抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线及其标准方程 课件
抛物线的实际应用 如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18 米，拱顶距离水 面 8 米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形 CDEF.若 |CD|＝9 米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以点 O 为原点，过点 O 且平行于 AB 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，
抛物线定义的应用 若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解：设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心 为 C(2，0)，半径 r＝1. 因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直线 x＋1＝0 相切， 所以圆心 M 到直线 x＋1＝0 的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距 离． 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＋2＝0 为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4， 故其方程为 y2＝8x.
若抛物线 y2＝－2px(p>0)上有一点 M，其横坐标为－9，且 点 M 到焦点 F 的距离为 10，求点 M 的坐标． 解：由抛物线方程 y2＝－2px(p>0)，得焦点坐标为 F－p2，0， 准线方程为 x＝p2.设点 M 到准线的距离为 d，则 d＝|MF|＝10， 即p2－(－9)＝10，得 p＝2，故抛物线方程为 y2＝－4x.设点 M 的纵坐标为 y0，由点 M(－9，y0)在抛物线上，得 y0＝±6，故点 M 的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。
- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。
二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。
- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。
- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。
- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。
- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。
2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。
- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。
- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。
抛物线定义及标准方程
抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。
抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。
首先，我们来看抛物线的定义。
如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。
根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。
其次，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。
根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。
将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。
最后，我们来看一些抛物线的性质。
首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。
其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
最后，抛物线的焦距为|4a|p。
这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。
通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。
希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程
抛物线是一种二次曲线，其标准方程为y^2=2px。
这个方程表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2。
抛物线的标准方程有不同的形式，如y^2=2px、y^2=-2px、x^2=2py和x^2=-2py等。
这些方程分别表示了不同的抛物线，其中p为焦点到准线的距离，决定了抛物线的形状和大小。
除了标准方程外，抛物线还可以用一般形式来表示，即y=ax^2+bx+c。
这个方程表示抛物线的开口方向、顶点坐标和与y轴的交点等特性。
另外，抛物线还可以用顶点式来表示，即y=a(x-h)^2+k。
这个方程表示抛物线的顶点坐标为(h,k)，a为开口方向的系数。
在求解抛物线的问题时，需要根据具体问题选择适当的方程形式，并利用已知条件来求解未知量。
《抛物线及其标准方程一》(课件)
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。
抛物线及其标准方程
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，
抛物线及其标准方程 课件
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M
抛物线的四种标准方程公式
抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。
其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。
以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。
举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。
因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。
在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
[一点通]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问
题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后， 要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据 准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
返回
5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛 物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm， 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
返回
p＝4， 解得 m＝2 6，
p＝4， 或 m＝－2
6.
∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(－ ，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5， 即点 M 到准线的距离等于 5，
答案：B
返回
4． 已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点， 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D.2 )
返回
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A(0,2)点，抛物线的 1 焦点 F( ，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离 d＝ 2 |AF|＝ 12 17 2 0－ ＋2－0 ＝ . 2 2
2
4，得 p＝8，故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：A
返回
2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、 到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， ∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则焦点坐标 F(－ ，0). 2 m2＝6p， 由题意知 p2 2 m ＋3－ ＝5， 2
原创1：3.3.1 抛物线及其标准方程
x2＝－2py(p>0)
______________
p
0，－2
_______
p
y＝2
________
典例精析
题型一：求抛物线的标准方程
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
解
(1)由于点M(－6,6)在第二象限，
50
1
而当x＝8时，y＝－ ×82＝－1.28，
50
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，
ห้องสมุดไป่ตู้
此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
2
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
∴ ＝2，∴p＝4，
综上所述，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
典例精析
题型二：抛物线定义的应用
例2 (1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的
则点P到该抛物线焦点的距离是________．
6
2
解 由抛物线的方程得 ＝2，
再根据抛物线的定义，
可知所求距离为4＋2＝6.
