径是b ，S 表示正方形面积与大圆面积的差，A 是小圆面积，设圆周率为π，则AS= ．(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是 平方厘米．(第十一届“希望杯”邀请赛试题)3．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是 .(安徽省中考题)4．如图，已知AB 、CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△ AOB 的面积是0．625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．(“祖冲之杯”邀请赛试题)(第4题) (第5题) (第6题) 5．如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF=31BC ，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍． (A)2 (B)3 (C)4 (D)56．如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为（ ） (A)ab 一(a+b)c (B)ab 一(a 一b)c (C)(a —c)(b 一c) (D)(a--c)( b+c)7．如图，线段AB=CD=10cm ， 和 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心，DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． (“五羊杯”竞赛题)(A)25π (B)100 (C)50π (D)2008．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为( )． (A)29 (B)27 (C)310 (D)815(第7题) (第8题) (第9题)9．如图，长方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 边上的任意点，△ABG、△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积．(五城市联赛题)10．如图，一个长方形恰被分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米，求这个长方形的面积.B ．1．如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为 .(第十七届江苏省竞赛题) 2．如图，△AB C 中，点P 在边AB 上，AP=31AB ，Q 点在边BC 上，BQ=4BC ，R 在边CA上，CR=51CA ，已知阴影△PQR 的面积是19平方厘米，那么△ABC 的面积是 平方厘米．(第1题) (第2题) (第3题)3．如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是 cm 2．(北京市“迎春杯”邀请赛试题)4．如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为 ．(第4题) (第5题)5．如图，若长方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是 ．(“五羊杯”竞赛题) 6.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次 “生长”，在得到多边形上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数= ，面积是原三角形面积的 倍．(“五羊杯”竞赛题)7．在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为2S ，则21S S 的整数部分是( )． (全国初中数学联赛试题)(A)0 (B)1 (C)2 (D)38．如图，△ ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD=2DC ，GEC S ∆=3，GDC S ∆=4，则△ABC 的面积是( )． (A)25 (B)30 (C)35 (D)40 BA E F B(第8题) (第9题) (第10题) 9．如图，已知长方形的面积是36平方厘米，在边AB 、AD 上分别取点E 、F ，使得AE=3EB ，DF=2AF ，DE 与CF 的交点为O ，计算△FOD 的面积是多少平方厘米?(第十一届“希望杯”邀请赛试题)10．如图，四边形ABCD 面积为S ，E ，F 为AB 的三等分点，M 、N 为DC 的三等分点，求证：EFNM S =3S .。
超级资源：七年级数学竞赛讲义附练习及答案(12套)
七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套）初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0；2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
初中数学竞赛讲座《面积问题》
【面积问题的解题方法望而生畏， 不知从何下手，通过观察，显然该三角形 不是一个特殊的三角形，不宜直接求解。 由根号内的代数式是两数的平方和，联想 到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为 2a，2b的矩形，再由面积的割补来求解。
【面积问题的解题方法 】
七、有关比例定理的运用 例7．已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且 △ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求 △ABO的面积．
九年级竞赛辅导
面积问题
【赛点解读】
面积题在竞赛中经常出现，主要形式之 一是求阴影部分的面积，也有一些题表面 上不是求面积，实际上通常是用面积关系 来求解．常用到以下公式、公理和定理．
【面积问题的解题方法 】
一、用规则图形的和、差求面积
【面积问题的解题方法 】
二、割补法求面积
【面积问题的解题方法 】
