弹性力学圆形薄板

y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
2
z t
截面上的最大应力，正应力发生在板的上下
面上，切应力发生在板的中面上，其值为
( x ) ( y )
z t 2
6M x 2 t 6M y 2 t 6 M xy 2 t 3Qx 2t 3Q y 2t q
z
t 2
( xy ) z 0 ( xz ) z 0 ( yz ) z 0 ( z )
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也 就是有集中反力）M M yx
yx A
B
M
yx B
M
yx A
M yx dx x
2、板弯曲的解题思路
曲面微分方程 边界条件
挠度ω
应力分量方程
应力分量方程
Εz x 2 2 2 1 x y
根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：
u
可得
z 0
0,

z 0
0
f1 ( x , y ) 0
f 2 ( x, y ) 0
w u z x w v z y
由几何方程可得
u 2w x 2 z x x u 2w y 2 z y y u v 2w xy 2 z y x xy
（2）、应力分量 zx , zy 和 z 远小于其余 三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的 形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲 相同之处，也有不同 之处，梁的弯曲我们 只考虑横截面，板的 弯曲有两个方向，要 考虑两个横截面上的 应力。
结合第一假设，可见中面的法线在薄板 弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法 线。 由于不计 z 所引起的形变，所以其物 理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同 的。
（3）、薄板中面内的各点都没有 平行于中面的位移，即：
u
z 0
0,

z 0
0
所以由几何方程可以得出：

M xy z xy dz
t 2 t 2
M xy
xy
可得
t Ez 2 w 2 2 M xy 2t z dz 1 xy
Et 3 2w 12 (1 ) xy
截面上的内力：剪力 由
Ez 2 t2 2 zx z w 2 2(1 ) 4 x
由物理方程可得
Ez 2 w 2w x 2 2 2 1 x y Ez 2 w 2w y 2 2 2 1 y x Ez 2 w xy 1 xy
另由平衡方程可得
2w 2w M x D 2 2 x y 2w 2w M y D 2 2 y x 2w M xy D (1 ) xy 2 Qx D w x 2 Qy D w y

y 0
0,
M
y y 0
M
情况四：假设薄板具有自由边界。边界上 具有力矩载荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。 这时，弯矩等于边界力矩载荷, 扭矩Mxy应转换 为等效剪力与原有分布剪力Qx或Qy 合并为一 个条件，分析如下。
M yx d xd x M yx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M yx
M yx M yx dx x
M
M
M yx dx x
yx A
yx A
M yx 边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 dx x M yx 边界上的总的分布剪力为 Vy Q y dx x
2w Et 3 2w 2 2 2 12 (1 ) x y
同样可得
2w Et 3 2w My 2 2 2 12 (1 ) y x
截面上的内力：扭矩
由
Ez 2 w xy 1 xy
2、假设 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计 算假设为基础的。 （1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。 即
z 0
由几何方程可得
0, x , y z
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚 度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。
与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有 各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。

z z
可求得F3(x,y), 最后得到： 2 2 Et 1 z z 1 2 6(1 ) 2 t
t 2
0
z 4 w t
根据薄板上面内的边界条件：

代入
2
z z
t 2
q
2
Et z 4 1 z z 1 w 2 6(1 ) 2 t t Et 2 4 w q 最后得到： 12 (1 2 )
zx x yx z x y zy y xyx z y x
即
zx Ez 3 w 3w Ez 2 w 3 2 2 2 z 1 x xy 1 x zy Ez z 1 2 3w 3w Ez 2 w 3 2 2 y yx 1 y
sin cos x ρ ρ cos sin y ρ ρ

1 1 2 2 2
2 2 2
则弹性曲面的微分方程可以变换为：
2 1 1 2 2 1 1 2 D 2 2 2 q 2 2 r
如果用截面内力表示截面上的应力，可得
12 M x z 3 t 12 M y y 3 z t 12 M xy xy z 3 t 6Qx t 2 xz 3 z 2 t 4
x
6Q y t 2 2 yz 3 z t 4 1 z 2 q 2 z 1 t
xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2

x
Q
同样可得Qy,
记 可得
Et 2 D 12 (1 2 )
积分得
Ez 2 2 zx w F1 ( x, y ) 2 2(1 ) x Ez 2 2 zy w F2 ( x,y) 2 2(1 ) y
根据薄板上下面内的边界条件：

zx z
t 2
0

zy z t 2
2 2
Εz 2 2 y 2 2 2 1 y x Εz 2 xy 1 xy
三、圆形薄板弯曲问题
1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较 方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ 和φ的函数。即： ω=ω(ρ, φ)，q=q(ρ, φ) 进行坐标变换可得： φ ρ
Et 3 4 q 12 1 2
其中
2 2 2 x y 2
2
下面对弹性曲面的微分方程进行推导。
由假设
zx 0

yz 0
可得
即 积分得
u w w v 0 0 z x y z u w v w 0 z x z y w u z f1 ( x , y ) x w v z f 2 ( x, y ) y
这个常微分方程的解答是：
A B ln C ln K 1
D为板的抗弯刚度
Eh D 2 12 1
3
2、如果圆形薄板的边界是绕z轴对称的， 它所受的横向载荷也是绕z轴对称的，q只是ρ的 函数，则该薄板的弹性曲面也是绕z轴对称的， 即ω只是ρ的函数，这时，弹性曲面的微分方程 将简化为：
d 2 1 d d 2 1 d D 2 d d d 2 d q

x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它 所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。

y 0
0,
M
y y 0
0
后者可表示为
2w 2w 2 2 ＝0 y x
由于沿边界的挠度为常 值0，故沿x后的导数恒 为零，边界条件又可表 示为 2w y 2 ＝0
情况三：假设薄板具有简支边界。边界上具 有力矩载荷M。这时，边界处的挠度等于零，而 弯矩等于力矩载荷。即：
0
可求得F1(x,y), F2(x,y) , 最后得到：
Ez 2 t2 2 zx z w 2 2(1 ) 4 x Ez 2 t2 2 zy z w 2 2(1 ) 4 y
另由平衡方程可得
可记为 其中
D 4 w q Et 2 D 12 (1 2 )
截面上的内力：弯矩
Mx
My
由 可得
M x z x dz
t Ez 2 w 2w 2 2 Mx 2 2 t z dz 2 1 x y 2
t 2 t 2
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即

x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 和弯矩等于零。即：
圆形薄板轴对ห้องสมุดไป่ตู้ 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定

二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解

四、Mathcad解题应用
一、基本概念及假设
1、基本概念 ——中面 平分板厚度t的平 面简称为中面。
——薄板 板的厚度t远小于 中面的最小尺寸b， 这样的板称为薄板。