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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)

二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。

关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。

预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。

如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。

1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。

2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。

求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。

2）的通解。

将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。

二阶常系数线性微分方程的解法word版

第八章讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' 1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 1变成0=+'+''qy y p y 2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式2的两个解, 则2211y C y C y +=也是式2的解,其中21,C C 是任意常数.证明因为1y 与2y 是方程2的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程2的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式2的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间a,b 内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式2的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数是方程式2的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=21,C C 是任意常数是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =r 为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程2.将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程2,得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r 3只要r 满足方程式3,rx e y =就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程2y y y ,,'''的系数. 特征方程3的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式2的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时,21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程2的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程2的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程2的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程2, 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程3的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程2的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程2的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程3有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, 0≠β于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程2的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程2的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程2的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:1写出方程2的特征方程02=++q pr r2求特征方程的两个根21,r r3根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程2的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程1的一个特解,Y 是式1所对应的齐次方程式2的通解,则*+=y Y y 是方程式1的通解.证明把*+=y Y y 代入方程1的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程1的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程1的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程1的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' 4 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程4的特解, 非齐次线性方程1的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程1的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程1的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程1并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 5以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:1 若λ不是方程式2的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式5的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入5式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*2 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式5成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.3 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使5式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式,可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式1中的x m e x P x f λ)()(=,则式1的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式1成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' 7这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式7的特解*y 也应属同一类型,可以证明式7的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω,ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根,0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程,得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

常微分方程讲义++很详细

定值.方程(1.12)的初值问题常记为
(1.16) 初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值条件
代入通解中，得到方程
从中解出 C，设为
，代入通解，即得满足初值条件的解
.
对于 n 阶方程，若已求出通解得到 n 个方程式
后，代入初值条件(1.15)，
(1.17)
2 讲变量可分离方程方程？1．什么是变量可分离方程？1．什
么是 21．什么是变量可分离方程？什形如
1．或
（1.18）
（1.19）的方程，称为变量可分离方程.我们分别称(1.18)、(1.19)为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程．方程(1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含 x 的函数，另一个因式是只含 y 的函数．而方程(1.19)是(1.18)的微分形式．例如，方程
是未知函数对 t 导
数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为
(1.2) 将上式对 t 积分两次得
(1.3) 其中和是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解.
一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关
系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程
（1.4）
（1.5）
(· =
)
（1.6）
(′=
)
（1.7）
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为（1.8）如果在(1.8)中能将 y′解出，则得到方程（1.9）或（1.10）

Word可编辑_常微分方程理论知识与算法解的存在唯一性定理与逐步逼近法

第三章一阶微分方程的解的存在定理微分方程来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预料未来的可能情况。

对于反映某一运动规律的微分方程,如果能找出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一定条件相应地选定其中的任意常数，获得所需要的特解并通过其表达式了解它对某些参数的依赖情况，从而适当地选择这些参数，使得对应的解——“运动”具有所需的性能。

在第二章里，我们已经介绍了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但同时指出，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出它的通解的，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此，对初值问题的研究被提到了重要的地位。

自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？容易举出解存在而不唯一的例子。

例如方程过点的解就不是唯一的。

事实上，易知是方程的过点的解。

此外，容易验证或更一般地,函数都是方程的过点而定义与区间上的解，这里的满足的任一数。

本章介绍的存在唯一定理完满地回答了上面提出的问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。

另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有十分重大的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。

因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，显然问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。

解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和基础。

此外，我们将看到在定理的证明过程中还具体地提供了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。

由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。

因此我们以它作为初始条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就产生了了解对初始值的连续依赖性问题，即当初始值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去实用的意义，因它可能与实际情况产生很大的误差。

