江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)
江苏省高等数学竞赛试题[1]2
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2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=⎰ 6.214arctan 1x x dx x =+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2. ()2301lim 1xt x e dt x -→-=⎰ 3. ()2lim320x x x ax b →+∞++++=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则221Ddxdy x y=+⎰⎰二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,22f x y x xy y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2. 0x →时，sin cos x x x -⋅与k cx 为等价无穷小，则c =3.()2tan 2lim sin xx x π→=4. 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =6.()()21x x e x dx x e -=-⎰7. ()1,1arctan ,x z dzy-== .8. 设()()01x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212baf x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=?_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。
8.直线21x zy =??=?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=?????????? ??+???? ?+???? ??+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使?=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)
2010年某某省《高等数学》竞赛试题〔本科二级〕一 填空题〔每题4分，共32分〕 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+/y =3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，如此(,)(2,1)x y dz==11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为. 二.〔10分〕设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰三．〔10分〕正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，〔1〕试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
〔2〕试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四〔12分〕ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五〔12分〕求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、〔12分〕求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.〔12分〕数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2008年某某省普通高等学校非理科专业一、填空题〔每一小题5分，共40分〕1〕___,____a b ==时，2lim arctan .2x ax x x bx x π→∞+=--2〕11lim __________.(3)nn k k k →∞==+∑ 3〕设()(1)(2)(100),f x x x x x =---如此(100)_______.f '= 4〕___,____a b ==时，2()1xf x ax x bx =+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高.5〕2320sin cos _______.x xdx π⋅=⎰6〕2221_______.(1)x dx x +∞=+⎰7〕设,x z x y =-如此(2,1)_________.n nz y ∂=∂8〕设D 为,0,1y x x y ===所围区域，如此arctan _________.Dydxdy =⎰⎰二、〔8分〕 设数列{}n x为：111,(1,2)n x x n +===，求证：数列{}n x 收敛，并求其极限三、〔8分〕 设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,baa f x dx >=⎰求证：存在(,),a b ξ∈使得()().af x dx f ξξξ=⎰四、〔8分〕 将xy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.五、〔8分〕设242,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0).x yx yf x y x yx y≠=+⎪=⎩讨论(,)f x y在(0,0)处的连续性、可偏导性、可微性.六、〔10分〕曲面222441x y z+-=与平面0x y z+-=的交线在xy平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.七、〔8分〕求2401lim sin().t txtdx y dy t+→⎰⎰八、〔10分〕求1,Ddxdy这里22:,0.D x y y x+≤≤≤2006年某某省高等数学竞赛试题〔本科一、二级〕一.填空〔每题5分，共40分〕 1.()3x f x a =，()()()41lim ln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦2.()()2501lim 1xtx x e dt x -→-=⎰ 3.()122arctan 1xdx x =+⎰()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，如此四面体OABC 的内接球面方程为y z x ze +=确定(,)z z x y =，如此(),0e dz=()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值.Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a =时，曲线积分()()222y xy dx xy edy Γ+++⎰取最大值.()11n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值X 围是 二.〔10分〕某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，假如开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3三.〔10分〕曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四〔8分〕设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞五〔12分〕本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限局部为∑.〔1〕求曲面∑的面积；〔2〕用薄铁片制作∑的模型，(1A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限局部为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.六〔10分〕曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω， 本科一级考生做2221dxdydz x y z Ω++⎰⎰⎰ 本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰七〔10分〕本科一级考生做1〕设幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1n n n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2〕试问命题1〕的逆命题是否正确，假如正确给出证明；假如不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112n n n n x ∞=+∑的收敛域与和函数2004年某某省高等数学竞赛试题〔本科二级〕一.填空〔每题5分，共40分〕1.()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2.()2tan 2lim sin x x x π→= 3.2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 4.()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =5.()()21x x e x dx x e -=-⎰6.()112n n n n ∞==+∑. (),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=， 如此()1ϕ'=.8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，如此 ()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰.二．〔10分〕设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212b a f x dx b a =-⎰,求证：(),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+三.〔10分〕设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q1〕试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2〕求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四〔10分〕点(1,0,1),(3,1,2)P Q ,在平面212x y z 上求一点M ，使PM MQ最小五〔10分〕求幂级数()()1132n n n n x n ∞=+-∑的收敛域。
