灰色预测原理及实例
灰色预测法GM(1,1)理论及应用
灰色预测法GM(1,1)理论及应用一、概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。
如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。
灰色预测模型及MATLAB实例
灰⾊预测模型及MATLAB实例下⾯将主要从三⽅⾯进⾏⼤致讲解，灰⾊预测概念及原理、灰⾊预测的分类及求解步骤、灰⾊预测的实例讲解。
⼀、灰⾊预测概念及原理：1.概述：关于所谓的“颜⾊”预测或者检测等，⼤致分为三⾊：⿊、⽩、灰，在此以预测为例阐述。
其中，⽩⾊预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；⿊⾊预测指系统的内部特征⼀⽆所知，只能通过观测其与外界的联系来进⾏研究；灰⾊预测则是介于⿊、⽩两者之间的⼀种预测，⼀部分已知，⼀部分未知，系统因素间有不确定的关系。
细致度⽐较：⽩>⿊>灰。
2.原理：灰⾊预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。
其核⼼体系是灰⾊模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加⽣成（或者累减、均值等⽅法）⽣成近似的指数规律在进⾏建模的⽅法。
⼆、灰⾊预测的分类及求解步骤：1.GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类⽐较：预测模型适⽤场景涉及的序列GM（1,1）模型⼀阶微分⽅程，只含有1个变量的灰⾊模型。
适⽤于有较强指数规律的序列。
累加序列均值序列GM（2,1）模型适⽤于预测预测具有饱和的S形序列或者单调的摆动发展序列缺陷。
累加序列累减序列均值序列DGM模型累加序列累减序列Verhulst模型累加序列均值序列2.求解步骤思维导图：其中预测过程可能会涉及以下三种序列、⽩化微分⽅程、以及⼀系列检验，由于⼤致都相同，仅仅是某些使⽤累加和累减，⽽另外⼀些则使⽤累加、累减和均值三个序列的差别⽽已。
于是下⾯笔者将对其进⾏归纳总结再进⾏绘制思维导图，帮助读者理解。
（1）原始序列（参考数据列）：（2）1次累加序列（1-AGO）：（3）1次累减序列（1-IAGO ）：（也就是原始序列中，后⼀项依次减去前⼀项的值，例如，[x(2)-x(1),x(3-x(2),...,x(n)-x(n-1))]。
）（4）均值⽣成序列：（这是对累加序列"（前⼀项+后⼀项）/2"得出的结果。
灰色预测模型理论及其应用
灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。
一、灰色系统及灰色预测的概念1.1灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。
若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。
若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。
灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。
区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。
特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
1.2灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。
生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。
用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。
通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
线性回归和灰色预测模型案例
预测未来2015年到2020年的货运量灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广。
我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理模型的求解原始序列为：)16909 15781 13902 12987 12495 11067 101499926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x构造累加生成序列)131159,114250,98469,84567,71580,59085,48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.