04第四讲_微分方程word精品文档12页

第四讲微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？答微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.问题2 如何求解一阶微分方程？答一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyg x dx h y =⎰⎰. 2 齐次微分方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()duu x u dxϕ+=并求解.3 一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法）先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()P x dx y Ce -⎰=；再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dxy C x e -⎰=，代入方程求出()C x .通解公式：()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4 伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较）解法方程两边乘以y α-，再令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例求解下列一阶方程：1.y y x y x +-='22 【C x xy x +=>ln arcsin ,0】 2.)ln (ln x y y y x -=' 【1+=Cx xe y 】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.ln dy y dx y x=- 7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答二阶微分方程(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1. ()y f x ''=、()()n y f x =型的微分方程特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2. (,)y f x y '''=型的微分方程特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例1. 解方程20yy y '''-=.【12C x y C e =】2.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.3.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===，方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+.注意二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*k y 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1n k k y =∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根方程0y py qy '''++=的通解两个不等实根12,r r 1212e e r x r x y C C =+两个相等实根12r r = 112()e r x y C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]x y C x C x αββ=+ 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k x m y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]x m l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解. 例1.求022=-'-''x e y y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】3.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？答令t x e =，则dy xy Dy dt'==， 222(1)d y dyx y D D y dt dt''=-=-，欧拉方程化为二阶常系数线性方程.例欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221x C x C y +=】问题8 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例1.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f . 解 00()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴ 两边对求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-，由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.2.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，求()f x '.【e ()1xf x x -'=-+】解由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得 ()1f x '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+，又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.问题9 如何用微分方程求解应用问题？答关键是建立微分方程（包括初始条件）. 例题3 应用题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4l 】解 ⑴曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'，令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'. 由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰.4===⎰. 3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x=≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-，依题意dv kv mdt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即ekt mv C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离000700()700e e 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）问题10（数学三）何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性差分方程？答函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-.二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+. 差分方程：含有差分的等式. 差分方程的阶：下标差的最大值.第 58 页求解一阶常系数线性差分方程1()t t y py f t +-=的步骤是：⑴先求对应齐次方程10t t y py +-=通解：求出特征方程0r p -=的根r p =，10t t y py +-=通解为t t y Cp =，⑵再求非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=的特解*()k t t m y t Q t b =，0,1,b p k b p ≠⎧=⎨=⎩⑶非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*t t t y Cp y =+，例1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)t a a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126t t y C t =-+-】 6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

常微分方程初步word版

第五章常微分方程微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及理论.一、微分方程的基本概念本节主要内容1．微分方程的概念2．微分方程解的概念讲解提纲：1 微分方程的概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.例1 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程 )20(--=T k dtdT (1.1) 其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (1.2)例 2 设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dtx d =22 (1.3) 根据题意，)(t x x =还需满足条件.0|0==t x (1.4)其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式：)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.满足微分方程的函数，就是说，把这个函数代入微分方程能使方程成为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.2 微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数。

(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题

常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。

常微分方程复习Word版

常微分方程复习填空题、选择题和解答题----比例是2-3-5。

一．填空题（20分）1．设微分方程,b x y n+='b 是常数，则.11C bx n x y n +++=+ 2．设微分方程x x x y 3cos 2sin ++=',则.)3sin 32cos 2(22C x x x y ++-+= 3．若一阶微分方程),()(t q x t p x =+'则它的通解})({)()(+⎰⎰=-C dt e t q e x dtt p dt t p 。