跟踪练习
3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱
【高二数学】抛物线及其标准方程
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点 P 的轨迹为直线．
抛物线标准方程的推导 l
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
N M· ·F
想 一 想 ？
回顾求曲线方程一般步骤：
1.建系:建立直角坐标系. 2.设点:设点(x,y); 3. 列式:根据条件列出等式; 4. 化简:化简得到方程;
2
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的特征： 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一：一次项的变量若为x（即y 关于x的函数）则焦点就在x轴（或y 轴）上。
第二：一次项的系数的正负决 定了开口方向
也就是说焦点与一次项变量一致 正负决定开口方向
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
2p＝53，p＝56，p2＝152，
后再确定 开口、焦 点及准线
所以焦点坐标是0，－152，准线方程是 y＝152.
研一研·问题探究、课堂更高效
(32)p将＝y14＝，4px＝2 18化，为p2＝x21＝16，14y，知抛物线开口向上，
故 (4)焦由方点程坐y标2＝是a2x0，(a≠1160)，知抛准物线线方开程口是向y右＝，－2p＝116a.2，p＝a22， p2＝a42，故焦点坐标是a42，0，准线方程是 x＝－a42.
抛物线标准方程的推导
l
· N M
试 一
·试
K
F？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
抛物线标准方程的推导
y l
· H M ·x
抛物线及其标准方程 课件
把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
(3)列式：由|MF|＝|MH| 得 x－p2(p>0)① 就是抛物线的标准方程．
(5)从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足 方程①，以方程①的解(x、y)为坐标的点到抛物线焦点的距 离与到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在 抛物线上，这样，把方程①叫做抛物线的标准方程．
小结 求抛物线方程的主要步骤都是先定位，即根据题中 条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的 p 值，从而求出方程． 常用方法有两种： (1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义， 进而求出方程． (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件， 确定参数值．
问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点 F”去掉是否 可以？ 答案 在抛物线的定义中，定点 F 不能在直线 l 上，否 则，动点 M 的轨迹就不是抛物线，而是过点 F 垂直于 直线 l 的一条直线．如到点 F(1,0)与到直线 l：x＋y－1 ＝0 的距离相等的点的轨迹方程为 x－y－1＝0，轨迹为 过点 F 且与直线 l 垂直的一条直线．
__y_2_＝__2_p_x__ ___(_p_>_0_)___
__(_p2_，__0_) _
_x_＝__－__p2__
_y_2_＝__－__2_p_x_ ___(p_>__0_) ___
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
抛物线焦点公式
抛物线的焦点坐标如下：
1、抛物线的标准方程为y²=2px，它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为x=-p/2。
离心率e=1，范围：x≥0。
2、抛物线的方程为y²=-2px，它表示抛物线的焦点在x的负半轴上，焦点坐标为（－p/2，0），准线方程为x=p/2。
离心率e=1，范围：x≤0。
3、抛物线的方程为x²=2py，它表示抛物线的焦点在y的正半轴上，焦点坐标为（0，p/2），准线方程为y=-p/2。
离心率e=1，范围：y≥0。
4、抛物线的方程为x²=-2py，它表示抛物线的焦点在y的负半轴上，焦点坐标为（0，－p/2），准线方程为y=p/2。
离心率e=1，范围：y≤0。
抛物线的定义
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
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拋物线及其标准方程设计思想为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线的标准方程及其推导”和“拋物线概念的形成”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。
教学过程设计一．设置情景，导入新课（借助多媒体）先给出一张姚明的图片。