江苏省专科第十届高等数学竞赛题
第十届专科竞赛题与评分标准一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()3sin sin sin limx x x x→- =16.2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242etan sec 1xx x x x +++.3） 设由yxx y =确定(),y y x =d d y x=则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y yx x y x x x y ----或4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰exC x-+6) ()214arctan d 1x xx x =+⎰264π.7） 圆 222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩，的面积为 16π8) 级数 ()111!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 4e .3-二、（10分）设a 为正常数，使得 2e axx ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。
22ln e2ln ,axx x x ax a x≤⇔≤⇔≥解（3分）要求a 的最小值，只要求 ()2ln x f x x=的最大值。
（2分）令()()221ln 0x f x x-'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值， （2分）故a 的最小值为 2e。
（1分）三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分） 则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分） ()()()()()0d d ,xxF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰（3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x fx x F F x fx '===⎰令则 （3分）()()()()()1110011d d d 0F fx x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()1101d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰（3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰（4分）四、（12分）求广义积分 421d .1x x+∞-⎰22221111d d 2121x x xx+∞+∞=++-⎰⎰解原式 （4分）111arctan ln22241x x x+∞+∞+=+- （4分）11arctan 2ln 3.424π=-- （4分）五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题汇总
江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )xx x +→= ．3．= ．4．若级数11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑收敛，则a 的取值为 ． 5．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为（ ）．A ．0,1x =B ．1x =C ．0x =D ． 无可去间断点 2．设21()sin,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 04．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （ ）．A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少 5．过点(2,0,3)-且与直线2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 垂直的平面方程是（ ）．A ．16(2)1411(3)0x y z --+++=B ．(2)24(3)0x y z --++=C ．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=⎰，求常数,a b ．四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 确定，求220t d ydx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点．六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na +++≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()xF x x t f t dt '=-⎰的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数21(21)n n n x∞+=+∑的收敛域及和函数.十、（8分）将1()arctan1xf x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域． 十一、（6分）求581x xdx x -+⎰． 十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满足3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim(0)x kx e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是 ． A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界4．设2ln(1),arctan x t y t t =+=+，则22d ydx= ．5．设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ．6．(arcsin arccos )x x dx -=⎰． 7．4+∞=⎰．8． 幂级数11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑的收敛域为 ． 二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调减少，0a b <<，求证：()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰．三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2xx e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当k 为何值时Γ为一圆？ （2）当6k =时，求Γ的圆心和半径．六、（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -与k cx 为等价无穷小，则k = ，c = ．3．2tan2lim(sin )xx x π→= ．4．2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为 ．8．1(1)2nn nn ∞==+∑ ． 二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2baf x dx b a =-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ． （1）试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上处处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)nn nn x n ∞=+∑收敛域第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 2．23001lim (1)xt x e dt x-→-=⎰．3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)xf x x x e =++，则(0)f ''= ．5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d ydx =-= ．6．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 与CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为 ．8． 已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为 ．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩ ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在．三、（9分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L ．