§1.1-向量与矩阵的定义及运算

37
矩阵A,B乘积的行数、列数间的关系是
(s, n)×(n, m)=(s, m)
用图示表示就是
nm
m
s n =s
例设
0 3 4
1
A
1
0
0 1 5
1 3 1
2
0
,
4
B
1 3 1
2 1 2
1
,
计算AB.
1
1
38
解 A (aij )34 , B (bij )43,
C (cij )33 .
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
(2)(A B)C A(BC);
(3)A 0 A；
(4) A(A)0;
(5) 1A A;
27
(6) k(lA) (kl)A;
(7) k( A B) kA kB;
(8)(k l)A kA lA;
(9) 0A 0,(1)A A, k0 0;
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
(a21E21 a22 E22 a23 E23 )
3
3
a1 j E1 j a2 j E2 j
j 1
j 1
30
23
aij Eij ;
i1 j1
或
当两个求和指标独 立取值时,连加号的 顺序可以交换.
A (a11E11 a21E21 )
(a12 E12 a22 E22 ) (a13 E13 a23 E23 )
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
8
例1 1 (1, 1, 2),2 (1, 2,0),3 (1,0, 3), 1 22 123 ,求 .
解:
(1, 1, 2) 2(1, 2, 0) 12(1, 0, 3)
(1, 1, 2) (2, 4, 0) (12, 0, 36) (1 2 12, 1 4 0, 2 0 36)
丙同学的高数总成绩为
600.3 800.3 900.4 78 33
引例(续)
75
C
80
.
78
还可以利用矩阵的某种运算得到 上述总成绩.
34
定义6
设A=(aij)s×n是一个s×n矩阵， B=(bij)n×m 是一个n×m矩阵, A的列数等于B的行数.
用cij表示A的第i行与B的第j列的对应分量 乘积之和，
A
Βιβλιοθήκη Baidu
90
70
80
,
60 80 90
0.3
B
0.3
.
0.4
32
引例(续)
80 70 75
0.3
A
90
60
70 80
80
,
90
B
0.3
,
0.4
解: 甲同学的高数总成绩为
800.3 700.3 750.4 75
乙同学的高数总成绩为
900.3 700.3 800.4 80
(k1, k2 , , kn ) 是向量组
1 (1,0, ,0),2 (0,1,0, ,0), ,n (0, ,0,1)
的一个线性组合.
证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2, , kn ) (k1,0, ,0) (0, k2,0, ,0) (0, ,0, kn )
称1， 2，L， n为n维向量空间Rn的基本向量组. 11
6
(1) ;
(加法交换律)
(2) ( ) ( ); (加法结合律) (3) 0 ;
(4) ( ) 0;
(5) 1 ;
(6) k(l ) (kl); (数乘结合律)
(7) k( ) k k ; (第一分配律)
(8) (k l) k l; (第二分配律)
创维 7 25 18 10
15 40 37 7
21
30
40
10
7 25 18 10
与数表对 应
14
引例2 线性方程组
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3
与数表对 应
a11 a12 a13 b1
a21 a31
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a22 a32
a23 a33
b2 b3
上述问题必须引进一些新的概念,如矩阵.
矩阵是一个非常重要的概念,不仅应用于
线性代数,而且深入数学,物理,计算机等
学科领域中.
15
定义4 数域P中sn个数排成的s行n 列的长方形数表
a11 a12 L a1n
a21
a22
L
a2n
M M M M
as1
注意：不同阶的零矩阵不同.
3. 行矩阵、列矩阵:
只有一行的矩阵 A (a11 , a12 , , a1n )
称为行矩阵A1×n (row matrix);
只有一列 的矩阵
a11
A
a21
an1
称为列矩阵An×1 (column matrix).
19
4. 对角矩阵：除主对角线上元素外， 其它元素都为零的n阶方阵.
故
1 C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6 .
2 17 10
i个分量 (i=1,2,...,n).
n维行向量和n维列向量都可称为n维 向量, n维向量常用小写黑体希腊字母
, , , 表示. 例：
＝(1, 3,8);
10
23
.
3
定义2 设两个n维向量
(a1 , a2 ,, an ), (b1 , b2 ,, bn )
(1) 如果他们对应的分量分别相等，即 ai bi , i 1, 2, n,
(11, 5, 34).
9
题中的 可以表示为 k11 k22 k33 的 形式,称 可由向量 1,2 ,3 线性表出, 或称 是 1,2 ,3 的一个线性组合.
为了简化记号,可以用连加号 表示
向量之和.因此题中的向量运算可表示为
3
= kii . i 1 10
例2 证明:任意n维向量
as2
L
asn
称为数域P上的sn矩阵(matrix)，aij称 为矩阵A的第i行第j列元素(entry).
16
aij
行下标 列下标
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素 是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的 矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.
s n矩阵A记为Asn 或 A=(aij)sn , 在 不引起混淆时简记为A=(aij).