（此时学生的兴趣来啦！）师：姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习！大家都知道姚明的投篮非常精准！为什么呢？生：天赋、身高！生：勤奋练习！（再给出两张姚明的图片）生：与投篮时的弧线有关！生：这弧线是抛物线！师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。
（进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程）【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。
【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。
二．引导探究，获得新知师：在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。
师：前面，我们学习了椭圆和双曲线的相关知识，那么它们的联系和差异是什么？ 生：定义不一样！ 生：方程！椭圆是22221x y a b +=，双曲线是22221x y a b-=。
师：还有吗？生：椭圆是封闭的，双曲线是开放的。
师：这只是图象不同，为什么会这样呢？生：就是它们到定点的距离与到定直线的距离的比等于一个常数！生：这个常数是离心率e ！师：对啊！这是定性上的，定量上有不同吗？生：离心率e 不同，椭圆离心率e 的范围是01e <<，双曲线离心率e 的范围是1e >。
师：对了，e 可看成是它们的相同点，又是不同点！（打开几何画板）师：现在我慢慢拖动，大家认真观察图象。
生：01e <<是椭圆，1e >是双曲线。
师：但你们有没观察到1e =时的图象？生：抛物线！【学情预设】学生认真观察图象的变化，认知1e =的图象就是抛物线。
【设计意图】不仅回顾了椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础。
师：这抛物线是怎么画出来的啊！（课堂顿时一片寂静）师：那这条抛物线与什么有关？e=！众生：1e=是什么意思？师：1生：到定点的距离等于到定直线的距离！师：回答得很好！那你们能据此设计一种方案，画出这样的点吗？（一段时间后，让学生汇报自己的设计方案，并用实物投影仪展示学生所画的图形，师生共同就方案的可行性进行论证。
）（在直线PF上找特殊点）（在第一象限找特殊点）（在第一象限找所有点）【活动设计】前后学生组成四人小组，探讨画图方案。
【教师活动】教师以平等的身份介入学生的讨论中，并且关注：1.学生在知识认知与情感发展方面的疑惑，及时引导鼓励；2.关注每个人的活动情况，做到全员参与，从同学们的探究中，了解学生对知识理解的不同程度，思考的不同方向，对有代表性的方案注意收集；3.了解学生探究的进展，把握课堂节奏。
【学情预设】学生可能找到个别点，教师应指导学生设计好如上图中的方案。
【设计意图】着重培养学生合情推理与逻辑思维能力，增强学生的学习兴趣，增强学生的自信心。
师：同学们的设计让我们看到了这条曲线上的一个点，那么怎么画满足1e =的图象呢？（课堂又一片寂静）（出示预先准备的圆锥曲线教具）师：现在我介绍这个教具的用法，将直尺与定直线重合，竖直固定在黑板上，再将磁铁固定在定点上，拉紧白线，就可以画出来了。
谁上来试试？（两位学生积极上台板演）师：这两位同学表现非常好！这就是我们见过的拋物线！【活动设计】两位学生上台演示教具画抛物线的过程。
【学情预设】教师应先介绍教具的使用方法，然后学生尝试。
在尝试的过程中，学生可能会遇到困难，教师应给予指导。
【设计意图】体现数学实践在数学学习中的地位和作用，同时教师应多鼓励学生，多引导学生间进行合作交流，培养合作学习的意识，体验成功带来的喜悦。
师：接下来我也来演示下抛物线的形成过程。
（打开几何画板软件）师：认真观察P 点的运动过程，你们有什么发现？（利用几何画板软件同步动态演示） 生：AP PC +和AP PF +等于AC ，所以点P 在运动时，CP 始终等于PF 。
师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！师：那这样画出来的图象也是？众生：抛物线！师：很好！【活动设计】利用几何画板软件演示抛物线的形成过程。
【学情预设】学生惊讶！计算机软件居然能演示抛物线形成的过程，学生学习的兴趣再次调动起来！【设计意图】强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中的应用价值，同时激发学生学习计算机知识的兴趣。
至此本节的难点得以突破。
师：以前我们是用描点法画出抛物线，那今天我们怎么画？众生：教具，电脑……师：现在变换教具的位置，那么画出的图象还是抛物线吗？众生：是。
师：这说明了什么？生：画抛物线与位置无关。
师：所以今天我们就巧妙地利用几何知识和计算机等方式画出了整个图象。
师：现在你们就可以归纳一下抛物线的定义了！生：到点F的距离和到直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。
师：这样归纳完整吗？生:应该说，平面内到一个定点F和到一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。
生：还要注意定点不能在定直线上。
师：为什么啊？师：如果这样，就只能找到一个点。
师：说得很好！这里F叫做拋物线的焦点，定直线L叫做拋物线的准线。
【学情预设】学生间合作交流，完成对抛物线定义的归纳。
【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。
三．深入探索，推导方程师：接下来你们试试推导拋物线的方程？（简单回顾求曲线方程的方法）。
一段时间后，实物投影仪展示学生探讨的结果。
