数学模型等级结构

攀枝花学院学生课程设计（论文）

题目：

学生姓名：学号：

所在院(系)：数学与计算机学院

专业：信息与计算科学

班级：

指导教师：职称：讲师

2014年 12月 19 日

攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

年

注：任务书由指导教师填写。

摘要

按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。不同等级人员比例不一样的等级结构。合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构。

引起等级结构变化的因素有两个，一是系统中等级间转移，即是升级或降级。二是系统外的交流，即是调入或退出。系统变化本是一个确定转移问题，但是当我们的人员时期按照一定比例成员提升，降级或退出，就转化为马氏链模型等级描述变化。

关键词等级结构、预知，变化，转移，马氏链

目录

摘要 (4)

1问题重述与问题分析 (5)

问题重述 (5)

问题分析： (6)

2模型假设与符号解释 (6)

模型假设 (6)

符号说明 (6)

3建立模型与分析 (9)

建立模型 (9)

模型1 (9)

..................................... 错误!未定义书签。

模型二 (10)

用调入比例进行动态调节 (10)

4模型结果 (12)

模型解释 (12)

结束语 (12)

参考文献 (12)

1问题重述与问题分析

问题重述

随着经济全球化的发展，推动生活节奏的加快，社会上常常要求按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。不同等级人员比例不一样的等级结构。合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构. 社会系统中的等级结构，适当的、稳定的结构的意义，描述等级结构的演变过程，预测未来的结构，确定为达到某个理想结构应采取相应

的策略解决问题。

问题分析：

引起等级结构变化因素。第一：系统内部等级间的转移：提升和级； 第二： 系统内外的交流：调入和退出(退休、调离等).用马氏链模型描述确定性转移问题 ——转移比例视为概率。

人才结构的系统性决定人才层次结构性，有多样性，划分标准性和各个层次功能多样性。

2模型假设与符号解释 模型假设

设一个社会系统由低级到高级分为k 个等级，如大学教师有助教、讲师、教授3个等级，时间是以年为单位离散化，就是每年只进行一次调级等级记作i=1,2,3，....k ，时间记作t=0，1，2,3....引用以下定义的符号：

符号说明

成员等级的分布向量

))(),....(2),(1()(t nk t n t n t n = (1)

其中)(t n i 为t 年属于等级i 的人数：

∑==k

i i t n t N 1)()( (2)

成员按等级分布的比列分布)(t a

))(),.....(2),(1()(t ak t a t a t a = (3) ∑==>=k

i t a t a 11)(1,0)(1 (4)

)(t a 称为等级结构

转移比列矩阵k k ij p Q *}{=其中ij p 为每年等级i 到等级j 的成员（在等级i 中的）比列

退出比例向量)...,(,21k w w w w =

∑===k

i T i i w t n t n w t W 1)()()( (5)

容易看出，,ij p i w ，满足

1,0,,1=>=∑=k

i i i i ij r r w p (6)

调入比例向量i k r r r r r r ),....,,(321=，其中i r 为每年调入等级i 的成员（在总人数中的）比例，记t 年总人数)(t R ，则t 年的总人数为)(,t R r i ，满足

1,01=>=∑=k

i i i r r (7)

等级结构基本方程 为了导出成员按等级的分布)(t n 的变化规律，先写总人数)(t N 的方程

)()()()1(t W t R t N t N -+=+ (8)

和每个等级人数转移方程

)()()1(1t R r t n p t n j i k

i ij j +=+∑= (9)

同向量、矩阵符号可以表示

r t R Q t n T n )()()1(+=+ (10)

从t 到t+1年总人数的增量记为)(t M （6），（3）得到

)()()()()(t M w t n t M t W t R T +=+= (11)

由（8）（9）得到

)()()()()(t M w t n t M t W t R T +=+= (12)

简记

r w Q P T =+ (13)

由（4）（5）是得到P 是一个随机阵，它的之是1.同时（11）记为

r t M P t n t n )()()1(+=+ (14)

当知道系统里进行转移比例矩阵Q 时，调入比例r ，初始的成员为

)0(n ，以及每年调入总人数)(t R 或总增长人数)(t M 时，可以用（8）（11）

（12）得到等级变化情况)(t n ，即是等级结构基本方程。 基本方程特殊形式

当每年系统总人数以固定的的百分比a 增长时，即

)()(t aN t M = (15)

可以用成员等级结构)(t a 代替)(t n 得到

])([)1()1(1ar P t a a t a ++=+- (16)

如果每年进出系统的人数大致相等，可以简化总人数)(t N 保持不变

))(()()1(r w Q t a P t a t a T +==+ (17)

方程与马氏链方程完全一致，等级结构相当于概率。