对(1)X 作紧邻均值生成,....2))1()((21)()1()1()1(=-+=k k z k z k zMATLAB 代码如下：x=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; z(1)=x(1); for i=2:6z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); endformat long g z z =Columns 1 through 37691 13152.5 23278.5Columns 4 through 632906 42943.5 319437.5Columns 7 through 9331218.5 78073.5 91518Columns 10 through 11106359.5 122704.5 因此)53551.5 42943.5 3290623278.5 13152.5 ())5(),...1(()1()1()1(==z z z构造B 矩阵和Y 矩阵；对参数ˆα进行最小二乘估计，采用matlab 编程完成解答如下：B=[[ -13152.5 -23278.5 -32906 -42943.5 -319437.5 -331218.5 -78073.5 -91518 -106359.5 -122704.5]',ones(10,1)];Y=[18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159]'; format long g a=inv(B'*B)*B'*Y结果如下：a =-0.0850401176809297 59277.2079622774即∂=-0.085，u=59277 ∂u= -697376.471 则GM(1,1)白化方程为59277x 085.0)1(=-dtdx 预测模型为：697376.471-471.705067)1(ˆk *0.085)1(e k x =+再次通过线性回归模型对货运量进行预测：线性回归预测模型：一、定义一元线性回归预测是处理因变量y 与自变量x 之间线性关系的回归预测法.二、模型的建立：1，设年份y, 货运量x y 随x 的变化函数，建立一元线性回归方程：Y=β0 + β1x其中β0、β1称为回归系数。
灰色预测(讲)
一、什么是灰色预测灰色预测是就对灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如：一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。
遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。
人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。
再如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。
世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具有潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
常用的灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
二、灰色预测的步骤若给定原始数据序列)](),......2(),1([)0()0()0()0(n X X X X =可分别从)0(X 序列中,选取不同长度的连续数据作为子序列.对于子序列建立GM(1,1)模型的步骤可以概括为： 第一步：写出原始数据列(0)X(0)(0)(0)(0)(){(1),(2),......,()}X i X X X n =为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
灰色预测原理及实例
灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。
灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。
二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。
首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。
2、灰色模型在电力行业的应用。
《安全管理》之事故灰色预测模型
事故灰色预测模型灰色系统(Grey System)理论是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。
该理论将信息完全明确的系统定义为白色系统，将信息完全不明确的系统定义为黑色系统，将信息部分明确、部分不明确的系统定义为灰色系统。
由于客观世界中，诸如工程技术、社会、经济、农业、环境、军事等许多领域，大量存在着信息不完全的情况。
要么系统因素或参数不完全明确，因素关系不完全清楚；要么系统结构不完全知道，系统的作用原理不完全明了等，从而使得客观实际问题需要用灰色系统理论来解决。
十余年来，灰色系统理论已逐渐形成为一门横断面大、渗透力强的新兴学科。
灰色预测则是应用灰色模型GM(1,1)对灰色系统进行分析、建模、求解、预测的过程。
由于灰色建模理论应用数据生成手段，弱化了系统的随机性，使紊乱的原始序列呈现某种规律，规律不明显的变得较为明显，建模后还能进行残差辨识，即使较少的历史数据，任意随机分布，也能得到较高的预测精度［59］。
因此，灰色预测在社会经济、管理决策、农业规划、气象生态等各个部门和行业都得到了广泛的应用。
一般考虑到事故变化趋势属于非平稳的随机过程，选用具有原始数据需求量小、对分布规律性要求不严、预测精度较高等优点的模糊灰色预测模型GM(1,1)，同时考虑到减小预测误差，将其与时间序列自相关预测模型AR(n)相结合。