4．设函数组是nxxxe e e ,,,25．若函数x y x y 2cos ,2sin 1-==，则1y 与2y 是线性相关。

6．若二阶微分方程是032=+'+''x x x ，且设rxe x =，则特征方程是0322=++r r ，特征根是i r i r 21,2121--=+-=，二阶微分方程的解是]2sin 2cos [21t C t C e x t +=-7．若函数)(),(),(321x y x y x y 是3阶线性齐次方程的3个线性无关的解，则它的朗斯基行列式是0)(≠x W8．若函数)(,),(),(21x y x y x y n 是n 阶线性非齐次方程所对应的齐次方程的n 个线性无关的解,而)(x y *是非齐次方程的特解，则齐次方程的通解是)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ 非齐次方程的通解是)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ )(x y *+9．设函数),(y x f 在闭区域b y y a x x R ≤-≤-00,:上满足李谱茜斯条件，则存在常数b>0，对R 上的点),(),,(21y x y x ,有≤-),(),(21y x f y x f 21y y b - 10．若函数)(t f 的拉普拉斯变换是dt t f e t f L st ⎰∞-=)()]([，则===][,][,][at at te L e L k L ，2)(1,1,a s a s s k --11．若二阶微分方程是t e x x x 52=+'+''，则它的特征方程是0122=++r r ，它的齐次微分方程通解是te t C C -+)(21，它的非齐次方程的特解应设为tAe 5（A 是待定系数）.二、选择题(30分)1．设函数),(),,(y x q y x p 连续可微，则方程0),(),(=+dy y x q dx y x p 是全微分方程的充分必要条件是（ C ）。

常微分方程复习资料(可编辑修改word版)