（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积．四、（8分）设()f x 在区间[0,)+∞上是导数连续的函数，(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤，求证：|()|1,[0,)x f x e x ≤-∈+∞．五、（8分）求120arctan (1)xdx x +⎰．六、（9分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x z =++截下的（有限）部分为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，其中(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ．建立平面直角坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5)．试写出D 的边界的方程，并求D 的面积．七、（9分）对常数p，讨论级数1(1)n n ∞+=-∑何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？八、（9分）求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛域与和函数．第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．a = ，b = 时，2||lim arctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--．2．11lim (2)nn k k k →∞==+∑ ．3．设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，则(100)f '= ．4．当a = ，b = 时，2()1xf x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高． 5．2221(1)x dx x +∞=+⎰．6．点(2,1,1)-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为 ．7．通过点(1,1,1)-与直线：,2,2x t y z t ===+的平面方程为 ．8． 幂级数1nn nx∞=∑的和函数为 ，收敛域为 ．二、（8分）设数列{}n x为111,(1,2,)n x x n +===，求证数列{}n x 收敛，并求其极限．三、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0baa f x dx >=⎰，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()af x dx f ξξξ=⎰．四、（8分）将xOy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求20lim sin()tt tx dx +→⎰．六、（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作一条直线Γ，使该直线经过另一直线221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程．七、（8分）判别级数)11(1)1n n ∞+=-∑的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．八、（10分）求函数222()(1)(12)x f x x x +=-+的幂级数展开式，并指出其收敛域．第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． 30sin sin(sin )limx x x x →-= ．2．2arctan()tan x y x e x =+，则y '= ．3．设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= ．4．2cos y x =，则()n y = ．5．21x x e dx x -=⎰ ．6．2140arctan()1x x dx x =+⎰ ．7．圆2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 ． 8． 级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 ．二、（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值．三、（10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在(0,1)ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰．四、（12分）求反常积分4211dx x +∞-⎰．五、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．六、（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中心．（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的距离．七、（12分）已知数列{}n a 单调增加，满足123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-(2,3,)n =，记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性．第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．x →= ． 2．333412lim x n n →∞+++= ． 3．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰ ．4．ln(1)y x =-，则()n y = ．5．2arctan x xdx =⎰． 6．11arccos x dx x= ． 7．点(2,1,3)-到直线13122x y z -+==-的距离为 ． 8． 级数2(1)1knn n n ∞=--∑为条件收敛，则常数k 的取值范围是 ． 二、（每小题6分，共12分）（1）求3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑．（2）设()f x 在0x =处可导，且(0)1,(0)2f f '==，求20(cos 1)1lim x f x x →--．三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数()f x 在(,)δδ-上有定义（0δ>），当0x δ-<<时，()f x 严格增加，当0x δ<<时，()f x 严格减少，0lim ()x f x →存在，且(0)f 是()f x 的极小值．（2）函数()f x 在(,)δδ-上一阶可导（0δ>），(0)f 为极值，且(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点．四、（10分）求一个次数最低的多项式()P x ，使得它在1x =时取极大值13，在4x =时取极小值14-．五、（12分）过原点(0,0)作曲线:x y e -Γ=的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线及x 轴为边界的无界区域．（1）求切线L 的方程；（2）求区域D 的面积；（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点(1,2,1),(5,2,3)A B --在平面:223x y z ∏--=的两侧，过点,A B 作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小．（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标；（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面方程；（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心．七、（12分）求级数1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑的和．。
江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分
解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。
解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。
令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。
2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。
证 问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。
20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏省高数竞赛选拔题
高等数学竟赛练习题二
一、填空题(每小题4分,共40分)
1. 设{ EMBED Equation.DSMT4 |lim ()0→+∞+-=x ax b , 则 , .
2. 设当时，函数与是同阶无穷小，则常数 .
3. 设，则 .
4. 已知函数在点处连续，且，则
.
5. 设常数，则方程在区间内的实根的个数为 .
6. 设，其中在点的某邻域内有定义，则在点处可导的充分必要条件是 .
7. 抛物线在点处的曲率半径为 .
8. 设（为正整数），，则
.
9. .
10. 设，则 .
二、求．
三、已知，且求．
四、计算（）．
五、设曲线在点处的切线方程为，试求：
．
六、设，等分闭区间，分点为
，
求 ．
七、设 ,
(1) 求函数的单调区间与极值;
(2) 求函数的图形的凹凸区间与拐点．
八、设在上连续，在内可导,且，证明: 在内至少存在一点，使.
