北师版新课标高中数学必修一同步练习题函数零点存在性定理提高题
新教材北师大版高中数学必修第一册 第五章 函数应用 课后练习 含解析
第五章函数应用课后练习1、利用函数性质判定方程解的存在性........................................................................ - 1 -2、利用二分法求方程的近似解.................................................................................... - 6 -3、实际问题的函数刻画.............................................................................................. - 11 -4、用函数模型解决实际问题...................................................................................... - 18 -1、利用函数性质判定方程解的存在性提升练习1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C. D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(b,c)和(c,+∞)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k ≤1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)>0B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.答案:(0,4)【补偿训练】设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是.【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x 在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 0四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.2、利用二分法求方程的近似解基础练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则( )A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知f f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3==,得f=>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内.创新练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为( )①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lo x,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).答案:(0,0.5) f(0.25)四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.【证明】因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3、实际问题的函数刻画基础练习1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了b km(b<a),当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )【解析】选C.由题意可知,前进a km时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( )A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域.3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确的是( )A.气温最高时,用电量最多B.气温最低时,用电量最少C.5月～7月用电量随气温增加而增加D.8月～12月用电量随气温降低而增加【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率,排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的两图可以发现,2月份用电量最多,而2月份气温不是最高,因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降,但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司数2005 302006 452007 90【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1×30=30(万个);2006年消耗纸质饭盒总数=2×45=90(万个);2007年消耗纸质饭盒总数=1.5×90=135(万个);故每年平均消耗纸质饭盒总数=(30+90+135)÷3=85(万个).答案:855.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在△EDF中,=,所以=.所以y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,800),(2,1 300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A.1 000件B.1 200件C.1 400件D.1 600件【解析】选D.设生产x件时自产合算,由题意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1 600.4.拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77【解析】选C.5.5 min的通话费为f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论,正确的是( )A.前3年的年产量增长速度越来越快B.前3年的年产量增长速度越来越慢C.3年后,这种产品停止生产D.3年后,这种产品年产量保持不变【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变的,所以AD正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为.【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,所以AB=5+=5+3=8,所以S△ABC=×8×4=16.答案:16【补偿训练】生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4) (1) (3) (2)8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每部手机比原价多赚144元,那么每部手机原价是元,实际售价为元.【解析】设每部手机原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1200+144=1 344(元).答案:1 200 1 344四、解答题(每小题10分,共20分)9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式话费相差多少元?【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.当t=100时,100k1+20=100k2,所以k2-k1=.当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.答:这两种方式话费相差10元.10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,解得k=0.2,所以y==,所以y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.4、用函数模型解决实际问题基础练习1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又得5<x<10.2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7.3.今有一组试验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,==4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=能较好地体现这些数据关系.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.【解析】由三角形相似,即=,得x=×(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t 每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分 3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得所以y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t水.提升练习一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a,所以b=a×,所以a>b.2.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为=12-2x,所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,S max=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是( )A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600.4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则( )A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )A.60B.63C.66D.69【解析】选C.因为I(t)=,所以I(t*)==0.95K,则=19,所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈+53≈66.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:关于x呈指数型函数变化的变量是.【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案:y28.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得或或无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,所以所求函数关系式为S=t2-2t.(2)把S=30代入,得30=t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=×72-2×7==10.5(万元),把t=8代入,得S=×82-2×8=16(万元),则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=log a x+b;④y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是L.创新练习1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) ( )A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77.2.某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,即100·-60=140,解得,a=4.(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,由于f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.(3)①当0≤x≤10时,由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10];②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;③当20<x≤40时,-15x+640≥140,。
北师版新课标高中数学必修一同步练习题函数的零点及判断零点个数提高题
