高中数学解题基本方法——定义法

四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

Ⅰ、再现性题组： 1. 已知集合A 中有2个元素，集合B 中有7个元素，A ∪B 的元素个数为n ，则______。 A. 2≤n ≤9 B. 7≤n ≤9 C. 5≤n ≤9 D. 5≤n ≤7 2. 设MP 、OM 、AT 分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP

3. 复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是_____。 A. －11 C. a>0 D. a<－1或a>1

4. 椭圆

x

2

25

＋

y

2

9

＝1上有一点P ，它到左准线的距离为

52

，那么P 点到右焦点的距离为

_____。

A. 8 C. 7.5 C.

754

D. 3

5. 奇函数f(x)的最小正周期为T ，则f(－T 2

)的值为_____。

A. T

B. 0

C.

T 2

D. 不能确定

6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B ；

2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B ；

3小题：利用复数模的定义得a 22

2+<5，选A ；

4小题：利用椭圆的第二定义得到

||P F 左52

＝e ＝

45

，选A ；

5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－T 2

)＝f(

T 2

)＝－f(－

T 2

)，选B ；

6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组：

例 1. 已知z ＝1＋ｉ， ① 设w ＝z 2＋3z －4，求w 的三角形式； ② 如果z az b z z 2

21

++-+＝1－ｉ，求实数a 、b 的值。（94年全国理）

【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。

【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z2＋3z－4＝(1＋ｉ)2＋3()

1+i－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝

－1－ｉ，w的三角形式是2（cos 5

4

π

＋ｉsin

5

4

π

）；

由z＝1＋ｉ，有z az b

z z

2

21

++

-+

＝

()()

()()

11

111

2

2

++++

+-++

i a i b

i i

＝

()()

a b a i

i

+++2

＝(a＋2)－

(a＋b)ｉ。

由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；

根据复数相等的定义，得：

a

a b

+=

-+=-

⎧

⎨

⎩

21

1

()

，

解得

a

b

=-

=

⎧

⎨

⎩

1

2

。

【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。

例2. 已知f(x)＝－x n＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log

2

2

f(x)的定义域，

判定在(

2

2

3

,1)上的单调性。

【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。

【解】

f c

f c

n

n

()

()

22214

444252

=-+=-

=-+=-

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

解得：

n

c

=

=

⎧

⎨

⎩

4

1

∴ f(x)＝－x4＋x 解f(x)>0得：0

设

2

2

3

1

2

<1，则f(x

1

)－f(x

2

)＝－x

1

4+x

1

-（-x

2

4+x

2

）

=(x

1-x

2

)[1-(x

1

+x

2

)( x

1

2+x

2

2)],

∵ x

1+x

2

>2

3， x

1

2+x

2

2>

4

2

3

∴ (x

1

+x

2

)( x

1

2+x

2

2)〉2

3³

4

2

3

＝1

∴ f(x

1)－f(x

2

)>0即f(x)在(

2

2

3

,1)上是减函数

∵

2

2

<1 ∴ y＝log

2

2

f(x) 在(

2

2

3

,1)上是增函数。