九．设在上二阶可导，且，，证明：
在上单调减少。
第十届江苏省高等数学竞赛专科试题评析
第十届江苏省高等数学竞赛专科试题评析陆健【摘要】江苏省非理科专业高等数学竞赛是目前我国高职院校高等数学最高级别的竞赛,每两年举办一届,旨在激励大学生学习和运用数学的积极性,推动数学基础课程的教学改革,提高教学质量.文章结合高等数学学习对高职学生综合素质和创新能力培养的特殊功能,对2010年江苏省高等数学竞赛专科试题的结构与考点进行分析,并对典型试题做出解析,以利今后高等数学的教学和学生参赛的辅导.【期刊名称】《南通职业大学学报》【年(卷),期】2011(025)003【总页数】4页(P80-83)【关键词】高等数学竞赛;高职院校;评析;考点【作者】陆健【作者单位】南通职业大学基础课部,江苏南通226007【正文语种】中文【中图分类】G642.474江苏省普通高校非理科专业第十届高等数学竞赛已于2010年6月5日落下帷幕，该项赛事是目前我国高职院校高等数学最高级别的竞赛。
近年来，竞赛大纲的修订和考点考面的调整，标志着竞赛正从智力技巧型逐步向能力创新型转变、从单纯理论型向综合应用型转变。
虽然竞赛只是面向部分高职优秀学生，试题的综合程度和复杂程度也高于日常教学，但在更高的层面上一直引领着高职数学提高教育质量和改革教学模式的方向，竞赛的成绩也是数学基础课程服务于高职人才培养目标水平的一项重要的、客观的社会性评价。
本届竞赛我校成绩斐然，参赛学生共45人，全部获奖，而且获一等奖的比例高达80%，这不仅反映了我校高等数学教学质量的提高和学生整体学业水平的提升，也体现了我校公共基础课程教学改革的显著成效。
本届竞赛的试卷设计颇为合理，以考查数学基础知识的基本题为主，又有一定的创新型试题和综合型试题，鼓励考生多角度、创造性地思考问题。
试卷的题型比较常规，没有用偏题、怪题来给考生设置障碍，有利于高职考生的正常发挥。
本文将对竞赛的专科试题做一些具体的评析。
1 总体评价本届竞赛专科试题的难度和题量适中，符合专科生的认知水平，考生整体感觉入手较快；注重考察考生的数学能力，包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力等。
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。
（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。
（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。
五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线L 的方程。
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江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知，则 ．21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦()f x '=2． ．1ln 0lim (tan )xx x +→=3． ．=⎰4．若级数收敛，则的取值为 ．11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑a 5．．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数的可去间断点为（）．21()(1)x e f x x x -=-A ． B ．C ．D ． 无可去间断点0,1x =1x =0x =2．设，则当时，是的（ ）．21()sin,()sin f x x g x x x==0x →()f x ()g x A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小C ．高阶无穷小D ．等价无穷小3．设常数，函数在内零点个数为（ ）．0k >()ln xf x x k e=-+(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 32104．设对一切满足，若且，则函数()y f x =x 240y y y '''--=0()0f x >0()0f x '=在点（）．()f x 0x A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点且与直线 垂直的平面方程是（）．(2,0,3)-2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩A ． B ．16(2)1411(3)0x y z --+++=(2)24(3)0x y z --++=C ．D ．3(2)52(3)0x y z -+-+=16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设，求常数．2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dxx x x +∞→+-+=⎰,a b 四、（6分）已知函数由方程组 确定，求．()y y x =(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩220t d y dx =五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有(),()f x g x [,]a b (,)a b (,)a b x ，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之()()()()0f x g x f x g x ''-≠()f x (,)a b 间，至少有一个零点．()g x 六、（6分）设，其中是实数，且12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++ 12,,,n a a a ，试证：|()||sin |f x x ≤12|2|1n a a na +++≤ 七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线2y x =2(,)a a a 所围成的图形面积最小？241y x x =-+-八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，0x →220()()()xF x x t f t dt '=-⎰2x 求．(0)f '九、（8分）求级数的收敛域及和函数.21(21)n n n x∞+=+∑十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域．1()arctan1xf x x+=-x 十一、（6分）求．581x xdx x -+⎰十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足()f x 0x >()g x，试求．3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰()f x 第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=--2．设，则 ， ．0lim(0)x c c +→=≠k =c =3．设在上可导，下列结论中成立的是 ．()f x [1,)+∞A ．若，则在上有界lim ()0x f x →+∞'=()f x [1,)+∞B ．若，则在上无界lim ()0x f x →+∞'≠()f x [1,)+∞C ．若，则在上无界lim ()1x f x →+∞'=()f x [1,)+∞4．设，则 ．2ln(1),arctan x t y t t =+=+22d ydx=5．设由确定，则 ．()1yex y x x -+-=+()y y x =(0)y ''=6． ．(arcsin arccos )x x dx -=⎰7．．4+∞=⎰8． 幂级数的收敛域为 ．11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ 二、（8分）设在上连续且单调减少，，求证：()f x [0,)+∞0a b <<．()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰三、（9分）设．