球的内切、外接问题

即PBP2AB、PA2PCAB是B2直 角PC三2 角 B形C2 2a
即S SSPAPBPPAAADDBS、SSPBCPPPCCCDD B2是2aa22直a22 2 角三角形
A
D
a 2a
S正P方AB形ABCSD PBaC2
2 a2 2
S正方形ABCD a2
C B
设棱锥的内切圆圆心为O VP ABCD VO ABCD VOPAD VOPCD VOPBC VOPAB
1_2_π___. • 4．已知球的半径为 10 cm，若它的一个截面圆
的面积是36π cm2，则球心与截面圆周圆心的距 离是__8_c_m__.
学习目标
• 一、分割法 • 二、寻求轴截面圆半径法
新课导入
例1.已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为
a,b,c.I为内心，内切圆半径为r.求△ABC的
即R2 =（ 3 a-R）2 +（1 a）2
2
2
B
D
C
R= 3 a 3
二、寻求轴截面圆半径法
一个四面体的所有的棱都为 2 ，四个顶点在
同一球面上PP，则此球的表面积为 3
OO
E
D
A A
E
FF
B
解：设四面体为PBCD，O为其外接球心。 球半径P为R， E为A在平面BCD上的射影，F为BD的中点。
AE= 2 AF= 2（ 3 AB）= 6
1
3
S正方形ABCD
PD 1 r 3
S PAD S PCD S PAB +S PPBC +S正方形ABCD
=1r 3
S表
1 r 2a2 2a2 1 a3
3
3
r (1 2 )a 2
D
O
C
B A
• 变式练习
1、已知三棱锥的各个棱长度均为a ，
3 a2r
内切圆的半径为r,则三棱锥的体积为 3
3 32
3
PE= PA2 -AE2
O
PE= 2 3 3
OA=R OE=PE-OP= 2 3 -R
3
A
在RtOAE中OA2 =OE2 +AE2
E
D
F
B
即R2 =（ 2 3 -R）2 + 2
3
3
R= 3 S=4 R2 =3
2
课堂小结
解决与球有关的内切与外接问题的来自百度文库
关键是：
1、将多面体分割成多个三棱锥 2、通过寻找恰当的过球心的截面,把立体问 题转化为平面问题,通过解三角形求出球的 半径R.
且PD是四棱锥的高求 A
B
四棱锥内切球的半径；
PD是四棱锥P ABCD的高
证明： PPDD是四DA棱锥PPDADBCCD的PD高 DB
PPADBDDA P2Da DC PD DB
PPDA BDPA2 2AaD2 PBa 3a
PBPD PDP2A2 BDA2D2 3aa
P
PBPB2 PPDA2 2BADB22 P3Ca2 BC2
限时训练
1、正三棱锥的高为 1，底面边长为 全面积和它的内切球的表面积。
。求棱锥的
P
O
FC
A
O1
E
B
S1S2 S2 )
球（半径为r）
S=4 r2
V= 4 r3
3
课前检测
• 二、做得对 • 1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半
径等于（ C）
• A. 1 B.2 C.3 D.4 • 2．火星的半径约是地球的一半，地球表面积是
火星表面积的_4__倍． • 3．若一个球的体积为4 3 ，则它的表面积为
球的内切、外接问题
课前检测
• 一、记得准
名称
表面积
体积
圆柱（底面圆半径为r, 高为h）
S=2 r2 2 rh
V= r2h
s 圆锥（底面圆半径为r,
高为h，母线为l）
S=2 r2 rl
V= 1 r2h
3
圆台（上底圆半径为r, 下底圆半径为R，高为h）
S=（r
2
R
2
+rl+Rl）V=
1 3
h(S1
A
面积
证明：连结AI,BI,CI
Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ △ABC ＝ △ABI + △BCI + △ACI
＝ a·r
2
+
b·r 2
+
c·r 2
B
＝ (a+b+c）·r
2
b r Ir
r
a
c
C
探求新知 P
一、分割法
如图，四棱锥P-
ABCD中，底面ABCD
为正方形，边长是 a ，
D
O
r
C
PB= 3a，PA=PC= 2a,
2、三棱锥的各个棱长度均为a ，求其
6a
内切球的半径为 12
新课导入
• 例2.已知△ABC为等边三角形，边长为a.⊙O为
△ABC的外接圆，求⊙O的半径.
解：设⊙O的半径为R，连结OA,OC，
过A做三角形的高AD，点O在AD上.
A
3 AD= a OA=OB=R
2
OD=AD-OA= 3 a-R
2
O
在RtODC中OB2 =OD2 +DC2