函数的零点及判断零点个数提高题1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>⎧=⎨++≤⎩，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,1-B ．[]0,2C ．[)2,2-D ．[)1,2-【答案】D ．【解析】 22()()232x x a g x f x x x x x a -+>⎧=-=⎨++≤⎩，而方程20x -+=的解为2，方程2320x x ++=的解为1-或2-，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-<a a a 212，解得12a -≤<．故选D ．2．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时，[)[)12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<,的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．21a -- C ．12a -- D ．12a -【答案】D ．【解析】当10x -<<时⇒10x >->，当1x ≤-⇒1x -≥，又f （x ）为奇函数， ∴0x <时， ()(]12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ⎧--+∈-⎪=--=⎨⎪-+--∈-∞-⎩，（也可以不求解析式，依据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322x x x x ++=-=132332log (1)log (1)12a x a x a x --+=⇒-=⇒=-，可得x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=12a -．3．已知函数2331()()ln 431x x f x g x x x x x -≤⎧==⎨-+>⎩,,,，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【解析】由题意得，函数()()y f x g x =-的零点个数即为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，分别作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象，如图所示，可得两函数的图象有3个不同的公共点，所以函数()()y f x g x =-的零点个数为3，故选C ．。
(必修第一册)函数的零点与方程的解(同步练习)(含解析)
4.5.1函数的零点与方程的解一、单选题1．以下函数在区间（0，12）上必有零点的是（ ） A ．y ＝12xB ．y ＝143x -C ．y ＝ln （x +45）D ．y ＝2x +12．若曲线224,43,x x ay x x x a ⎧->=⎨-+≤⎩与x 轴有且只有2个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．3a ≥C ．12a ≤≤或3a ≥D ．12a ≤<或3a ≥3．函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（10，12）C ．（5，6）D ．（20，24）4．设f (x )＝0.8x －1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列哪个区间（ ） A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e )D ．(e ，3)5．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20212021log xf x x =+，则在R 上方程()0f x =的实根个数为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．2021二、多选题 6．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（ ） A ．y =﹣2xB ．y =x ﹣6C ．y =3xD ．y =x 2﹣3x +47．已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x <D．1223+≥+x x 8．已知函数2ln ,0,()=4,0.x x f x x x x >⎧⎨--≤⎩关于x 的方程()0f x t -=的实数解个数，下列说法正确的是（ ）A ．当0t ≤时，方程有两个实数解B ．当4t >时，方程无实数解C ．当04t <<时，方程有三个实数解D ．当4t =时，方程有两个实数解 三、填空题9．若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间1(,3)2上有零点，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数()y f x =在区间[]16，上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：设函数y f x =在区间16，上零点的个数为，则的最小值为________. 11．方程22x x +=的根为a ，方程2log 2x x +=的根为b ，则a b +=__________四、解答题12．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围.13．已知函数1122()log (2)log f x x x =-+．（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点．14．若函数()221,1log ,1x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩．（1）在所给的坐标系内画出函数()f x 图像；（2）求方程()f x m =恰有三个不同实根时的实数m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0，12）上有没有零点，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：，y ＝12x 0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符对于B ，y ＝143x -x 0，12）单调递增，且有y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意;对于C ，y ＝ln （x +45），当x ＝15时，y ＝ln1＝0，区间（0，12）上有零点，符合题意;对于D ，y ＝2x +1，在区间（0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意. 故选：C ． 2．D 【分析】作出函数24x y =-与243y x x =-+的图象，对参数分类讨论，得出结论.【详解】作出函数24x y =-与243y xx =-+的图象，令240x y =-=，即2x =，故()2,0B ，令2430y x x =-+=，即1x =或3x =，故1,0A 或()3,0C ,当1a <时，只有B 一个零点；当12a ≤<时，有A ,B 两个零点；当23a ≤<时， 有A 一个零点；当3a ≥时，有A,C 两个零点；综上，实数a 的取值范围是：12a ≤<或3a ≥， 故选：D.【分析】先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a 、b 、c 的取值范围，再利用函数解析式证明ab ＝1，最后数形结合写出其取值范围即可 【详解】解：函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象如图：∵f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等 ∵a ∵（0，1），b ∵（1，10），c ∵（10，12）∵由f （a ）＝f （b ）得|lg a |＝|lg b |，即﹣lg a ＝lg b ，即ab ＝1 ∵abc ＝c由函数图象得abc 的取值范围是（10，12） 故选：B ．4．A 【分析】通过等价转化，把函数的零点转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标，然后画出函数的图象，通过图象即可判断出零点所在的区间. 【详解】函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根，即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标， 画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，从图象可知它们仅有一个交点A ，且交点横坐标的范围为()0,1.故选：A.【分析】当0x >时，作出函数2021x y =，2021log y x =-的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及(0)0f =，即可求出方程所有根的个数. 【详解】①当0x >时，令()0f x =，即20212021log xx =-，在同一坐标系中作出函数12021xy =，22021log y x =-的示意图，如下图：函数12021xy =为单调增函数，22021log y x =-为单调减函数，可知两个图象有且只有一个交点P ，横坐标记为0x . 即0x >时方程()0f x =有且只有一个实根0x ， ②因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当0x <时，方程()0f x =也有一个实根0x -，③又∵()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，∵即0也是方程()0f x =的根， 综上所述，方程()0f x =有3个实根. 故选：B. 6．AC 【分析】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，依次计算即可. 【详解】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，对于A,2y x y x =⎧⎨=-⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即存在完美点()0,0，对于B,6y x y x =⎧⎨=-⎩，无解，即不存在完美点，对于C,3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(对于D,234y x y x x =⎧⎨=-+⎩， 24x x x -+=,即2240x x -+=，解得2(2)44120∆=--⨯=-<，即不存在完美点， 故选：AC. 7．ABD 【分析】函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 即为函数函数2log (1)y x =-，y m =，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A ；根据()12()0f x f x ==，化简整理即可判断B ； 结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C ； 利用整体代换结合基本不等式即可判断D. 【详解】解：令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=， 令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标，作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=， 所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=， 所以12111x x +=，故B 正确；因为12x x +≥，所以()121212x x x x x x -+≤-120x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误； ()21121212122112233x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=当且仅当21122x x x x =，即21x 时，取等号，故D 正确. 故选：ABD. 8．CD 【分析】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，数形结合可得结果. 【详解】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，由图可知：当0t <时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解；当0t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故A 错误；当4t >时，函数()y f x =的图象与直线y t =有1个交点，即方程()0f x t -=有1个实数解，故B 错误； 当04t <<时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故C 正确； 当4t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解，故D 正确. 故选：CD.9．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】通过参变分离，转化为1a x x =+在1(,3)2上有解，转化为求函数t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2的值域. 