第九章 拉普拉斯变换

• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
Im
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
-2
x
x
-1 Re
1 e u (t ) , s 1
t
L
分别对 应什么 时间信 号？
Re{s} 1
Re{s} 2
Re{s} 1
1 , e u (t ) s2
2 t
L
x(t ) (e e
t
2 t
1 )u (t ) , ( s 1)(s 2)
1



X ( j )e jt d
两边同乘以 e
t
1 x(t ) 2



X ( j )e( j ) t d
即可从拉氏变换中恢复x(t)：
x(t )
2 j
1
j
j
X ( s)e st ds

所有实信号x(t)可以表示成复指数信号est的加权。
L
Re{s} 1
-2
x
-1
x
Re
1 , e u (t ) s2
L
Re{s} 2
2 Re{s} 1
x(t ) e u (t ) e
t
Biblioteka Baidu
2 t
1 u (t ) , ( s 1)( s 2)
L
例：
s2 s 1 X ( s) 2 s 1

例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Re{ s} 0
(4) x(t ) (t ) X (s) 1
Re{s}为整个s平面
拉普拉斯变换的收敛域与零极点 收敛域：Region of Convergence ( ROC )
一般把使积分 X ( s)



x(t )e st dt
收敛的s值的范
围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。
第九章 拉普拉斯变换 The Laplace Transform

掌握拉氏变换定义及其基本性质； 牢记常用典型信号的拉氏变换； 掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法； 掌握系统的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模拟
框图、信号流图、零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。

掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法。
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )
jt jt e e 2t (1 2e ( ))u (t ) 2j
Im(s)
a
Re(s)
Im S-plane
Im S-plane
-a
Re
-a
Re
零极点：Poles

and Zeros of X(s)
只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合， X(s)就一定是有理的,具有如下形式：
N ( s) X ( s) D( s )
• N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。 • 使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“O”表 示。 • 使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面上用“×” 表示。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的 ROC是被极点所界定或延伸到无限远。
性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若 x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极 点的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上 位于最左边极点的左边。
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction

连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
√ 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分 式展开法。
二、部分分式展开法求解拉氏反变换
思路：

单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的 有理函数，其收敛域也是单纯的。

单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它 们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每 一项复指数分量相应的收敛域的交集。
N (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) D(s) an s n an1s n1 a1s a0
先转换为真分式：
Re{s} 1 求x(t)
解：
3 1 s 2 s 1 s 2 1 s 2 s2 2 2 X ( s) 2 1 1 s 1 s 2 1 s 2 1 s 1 s 1
故： x(t ) (t ) 3 e t u (t ) 1 et u (t ) 2 2
(1 2e 2t sin t )u (t )
s ai
例：
X ( s)
1 X ( s) ( s 1)(s 2)
( s) 1
1 1 , ( s 1) ( s 2)
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
L
X ( s) L{x(t )}
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
Re{ s} a Re{ s} a
(2) x(t ) e u(t )
at
1 (3) x(t ) u (t ) X ( s ) s
ROC : 1 Re{s} 2
9.3 拉氏反变换
The Inverse Laplace Transform
信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e
利用傅立叶反变换：
- t
} = [x(t)e- t ]e-jt dt
-

x(t )e
t
1 F { X ( j )} 2
R
Im
S-plane Re
性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。 性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那 么ROC就是整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
部分分式展开的第一步是把分母 D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且
分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次（有理真分
式），那么X(s)就可以展开成如下形式：
X ( s) N ( s) N ( s) D( s) ( s a1 )(s a2 ) ( s aM )
2 ( s) 1
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
Im
e u (t )
2 t
t
1 , s 1
例
4 1 x(t ) (t ) e t u (t ) e 2t u (t ) 3 3
L{ (t )} (t )e st dt 1


X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
2 L{2e u (t )} s 1 1 2t L{e u (t )} s2
t
ROC : Re{s} 1
ROC : Re{s} 2
2 1 s 5 X ( s) s 1 s 2 ( s 1)(s 2)
Im{s} Re{s} × -1 × 2 5
Im
e
t
1 u (t ) , s 1
L
Re{s} 1
-2
x
-1
x
Re e
t
2 t
1 , u (t ) s2
L
L
Re{s} 2
Re{s} 2
x(t ) (e e
2 t
1 )u (t ) , ( s 1)( s 2)
1 X ( s) 设： ( s 1)( s 2)
M Ai A1 A2 AM ( s a1 ) ( s a2 ) ( s aM ) i 1 ( s ai )
L {Ai /(s ai )}
1
Ai eait u(t )
Ai eait u(t )
Re{s} ai Re{s} ai
Ai lim [( s ai ) X ( s )]
Im s平面 × × -2 -1 Re × × -2 -1
Im
s平面
Re
时域信号x(t)的特点
拉氏变换X(s)的ROC
有限长
左边时间信号 右边时间信号 双边时间信号
整个S平面
某一左半平面 某一右半平面 某一带状收敛域
例：
x(t ) 2et u(t ) e2t u(t )
求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。 解：
L
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
j
s0 0 j0
0

• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指 jt 数信号集 {e }
9.1 拉氏变换 The Laplace Transform
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：

X (s) x(t )e dt
st
记作：
或
x(t ) X ( s)
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质： The Region of Convergence for Laplace Transform 性质1:拉氏变换收敛域的形状：
X(s)的ROC在s平面内由平行于jω轴的带状区域所组成。
Im Im s平面 Im × × LRe R L Re Re