第一章 向量与矩阵的基本运算
§1.1 向量与矩阵的定义及运算
定义1 既有大小,又有方向的量称为向量 (vector),又称矢量. n维向量可以用n个数 构成的有序数组来表示. 记作
(a1 ,a2 ,,an )
称为n维行向量； 若记作
2
a1
a2
an
则称为n维列向量.
并称数 ai 为 的第
则称向量 与 相等，记作 .
(2) 加法(addition): 称向量(a1+b1,...,an+bn)
为 与 的和，记作
4
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ).
+
B
O A
(3) 数量乘法(scalar multiplication):
设k为数，称向量(ka1,ka2，...,kan)为k与
17
一些特殊的矩阵：
1. n阶矩阵(square matrix) :行数与列数 相同,且都是为n的矩阵Ann称为n阶矩阵 或n阶方阵.
即
a11 a12 L a1n
A
a21 M
a22 M
L
a2
n
M M
an1
an2
L
ann
a11,a22,...,ann为A的主对角线上的元素. 18
2. 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称 为零矩阵,记为0.
的数乘，记作
伸缩变换
k (ka1, ka2 , , kan ).
5
(4) 分量全为零的向量(0,...,0)称为零向 量，记作0.
(5) 称(－a1, －a2 ,..., －an)为 的负向量，
记作 .
向量的加法以及数与向量的数乘统称 为向量的线性运算.
对任意的n维向量 , , 及任意的数k, l, 向量的线性运算满足以下八条运算规律：
例:有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域,
分别称为有理数域,实数域,复数域. 而整数
集Z不是数域. 我们主要用到的是实数域和
复数域.
任意数域中含有1,故含有Z,从而 含有Q. 因此Q是最小的数域.
13
引例1 某商场9月份电视机销售统计表
21寸 29寸 34寸 48寸
长虹 15 40 37 7 康佳 21 30 40 10
即：
cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj
n
aikbkj (i 1,2,L, s; j 1,2,L,m).
k 1
35
称矩阵C=(cij)s×m为矩阵A与B的乘积， 记为 C=AB. 注意：由矩阵乘法的定义
cij ai1b1 j ai 2b2 j L ainbnj
则称A与B相等，记作A=B.
23
(2) 加法：称矩阵
a11 b11 a12 b12 L a1n b1n
(aij
bij )sn
a21
M
b21
a22 b22 M
L M
a2n
b2n
M
as1
bs1
as2 bs2
L
asn
bsn
为A与B的和，记作A+B.
24
(3) 数量乘法：设k为数域P中的数， 称矩阵
6. 数量矩阵：若对角线元素为k (k 为常数),其余元素都为零的n阶矩阵， 称为n阶数量矩阵(scalar matrix)，记 为kE.
k
即
kE
k
k
22
矩阵的线性运算
定义5 设A=(aij)sn 和B=(bij)sn 是(数域P上) 两个sn (同型)矩阵，则
(1) 如果它们对应的元素分别相等，即 aij=bij, (i=1,2,…,s; j=1,2,…,n),
例2(续)
k1(1,0, ,0) k2(0,1,0, ,0) kn(0, ,0,1)
也即是
n
＝ ki i . i 1
称1， 2，L， n为n维向量空间Rn的基本向量组. 12
二、 矩阵
定义3 设P是复数集C的一个子集, 含有0 和1(零元和单位元). 如果P中的任意两个 数的和、差、积、商仍然在P中(即关于四 则运算封闭), 则称P为数域(number field).
2
2
2
ai1Ei1 ai2 Ei2 ai3 Ei3
i 1
i 1
i 1
32
aij Eij .
j1 i1
31
三、矩阵的乘法
引例
设甲、乙、 丙三位同学的高数平时、 期中、期末成绩为矩阵A, 平时、期中、 期末成绩所占比例为矩阵B, 这三位 同学的高数总成绩用矩阵C表示.
80 70 75
( i.e. aij=0, i≠j)
1
2
n
记为 diag1,2, ,n,
称为对角矩阵(diagonal matrix).
20
5. 单位矩阵：若对角线元素为1， 其它元素为零的矩阵，称为n阶单位矩 阵(identity matrix),记为En(或In),简记 为E.
1
即
E
1
1
21
7
注意:在上面的八条运算规律中只利用 了向量的加法和数乘. 但是,利用负向量 的概念,依然可以定义向量的减法运算:
＝ ( ).
直观地说就是对应的分量相减,
＝(a1 b1, a2 b2 , , an bn ).
显然，向量还满足以下的性质：
(9) 0＝0，(1)＝-，k0 0;
(10) k 0 k 0, 或＝0.
2 2
4 5
32 3 (1)
33 33
36 3 5
0 5 10
0 1 2
5
15
5
,
C
1
3
1 .
29
例5 设A=(aij)2×3, Eij表示第i行第j列元 素为1，其余元素为0的2×3矩阵 (i=1,2;j=1,2,3),如
0 1 0
E12
0
0
0
,
则A可表示为：
A (a11E11 a12 E12 a13 E13 )