预测模型：其GM(1,1)和AR(n)的组合模型为：x(0)(t+1) = (-ax(0)(1) + b ) e-at+∑φiεi实例：根据GM(1,1)模型原理和中国新星石油公司以及华东石油局的钻井事故数据资源，得到的千人死亡率和钻井孔内事故次数灰色预测模型分别为： x1(1)(t+1)=-7.084e-0.062t+7.487x2(1)(t+1)=-506.08e-0.0835t+558.08。
数学建模-灰色预测方法
• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对
象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，
预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
（3）灰色预测数据的特点：
1）序列性：原始数据以时间序列的形式出现。
2）少数据性：原始数据序列可以少到只有4个 数据。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
对误差序列。
0 0 ˆ 残差： i x i x i
i 1 ,2 ,..., n
残差序列
i 相对误差：
( 1 , 2 , n )
( 0 )
i
x
0
i
100%
i 1 ,2 ,..., n
一般要求
4灰色预测实例一数列的预测实例原始数据x0x01x02x03x04272602954732411353881求原始序列的一届累加生成x1x11x12x13x142726056806892181246062对x0作准光滑性检验x0k?k1xk?13对x1作准指数规律性检验1x1k?k0xk?14作x1的紧邻均值生成序列z1并且确定byz1k05x1k??x1k?1??z121???4203351??x02??29547??1????0???b???z31???7301251y?x3?32411?????1????0?????z41???1066121??x4??35388?5按最小二乘法确定ab的估计值a?0089995???t?1t??a??bbby??b2579028????dx16确定模型dt?0089995x1t2579028其时间响应式??113138340089995k286574?xk?e????01?11?1??xk?xk???xk0?并得x的模拟值00000?????xx1x2x3x4272602955332337353817检验误差相对误差检验残差序列00000??1?2?3?40?6747相对误差序列??????00000200022800002123414平均相对误差
灰色预测DGM(1,1)模型
DGM(1，1)模型—定理1：
X( 1 ) (1) 1 (1) 1 X (1) B (1) 1 X (n - 1）
DGM(1，1)模型—定理2：
DGM(1，1)模型—与GM（1,1）关系
DGM(1，1)模型全面符合灰色预测模型的建模机 理.是一种新的灰色预测模型.或者说是灰色预测 模型的一种新形式 ’原GM(1，1)模型存在的缺陷在DGM(1，1)中 得到了解决GM(1，1) 模型可以全面解释原 DGM(1，1)模型从离散形式到连续形式转变问题 DGM模型可以看做是GM模型的精确形式，当GM 模型中的a取值很小时，二者可替换
DGM(1，1)模型—精度检验
DGM(1，1)模型—精度检验
DGM(1，1)模型—实例
通过对某普通高等学校毕业和就业人数的调 查统计和向有关部门的咨询，得到01年到05年该 校毕业人数和就业人数的数据如表所示：
DGM(1，1)模型—实例
DGM(1，1)模型—实例
32 63 B 115 233
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 1 1
DGM(1，1)模型—实例
DGM(1，1)模型—实例
实际值与模拟值关系
70
60
50
40 人数 模拟值 30 实际值
20
10
0 1 2 3 4 5
DGM(1，1)模型—实例
预测结果：
时序预测中的灰色模型介绍(十)
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种应用广泛的数据分析方法，它可以帮助我们预测未来一段时间内的数据趋势。
而在时序预测中，灰色模型是一种常用的模型之一。
本文将介绍灰色模型的基本原理、应用范围和优缺点。
一、灰色模型的基本原理灰色系统理论最早由中国科学家陈裕昌教授提出，它是一种用于处理少量数据和缺乏信息的系统分析方法。
灰色模型的基本原理是通过对数据进行灰色关联分析、灰色预测等处理，来实现对未来时序数据的预测。
灰色模型的关键在于建立数据的灰色关联度，通过对数据进行加权处理，将不规则的数据变为规则的规整数据，进而实现对未来数据的预测。
这种方法不仅可以用于单变量时序数据的预测，还可以用于多变量时序数据的预测，具有一定的灵活性和适用范围。
二、灰色模型的应用范围灰色模型在实际应用中具有广泛的应用范围，主要包括以下几个方面：1. 经济领域：灰色模型可以用于对经济指标的预测，如国内生产总值、消费指数、失业率等。
通过对这些指标的预测，可以帮助政府和企业制定发展战略和政策。
2. 工业领域：灰色模型可以用于对工业生产数据的预测，如原材料价格、产量、需求量等。
这对于企业的生产计划和库存管理具有重要意义。
3. 环境领域：灰色模型可以用于对环境数据的预测，如空气质量、水质数据等。
通过对这些数据的预测，可以帮助政府和环保部门采取相应的措施来改善环境。
4. 医疗领域：灰色模型可以用于对医疗数据的预测，如疾病发病率、病人数量、医疗资源需求等。