【详解】由题意知方程ax ＝x 2＋1在1(,3)2上有解，即1a x x =+在1(,3)2上有解．设t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2，则t 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．3 【分析】根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数． 【详解】解：由题意，因为()()230f f <，()()450f f <，()()560f f <，所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点，故函数()y f x =在区间[]16，上的零点至少有3个，即n 的最小值为3， 故答案为：3． 11．2 【分析】利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解【详解】a 是方程22x x +=的根，就是2x y =和2y x =-图象交点的横坐标；b 是方程2log 2x x +=的根，就是2log y x =和2y x =-图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示：由图可知，a 是2x y =和2y x =-图象交点A 的横坐标，b 是2log y x =和2y x =-图象交点B 的横坐标，因为2x y =与2log y x =互为反函数， 所以图象关于直线y x =对称， 故点A ，B 也关于直线y x =对称， 所以点A ，B 为(),A a b ，(),B b a ， 而点A ，B 又在2y x =-上， 所以2b a =-，2a b =-， 即2a b +=， 所以2a b +=， 故答案为：2 12．10a -<<． 【分析】用分离参数法变形方程为1a x x x =-++，引入函数()1g x x x x =-++，作出函数()g x 的图象，由图象与直线y a =有三个交点可得结论． 【详解】方程()f x x =可化为1a x x x =-++，设()1g x x x x =-++，则1,0()1,101,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=---≤<⎨⎪+<-⎩，函数图象如下：由图象知()y g x =的图象与直线y a =有三个交点时，10a -<<． 13．（1）(0,2)；（2）1. 【分析】（1）根据真数大于0即可. （2）令()0f x =即可. 【详解】（1）由已知可得200x x ->⎧⎨>⎩，解得02,()x f x <<∴的定义域为(0,2)．（2）()()()212log 20,2f x x x x =-+∈，，由()0f x =得221x x -+=，即2210x x -+=，解得1x =， ()f x ∴的零点是1．14．(1)图象见解析；(2)01m <<. 【分析】(1)结合二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质利用描点法作函数的图象，(2)观察()f x 图象,根据()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点确定m 的范围.【详解】 (1)作图如下：11(2)方程()f x m =有3个解等价于函数()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点， 观察图象可得01m <<.。
北师大版数学高一(北师大)必修1试题 4.1.1利用函数的性质判定方程解的存在
第四章 §1 1.1一、选择题1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－12，－1B.12，1 C.12，－1 D ．－12，1[答案] B[解析] 令f (x )＝2x 2－3x ＋1＝0得x ＝12或x ＝1.故选B.2．函数f (x )＝x 3－2x 2＋2x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3－2x 2＋2x ＝x (x 2－2x ＋2)， 又x 2－2x ＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x 2－2x ＋2≠0，∴f (x )的零点只有1个，故选B.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋x 2，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] B[解析] 令f (x )＝0，则x 2＋2x －3＝0(x ≤0)或x 2－2＝0(x >0)， 解得：x ＝－3或x ＝2符合题意，故选B.4．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0， 即f (0)f (1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．5．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 函数f (x )的零点个数，即方程f (x )＝0的实数根个数，令f (x )＝0得，2x |log 0.5x |＝1， ∴|log 12x |＝(12)x ，令g (x )＝(12)x ，h (x )＝|log 12x |，在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f (x )有两个零点． 6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6[答案] D[解析] 对于A ：f (1)＝4，f (2)＝9，f (1)·f (2)>0，无法判断f (x )在[1,2]上是否有零点； 对于B ：f (1)＝－9，f (2)＝－7，f (1)·f (2)>0，同选项A 一样，无法判断； 对于C ：f (1)＝3，f (2)＝ln2，f (1)·f (2)>0，同选项A 、B 一样，无法判断； 对于D ：f (1)＝e －3，f (2)＝e 2，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在[1,2]上有零点． 二、填空题7．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是________ .[答案] －2[解析] f (x )＝(x －2)(x ＋2)x －2＝x ＋2(x ≠2)，令f (x )＝0，得x ＝－2.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)2 (x >0)，若f (－4)＝2，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．[答案] 3[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝24－2b ＋c ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 (x ≤0)2 (x >0)，作图像如图所示．由图像可知f (x )＝x 的解的个数为3. 三、解答题9．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点． [解析] 由已知方程得x 2－ax －b ＝0的两根为2和3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6. ∴g (x )＝－6x 2－5x －1.令－6x 2－5x －1＝0得6x 2＋5x ＋1＝0， ∴x ＝－12或x ＝－13.∴函数g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.10．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值． [解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点，综上可知，当m ≤－59时，此函数的图像与x 轴总有交点．(2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m 的值是－3.一、选择题1．(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6x －log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[答案] C[解析] 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.2．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(2，＋∞) D ．(0,1)∪(1,2) [答案] A[解析] 令y 1＝a x ，y 2＝x ＋a ，则f (x )＝a x －x －a 有两个零点，即函数y 1＝a x 与y 2＝x ＋a 有两个交点．(1)当a >1时，y 1＝a x 过(0,1)点，而y 2＝x ＋a 过(0，a )点，而(0，a )点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当0<a <1时，(0，a )点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．∴a 的取值范围为a >1. 二、填空题3．关于x 的方程mx 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根，则m 的范围为________． [答案] m ≤1[解析] ①m ＝0时，x ＝－12适合题意．②m ≠0时，应有m <0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0－22m <0，Δ≥0解得m <0或0<m ≤1.综合①②可得，m ≤1.4．方程lg x ＋x ＝0的实数解的存在区间为________． [答案] (110，1)[解析] 令f (x )＝lg x ＋x ，则f (110)＝lg 110＋110＝－910<0，f (1)＝lg1＋1＝1>0.∴f (110)f (1)<0.而f (x )＝lg x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )仅有一个零点，且在(110，1)内．三、解答题5．设函数f (x )＝ax ＋2a ＋1(a ≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． [解析] 因为函数f (x )在[－1,1]上存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0f (1)≥0.即f (－1)·f (1)≤0.所以(－a ＋2a ＋1)·(a ＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.解得－1≤a ≤－13.6．讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由． [解析] 令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x －15在[1,2]上都为增函数．∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解． 7．求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点． [解析] (1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a ≠0时，令y ＝0得x ＝1a 或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：(1)当a ＝0或－12时，零点为－2；(2)当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.。
数学北师大版高中必修1函数的性质练习
作业
1．函数是单调函数时，的取值范围（）A．B． C ．D．
2．函数，是（）
A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与有关
3．函数在和都是增函数，若，且那么（）A． B．C． D．无法确定
4．函数在区间是增函数，则的递增区间是（）A．B．C．D．
5．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）
A B
C D
6．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）A．B．
C．D．
7．函数在R上为奇函数，且，则当， .
8．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为 . 9．已知，，求.
10．已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.
11.求定义域在〔-1，1〕上的函数的值域.
12.已知函数的值域是，求此函数的定义域.
13．已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围.