()sin f x kx x =+（1）若，求证：在上恰有一个零点；1k ≥()f x (,)-∞+∞（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围．01k <<()f x (,)-∞+∞k 四、（8分）求．2201tan 2x x e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当为何值时为一圆？（2）当时，求的圆心和半径．k Γ6k =Γ六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与1211x y z-==-y 所包围的立体的体积．0,2y y ==七、（9分）求．2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时k 221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．是周期为的奇函数，当时，，则当()f x π0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos 2f x x x =-+时， ．,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =2．当时，与为等价无穷小，则 ， 0x →sin cos x x x -kcx k =c =．3． ．2tan2lim(sin )xx x π→=4． ．2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ 5．已知，则当时， ．2()ln(1)f x x x =-2n >()(0)n f=6． ．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰7．以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为 ．x y z ==1R =8． ．1(1)2nn nn ∞==+∑二、（10分）设在上连续，在内可导，，()f x [,]a b (,)a b ()f a a =，求证：在内至少有一点，使得．221()()2baf x dx b a =-⎰(,)a b ξ()()1f f ξξξ'=-+三、（10分）设．在的边界上22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤D y x =任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界P P t PQ y x =D 于．224y x -=Q （1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体,P Q ||PQ t D y x =积．四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数()f x (,)-∞+∞()f x 0x =有，求证：在上处处连续．12,x x 1212()()()f x x f x f x +=+()f x (,)-∞+∞五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围．k 110kx x-+=(0,)+∞k 六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得(1,0,1)P -(3,1,2)Q 212x y z -+=M 最小．||||PM MQ +七、（10分）求幂级数收敛域11(32)n n nn x n ∞=+∑ 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2． ．23001lim(1)xt x e dt x-→-=⎰3．若，则 ， ．lim )0x ax b →+∞++=a =b =4．设，则 ．2sin ()(1)xf x x x e=++(0)f ''=5．设，则 ．2ln(1),arctan x t y t =+=221t d ydx =-=6． ．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰7．为空间的4个定点，与的中点分别为，（为常,,,A B C D AB CD ,E F ||EF a =0a >数），为空间的任一点，则的最小值为 ．P ()()PA PB PC PD ++A 8． 已知点为原点，则四面体的外接球面的方(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),ABC O --OABC 程为．二、（8分）设，试问：为何值时，在2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩,,a b c ()f x处一阶导数连续，但二阶导数不存在．0x =三、（9分）过点作曲线的切线．(1,5)3:y x Γ=L （1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；L ΓL D （3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积．D 0x ≥x 四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，，()f x [0,)+∞(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤求证：．|()|1,[0,)xf x e x ≤-∈+∞五、（8分）求．120arctan (1)xdx x +⎰六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分221(0)x y z +=≥222z x z =++为．为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中∑∑∑为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形．建(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --∑∑BC D 立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为．试写出的边界的方程，D x A (0,5)D 并求的面积．D 七、（9分）对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？p 11(1)n n ∞+=-∑何时发散？八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数．212nnn n ∞=∑第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ， 时，．a =b =2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--2． ．11lim(2)nn k k k →∞==+∑3．设，则 ．()(1)(2)(100)f x x x x x =--- (100)f '=4．当 ， 时，在时关于的无a =b =2()1xf x ax x bx=+++0x →x 穷小的阶数最高．5． ．2221(1)x dx x +∞=+⎰6．点关于平面的对称点的坐标为 ．(2,1,1)-25x y z -+=7．通过点与直线：的平面方程为 ．(1,1,1)-,2,2x t y z t ===+8． 幂级数的和函数为 ，收敛域为 ．1nn nx∞=∑二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其{}nx 111,(1,2,)n x x n +=== {}n x 极限．三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，()f x [,]a b (0),()0baa f x dx >=⎰(,)a b ξ∈使得．