离散型随机变量的期望值和方差
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12.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.
13.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.
3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.
（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.
Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.
二、例题剖析
【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.
7.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机__乙______的质量较好.
8.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=__ ______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为__ 5______.
9.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，则甲回家途中遇红灯次数的期望为__1.2______.
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时， 最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
三、同步练习g3.1098离散型随机变量Biblioteka Baidu期望值和方差
1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为B
A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4
C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1
2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为C
12.2 离散型随机变量的期望值和方差
一、知识梳理
1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.
2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差. 叫标准差，反映了ξ的离散程度.
从而得方程组
【例2】人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?
【例3】把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ.
【例5】袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.
【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－kD.P（ξ=k）=C ·0.99k·0.0110－k
5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于A
A. B. C. D.
6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于C
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
10.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.
11.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
拓展提高
既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）= ，P（ξ=x2）= ，且x1<x2，又知Eξ= ，Dξ= .求ξ的分布列.
解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有
Eξ= x1+ x2= ，
Dξ= x12+ x22－Eξ2= .
14.（辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4
3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则B
A.Eξ=3.5，Dξ=3.52B.Eξ=3.5，Dξ=
C.Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3.5，Dξ=
4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是A
A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1
特别提示
求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.
【例4】若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.
（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求 的最大值.
13.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.
3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.
（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.
Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.
二、例题剖析
【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.
7.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机__乙______的质量较好.
8.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=__ ______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为__ 5______.
9.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，则甲回家途中遇红灯次数的期望为__1.2______.
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时， 最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
三、同步练习g3.1098离散型随机变量Biblioteka Baidu期望值和方差
1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为B
A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4
C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1
2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为C
12.2 离散型随机变量的期望值和方差
一、知识梳理
1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.
2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差. 叫标准差，反映了ξ的离散程度.
从而得方程组
【例2】人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?
【例3】把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ.
【例5】袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.
【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－kD.P（ξ=k）=C ·0.99k·0.0110－k
5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于A
A. B. C. D.
6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于C
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
10.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.
11.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
拓展提高
既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）= ，P（ξ=x2）= ，且x1<x2，又知Eξ= ，Dξ= .求ξ的分布列.
解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有
Eξ= x1+ x2= ，
Dξ= x12+ x22－Eξ2= .
14.（辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4
3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则B
A.Eξ=3.5，Dξ=3.52B.Eξ=3.5，Dξ=
C.Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3.5，Dξ=
4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是A
A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1
特别提示
求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.
【例4】若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.
（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求 的最大值.