两角和与差的正弦

cosα＝45，sinβ＝－153.
∴cos(α＋β)＝45×1132－35×－153＝6653. 若 α 在第二象限，β 在第一象限，则
cosα＝－45，sinβ＝
5 13.
∴cos(α＋β)＝－45×1123－35×153＝－6635. 若 α 在第二象限，β 在第四象限，则
cosα＝－45，sinβ＝－153.
∴cos(α＋β)＝－45·1123－35·－153＝－6353.
规律技巧：已知两个角的三角函数值求这两个 角的和、差的三角函数值的一般步骤为：先由 同角三角函数公式求出两角和与差公式中所需 要的其他三角函数值，再正用两角和与差公式 求出结果．若已知角未给定范围，则需分情况 讨论．
变式训练
3：(1)α
(3)解法1：原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα. 解 法 2 ： 原 式 ＝ (sinαcosβ － cosαsinβ)cosβ ＋
(cosαcosβ＋sinαsinβ)sinβ ＝ sinαcos2β － cosαsinβcosβ ＋ cosαcosβsinβ ＋
sinαsin2β
＝－cos90°＝0.
(3)解法 1：原式＝sin30°cos15°＋cos30°sin15°
＝sin(30°＋15°)
＝sin45°＝
2 2.
解法 2：原式＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°
＝cos(60°－15°)
＝cos45°＝
2 2.
类型二 已知三角函数值求其它三角函数值 例 3：已知 sinα＝35，cosβ＝1132，求 cos(α＋β)的值． 分析：由 sinα＝35，cosβ＝1132，求出 cosα 和 sinβ，但不知 α，β 的范围，故需分类求解．
为第三象限角，sinα＝－35，求
37π
sin
6
－α的值．(2)
已知 cosα＝－35，π<α<32π，求 cosπ6－α的值． 解：(1)∵sinα＝－35，且 α 为第三象限角，
∴cosα＝－45.
∴sin367π－α＝sinπ6－α＝12×－45－ 23×
－53＝3
3－4 10 .
(2)∵cosα＝－35，π<α<32π，
sin( ) sin cos cos sin
1、两角和的正弦公式，简记为 S( )
sin( ) sin cos cos sin
2、两角差的正弦公式，简记为 S( )
sin( ) sin cos cos sin
探索新知
两角和(差)的余弦公式:
比较两组公式的特点
cos(α β) = cosαcosβ sinαsinβ cos(α β) = cosαcosβ sinαsinβ
＝
6－ 4
2 .
例2：计算：
(1)sin13°cos17°＋cos13°sin17°；
(2)sin(36° ＋ α)cos(54° － α) － cos(144° － α)sin(126°＋α)；
(3)sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ.
分析：本题主要考查两角和与差的正、余弦公 式，重点考查逆用公式的能力和运算技巧．
sin(α－β)＝－ 1100，求 cosβ.
• 规律技巧：角的变换是使用两角和与差的余弦 公式求值中常见的方法，要掌握一些角的变换 技巧，如α＝(α＋β)－β，α＋2β＝(α＋β)＋β， 2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
练习
3：cos87°·cos432°－sin93°·cos198°的化简
结果是( )
解:(2)由公式 C( ) ,得 原式 cos(20 70) cos90 0
例5求下列各式的值： （1）cos75°； （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
例3 求证：sin(2 ) 2 cos(
sin
) sin .
sin
2：不查表，求下列各式的值． (1)cos80°cos20°＋sin80°sin20°；
复习回顾
1、 两角和的余弦公式 C( )
cos( ) cos cos sin sin
2、 两角差的余弦公式 C( )
cos( ) cos cos sin sin
有了两角和与两角差的余弦公式，自
然想得到两角和的正弦、正切公式， 以及两角差的正弦、余弦、正切公式， 对此，我们将逐个进行探究.
A．－cos21°
B．cos75°
6－ 2 C. 4
6＋ 2 D. 4
例 4：已知 cosα－2cosβ＝－32，sinα－2sinβ ＝13，求 cos(α－β)的值．
• 规律技巧：两式平方相加的方法，是解决具有 本题特征的题目的有效途径．
练习 4：已知 sinα＋sinβ＝130，cosα＋cosβ ＝ 1901，求 cos(α－β)．
＝sinα(cos2β＋sin2β) ＝sinα.
误区警示：本例的解答充分体现了两角和与差 公式使用的灵活性以及三角恒等变形方法的多 样性．(1)的解法、(2)的解法1、(3)的解法1从 整体上考虑，灵活地逆用两角和与差的正弦公 式，解法非常简单、快捷；而(3)的解法2从局 部的特征入手正用公式，方法就显得非常复杂、 艰难．在进行三角变形时，务必要充分观察， 多从整体上考虑，切忌看到局部某一处可用哪 个公式就匆忙套用公式．
2
2Leabharlann Baidu
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
探索新知
思考 如何利用 、正 弦、余弦表示
sin( )
sin( ) sin[ ( )]
= sina cos(- b ) +cosa sin(- b )
= sina cos b - cosa sin b
2－ 4
6 .
(2)cos165°＝－cos15°＝－cos(60°－45°)
＝－(cos60°cos45°＋sin60°sin45°)
＝－12×
22＋
23×
2
2
＝－
2＋ 4
6 .
(3)sin172π＝sinπ3＋π4 ＝sinπ3cosπ4＋cosπ3sinπ4
＝
23×
22＋12×
2 2
＝
6＋ 4
变式训练 2：不查表，求下列各式的值．
(1)cos80°cos20°＋sin80°sin20°；
(2)sin(36°＋α)sin(54°－α)－cos(36°＋α)cos(54°－α)；
(3)12cos15°＋
3 2 sin15°.