()()af x dx f ξξξ=⎰四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得xOy 222()(0)x b y a a b -+=<<3x b =到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求．200lim sin()tt tx dx +→⎰六、（10分）在平面内作一条直线，使该直线经过另一直线:220x y z ∏+-=Γ与平面的交点，且与垂直，求直线的参数方程．221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩∏ΓL Γ七、（8分）判别级数的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．)11(1)1n n ∞+=--∑八、（10分）求函数的幂级数展开式，并指出其收敛域．222()(1)(12)x f x x x +=-+第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． ．30sin sin(sin )lim x x x x →-=2．，则 ．2arctan()tan x y x e x =+y '=3．设由确定，则 ．y x x y =()y y x =dy dx=4．，则 ．2cos y x =()n y =5． ．21x x e dx x -=⎰6． ．2140arctan()1x x dx x =+⎰7．圆的面积为 ．2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩8． 级数的和为 ．11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值．a 2axx e ≤x a三、（10分）设函数在上连续，且，求证：存在()f x [0,1]1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，使得．(0,1)ξ∈()0a f x dx ξ=⎰四、（12分）求反常积分．4211dx x +∞-⎰五、（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围(0,0)ln y x =-ln y x =-x 的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积．x 六、（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正1111ABCD A B C D -E 11D C F 方形的中心．（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值；11BCC B 1,,A E F ABCD （2）试求点到过点的平面的距离．D 1,,AEF 七、（12分）已知数列单调增加，满足{}n a 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ，记，判别级数的敛散性．(2,3,)n = 1n n x a =1n n x ∞=∑第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． ．0x →=2． ．333412lim x n n →∞+++= 3． ．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰4．，则 ．ln(1)y x =-()n y =5． ．2arctan x xdx =⎰6． ．11arccos x dx x=7．点到直线的距离为 ．(2,1,3)-13122x y z -+==-8． 级数为条件收敛，则常数的取值范围是 ．2(1)1kn n n n ∞=--∑k 二、（每小题6分，共12分）（1）求．3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑（2）设在处可导，且，求．()f x 0x =(0)1,(0)2f f '==20(cos 1)1lim x f x x →--三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当()f x (,)δδ-0δ>0x δ-<<()f x 时，严格减少，存在，且是的极小值．0x δ<<()f x 0lim ()x f x →(0)f ()f x （2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线()f x (,)δδ-0δ>(0)f (0,(0))f 的拐点．()y f x =四、（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，在时()P x 1x =134x =取极小值．14-五、（12分）过原点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为(0,0):x y e -Γ=L D Γx 边界的无界区域．（1）求切线的方程；（2）求区域的面积；（3）求区域绕轴旋L D D x 转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点在平面的两侧，过点作球面(1,2,1),(5,2,3)A B --:223x y z ∏--=,A B 使其在平面上截得的圆最小．∑∏Γ（1）求直线与平面的交点的坐标；AB ∏M （2）若点是圆的圆心，求球面的球心坐标与该球面方程；M Γ∑（3）证明：点确是圆的圆心．M Γ七、（12分）求级数的和．1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑。
江苏省数学竞赛试题及答案
江苏省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个表达式等于 \( \frac{1}{2} \)？A. \( \frac{3}{6} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{3}{8} \)5. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中3/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 8B. 12C. 16D. 207. 一个数的1/3加上它的1/4等于这个数的多少？A. 7/12B. 1/2C. 5/12D. 1/38. 下列哪个数是最小的正整数？A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 1610. 一个数的3倍加上15等于这个数的5倍，这个数是多少？B. 10C. 15D. 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的2倍减去8等于36，这个数是_________。
12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是_________元。
13. 一个长方形的长是15厘米，宽是长的2/3，那么宽是_________厘米。
14. 一个数的1/4加上它的1/2等于这个数的_________。
15. 一个数的倒数是1/5，这个数是_________。
16. 一个数的75%加上25等于这个数本身，这个数是_________。
17. 一本书的总页数是360页，小明第一天读了总页数的1/4，第二天读了总页数的1/6，小明两天共读了_________页。