这对于医院和卫生部门的资源配置和医疗服务规划具有重要意义。
三、灰色模型的优缺点灰色模型作为一种时序预测方法，具有以下优点：1. 适用范围广：灰色模型可以处理各种类型的时序数据，包括线性和非线性数据，适用范围广泛。
2. 数据要求低：灰色模型对数据的要求相对较低，对于缺乏信息或者数据量较少的情况也可以进行预测。
3. 预测精度高：灰色模型在一定范围内可以取得较高的预测精度，对于短期和中期的预测效果较好。
关于“灰色预测模型”讲解
集成学习可以通过组合多个基模型的预测结果来提高整体 预测性能。可以将灰色预测模型作为基模型之一，与其他 预测方法一起构建集成学习模型。
与模糊逻辑融合
模糊逻辑能够处理不确定性和模糊性问题，可以与灰色预 测模型相结合，提高模型在处理不确定信息时的预测性能 。
THANKS
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灰色差分方程
灰色预测模型的核心是建立灰色差分方程，通过对原始数据序列进行累加或累减 生成，构造出具有指数规律的数据序列，进而建立相应的微分方程进行求解。
适用范围及优势
适用范围
小样本建模
适应性强
预测精度高
灰色预测模型适用于数据量较 少、信息不完全、具有不确定 性和动态性的系统。它可以在 数据序列较短、波动较大、趋 势不明显的情况下，进行有效 的预测和分析。
04
灰色预测模型检验与评 估
残差检验法
01
02
03
残差计算
通过比较实际值与预测值 之间的差异，计算残差序 列。
残差分析
对残差序列进行统计分析 ，包括计算均值、方差等 指标，以评估模型的预测 精度。
残差图
绘制实际值与预测值的散 点图，以及残差序列的折 线图，直观展示模型的拟 合效果。
后验差检验法
金融市场分析
灰色预测模型可以用于分析金融市场的波动性和 趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
3
物价水平预测
利用灰色预测模型可以对物价水平进行短期和长 期预测，为政府制定物价调控政策提供依据。
社会领域应用案例
人口数量预测
通过收集历史人口数据，利用灰色预测模型可以对未来人 口数量进行预测，为政府制定人口政策提供参考。
关于“灰色预测模型 ”讲解
灰度预测模型详解举例分析
灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
2灰色系统的基本原理2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。
系统信息不完全的情况有以下四种：1.元素信息不完全2.结构信息不完全3.边界信息不完全4.运行行为信息不完全2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。
“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。
信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。
灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。
信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。
新信息对认知的作用大于老信息。
灰色预测建模原理及应用
灰色预测建模原理及应用灰色预测建模是一种基于灰色系统理论的预测方法，它通过对已知数据进行灰色处理，利用数学模型进行预测分析，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，并被广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域。
灰色预测的基本原理是通过对原始数据序列进行灰色处理，从而实现数据序列的规律性显现和可预测性增强。
灰色预测建模的基本步骤如下：1.序列建模：对原始数据序列进行建模，确定其特征方程。
主要有一阶、二阶、灰度关联度模型和灰色GM(1,1)模型等。
2.模型参数估计：根据确定的特征方程，通过最小二乘法等方法对模型参数进行估计，得到模型的数值解。
3.模型检验：对已建立的模型进行检验，判断模型的适用性及精度。
一般通过残差检验、相关系数检验等方法来评估模型。
4.预测和累加生成：通过模型预测得到待预测期的结果，并将预测结果与原始数据进行累加生成，得到预测序列。
灰色预测建模的特点是：省数据量、灰度信息充分、模型简单、适用性广泛。
应用方面，灰色预测建模主要有以下几个方面：1.经济方面：灰色预测可以用于经济指标预测，如GDP、消费指数、物价指数等。
通过对这些指标进行预测分析，可以指导政府采取相应的宏观调控政策。
2.环境方面：灰色预测可以应用于环境数据的预测，如空气质量指数、水质指标等。
通过对环境数据的预测，可以做到提前预警，并采取相应的控制措施，保护环境质量。
3.管理方面：灰色预测可以用于企业管理，如销售预测、库存预测、供应链管理等。
通过对企业数据进行预测，可以合理安排生产、销售和供应，提高企业的经济效益和竞争力。
4.工程方面：灰色预测可以应用于工程项目的进度和成本预测，如道路建设、房地产开发等。
通过对工程数据进行预测分析，可以及时发现问题，并采取相应的措施，保证项目的顺利进行。
总的来说，灰色预测建模是一种有效的预测方法，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域，对各行各业的发展和决策都具有重要作用。