三、等积变形法
【面积问题的解题方法 】
四、格点多边形法
【面积问题的解题方法 】
五、用方程（组）思想求面积：根据图形的对称性，将图形分成几类，
用字母表示这些图形的面积，然后根据图形列出方程组，通过解方程组来求 所求图形的面积。
例5．如图，在边长为a的正方形内，分别以四边为直径画四个 半圆，求这四个半圆所围成的阴影部分的面积。
初一数学立体图形竞赛教程附例题及答案
初一数学立体图形竞赛教程含例题练习及答案初一数学竞赛讲座立体图形空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力,而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。
我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形,如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体,但有关立体图形的概念还需要深化,空间想象能力还需要提高。
将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理,是解决立体图形问题的一种常用思路。
一、立体图形的表面积和体积计算例 1 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水,水面高 2.5cm,玻璃杯内侧的底面积是72cm2,在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后,水面没有淹没铁块,这时水面高多少厘米?解:水的体积为72×2.5180(cm3),放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×632(cm2)的柱体,所以它的高为180÷325(cm)。
例2 下图表示一个正方体,它的棱长为4cm,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体,问:此图的表面积是多少?分析:正方体有6个面,而每个面中间有一个正方形的孔,在计算时要减去小正方形的面积。
各面又挖去一个小正方体,这时要考虑两头小正方体是否接通,这与表面积有关系。
由于大正方体的棱长为4cm,而小正方体的棱长为1cm,所以没有接通。
每个小正方体孔共有5个面,在计算表面积时都要考虑。
解:大正方体每个面的面积为4×4-1×115(cm2),6个面的面积和为15×690(cm2)。
小正方体的每个面的面积为1×11(cm2),5个面的面积和为1×55(cm2),6个小正方体孔的表面积之和为5×630(cm2),因此所求的表面积为90+30120(cm2)。
想一想,当挖去的小正方体的棱长是2cm时,表面积是多少?请同学们把它计算出来。
例 3 正方体的每一条棱长是一个一位数,表面的每个正方形面积是一个两位数,整个表面积是一个三位数。
初中数学竞赛教程及练习之面积法附答案
面积法一、内容提翼.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答儿何题是常用的方法，简称面积法。
.面积公式（略）两个三角形的面积比定理.等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比.有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比.相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比K a A如图△ABC和AADC有公共边AC,氽M内分BD o第三顶点连线BD被公共边AC/l\/\内分或外分于点M,//X.则』空十尸汶4。
‘△ADC MD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，ZDAC=30°求证：ab2=acxbd证明：作高DE,VZDAE=30°.•.de=L ad=L ab S22S菱形abcd=ACXBD./.AB2=ACXBD.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：AABC中，AB=BC=AC,D是形内任一点,DE±BC.DF_LAC,DG±AB,E, F.G是垂足求证：DE+DF+DG是一个定值证明：连结DA,DB.DC,设边长为a,‘△abc=S mbc+S adca+S adabC lah a=-J-a(DE+DF+DG)22.•.DE+DF+DGf...等边三角形的高h,是一个定值，...DE+DF+DG是一个定值本题可推广到任意正n边形，其定值是边心距的n倍f aAD BE CF 1已知：AABC 中，——=——=——=-AB BC CA 3求：萨虬的值'△ABCBE （本题可推广到:1—,---=—，m BC n 竺=顼CA p'△DEh mn P + "1 + 〃 + p - mn - nip - np )S A abc mnP如图RtAABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积X 。
初中七年级数学知识点专题讲解与练习25---图形面积的计算(培优版)
S PECF
=
1 6
.
设 ，因为 分别是 的中点，所以 例 6
S ABCD =a
E,F
AB,BC
S
ADE
=S
ABF
=
a 4
.
a
∴ 如图，连接 ，则 ， 所以 S APD = S四边形BEPF .
EF,DF
a S AEF = 8
S
ADF
=
a 2
.
EP PD
=
8 a
=
1 4
.
2
设 ，则 由 得 ∴ ∴ S AEP = x
△ 的面积 DB EC FA 2
ABC
的值.
A
E H
F I
B
G C
D
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
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专题 25 图形面积的计算_答案
例 1 196 提示：
（ ） ×28× 28+14 - ×28×28= ×28×14=28×7=196.
例2
D 提示：设△ABC 底边上的高为 h，则 ×BC×h=24 故 h= =
连接 EG 并延长交 AC 于 K，则△AKE 的面积是( ).