14.已知函数的值域为〔1，3〕，求a、b的值.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一《利用函数性质判定方程解的存在》强化训练及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一双基限时练(二十七) 利用函数性质判定方程解的存在基 础 强 化1．函数y ＝x 2－4x －12的零点是( ) A. －2 B. 6 C. －2,6D. 不存在解析 y ＝x 2－4x －12＝(x －6)(x ＋2)． 答案 C2．如果函数f(x)＝ax ＋b 有一个零点2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A. 0,2B. 0，12C. 0，－12D. 2，－12解析 由f(x)有一个零点2，可知2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g(x)＝－2ax 2－ax ＝－ax(2x ＋1)，有两个零点－12，0.答案 C3．若函数y ＝x 2＋a 存在零点，则实数a 的取值范围是( ) A. a>0 B. a<0 C. a ≥0 D. a ≤0答案 D4．已知函数y ＝f(x)的图像在区间[a ，b]上是连续不断的，且满足f(a)·f(b)<0(a ，b ∈R ，a<b)，则函数f(x)在(a ，b)内( )A. 有且只有一个零点B. 至少有一个零点C. 无零点D. 无法确定有无零点解析 函数y ＝f(x)在定义域内连续，且满足f(a)·f(b)<0，故函数f(x)在(a ，b)内至少有一个零点．答案 B5．在下列区间中，函数f(x)＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，34 解析 ∵f(x)＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)内单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14＝e －14 －4<0，f(0)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝e 14 －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝e12 －1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12<0. 答案 C6．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 令f(x)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－2＋ln x ＝0∴x ＝－3或x ＝e 2，即方程f(x)＝0有两个根， ∴函数f(x)有两个零点． 答案 A7．若函数f(x)＝x 2＋(m －3)x ＋m 的一个零点比1大，另一个零点比1小，则m 的取值范围是_________________________________．解析 由题意得f(1)＝1＋m －3＋m<0，得m<1. 答案 (－∞，1)能 力 提 升8．已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x ，f(x)的对应值表：解析 ∵f(2)·f(3)<0，∴在(2,3)上至少有1个零点；同理在(3,4)和(4,5)上各至少有1个零点，∴在[1,6]上至少有3个零点．答案 39．函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0使f(x 0)＝0，则a 的取值范围是________．解析 由题意得f(－1)，f(1)必一正一负， 即f(－1)f(1)<0，得a<－1，或a>15.答案 a<－1或a>1510．已知函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点．解 由题意得x 2－ax －b ＝0有两根2和3，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＋3，－b ＝2×3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6.∴g(x)＝－6x 2－5x －1.令g(x)＝0，得6x 2＋5x ＋1＝0即(2x ＋1)(3x ＋1)＝0，得x ＝－12，或x ＝－13.∴g(x)的零点为－12，－13.11．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围．(2)若函数有不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 解 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时， y ＝－14x －5，恒有零点－514.当m ＋6≠0，即m ≠－6时， 要使函数恒有零点，需Δ＝[2(m －1)]2－4(m ＋6)·(m ＋1)≥0， 解得m ≤－59.综上知m ≤－59.(2)设函数的两个不同零点是x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.由题意，得Δ＝[2(m －1)]2－4(m ＋6)(m ＋1)>0， 且m ＋6≠0， 得m<－59，且m ≠－6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4, 得m ＝－3，满足m<－59.∴m 的值为－3.12．已知函数f(x)＝|x 2－2x|－a.(1)若函数f(x)没有零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围； (3)若函数f(x)有三个零点，求实数a 的取值范围； (4)若函数f(x)有四个零点，求实数a 的取值范围．解令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y ＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图像(如图所示)，由图像可知：(1)当a<0时，a≠|x2－2x|，此时函数f(x)没有零点．(2)当a＝0，或a>1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有两个交点，即f(x)有两个零点．(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有三个交点，即函数f(x)有三个零点．(4)当0<a<1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有四个交点，即函数f(x)有四个零点．考题速递13．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12x图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图像，易知有2个交点．答案 B。
新教材高中数学5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性一课一练(含解析)北师大版必修一
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解 1.1利用函数性质判定方程解的存在性知识点1 函数的零点1.☉%310#2@￥*%☉下列图像表示的函数中没有零点的是( )。
图5-1-1-1答案：A解析：观察图像可知,A 选项中图像表示的函数没有零点。
故选A 。
2.☉%7#1@￥67#%☉函数f (x )=2x -3的零点为( )。
A.(32,0) B.(0,32) C.32D.23答案：C解析：由f (x )=0,得2x -3=0,解得x =32,所以函数f (x )=2x -3的零点为32。
故选C 。
3.☉%31@9@#1#%☉(2020·玉溪一中期中)下列函数不存在零点的是( )。
A.y =x -1x B.y =√2x 2-x -1C.y ={x +1(x ≤0),x -1(x >0)D.y ={x +1(x ≥0),x -1(x <0)答案：D解析：令y =0,得选项A 和C 中函数的零点均为1和-1;B 中函数的零点为-12和1;只有D 中函数无零点。
故选D 。
4.☉%9#*1#18*%☉(2020·辽宁省实验中学期中)若y =f (x )是奇函数且x 0(x 0≠0)是y =f (x )+e x的一个零点,则-x 0一定是下列哪个函数的零点?( )。
A.y =f (-x )e x -1B.y =f (-x )e -x+1C.y =f (x )e x -1D.y =f (x )e x+1 答案：C解析：因为f (x )是奇函数,所以f (-x 0)=-f (x 0),而x 0是y =f (x )+e x的一个零点,所以f (x 0)+e x 0=0。
对于选项A,f (x 0)e -x 0-1=-1-1=-2≠0,排除A;对于选项B,f (x 0)e x 0+1=-e 2x 0+1≠0,排除B;对于选项C,f (-x 0)e -x 0-1=-f (x 0)·e -x 0-1=1-1=0,C 正确;对于选项D,f (-x 0)e -x 0+1=-f (x 0)e -x 0+1=2≠0,排除D 。
北师版新课标高中数学必修一同步练习题函数的零点与方程的解同步练习题
同步测试
6 . 若函数 f(x)=2x2-ax+3 有一个零点为 3，求 f(x) 的所有零点 .
2
【解析】f(x)=2x
3 2
是方程
2x2-ax+3=0 的一个根，则 2 9 - 3 a + 3 = 0，解得 a=5，所以
42
f(x)=2x2-5x+3，令 f(x)=0，得 x= 3 或 x=1，所以 f(x) 的零点
函数的零点与方程的解 同步测试
同步测试
1 . 函数 f(x)= -2x+m 的零点为 4，则实数 m 的值为( )
A . -6
B.8
3
C. 2
D. - 3
2
【解析】f(x)= -2x+m 的零点为 4，所以 -2×4+m=0，m=8 . 【答案】B.
同步测试
2 . 若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a<1 B. a>1 C. a≤1 D. a≥1
2
为 3，1 .
2
再见
【解析】函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点，即方程 x2+2x+a=0 没有 实数根，所以 Δ=4 -4a<0，得 a>1 . 【答案】B .
同步测试
3 . 函数 f(x)=x3 -2x2+3x 的零点有 ( )
A. 一个
B. 两个
C. 三个
D. 无零点
【解析】令 x3-2x2+3x=x(x2-2x+3)=0， ∵方程 x2-2x+3=0 的 Δ=(-2)2-4×3<0， ∴ x2-2x+3=0 没有实数根，故方程x3-2x2+3x=0有实数根 x=0， 所以 f(x)=x3 -2x2+3x 只有一个零点 . 【答案】A .