第三讲 灰色预测
(B B)
T
(1 )
1
B YN
T
其中
X X
(1 )
(1 )
(1 ) X (2) X
(2) (3)
(1 )
(1 )
X
( n 1) X
(1 )
(n)
1 1 1
YN X
(0)
( 2 ), X
(0)
( 3 ), , X
14 1 1
14 2 0.634
14 3 0.4963 14 4 0.352
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第五步：求关联度
12
1 4
k 0.551
12 k 1
4
13
1 4
k 0.717
13 k 1
4
因素间 相互关系 的评价
生成列为：
X
1
X
1
1, X 1 2, X 1 3,... X 1 n
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X
m
k X m1 i , m 1,......,
i 1
k
数据预处理
对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加 次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非 随机序列。
ˆ X k 1 X
ˆ X k 1 X
0
u u 1 u 1 a1 k m 1 a k 1 q m e e 1 a a a1
(k m )
0
14
X2
1
k 0.621 4
考虑灰色模型的飞机维修备件需求预测
考虑灰色模型的飞机维修备件需求预测随着飞机使用年限的增长，航空领域中的维修备件需求变得越来越重要。
为了避免飞机在飞行过程中出现突发问题或技术故障，航空公司需要建立可靠的维修保障体系。
为了更好地为维修备件需求做出预测，使用灰色模型是一个有效的方式。
灰色系统理论是一种基于建模、预测与控制技术的综合学科，用于处理具有缺失信息、受限信息和小样本信息的系统问题，已经被广泛应用于各领域。
在航空维修领域中，使用灰色模型对维修备件需求做出预测能够为航空公司带来许多好处。
下面就从灰色模型的基本原理，到在航空维修领域中的应用展开论述。
一、灰色系统基本原理灰色系统理论主要研究所处理对象模型中不确定性信息的处理方案。
它是一种建立在试验数据或事实依据分析基础上的系统科学，其特点是缺少必要的信息或信息不完善，因此常用于缺少数据或样本集较小时。
在灰色预测中，预测问题的根本是灰色预测的建模。
建模主要是将已知数据，或未知系统中的依据或规律，归纳为模型。
模型表述了其所描述的系统的规律特征，并能够通过数学表达式来描述。
模型的归纳既是确定模型的类型，又是寻找模型参数的处理过程。
灰色系统理论在数学计算上比较简单，并且是在数据较少的情况下计算精度更高。
因此，它被广泛应用于实践中。
灰色模型的基本形式包括GM(1,1)、GM(1,1)、GM(2,1)等，其中GM(1,1)模型应用最为广泛，所以在维修备件预测中的应用也以GM(1,1)模型为主。
二、航空维修领域中的应用灰色模型在航空维修领域中的应用主要聚焦于维修备件需求预测。
飞机维修备件是支持航空公司维护飞机安全性和可靠性的重要因素，对于航空公司来说，如果能够精准地预测维修备件的需求，会大大提高维护效率和降低成本。
在飞机维修过程中，维修备件数量的预测是由相应的飞机的维修数据和历史数据来进行的。
航空公司可以通过收集和分析飞机的运行状态和维修数据，识别需求模式并预测未来的需求。
灰色模型的应用使得预测更加准确可靠。
灰色预测法原理及解题步骤
灰色预测法原理及解题步骤一、类型数列预测——某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测灾变预测——对发生灾害或异常突变时间可能发生的时间预测系统预测——对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测拓扑预测——将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。
注意：使用方法前一定要在段前作一个引子，连接问题分析和数据特点，以下便是：通过对已知数据的分析，随着时间的变化，排污量一直呈增长趋势，并且增长的很快。
在这里利用灰色预测模型对（）进行预测。
通过对数据的分析，传统的数理统计预测方法往往需要足够多的数据，而本问题的数据给出的数据偏小，如果采用传统的方法误差太大。
根据上述的特点可采用灰色预测模型。
二、灰色预测具体步骤1》检验处理数据，级比必须满足A、如果不全属于，则要做必要的变换处理（如取适当的常数C，作平移变换），使其落入区域中。
B、若A不成立，则建立GM（1，1）模型建立GM（1，1）模型（1）一次累加生成数列AGO，（目的是弱化原始时间序列的随机性，增加其稳定程度）（2）求均值数列（3）建立GM（1，1）模型相应的白化微分方程其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
（4）求的参数估计a、b（最小二乘法）（5）给出累加时间数列预测模型（6）做差得到原始预测值三、检验预测值（1）残差检验（2）级比偏差值检验1》参考数据计算出级比，再由发展系数a，求出相应级比偏差若ρ（k）<0.2,则达到一般要求;若ρ（k）<0.1,则效果好程序实现：采用EXCEl的方法实现灰色预测。
2013-2-2 于北华大学电子宋方雷。
灰色预测模型
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)
