如何求异面直线所成的角

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如何求异面直线所成的角

立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也 是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那 么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。

I 、用平移法作两条异面直线所成的角

、端点平移法

例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，

QDF//EC 且 DF EC

四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC

EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。

设 AB 2,则 EF 76，AF

730

arccos 10

、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ，

Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点，

NO 为DAM 的中位线， NO//AM ，

ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。

広 J 7

设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO —

2 2

皿 NO 2 CN 2 CO 2

故 cos ONC -----------------

2NOgCN

2 ONC arccos-故EFA

EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA

730 10

75，EA 45

M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。

EFA

A l

A

D

三、特殊点平移法

例3、如图，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点, AF BE 1

7 ,———— -，求异面直线AB与CD所成的角。

FD EC 3

在BD上取一点G , 已知AB 4 , CD 20 ,

EF

解: 使得匹-，连结EG、FG , GD 3 1

-,故EG//CD ,

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BCD 中, BE 更

EC GD

同理可证：FG//AB

FGE （或它的补角）为AB与CD所成的角。Q EG//CD ,

EG BE

CD BC 同理可得：-,故EG 4

FGZ/AB，且H DF

AD -，故FG 3; 4

在FGE中，利用余弦定理可得

cos FGE EG2 GF2EF2

2EGg3F 3252 72

2 3 5

故 FGE 120 .

因为EG //CD , FG / /AB，所以EG与FG所成的锐角等于于是AB与CD所成的角等于60 .

D AB与CD所成的角,

点评：作两条异面直线所成的角时，我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点（或特殊点）作另一条直线的平行线，常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）.

四、交线平移法

例4、正三棱柱ABC AB1C1的各棱长都相等,求AB i与BC i所成的角的余弦值。

解：取BB i的中点0 ， B iG的中点F ， AB的中点E,

Q F、0分别B i C i、BB i为的中点,

FO为B i BC i的中位线,

FO //

BC i,

同理可证：OE/ZAB j

FOE （或它的补角）为AB i与BC i所成的角。

设正三棱柱 ABC A1B1C1的棱长为2,

解：如图，在正方体 ABCD A i B i C i D i 的上方补上一个 同样大小的的正方体 ABiGD i A 2B 2C 2D 2，连结 AD 2.

Q AA//D 1D 2 且 AA i

D 1D 2

四边形AD 1D2A 为平行四边形 A 1D 2//AD 1

CA 1D 2 （或它的补角）为AC 与AD i 所成的角。 设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则有AD 2 2S /2， AC 又因为 CD 22

AD 22

AC 2

故AC 与AD i 所成角为90 . 解：（法二）平移法

连结AC ，取AC 的中点O , AA 的中点E ，

AD i 的中点F ,连结EF ，EO ,

Q E 、F 分别AA,、A i D i 为的中点,

z B

/

/■;

D

z

-4

O

/

-

C i

EF 为AAD i 的中位线,

EF //AD ,，

OE 2 OF 2 EF 2

cos FOE ------------------

2OEgOF 1 arccos-.

4

点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线 时,这条直线总是跑到图形的外面去，此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这 样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段 ，然后在这条线段的中点作这两条异面直线 的平行线（如练习中BB i ）

U 、用补形法作两条异面直线所成的角

例5、如图所示,正方体ABCD A i B i C i D i 中,求 AC 与AD i 所成角的大小. （法一）补形法

同理可证：OE//AC

则有 OE OF 42，EF V 22

12

45

所以AB i 与BC i 所成的角为 ^/8，CD 2

720

A i

E