2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 Word版含解析
1.1 利用函数性质判定方程解的存在课后篇巩固提升A 组 基础巩固1.下列图像表示的函数中没有零点的是( )解析:函数y=f (x )的零点就是函数图像与x 轴交点的横坐标.A 项中函数图像与x 轴没有交点,所以该函数没有零点.B 项中函数图像与x 轴有一个交点,所以该函数有一个零点;C,D 两项中的函数图像与x 轴有两个交点,所以该函数有两个零点.故选A . 答案:A2.设函数f (x )=x 2+1x-a (x ≠0),a 为常数,且a>2,则函数f (x )的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:令h (x )=x 2-a ,g (x )=-1x .因为h (1)=1-a<-1,g (1)=-1,所以h (1)<g (1),则函数h (x )及g (x )的图像如图所示.由图可知函数h (x )与g (x )有三个交点,即f (x )=x 2+1x-a 有三个零点.答案:C3.已知x 0是函数f (x )=2x +11-x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则( )A.f (x 1)<0,f (x 2)<0B.f (x 1)<0,f (x 2)>0C.f (x 1)>0,f (x 2)<0D.f (x 1)>0,f (x 2)>0解析:函数f (x )在(-∞,1)和(1,+∞)上是增加的.∵x 0是f (x )的一个零点,且x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞), ∴f (x 1)<0,f (x 2)>0. 答案:B4.已知定义在R 上的函数f (x ):则函数的零点至少有( )A .2个 B.3个 C.4个 D.5个解析:在(2,3),(3,4),(4,5)内均至少有1个零点,从而该函数的零点至少有3个. 答案:B5.设x 0是方程(13)x=√x 的解,则x 0所在的范围是( ) A .(0,13)B .(13,12)C .(12,23)D .(23,1)解析:构建函数f (x )=(13)x−√x ,则f (13)=(13)13−√13=(13)13−(13)12>0, f (12)=(13)12−(12)12<0, ∴函数f (x )的零点所在的区间是(13,12),∴解:x 0所在的区间是(13,12).故选B .答案:B6.函数f (x )=x-4x 的零点是 . 解析:令f (x )=0,即x-4=0,解得x=2或x=-2.答案:2,-27.若函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则a= . 解析:当a=0时,函数f (x )=-x-1有一个零点为-1;当a ≠0时,要使函数f (x )仅有一个零点,需Δ=1+4a=0,所以a=-14.故a=0或a=-14. 答案:0或-148.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数,-2是它的一个零点,在(0,2)内无零点,且在(2,+∞)上是增加的,则该函数有 个零点,所有零点的和等于 . 解析:∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=0.∵-2是它的一个零点,∴2也是它的零点,故一共有3个零点,它们的和为0. 答案:3 09.求函数f (x )=-3x 2-7x+6的零点,并指出f (x )>0,f (x )<0时,x 的取值范围. 解:由方程-3x 2-7x+6=0,得x 1=-3,x 2=23,所以函数f (x )=-3x 2-7x+6的零点为-3,23. 配方得f (x )=-3(x +76)2+12112.作出函数的简图,如图所示,从图像可知,当-3<x<23时,f (x )>0,当x<-3或x>23时,f (x )<0.10.已知函数f (x )=x 3-x 2+x 2+14,求证:存在x 0∈(0,12),使f (x 0)=x 0.证明:令g (x )=f (x )-x=x 3-x 2-12x+14.∵g (0)=14,g (12)=f (12)−12=-18,∴g (0)·g (12)<0.∵函数g (x )的图像在[0,12]上是连续曲线,∴存在x 0∈(0,12),使g (x 0)=0,即f (x 0)=x 0.B 组 能力提升1.函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的零点个数为( )A .0 B.1 C.2 D.3解析:当x ≤0时,由f (x )=x 2+2x-3=0,得x 1=1(舍去),x 2=-3;当x>0时,由f (x )=-2+ln x=0,得x=e 2,所以函数f (x )的零点个数为2. 答案:C2.已知函数f (x )=(x-a )(x-b )+1(a<b ),且m ,n 是方程f (x )=0的两个根(m<n ),则实数a ,b ,m ,n 的大小关系可能是( ) A.m<a<b<n B.a<m<n<b由函数f (x )=(x-a )(x-b )+1,可得f (a )=f (b )=1.又m ,n 是方程f (x )=0的两个根,故可画出函数的大致图像如图所示.所以a<m<n<b. 答案:B 3.函数f (x )={x 2-2|x |+12,x ≤0,|lgx |-1,x >0的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:方程|lg x|=1(x>0)有两个根10,110;方程x 2-2|x|+12=0(x ≤0)⇒x 2+2x+12=0(x ≤0)⇒x=-2±√22<0,所以函数f (x )有4个零点.故选D . 答案:D4.定义在R 上的奇函数y=f (x ),当x>0时,y=f (x )是增加的,且f (1)f (2)<0,则函数y=f (x )的零点个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .条件不足无法判断解析:由y=f (x )在(0,+∞)上是增加的,且f (1)f (2)<0,函数y=f (x )在(0,+∞)上有一个零点,由奇函数关于原点对称的性质知函数y=f (x )在(-∞,0)上也只有一个零点.又x=0时,f (0)=0,故函数y=f (x )在R 上有三个零点.故选C . 答案:C 5.已知y=x (x-1)(x+1)的图像如图所示,令f (x )=x (x-1)·(x+1)+0.01,则方程式f (x )=0, ①有三个实根;②当x<-1时,恰有一个实根(有且仅有一个实根); ③当-1<x<0时,恰有一个实根; ④当0<x<1时,恰有一个实根; ⑤当x>1时,恰有一个实根.函数f (x )的图像如图所示,由图像易知,当x<-1时,方程f (x )=0恰有一实根;当-1<x<0时,方程f (x )=0没有实根;当0<x<1时,恰有两个实根;当x>1时,没有实根. 答案:①②6.已知函数f (x )={|x |,x >0,-x 2-2x +1,x ≤0.若函数g (x )=f (x )+2m 有三个零点,则实数m 的取值范围函数f (x )的图像如图所示.由图可知,当g (x )=0有三个根时,对应y=f (x )与y=-2m 的图像有三个不同的交点,即1≤-2m<2,所以-1<m ≤-12. 答案:(-1,-12]7.已知二次函数f (x )的两个零点分别是-2和4,且其图像经过点(-1,-10),试求函数f (x )的最小值. 解:因为二次函数f (x )的两个零点分别是-2和4,所以设f (x )=a (x+2)(x-4). 又f (x )的图像经过点(-1,-10), 所以有-10=a (-1+2)(-1-4),得a=2, 于是f (x )=2(x+2)(x-4).又f (x )图像的对称轴是x=-2+42=1, 所以f (x )的最小值为f (1)=2(1+2)(1-4)=-18. 8.导学号85104088(拓展探究)对于函数f (x )=ax 2+(b+1)x+b-2(a ≠0),若存在实数x 0,使f (x 0)=x 0成立,则称x 0为f (x )的不动点. (1)当a=2,b=-2时,求f (x )的不动点;(2)若对于任何实数b ,函数f (x )恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a=2,b=-2时,f (x )=2x 2-x-4.令f (x )=x ,即2x 2-x-4=x , 整理得x 2-x-2=0. 解得x 1=-1,x 2=2,即f (x )的不动点是-1,2.(2)由f (x )=x ,得ax 2+bx+b-2=0. 由已知,此方程恒有两相异实根, 即Δ=b 2-4a (b-2)>0恒成立, 即b 2-4ab+8a>0恒成立.又b 2-4ab+8a>0对任意实数b 恒成立, ∴Δ=16a 2-32a<0,解得0<a<2,即实数a 的取值范围是{a|0<a<2}.。
2020-2021学年高一数学课时同步练习 第24课 零点的存在性及其近似值的求法