A.48cm2
B.49cm2
C.50cm2
D．51cm2
D
C
KG F
A
B
E
（2013 年“希望杯”邀请赛试题）
8.在一个由 8×8 个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆，若
把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S1，把圆周经过的所有小方格的圆
). D．40
A
F E
G
B
C
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3．在右图的4×7的方格纸板上画有如阴 影所示的“6”字，阴影边缘是线段或圆孤。
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问：阴影面积占纸板面积的几分之几？ 4．在右下图中，六边形ABCDEF的面积是
54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的 面积。
解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半
圆周所围成，所以其周长为
说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的 周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+…+dn=D， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。 例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符 号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则 哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？
例12 已知右图中正方形的面积是12cm2，求图中里外两个 圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。先考虑内圆面积。内圆 的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。根据 已知正方形的面积是12cm2，可以推出内圆直径的平方为12cm2， 再求内圆面积就不难了。 外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线 分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积=2R×R÷2×2=2R2，2R2=12， 便可求出外圆面积。 解：设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得 （2r）2=12，r2=3。
题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。
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例3 如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块， △DEF的面积是4cm2，△CED的面积是6cm2。 问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
解：如下图，连结BF。则△BDF与△CFD面积相等， 减去共同的部分△DEF，可得△BEF与△CED面积相等， 等于6cm2。
内圆面积为πr2=3.14×3=9.42（cm2）。
2 (1 2R R) 2R2 12
正方形面积=2个等腰直角三角形面积=
2
，
得R2=6，外圆面积为πR2=3.14×6=18.84（cm2）。
练习6 1．如右图所示，正方形的面积是50cm2，三角形ABC两条直
角边中，长边是短边的2.5倍，求三角形ABC的面积。 2．如右下图所示，长方形ABCD中，AB=24cm，BC=36cm，E
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初一数学竞赛讲座
第6讲 图形与面积
一、直线图形的面积 在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题 不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：
1．两个可以完全重合的图形的面积相等； 2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如： 正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。 1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3．平行四边形的对角线平分它的面积； 4．等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有： 1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形； 2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变 形）； 3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系； 4．把图形进行割补（叫做割补法）。 例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？ 解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分， 如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三
1 角形面积的 4 。
另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右 上图），即取BC的中点D，连接AD， 则S△ABD=S△ADC，然后再将这两个小三角 形分别2等分，分得的4个小三角形各
1 自的面积为原来大三角形面积的 4 。还 有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形 ABCDEF的面积是多少平方厘米？
形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把
两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如右图所示），
这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯 形。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当拼接 成一个易于直接计算的图形。也就是说，可以化零为整。上述解法运用翻折（或旋 转）的方法达到了化零为整的目的。
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2．圆与组合图形 在日常生活中，除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及 曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的 面积问题。组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平 移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。
分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空 白处的面积，就是六边形的面积。 解法1：把六边形分成6块：
1
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△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积，如用S △ABC表示△ABC的面积。
说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。 如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出
例10 如左下图所示，平行四边形的 长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm， 求图中阴影部分的面积。
分析：本题的图形比较复杂，我们可 以先计算阴影部分的一半（见右上图）。 我们的目标是把图形分解成若干基本图形 的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。仔细观察 后得出结论： 右上图中的阴影部分等于
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nr （2）中心角为n°的弧的长度=n×π×（半径）÷180，即1= 180
（3）圆的面积=π×（半径）2，即S=πr2；
nr=n×π×（半径）2÷360，即 360 2
例7 右图是三个半圆（单位：cm），其阴影部分
的周长是多少？
1
22 1 (cm2 )
故六边形ABCDEF的面积等于6+2+1+ 2 +4+9= 2
说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计
算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。
解法2：先求出大正方形MNRQ的面积为6×6=36（cm2）。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面 积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算 的部分减去。 解法3：六边形面积等于
解法2：如右上图，将正六边形分成6个面积为1cm2的正三角形，再取它们各边的
1 中点将每个正三角形分为4个面积为 4 的小正三角形。于是正六边形ABCDEF被分成了24
1
1
个面积为 4 的小正三角形。因为△MNP由9个面积为 4 的小正三角形所组成，所以S
1 △MNP= 4 ×9=2.25（cm2） 二、圆与组合图形 以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论涉及圆的 面积计算。 1．圆的周长与面积 计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运 用公式计算。主要公式有： （1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即C=πd=2πr；
分析：在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问 题。现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解 该题的关键点和突破口。 解：因为S句号=S大圆-S小圆=πR2-πr2=π（2r）2-πr2=3πr2
说明：留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把“ 非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思考， 考察转化的可能性和转化的途径。像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基 本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。
例9 下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB， BC，CD，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的阴影 部分的面积。
解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这 四个半圆的直径围成一个正方形。显然，这四个半圆的面积 之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。因 此，我们就得到以下的算式：
四边形ABEF的面积等于 S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。
问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和， 哪个大？
分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小。因 为△ACE与△BDF的高相等（都是CD），所以只需比 较两个三角形的底AE与BF的大小。
例6 正六边形ABCDEF的面积是6cm2，M，N，P分别是所 在边的中点（如上图）。 问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
解法1：如左下图，将正六边形分成6个面积为正 1cm2的正三角形，将另外三个面积为1cm2的正三角形分 别拼在边BC，DE，AF外面，得到一个大的正三角形XYZ，其面积是9cm2。 这时，M，N，P分别是边ZX，YZ，Xy的中点，推知