常微分方程复习资料一、填空题1. 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．2. 方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的基本解组是．3. 一个不可延展解的存在在区间一定是区间． d y4. 方程d x 的常数解是．5. 方程d y = x 2 + y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．d x6. 若 y =(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，则方程 d yd x与 x 轴相交．= (x ) y 的任一非零解7. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，如果 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，那么它的任一非零解在 xoy 平面上与 x 轴相切．8. 向量函数组Y 1 (x ), Y 2 (x ), , Y n (x ) 在其定义区间 I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式W (x ) = 0 ， x ∈ I ．9. 方程 x ( y 2 - 1)d x + y (x 2 - 1)d y = 0 所有常数解是．10. 方程 y ' + 4 y = 0 的基本解组是．d y11. 方程= d x+ 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是．12．若 y = 1 (x ), 二、单项选择题y = 2 (x ) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．d y1. 方程 d x- 1 = x 3 + y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除 y 轴外的全平面 d y2.f ( y ) 连续可微是保证方程 = d xf ( y ) 解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分3. 二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个 2 维线性空间（B ）构成一个 3 维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性d y 4. 方程d x2= 3y 3过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解5. n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A ） n 维（B ） n + 1维（C ） n - 1维（D ） n + 2 维d y 6. 方程= d x+ 2 （）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个 7. 若 y = 1 (x ) ， y = 2 (x ) 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（）．（A ）1 (x ) -2 (x ) （B ）1 (x ) +2 (x ) （C ） C (1 (x ) - 2 (x )) + 1 (x )（D ） C 1 (x ) +2 (x ) 1 - y 2 y x - y =1 - ( y )2 x ⎪ d y ⎪ d y 8.f ' (x , y ) 连续是方程 d y= y d x f (x , y ) 初值解唯一的（）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分d y9. 方程= d x 的奇解是（）．（A ） y = xd y（B ） y = 1（C ） y = -1（D ） y = 010.方程 = d x 过点( 2, 1) 共有（）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三11. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A ） n （B ） n -1 （C ） n +1 （D ） n +2 12. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解13. 如果 f (x , y ) ，∂f (x , y )∂yd y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 d x f (x , y ) 的任一解的存在区间（）．（A ）必为(-∞, + ∞) 三、计算题（B ）必为(0, + ∞) （C ）必为(-∞, 0) （D ）将因解而定求下列方程的通解或通积分：1.d y = y ln y d x2.d y = + yd x x 3.d y = y + xy 5d x4． 2xy d x + (x 2 - y 2 )d y = 0 5． y = xy ' + 2( y ')36.d y= d x xy 1 + x 27.d y+ 3y = e 2xd x 8. (x 3 + xy 2 )d x + (x 2 y + y 3 )d y = 0 9．e y ' + y ' - x = 0 10． yy ' + ( y ')2 = 011.d y = d x y + tan y x x12.d y = d x y + 1x13. (x 2e y - y )d x + x d y = 014． y '(x - ln y ') = 115． yy ' + y '2 + 2x = 017．求下列方程组的通解．⎧d x= y + d t ⎨⎪ = -x ⎩ d t19．求下列方程组的通解1 sin t 16．求方程 y ' - 5 y ' = -5x2 的通解．18．求方程 y ' - y =1 e x 的通解．2五、证明题⎧d x= -x - 2 y d t⎨． ⎪ = 3x + 4 y ⎩ d ty 1 - y 2=1 - u2 ⎰ ⎰ x1. 设 f (x ) 在[0, + ∞) 上连续，且 limx →+∞ f (x ) = 0 ，求证：方程 d yd x+ y = f (x ) 的一切解 y (x ) ，均有 lim y (x ) = 0 ．x →+∞2. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中， p (x ), q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，求证：若 p (x ) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W (x ) 是(-∞, + ∞) 上的严格单调函数．d y3. 设 f (x , y ) 在整个 xoy 平面上连续可微，且 f (x , y 0 ) ≡ 0 ．求证：方程 d x= f (x , y )的非常数解 y = y (x ) ，当 x → x 0 时，有 y (x ) → y 0 ，那么 x 0 必为- ∞ 或+ ∞ ．4. 设 y = 1 (x ) 和 y = 2 (x ) 是方程 y '' + q (x ) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W (x ) ≡ C ，其中C 为常数．d y5. 在方程 d xf ( y )( y ) 中，已知 f ( y ) ，'(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，且(±1) = 0 ．求证：对任意 x 0 和y 0 < 1 ，满足初值条件 y (x 0 ) = y 0 的解 y (x ) 的存在区间必为(-∞, + ∞) ．6. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，已知 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续．求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2． e x , x e x 3．开 4． y = ±15．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9． y = ±1, x = ± 1 10． sin 2x , cos 2x 11． D = {(x , y ) ∈ R 2 y > 0}，（或不含 x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D 9.D10.B 11.A12.C13.D三、计算题1. 解当 y ≠ 0 ， y ≠ 1时，分离变量取不定积分，得d y= d x + Cy ln y 通积分为ln y = C e xd y d u2.解令 y = xu ，则 d xx d u =d x= u + x d x ，代入原方程，得分离变量，取不定积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C （ C ≠ 0 ）通积分为：arcsin y= ln Cxx3. 解方程两端同乘以 y-5 ，得 y -5 d y= y -4 + xd x令 y -4 = z ，则- 4 y -5 d y = d z，代入上式，得d x d x1 - u2 =⎩通解为 -1 d z- z = x 4 d xz = C e -4x - x + 14原方程通解为y -4 = C e -4x - x + 14∂M 4.解因为 ∂y = 2x =∂N，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为xy 2⎰02xy d x - ⎰y 即x 2 y - 1y 3 = C3 d y = C5. 解原方程是克莱洛方程，通解为 y = Cx + 2C 36. 解当 y ≠ 0 时，分离变量得d y = y xd x 1 + x 2等式两端积分得ln y 即通解为= 1 ln(1 + x 2 ) + ln C 2 y = C 7. 解齐次方程的通解为y = C e -3x令非齐次方程的特解为y = C (x )e -3x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = 1 e 5x+ C 5y = C e -3x + 1e 2x5∂M ∂N8.解由于 ∂y = 2xy =，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为 x (x 3 + xy 2 )d x + y y 3d y = C⎰⎰1即x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 = C 9. 解令 y ' = t ，则原方程的参数形式为⎧x = t + e t⎨y ' = t 由基本关系式1 + x 2y积分有d y = y 'd x = t (1 +e t )d ty = 1t 2 + e t (t - 1) + C2得原方程参数形式通解⎧x = t + e t ⎪ ⎨ y = 1 t 2 + e t(t - 1) + C ⎩⎪ 210. 解原方程为恰当导数方程，可改写为( yy ')' = 0即分离变量得yy ' = C 1 y d y = C 1d x积分得通积分1 y 2= C x + C2 1 211. 解令 y = u ，则d y = u + x d u，代入原方程，得x d x d xu + x d u = u + tan u ， x d u = tan ud x d x当tan u ≠ 0 时，分离变量，再积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C tan u x即通积分为： ln sin u = ln x + ln C sin y = Cx x12. 解齐次方程的通解为y = Cx令非齐次方程的特解为y = C (x )x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = ln x + C y = Cx +x ln x 13. 解积分因子为(x ) =原方程的通积分为 x (e x-1 x 2y )d x +d y = C⎰1x 2⎰1即e x + y= C , xC = e + C 1）14.解令 y ' = p ，则原方程的参数形式为⎧x = 1+ ln p⎪ ⎨⎪⎩y ' = p p2 1由基本关系式d y= y ' ，有 d xd y = y 'd x = p ⋅ (- 1p 2 + 1 )d pp积分得= (1 - 1 )d ppy = p - ln p + C 得原方程参数形式通解为 ⎧x = 1+ ln p ⎪⎨⎪⎩y = p - ln p + C 15. 解原方程可化为( yy ' + x 2 )' = 0 于是y d y+ x 2 = Cd x 1积分得通积分为1y 2 = C x - 1x 3 + C2 13 2（6 分）16. 解对应齐次方程的特征方程为2- 5= 0 ，特征根为1 = 0 ，2 = 5 ，齐次方程的通解为 y = C 1 + C e 5x因为= 0 是特征根。