第三单元 函数第24课 零点的存在性及其近似值的求法一、基础巩固1．函数f(x)＝x 2－5x －6的零点是( )A ．2,3B ．－2,3C ．6，－1D ．－6,12.函数y ＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y ＝f(|x|)的零点的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是( )A ．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B ．函数f(x)在(3,5)内无零点C ．函数f(x)在(2,5)内有零点D ．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1＜x ＜12，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．2 D ．66．若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是________．7．若f(x)＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．8．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．9．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．10．已知y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x.(1)写出函数y ＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．二、拓展提升11．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为(－1,2)，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)12.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]13．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x≤0，2，x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．414．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A(1－B)，若不等式(x －a)⊙(x ＋a)＜1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．15．设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m ，n(m ＜n)．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f(x)与m 的大小．。
高一数学必修一函数零点试题及解析
高一数学必修一函数零点试题及解析(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高一数学必修一函数零点试题及解析一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 答案：B解析：∵函数f (x )＝lg x －1x，∴f (2)＝lg2－12＝lg2－lg1012＜0，f (3)＝lg3－13＝lg3－lg1013＞0，∴f (2)f (3)＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为(2,3)，故选B. 2．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝lnx ＋2x ＋a 的零点所在区间是( )B ．(1,2) D ．(2,3) 答案：C解析：解：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，而g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，A ．h 2>h 1>h 4B ．h 1>h 2>h 3C ．h 3>h 2>h 4D ．h 2>h 4>h 1 答案：A解析：饮各自杯中酒的一半，柱形杯中酒的高度变为原来的一半，其他的比一半大，前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高，可排除选项B 、C 、D.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则每件产品的平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B解析：若每批生产x 件产品，则平均每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元．因为y ＝800x ＋x 8＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫800x －x 82＋20≥20，当800x＝x8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件．二、填空题(每小题5分，共15分)7．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧c x，x<AcA，x≥A(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A件产品用时15 min，所以cA＝15 ①；所以必有4<A，且c4＝c2＝30 ②，联立①②解得c＝60，A＝16.8．设函数y＝x3与y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.答案：1解析：画出函数y＝x3和y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x0<2，所以n＝1.9．若关于x的方程|x|x－2＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：由题意可知k≠0，答案：D解析：⎩⎪⎨⎪⎧m ·e －5a ＝12m ，m ·e－a5＋n＝m8，∴e －5a＝12，e －a (5＋n )＝18∴e －15a ＝e －a (5＋n )，15＝n ＋5，n ＝10.13．(15分)某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大最大月收益是多少解：(1)租金增加了900元，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆．租赁公司的月收益为y 元，y ＝(3 000＋60x )(10－x )－160(100－x )－60x ，其中，x ∈[0,100]，x ∈N ，整理，得y ＝－60x 2＋3 100x ＋284000＝－60⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15562＋972 1253.当x ＝26时，y max ＝324 040，即最大月收益为324 040元． 此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．。
北师版新课标高中数学必修一同步练习题函数的基本概念提高练习二
再见
④由于集合A不是数集，所以此对应法则不是函数．
【答案】①不是 ②不是 ③符合 ④不是
函数概念的同步练习二
【解析】 ①当x分数时,N中没有对应元素,所以不可以构成函数． ②当x=1, y=1,当x=﹣1, y=1,当x=2, y=4,当x=﹣2, y=4,满足函数的定义,可以构成函数． ③因为三角形不是数集,N中没有对应元素,所以不成立,不可以构成函数．
函数的基本概念 同步练习二
函数概念的同步练习二
【解析】
对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此①②中的对应关系f是 从集合A到集合B的一个函数. ③对于集合A中的值3，在集合B中没有与之对应的值，因此对应关系了不是从集合A到集合B
的一个函数. ④对于任意一个值x，与之对应的2x+1的值是唯一确定的，又当x≥﹣1时,2x+1≥﹣1,所以对应关系
f是从集合A到集合B的一个函数,可以表示为f(x)=2x+1, x≥﹣1.【答案】①②④函Fra bibliotek概念的同步练习二
【解析】
①对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不 是函数． ②集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．
③ 由y3＝x，即y＝ 3 x ，因为A＝[1，8]，B＝[1，3]，对应法则f：x→y，符合函数对应．
20212022学年数学北师大版必修一练习4111利用函数性质判定方程解的存在.docx
二十五利用函数性质判定方程解的存在【基础全面练】(20分钟35分)1•函数f(x) = x3 + 3x- 1在以下哪个区间内一定有零点()A , ( - 1 , 0)B , (0 , 1)C . (1 , 2)D , (2 , 3)选 B.因为f(x) = x3 + 3x - 1 ,所以f( - l)f(0) = (- 1 - 3 - 1)(- 1)>0 , H 滁 A.f(l)f(2) = (1 + 3 - 1)(8 + 6 - 1)>0，排除C.f(2)f(3) = (8 + 6 - 1)(27 + 9 - 1)〉0 ,排除D ,f(0)f(l) = ( - 1)(1 + 3 - 1)<0，所以函数f(x)在区间(0 ,1)内一定有零点, 故选B.2.函数f(x) = x3 + 2x- 1的零点所在的大致区间是()A . (0 , 1)B , (1 , 2)C . (2 , 3)D , (3 , 4)选A.因为f(0) = - KO , f(l) = 2>0,且f(x)在区间［0 , 1］上连续，所以f(x)在(0 , 1)上至少有一个零点.又f(x)在R上是增函数，则f(x)有唯—零点-3.已知函数f(x) = x2 - 2ax + l(a£R),若函数f(x)有正数零点/则满足条件的实数a的取值范围是()A . a>lB . a>lC . a<lD . a<l选B.若函数f(x)有正数零点，只需:A = 4a2 - 4>0 , 解得a〉l.a > 0 ,log2x(x>0),4.已知函数f(x)=]且关于x的方程f(x) +x-a = O3x(x<0),有且只有一个实根，则实数a的范围是()A . ( - 8,0)B .(0 , 1)C . (1 , 2)D . (1 , + 8)_ log2x(x>0),选D.在同一坐标系中分别作出函数f(x) =5 y= - x + a3x(x<0),的图像, 由图像可得a〉l.5.若方程史-4x| -a = 0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是_______ 由|x2 - 4x| - a = 0 ,得a = |x2 - 4x| ,作出函数y = |x2 - 4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2 - 4x| - a = 0有四个不相等的实根, 则0<a<4.答案：（0 , 4）6.关于x的方程mx2 + 2（m +3）x + 2m+ 14 = 0有两实根，且一个大于4 ,—个小于4 ,求实数m的取值范围.令f(x) = mx2 + 2(m + 3)x + 2m + 14.fm>0 , fm<0 , 依题意得〈或〈If ( 4 ) <0 If ( 4 ) >0 ,fm>0 , fm<0 ,即〈或〈[26m + 38<0 [26m + 38>0 ,解得-妄<m<0.故实数m的取值范围为］- H，。