（分组讨论，集中探索）1.以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时得方程为：()22=->20y px p p2.以F为原点，过F且垂直于定直线F的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：()22y px p p=+>203.以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：()220=>y px p师：哪个好呢？生：方案3所得的方程更简洁！师：我们就把它叫做拋物线的标准方程，注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x 轴对称。
【活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建立直角坐标系的方案，一段时间后，各组交流，对可行的方案进行验证。
【学情预设】可能出现的情况如上。
若只出现第一种和第二种方案，教师要适时引导出现第三种方案；若直接出现第三种方案，教师就引导学生归纳抛物线的标准方程。
【设计意图】通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。
师：现在请同学们增大点F 到直尺L 的距离，重复刚才的实验，比较一下，抛物线有什么变化？再缩小这个距离试一试。
生：点F 到直尺L 的距离发生变化，抛物线开口也发生变化。
师：观察很准确！这说明了什么？生：焦点到准线的距离是抛物线的一个重要的几何特征。
师：说得非常好！师：接下来看课本的一条拋物线，试将你们的课本逆时针旋转90再观察，会有什么发现？生：x 轴和y 轴对调了。
生：还有开口向上了！师：同学观察得很仔细！那么你们能推出它的方程吗？生：将22y px =中的x 和y 对调就行了，就是22x py =！师：大家在等式两边同除2p 看看！生：212y x p=，哦，是二次函数形式！ 师：对了！这就是我们熟悉的二次函数了！师：那再逆时针旋转90，怎么求？生：和22y px =图象关于y 轴对称，将x -替换x 就行，就是22y px =-！ 师：再逆时针旋转90呢？众生：和22x py =图象关于x 轴对称，将y -替换y 就行，就是22x py =-！ （打开计算机里的表格，学生迅速完成表格内容！）标准方程 图形 焦点坐标 准线方程()220y pxp =>,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2p x =- ()220y pxp =-> ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2p x = ()220x py p => 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2p y =- ()220x py p =->0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2p y = 师：你们完成的过程有没什么发现？生：从()220y px p =>的形式上，方程的一次项决定焦点的位置。
生：还有一次项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭和准线方程为2p x =-。
师：还有吗？生：抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个自由量p，而确定椭圆和双曲线则需要两个自由量。
师：观察很敏锐，分析很透彻，很好！【学情预设】通过老师的层层引导，学生自主完成计算机中的表格的内容，认清抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。
【设计意图】引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。
四.指导应用，鼓励创新师：接下来我们运用上述所学到的知识来解决一些问题，如：已知拋物线的标准方程是212y x=-，现在请你们说出它的焦点坐标和准线方程。
生：方程是关于x的一次项，系数是负的，所以焦点在x轴上，开口向左，所以焦点坐标是（3,0-），准线方程是3x=。
再看一道：已知拋物线方程是212y x=，请说出它的焦点坐标和准线方程。
生：焦点坐标是()0,3。
师：是这样吗？生：二次项系数不为1，所以要先化成标准方程！应该先变成21 12x y=再求。
师：太好了！所以解题时不要张冠李戴！结果算出来了吗？众生：焦点坐标是10,48⎛⎫⎪⎝⎭，准线是148y=-。
【设计意图】巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。
强调解决抛物线方程问题时要先转化为标准方程。
师：现在我们回到姚明的这副图，有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物线，请看右边画的图形，抛物线最高点离底面距离为4m，篮框高为3m，篮框中心离最高点的水平距离为2m，怎么求投中时抛物线的方程？（生思考）师：这是一道实际生活问题！我们如何将这个问题转化成数学问题呢？生：建立直角坐标系！师：那怎么建立啊？生：这里应该以点O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴建立坐标系，这样抛物线就在x 轴下方，直接设()220x py p =->，又()2,1B -，则2p =，方程就是24x y =-！师：很好！接着我们还可以算出？生：只要知道姚明的身高，我们还可以算出投篮地方离篮框的水平距离。