常微分方程知识点

第一章绪论什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++--Λ的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。

第二章一阶微分方程的初等解法§ 2.1 变量分离方程1、形式：)()(y x f dxdy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解2、y x P dxdy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。

3、齐次方程：)(xy g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。

同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）4、222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 212121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ，(2.14) 变为⎩⎨⎧=+=+002211Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，§ 2.2 线性微分方程与常数变易法1、)()(x Q y x P dxdy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dxdy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P2、伯努利微分方程n y x Q y x P dxdy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy yn n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u yx u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、由条件得：yx u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？对右边关于x 求偏导0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明xN y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。

(完整word版)常微分方程教案2

河北民族师范学院课程教案
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c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。

4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。

实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。

非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。

常微分方程讲义word版

常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()(1)()( 2、齐次方程（一般含有xyy x 或的项） ),(y x f dxdy=，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dxdux ==+例：xyxtg y xy =-'例：344322xy x y y x dx dy --=例：222y x xy dx dy +=例：1)0(,3222=-=y y x xy dx dy 例：22y x y dxdyx-+=3、一阶线性非齐次方程⇒+=)()(x b y x a dxdy常数变易法或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dxx a dxx a例：e y e y dxdyxx ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dyx例：211'x xyy --=例：21222sin 22sin 1x e y x dxdy y x ++=+4、贝努利方程n y x b y x a dxdy)()(+= 令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n --=)1(，代入得：)()1()()1()()(1x b n z x a n dxdz x b y x a dx dy y n n +++=⇒+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：)1(22y x xy dxdy+= 例：xyy x dx dy -=sin 12例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：211y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M第一种情况：若xNy M ∂∂=∂∂则⎰⎰+=yy xx d x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ或⎰⎰+=yy xxd x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：022=+-yx ydx xdy例：0)1()1(=-++dy yx e dx e yx y x例：0112222=+-+-xdx dy y x xdx y x y 例：dx y x dy y x dx y x )()()(22+=++- 例：0)()(5445=-+-dy y x x dx y x y 例：0)22()522(32=++++dy x x dx y y x 第二种情况：若xNy M ∂∂≠∂∂则找积分因子1、只存在与x 有关的积分因子的充要条件是)()(1x xNy M N φ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dxx e x )()(φμ2、只存在与y 有关的积分因子的充要条件是)()(1y yMx N M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ例：0)12(4322=-+dy y x dx y x 例：0)(344=-+dy xy dx y x 例：0)52()34(324=+++dy xy x dx y xy ＊微分方程解法的不确定性与灵活性：xydx dy = ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧方程“凑”的思路：全微分贝努力方程一阶线性非齐次方程齐次方程可分离变量方程“分”的思路：6、可降阶的二阶微分方程第一类：)(22x f dxyd =例：1)0(',1)0(,1'')1(2-===+y y y x第二类：),(22dx dy x f dxy d =，令dx dpdx y d p dx dy ==22,则例：xy y xy 'ln '''=例：01)'('')1(22=+++y y x 例：x e y y =-'''第三类：),(22dx dyy f dxy d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则例：1)0(',0)0(,0''2===-y y e y y 例：2)0(',0)0(,0'''===-y y e y y y例：求方程0''2)'(2=+yy y 的在点)1,1(与直线x y =相切的积分曲线可降阶微分方程解法的灵活性：例：0)'('''3=++y y y ，令dy dpp dxy d p dx dy ==22,则例：0)'(1''2=-+y y ，令dx dydxy d p dx dy ==22,则微分方程的近似解：Picca 序列给定微分方程⎪⎩⎪⎨⎧===00|),(y y y x f dx dyx x ，则有在),(00y x 处的第1次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(001在),(00y x 处的第2次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(102…………在),(00y x 处的第n 次近似：⎰-+=xx n n dx y x f y y 0),(10例：求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==1)1(y x ydx dy ，当2=x 时，y=？精确方法Picca 近似：精度与误差例：求微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)1()ln(sin πy y dxdy的Picca 逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：⎪⎩⎪⎨⎧==00),(y y y x f dx dyx定理1：设函数),(y x f 在矩形区域},:),{(:00b y y a x x y x R ≤-≤-上连续；且对R 上任意两点),(),,(21y x y x ，满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-。