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知21()d f x dx x ??=?，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )x x x +→= ．3．=? ． 4．若级数11(2)66n n n n n a n -∞=-+∑收敛，则a 的取值为． 5． [()()]sin aa f x f x xdx -+-=? ．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为（）． A ．0,1x = B ．1x = C ．0x = D ．无可去间断点2．设21()sin ,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln x f x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0 4．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （）．A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点(2,0,3)-且及直线2470,35210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程是（）． A ．16(2)1411(3)0x y z --+++= B ．(2)24(3)0x y z --++=C ．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=?，求常数,a b ．四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=??++=? 确定，求220t d y dx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点．六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na ++ +≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线及抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()x F x x t f t dt '=-?的导数及2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数210(21)n n n x∞+=+∑的收敛域及和函数.十、（8分）将1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域．十一、（6分）求581x x dx x -+?．十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满足3()211()(8)3f xg x dxx x =-?，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim (0)x k x e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是．A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界 B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界 C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界 4．设2ln(1),arctan x t y t t =+=+，则22d y dx = ． 5．设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ．6．(arcsin arccos )x x dx -=? ．7．4+∞=? ． 8．幂级数11112n n x n ∞=??+++∑的收敛域为．二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调减少，0a b <<，求证：00()()b aa f x dxb f x dx ≤??．三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2x x e dx π??+ ．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ?+++-+=Γ?+-=?（1）当k 为何值时Γ为一圆？（2）当6k =时，求Γ的圆心和半径．六、（8分）求直线1211x y z -==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面及0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞??++++ ．八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )n k n n x ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π?∈ 时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ??∈时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -及k cx 为等价无穷小，则k = ，c = ．3．2tan2lim(sin )x x x π→= ．4．2222lim 14n n n n n n n n →∞??+++= ?+++??． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-? ． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为．8．1(1)2n n n n ∞==+∑ ．二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2b a f x dx b a =-?，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ．（1）试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上处处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x -+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -及(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)n n n n x n ∞=+∑收敛域第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞??+++= ?+++?．2．23001lim(1)x t x e dt x-→-=? ． 3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)x f x x x e =++，则(0)f ''= ．5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d y dx =-= ．6．1ln[()()]()()x b x a x a x b dx x a x b +++?+=++? ．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 及CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为．8．已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ?++≤=?+>? ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在．。
2017年江苏省高等数学竞赛试卷解析(专科)
（专）
(专科评分标准) 第 2 页
(专)
二. (10 分) 判断下列命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例,证明命题
不成立. 命题 1：若函数 f x, g x 在 x a 处皆连续 a R ，则 f x g x 在 x a 处连续;
命题 2：若函数 f x, g x 在 x a 处皆不连续 a R ，则 f x g x 在 x a 处不连续. (专)
2017 专科试题
一． 解下列各题 （每小题 5 分，共 25 分）
1.(5 分×2)
求极限: 1)
lim
n
n2
1
2 n n2
n
n
n2
n
;
2)
lim
n
n2
1
2 n n2 2
n
n n2 n
n .
(专科)
2.（5 分）
已知函数 f x 在 x 2 处连续,
f x 4
lim
5,
试证 f x 在 x 2 处可导,并求
x2 x 2
f 2.