解：(1)原式＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.
(2)原式＝－cos[(36°＋α)＋(54°－α)]
∴sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－352＝－45. ∴cos(π6－α)＝cosπ6cosα＋sinπ6sinα
＝ 23×(－35)＋12×－45
＝－3
3＋4 10 .
(学生用书 P79) 1.(2008·全国Ⅲ)函数 f(x)＝sinx－cosx 的最大值为( )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
)
0 A.0
0 B.1
1 C.0
1 D.1
解析：由题意知sinα cosα
cosα cosβ
sinα·sinβ
＝scionsααccoossββ＋＋csoinsααssiinnββ
＝scionsαα＋－ββ＝scionsππ2＝00.
答案：A
技能提升作业(二十五)
例 3：已知 α、β 为锐角，cosα＝45，
两角和(差)的正弦公式:
sin(α β) = sinαcosβ cosαsinβ
sin(α β) = sinαcosβ cosαsinβ
1. 、 的取值范
围都是任意角.
2.余弦公式是同 名三角函数相乘;
正弦公式是异 名三角函数相乘.
3.余弦公式等号
两边加减相反;
正弦公式等号
两边加减一致.
新知应用 例1 利用和(差)角公式,求下列各式的值：
sin
2
(3) cos
2
sin(
(4))
cos
2
sin(
)
(5)
cos
2
(6)
cos
2
探索新知
问题1 如何利用 、的正 弦、余弦表示
sin( )
利用 sin
x
cos(
x)
2
将正弦转化为余弦
sin( )
cos[
2
(
)]
cos[(
2
)
]
cos( ) cos sin( )sin
解：∵sinα＝35>0，cosβ＝1123>0， ∴α 可能在第一、二象限，β 在第一、四象限． 若 α，β 均在第一象限，则 cosα＝45，sinβ＝153. ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝45×1123－35×153＝6353. 若 α 在第一象限，β 在第四象限，则
2 .
规律技巧：注意公式的结构特征和符号规律， 对公式Cα＋β，Cα－β可记为“同名相乘，符号相 反”；对于公式Sα＋β，Sα－β可记为“异名相乘， 符号相同”．
变式训练 1：不查表，求下列各式的值： (1)sin75°；(2)sin(－15°)；(3)cos51π2.
解：(1)sin75°＝sin(45°＋30°) ＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
解析：f(x)＝
2
22sinx－
2 2 cosx
＝ 2sinx－π4≤ 2.
答案：B
2．(2008·山东高考)已知 cosα－π6＋sinα＝45 3，则
sinα＋76π的值是(
)
A．－2 5 3
23 B. 5
C．－45
4 D.5
解析：由已知得，
23cosα＋12sinα＋sinα＝
23cosα＋
3 2sinα
＝ 312cosα＋ 23sinα＝ 3sinα＋π6 ＝45 3，
∴sin(α＋π6)＝45，而 sin(α＋76π)＝sin(π＋α＋π6)
＝－sin(α＋π6)＝－45.
答案：C
3．(2011·山东一模)定义运算ac db·ef ＝acee＋＋dbff，如10 23·45＝
1145，已知 α＋β＝π，α－β＝π2，则scionsαα csoinsαα·csionsββ＝(
(2)sin(36°＋α)sin(54°－α)－
cos(36°＋α)cos(54°－α)；
(3)12cos15°＋
3 2 sin15°.
讲解范例
例2.
已知 sin
4, 5
2
,
,
cos 5 , 是第三象限角,
13
求 cos( )的值.
思考：
本题中没有
2
,
呢？
(学生用书 P77) 类型一 化简与求值
＝ 22× 23＋ 22×12
＝
6＋ 4
2 .
(2)sin(－15°)＝sin(45°－60°)
＝sin45°cos60°－cos45°sin60°
＝
22·12－
23 2 ·2
＝
2－ 4
6 .
(3)cos152π＝cosπ6＋π4 ＝cosπ6cosπ4－sinπ6sinπ4
＝
23×
22－12×
2 2
例 1：计算：(1)cos105°；(2)cos165°；(3)sin712π.
分析：本题主要考查三角函数的诱导公式和两 角和与差的余弦公式，同时也考查了化归的思 想方法．
解：(1)cos105°＝cos(60°＋45°)
＝cos60°cos45°－sin60°sin45°
＝12× 22－ 23× 22＝
课堂小结
两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
(1)牢记公式 C( ) C C S S．
解：(1)原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12. (2)解法 1：原式＝sin(36°＋α)cos(54°－α)＋cos(36°＋α)sin(54°－ α) ＝sin[(36°＋α)＋(54°－α)] ＝sin90°＝1. 解法 2：原式＝sin(36°＋α)sin(36°＋α)＋cos(36°＋α)·cos(36°＋α) ＝sin2(36°＋α)＋cos2(36°＋α)＝1.
(1) sin15 (3) cos105o
(2) cos75 (4) sin(315o)
新知应用 例 利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1)sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 解: (1)由公式S( ) ,得 原式 sin(72 42 ) sin 30 1
2
(2) cos 20 cos 70 sin 20 sin 70
今天先来研究两角和与差的正弦
公式
2
§19 两角和、两角差的正弦公式
3
思考
新知识
思考1、什么公式可以实现由正弦到余弦
的转化？
已学知识
诱导公式
思考2：结合 C( )和 C( ) ，你能推
导出sin(α＋β) ，sin(α－β)分别等于 什么吗？
4
复习回顾
练习、化简：
(1)sin
2
(2)