2024-2025年北师大版数学必修第一册5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性(带答案)
1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练知识点一函数零点的概念1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )2．函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为( )A．10 B．9 C．(10，0) D．(9，0)3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若f(x)有一个零点为x＝3，求a；(2)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．知识点二利用零点存在性定理判断方程的根所在区间4．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实数解D．方程f(x)＝0可能无实数解5．已知函数f(x)＝x3＋x－3，则f(x)的零点存在于下列哪个区间内( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 6．函数f (x )＝log 4(2x ＋4)－4x ＋1的一个零点所在的一个区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)知识点三 判断函数的零点(或方程根)的个数7．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．08．方程log 2x －x ＋2＝0的根的个数为________． 知识点四 二次函数的零点问题9．关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a ＝1(a ≠0)，求a 为何值时： (1)方程有一个正根和一个负根； (2)方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．下列关于函数零点的说法正确的是( ) A ．函数零点就是函数图象与x 轴的交点B ．函数f (x )有几个零点，其图象与x 轴就有几个交点C ．不存在没有零点的函数D ．若f (x )＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f (x )有两个零点 2．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a (a ，b ∈R )的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D ．(2，3) 4．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是方程f (x )＝0的两个根，则a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．α<a <β<bC ．α<a <b <βD ．a <α<β<b6．(探究题)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．a <1<bB ．a <b <1C ．1<a <bD ．b <1<a7．若方程2x－2x－a ＝0的一个根在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是________．8．(易错题)已知方程x 2－2ax ＋a 2－4＝0的一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．9．已知方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时： (1)方程有唯一实数根；(2)方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．(多选题)若函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，则实数m可取的值有( ) A．1 B．2C．4 D．62．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有两个零点，求实数a的取值范围．1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练1．答案：A解析：通过函数图象与x轴的交点个数确定函数的零点，选A.2．答案：A解析：令f(x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x ＝10，所以函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为10，故选A.3．解析：(1)因为f(x)有一零点x＝3，所以32＋a ×3＋3＝0， 所以a ＝－4.(2)因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以a 的取值范围是[－6，2]. 4．答案：D解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f (－1)·f (3)<0，但函数y ＝f (x )在(－1，3)上未必有零点，即方程f (x )＝0可能无实数解．5．答案：B解析：∵f (x )＝x 3＋x －3，∴f (0)＝－3<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，f (3)＝27>0，f (4)＝65>0， ∴f (1)·f (2)<0，又y ＝x 3与y ＝x －3在R 上单调递增，所以f (x )在R 上单调递增， ∴函数f (x )的零点所在的一个区间为(1，2).故选B. 6．答案：C解析：函数f (x )的定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞)，易知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．f (1)＝log 46－2＝log 46－log 416＝log 438<log 41＝0，f (2)＝log 48－43 ＝log 4432 －43 ＝32 －43 ＝16>0，由零点存在性定理可知，函数f (x )的一个零点所在的一个区间是()1，2 .故选C. 7．答案：B解析：当x ≤0时，由x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x >0时，由－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.故函数f (x )有2个零点，选B. 8．答案：2解析：log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2.令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2. 画出两个函数的大致图象，如图所示． 由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以方程log 2x －x ＋2＝0有两个根．9．解析：令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1(a ≠0).(1)当方程有一个正根和一个负根时，f (x )对应的草图可能如图①或②所示．因此f (x )＝0有一个正根和一个负根等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （0）<0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （0）>0，解得0<a <1.所以当0<a <1时，方程有一个正根和一个负根．(2)当方程的两个根都大于1时，f (x )对应的草图可能如图③或④所示．因此f (x )＝0的两个根都大于1等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）>0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）<0.解得a ∈∅.所以不存在实数a ，使方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．答案：B解析：函数零点指的是使f (x )＝0的x 的值，即函数图象与x 轴交点的横坐标，所以A 不正确；并不是所有的函数都有零点，比如函数y ＝2，故C 不正确；两个相等的实根只算一个零点，所以D 不正确．故选B.2．答案：D解析：∵f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，f (6)f (7)<0，∴函数f (x )至少有4个零点，即方程f (x )＝0到少有4个实根．3．答案：A解析：由图可得，f (0)＝a ∈(0，1)，f (1)＝1－b ＋a ＝0， 所以b ＝a ＋1∈(1，2)，因为g (x )＝ln x ＋2x －b 单调递增，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝ln 12 ＋1－b <0，g (1)＝2－b >0， 所以g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，故选A.4．