最短路径问题-PPT课件

条河的两岸，现要在河
上建一座桥MN，桥造
在何处才能使从A到B的 A· M
路径AMNB最短？（假
设河的两岸是平行的直
线，桥要与河垂直）
N
E
B
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
知识探究
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
13.4 课题学习 最短路径问题
情境导入
如图所示，八年级某班同学做游戏，在活动区域l摆 放了一排篮球，小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的 篮球，才能最快拿到球并跑到终点处？
终点
l
小明 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
l
Baidu Nhomakorabea
C
D
E
A
线段AB（连接AB，交直线l与点D，点D即为拾球的位置，原因是“两点之间,线段最短”.
B
·
A
·
l C
B′
知识探究
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, A·
则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
MC
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
ND
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
E
归纳总结
1.将军饮马类问题解决的基本套路
2.造桥选址问题获得了哪些经验
3.解决最短路径问题，常用的图形变 换是什么？目的何在
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C， 组成三角形，使三角形周长最小.
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
学以致用
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后 淌水到B 地（要求淌水的距离最短）．问到河边什么地 方饮马并淌水可使他所走的路线全程最短？
A l
B
1. 如图，A.B两地在一
件的点B′吗？
B
·
l
知识探究
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
B
·
A
·
l C
B′
知识探究
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
知识探究
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
知识探究
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
游戏变型
如图所示，八年级某班同学做游戏，在活动区域l摆 放了一排篮球，小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的 篮球，才能最快拿到球并跑到终点处？
终点
l
小明
知识探究
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
知识探究
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
知识探究
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
学以致用
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：