常微分方程讲义全文

6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶线性二阶线性一阶非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。自由项为零的方程，称为齐方程。自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)

高等数学-第6章-常微分方程【可编辑全文】

6.3.3 形如的y 方f 程y, y
6.4 二阶线性微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式 6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构 6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.6 微分方程的简单应用
微分方程是利用一元微积分解决实际问题的重要数学工具．现实世界中，能用微分方程建模研究的实际问题有很多，涉及的领域包括物理学、化学、经济、生物、军事、资源等．下面举几个简单的例子，说明如何运用微分方程解决实际问题．
6.3.1 形如 y'' f (x) 的方程 6.3.2 形如y'' f (x, y ') 的方程 6.3.3 形如y f y, y 的方程
6.3.1 形如的y方'' 程f (x)
6.3.2 形如的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如的y''方f (程x, y ')

常微分方程计算题word精品文档28页

计算题1、求解微分方程2'22xy xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy+=通过点(0,0)的第三次近似解.3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dxdt y dydt x y==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x'22的通解8、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=2410、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过(0,0)的第三次近似解.11、求解方程''+-=-y y y e x'24的通解12、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x(')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy+=通过点(0,0)的第三次逼近解.15、求解方程''+-=--y y y e x'22的通解16、求解方程xe y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：22、求初值问题 22,(1)0dyx y y dx=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

5第五讲常微分方程

练 (2007年高数一)
任给有理数a,
函数
f(x)满足
f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2

dy dx

0
的通解.
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
f
t dt

ex,
求
f(x).
练 (2006年高数一)
求微分方程
d2y dx2

3
dy dx

2
y

2e
x
满足y 1, x0
dy dx
x0
0 的特解.
练 (2007年高数二) 求微分方程 y 2 y 5 y 2ex 的通解.
练习:
1.已知 y 1, y x, y x2 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为_________.
2.掌握可分离变量方程的解法。
形如 g ydy f xdx 或 dy y f x
dx
的方程称为可分离变量方程 (即变量 x, y 可分离). 将左式两边积分即得其通解
g y dy f x dx c
例: 求方程 xy' y ln y 0 的通解.
的两个解, 则 Y1-Y2 是此方程的解吗?
C1 Y1 x Y2 x Y2 x还是方程的解吗？
例已知非齐次方程
ay by cy f x
的三个特解为Y1 1 x2 x3 , Y2 1 x3 , Y3 x2 x3 . 试求该方程的通解.