答案：B解析：令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝(12)x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝(12 )x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．5．答案：C解析：由题意得，f (a )＝f (b )＝－2<0，而f (α)＝f (β)＝0，借助图象可知(图略)，a ，b ，α，β的大小关系有可能是α<a <b <β，故选C.6．答案：A解析：令f (x )＝0，即e x＋x －2＝0，则e x＝2－x .令g (x )＝0，即ln x ＋x －2＝0，则ln x ＝2－x ，设y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x . 在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x 的图象如图．∵函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，∴y 1＝e x与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为a ，y 2＝ln x 与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为b ，由图象知a <1<b ，故选A. 7．答案：(0，3)解析：令f (x )＝2x －2x －a ，根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f (x )＝2x －2x－a 在区间(1，2)内是增函数，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，所以f (1)<0，且f (2)>0，求解可得0<a <3.8．答案：(1，2)解析：设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－4，结合零点存在性定理，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3>0，a 2－4<0，a 2－4a <0，解得1<a <2. 9．解析：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即x ＝－12 ，符合题意；当a ≠0时，Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)＝0，解得a ＝－13 .所以当a ＝0或a ＝－13 时，方程有唯一实数根．(2)令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1.因为方程的一个根大于1，一个根小于1，故a ≠0，f (x )的草图可能如图①或②所示．所以必须有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （1）<0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （1）>0. 解得a >0.所以当a >0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．答案：BC解析：因为函数y ＝x 2－4|x |＋5－m 有四个不同的零点， 所以关于x 的方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个不同的实数解，所以令f (x )＝|x |2－4|x |＋5＝(|x |－2)2＋1，h (x )＝m ，画出函数f (x )的图象，如图所示．因为要使f (x )的图象与h (x )的图象有四个交点，则直线h (x )＝m 应该在直线l 和直线n 之间，所以1＜m ＜5，故实数m 可取2，4.2．解析：当x ＝0时，f (0)＝a 2－2a ＋2＝(a －1)2＋1＞0， 因此x ＝0不是f (x )的零点．当x ＝2时，f (2)＝16－8a ＋a 2－2a ＋2＝a 2－10a ＋18， 由f (2)＝0，得a ＝5±7 .若a ＝5＋7 ，则另一根x 2＝5＋7 －2＝3＋7 ∉[0，2]， 若a ＝5－7 ，则另一根x 2＝5－7 －2＝3－7 ∈[0，2]. ∴a ＝5－7 符合题意．若f (x )在(0，2)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝a 2－2a ＋2＞0，f （2）＝a 2－10a ＋18＞0，Δ＝16a 2－4×4（a 2－2a ＋2）＞0，⇒0＜a2＜2⎩⎨⎧a ＞5＋7或a ＜5－7，a ＞1，0＜a ＜4，解得1＜a ＜5－7 .综上所述，a 的取值范围是(1，5－7 ].。
高中数学第二章函数零点练习题北师大版必修1(2021年整理)
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函数的零点1.函数21y x =-的零点是 变式：函数y ＝3，x －错误!的一个零点是( ）A ．－1B ．1C ．（－1，0）D ．（1,0)变式：函数f （x )＝错误!＋a 的零点为1,则实数a 的值为______．2．若函数f (x ）＝ax ＋b 的零点是2,则函数g (x ）＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，错误!C ．0,－错误!D ．2，－错误!变式：若函数f （x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3,则函数g （x )＝bx 2－ax －1的零点是（ )A ．－1和错误!B ．1和－错误!C 。
错误!和错误!D ．－错误!和－错误!3、若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3,则x 1＋x 2＋x 3的值为（ ）A ．－1B ．0C ．3D ．不确定变式：定义在R 上的偶函数()x f y =在(－∞，0]上递增，函数()x f 的一个零点为－错误!，则满足0log 41≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 的x 的取值集合4、函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间为A 。
()1,2-- B.()0,1- C. ()1,0 D. ()2,1变式：（2010·天津)函数f (x ）＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1）B ．(－1,0)C ．（0,1）D ．（1，2) 变式:函数3log )(3-+=x x f x 零点所在大致区间是（ ）A 。
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函数零点存在性定理提高题
1．已知曲线y＝（
1
10
）x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0所在区间是（）
A．（0，1
2
）B．（2，3）
C．（1
2
，1）D．（1，2）
【答案】A．【解析】
设f（x）＝（
1
10
）x－x，则f（0）＝1>0，
f（1
2
）＝
1
2
1
()
10
－
1
2
<，
又因为f（x）＝（
1
10
）x－x在定义域上单调递减，
显然只有f（0）·f（1
2
）<0，故选A．
2．若x0是方程
1
3
1
2
x
x
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
的解，则x0属于区间（）
A．
2
(1)
3
,B．12
()
23
,
C．
11
()
32
,D．1
(0)
3
,
【答案】C．【解析】
构造函数
1
3
1
()
2
x
f x x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，则函数f（x）的图象是连续不断的一条曲线．
又
11
33
111
()0
323
f
⎛⎫⎛⎫
=->
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
11
23
111
()0
222
f
⎛⎫⎛⎫
=-<
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以
11
()0
32
f f
⎛⎫
⋅<
⎪
⎝⎭
．
故函数的零点所在区间为
11
(,)
32
，即方程
1
3
1
2
x
x
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
的解x0属于区间
11
(,)
32
．
故选C．
3．已知关于x 的方程|210|x
a -=有两个不同的实根12x x ,，且212x x =，则实数a
= ． 【答案】6． 【解析】
由|210|x
a -=得：210x a =±，由题设知1210x a =-，2210x
a =+
因为212x x =，所以2
11222
2(2)x x x ==，所以()2
1010156a a a a -=+⇒==或
因为100a ->，所以15a =不合题意，舍去，所以答案为6．
4．已知函数f （x ）＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f （x ）＝m （m ∈R ）恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________． 【答案】（－3，0） 【解析】
f （x ）＝||x －1|－1|＝|1|102
1|1|02
x x x x x --≤≥⎧⎨
--<<⎩或,,,方程f （x ）＝m 的解就是y ＝f （x ）
的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1， x 3＝2＋x 1， x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0．设t ＝x 1x 2x 3x 4＝（2
1x －2）2－4，则t ＝（2
1x －2）2－4，()110x ∈-,，易得
－3<t <0．。