ak
ˆ
x(
k
1
)
(
x(
1
)
)
e
,
k
1
,
2
,
,
n
1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k
1
)
x
(
k
1
)
x
(
k
lim
dt
t
t 0
而 （ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x
(
x
(
1
),
x
(
2
),
,
x
(
n
))
设原始数列为
灰色预测方法实验报告
灰色预测方法实验报告实验报告：灰色预测方法一、实验目的通过使用灰色预测方法，对某个问题进行预测，并分析预测结果的准确性。
二、实验原理灰色预测方法是一种基于数据的预测方法，用于在缺乏足够数据的情况下对未来趋势进行预测。
该方法主要基于灰色系统理论，通过对数据序列进行灰色分析，找出其内在规律，并建立预测模型。
三、实验步骤1. 收集相关数据：首先，需要收集与要预测的问题相关的数据，包括历史数据和现有数据。
2. 数据预处理：对收集到的数据进行清洗和处理，确保数据的准确性和可靠性。
3. 灰色分析：使用灰色分析方法对数据进行处理，包括建立灰色模型、计算关联度等步骤。
4. 模型建立：基于灰色分析的结果，建立预测模型。
5. 验证模型：使用部分历史数据进行模型验证，评估模型的准确性和可靠性。
6. 进行预测：根据建立的模型，对未来一段时间内的数据进行预测。
7. 分析结果：对预测结果进行分析，并评估预测的准确性和可行性。
四、实验结果通过实验，我们成功应用了灰色预测方法对某个问题进行了预测，并得到了如下结果：1. 在灰色分析过程中，我们找到了数据序列的内在规律，并建立了预测模型。
2. 模型验证结果显示，该模型在部分历史数据上具有较高的准确性和可靠性。
3. 根据建立的模型，我们对未来一段时间内的数据进行了预测，并取得了一定的准确性。
五、实验结论通过实验，我们验证了灰色预测方法的有效性和可行性，该方法可以在缺乏足够数据的情况下进行预测，并取得一定的准确性。
在实际应用中，我们可以根据实际问题的特点，选择适当的灰色预测方法，并进行合理的预测。
六、实验总结通过本次实验，我们对灰色预测方法有了更深入的了解，并且验证了其在预测问题上的有效性。
实验过程中，我们还需要注意数据的质量和预处理的准确性，以及模型的验证过程，确保预测结果的准确性和可靠性。
灰色预测方法在实际应用中有很大的潜力，可以帮助我们做出合理的预测和决策。
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均值生成
均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种.
所谓邻均值生成, 就是对于等时距的数列,用相邻 数据的平均值构造新的数据.即若有原始数列X [ x(1), x(2), , x( n)], 记k点的生成值为z( k ), 且z( k ) 0.5 x( k ) 0.5 x( k 1), 则称z( k )为邻均值生成数,显然, 这种生成是相邻值的等权生成.
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累加生成AGO（Accumulated Generating
Operation）
累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加 以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始 数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是 使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系 统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可 以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原 始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累 加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次 累加,从而生成新的序列的一种手段.
(i ) ( x ( r ) (k )) i 1 ( x ( r ) (k )) i 1 ( x ( r ) (k 1))
式中， 0 为0次累减,即无累加, 从而有关系式 (3 5),
1为1次累减 (i )为i次累减
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生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，强化规律 性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始 时间序列进行数据处理，经过数据处理后的 时间序列即称为生成列。 对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现 象中去发现内在规律.
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值 生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍.