（专）
3. （5 分） 设 nN, 试求极限
cos2n 1 x
lim
.
(专)
x /2 cos x
2
4. （5 分） 试求定积分 x dx. 1
I0
/2 cos x dx , （2 分）所以 0 cos x 2
I3
I2
I1
I0
2
（2
分）
六．（10 分）设曲线
y
江苏省高等数学竞赛试题
2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分） 1.()()3sin sin limsin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()n y =4.21x xdx x e +=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz==8.级数()()1111!2!nnn n n ∞=+--∑的和为 二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈， 使得()()()()()30212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
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2012年省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim 4x x x 2. =+++∞→433321lim n n n Λ 3. =⎰→x x tdtt x x 32030sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=⎰xdx x arctan 2 6.⎰=211arccos dx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值围是 二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim xx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。
（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<x 0时，)(x f 严格减少，)(lim 0x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。
（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。
五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线L 的方程。
（2）求区域D 的面积。
（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
六．（12分）点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。
（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。
（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面的方程。
（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心。
七．（12分） 求级数∑∞=-++12)1()1(n n nn n n 的和。
2010年省《高等数学》竞赛试题（专科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x→-= 2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21x x e dx x -=⎰ 6.2140arctan 1x x dx x =+⎰ 7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8. 级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰. 四. （12分）求广义积分4211dx x+∞-⎰ 五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六.（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 七（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2008年省高等数学竞赛题（专科）一．填空题（每题5分，共40分）1.a = ，b = 时，2lim arctan 2x ax x x bx x p +=--2. ()11lim 2n n k k k ==+å 。
3.设()()()()12100f x x x x x =---L ，则()100f ¢= 4. a = ，b = 时2()1x f x ax x bx =+++在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。
5.()22121x dx x +∞=+⎰6.点()2,1,1-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为7.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为8.幂级数1n n nx ¥=å的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列{}n x为111,1,2,)n x x n +===L ，证明：数列{}n x 收敛，并求其极限 三．（8分）设()f x 在[],a b 上连续()0a >，()0ba f x dx =ò，求证存在(),a b ξ∈，使得()()a f x dx f xx x =ò。
四．（8分）将xoy 面上的曲线()()2220x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。
五．（8分）（8分）求25001lim sin()t t tx dt t +®ò 六．（10分）在平面:220x y z ∏+-=作直线Γ，使直线Γ过另一直线221:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面设∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程。
七（8分）判别级数())1111n n ¥+=-å的敛散性（绝对收敛？条件收敛？发散？） 八．（10分）求222()(1)(12)x f x x x +=-+的关于x 的幂级数展开式，并指出收敛域。
2006年省高等数学竞赛试题（专科）一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-=⎰3. )lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. ()2212ln 1,arctan ,t d y x t y t dx =-=+==6.()()()()1ln x a x b x a x b dx x a x b ++⎡⎤++=⎣⎦++⎰ . 7.设,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 与CD 的中点分别为,E F ，EF a =（其中a 为常数），P 为空间的任意一点，则()()PA PB PC PD +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为 .8. 已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的外接球面方程为二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()120arctan 1xdx x +⎰六（9分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）级数()111n pn n ∞+=-∑何时绝对收敛?何时条件收敛？何时发散？ 八（9分）求幂级数212n n n n x ∞=∑的收敛域与和函数2004年省高等数学竞赛试题（专科）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式. 2. 0x →时，sin cos x x x -⋅与k cx 为等价无穷小，则c = 3.()2tan 2lim sin x x x π→= 4. 2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L 5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f = 6. ()()21x x e x dx x e -=-⎰ 7. 以直线x y z ==为对称轴，半径1R =的圆柱面方程为 . 8. ()112n n n n ∞==+∑ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 可导，(),f a a =，()()2212ba f x dxb a =-⎰,求证： (),a b 至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。
五（10分）上k 为常数，方程110kx x-+=在()0,+∞恰有一个根，求k 的取值围。