设X (0) [ (1), x (0) (2),
, x (0) ( n 1), ( n)]为端点是空
(0)
穴的序列, 若用 (1)右邻的级比生成x (1), 用 ( n)的 左邻级比生成x (0) ( n), 则称x (0) (1)和x (0) ( n)为级比生成
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(0) (0) (0)
称 ( K )为级比, ( k )为光滑比, 其表达式为
( k ) x ( k ) / x ( k 1)
(0) (0)
( k ) x ( k ) / x ( k 1)
(0) (1)
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(2 12)
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dx + ax (1) = u dt
i 1 i 1 k k 1
( 2) ( x ( r ) (k )) x ( r 2) (k ) (i ) ( x ( r ) (k )) x ( r i ) (k ) ( r ) ( x ( r ) (k )) x ( 0) (k )
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于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9,17, 27, 34}
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当然，有些实际问题的数列中有负数(例如温度等)， 累加时略微复杂。有时，由于出现正负抵消这种信 息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没 得到加强，甚至可能被削弱。例如，给定原始数列 X(0)=(1，一1，+3，一4)，如图3，累加后得图4， 图any 管理学院
所谓非邻均值生成, 就是对于非等时距的数列,或虽为 等时距数列,但剔除异常值之后出现空穴的数列,用空 穴两边的数据求平均值构造新的数据以填补空穴,即若 有原始数据X [ x(1), x(2), , ( k ), x( k 1), , x( n)], 这 里 ( k )为空穴, 记k点的生成值为z( k ), 且z( k ) 0.5 x( k 1) 0.5 x( k 1), 则称z( k )为非邻均值生成数,显然,这种生成 是空穴前后信息的等权生成.
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灰色预测理论
陈文广
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灰色系统的定义
白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信 息是完全充分的。
黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的， 只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“ 贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、 开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律 的正确把握和描述.
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级比生成
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法 .对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填 补空缺,只能采用级比生成.级比生成在建模中可 以获得较好的灰指数律.级比生成是级比(k)与光 滑比(k)生成的总称.
设序列X
(0)
[ x (1), x (2), , x ( n)]为原始序列,
严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。 社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预 测。
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灰色系统的定特点
灰色系统模型的特点：
对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是 一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。 灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但它 们总是有整体功能的,总是有序的.因此,它必然潜藏着 某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖掘它,然后 利用它。
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对于这种情形，我们可以先进行移轴，然后 再做累加生成。先将原始数据加+4，相当于 将横坐标轴向下平移4个单位，得数据X(0)＝(5， 3，7，0)，再进行累加生成，得X(1)＝(5，8， 15，15)，图5表明数列X(1)有较强的规律。
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( 0) ( x ( r ) (k )) x ( r ) (k ) (1) ( x ( r ) (k )) ( 0) ( x ( r ) (k )) ( o ) ( x ( r ) (k 1)) ( 2) ( x ( r ) (k )) (1) ( x ( r ) (k )) (1) ( x ( r ) (k 1))
2 灰色系统的模型
1. 建模原理 给定观测数据列
) ( 0) ( 0) ( 0) x (0 { x ( 1 ), x ( 2 ), , x (N ) } 经一次累加得
（2.1）
x
(1)
{x (1), x (2), , x ( N ) }
(1) (1) (1)
（2.2）
设 x (1) 满足一阶常微分方程
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从而可得下述关系
(1) ( x ( r ) (k )) 0 ( x ( r ) (k )) 0 ( x ( r ) C (k 1)) x ( r ) (k ) x ( r ) (k 1)
x ( r 1) (i) x ( r 1) (i) x ( r 1) (k )
计算示例
x (1) ( x (1) (1), x (1) (2), x (1) (3), x (1) (4), x (1) (5), x (1) (6)) (5,9,14,24,35,46) 解：x ( 0 ) (k ) x (1) (k ) x (1) (k 1) 若k 0, x (1) (0) 0 k 1, x ( 0 ) (1) x (1) (1) x (1) (0) x (1) (1) 5 k 2, x ( 0 ) (2) x (1) (2) x (1) (1) 4 k 3, x ( 0 ) (3) x (1) (3) x (1) (2) 5 k 4, x ( 0 ) (4) x (1) (4) x (1) (3) 10 k 5, x ( 0 ) (5) x (1) (5) x (1) (4) 11 k 6, x ( 0 ) (6) x (1) (6) x (1) (5) 11 从而有：IGAO（x ( 0 )） (5,4,5,10,11,11) 不难看出，累减生成具 有求导性质，这是因为 dx(k ) x(k ) x(k t ) lim dt t t 0 而（1）( x(k )) x(k ) x( k 1), 相当于t 1
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累减生成AGO（Inverse Accumulated Generating Operation ） 累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加 生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为 非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算 符号为∆.
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数列累加
【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
对数据累加 ： x(1) (1) x(0) (1) 6，
x (2) x (1) x (2) 6 3 9，
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