解析几何- 方法提炼

第七章中常用的方法7．1方法提炼1．直线的倾斜角不为90°时，其正切值才叫直线的斜率．故倾斜角为90°的直线无斜率．另外，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，故运用直线的斜率解题时，一定要考虑斜率是否存在的情形．2．直线的倾斜角围为α∈[0，π)，当α∈(0，2π)时，斜率k ＞0, 当α∈(2π，π)时，k ＜0, 因而已知含有参数的斜率，求其倾斜角时，必须对斜率的正负加以讨论．一般当k ＜0时．其倾斜角为π＋arctan k ，也可表示为π－arctan(－k )或2π+arccot(－1k)或π等，要注意反三角函数值的等价性． 3k 的求法有三种：(1) 已知倾斜角α，求k (分α＝90°，α≠90°两种情况求；(2) 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求 k (分x 1=x 2, x 1≠x 2两种情况求，特别当x 1≠x 2时，k 不存在；(3) 已知直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，求k , 分B ＝0, B ≠0两种情况求．4．设已知A (a ，b )，B (c ，d )，P (m ，n )，要使过P 点的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的斜率k 围的求法(A 点在B 点的左侧)可分两种情形术：(1) 当直线x ＝m 与线段AB 有交点时，k ≥k PB 或k ≤k PA , (2) 当直线x =m 与线段AB 无交点时，k PA ＜k <k PB .7．2方法提炼1．直线方程的点斜式和斜截式只能表示斜率存在的直线，不能表示与x 轴垂直的直线，因而，利用它们解题时应首先对所求直线的斜率的存在性加以判定．2．两点式方程不能表示与坐标轴平行的直线，截距式方程不能表示与坐标轴平行和经过原点的直线，因而利用这两种形式解题时应首先对所求直线的可能情形加以判定，以防漏解．3．“截距”与“距离”是两个不同的概念，横截距是指直线与x 轴的交点的横坐标，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标．截距可为正数、负数或零，而距离是大于或等于零的实数．4．题目中凡涉及“截距相等”、“截距互为相反数”、“截距的绝对值相等”等条件时，一定要考虑截距为零的情形．截距要加绝对值符号后才成为线段的长度．5．直线与坐标轴围成的三角形的面积、周长问题均与截距有关，所以选用截距式．特别在求三角形面积的最值时，先应列出所求最值的目标函数关系式，再利用代数方法(如判别式法，均值不等式法)求最值．6．判断直线在坐标平面的位置，第一看斜率(或倾斜角)，第二看直线在y 轮上的截距的正负，即可得出结论．7．当点在直线上时，常借助直线的方程，用一个字母(本数)来表示直线上点的两个坐标，这种方法称为“直线标点法”，它是解析几何最基本的思想方法，在解题中有较灵活的应用．7．3方法提炼1．直线方程的一般式为Ax 十By 十C =0, 当B =0时，斜率不存在；当B ≠0时，斜率为－A B ．令x =0可得y 的值即为纵截距，令y =0，得x 的值即为横截距． 2．判断直线y =kx ＋b 不经过哪个象很，必须对k 和b 的正负加以讨论：①当k ＞0, b ＞0时，不经过第四象限；②当k ＞0，b ＜0时，不经过第二象限；③当k ＜0，b ＞0时，不经过第三家限；④当k ＜0，b ＜0时，不经过第一象限．3．直线Ax 十By 十C =0与坐标轴围成的三角形面积应是横、纵截距的绝对值乘积的21． 4．涉及直线的科率问题或需设直线上点的坐标时往往将一般式方程化为斜截式方程；涉及直线的横、纵截距或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长时，往往将一般式方程化成截距式．5．含有绝对值符号的方程，一般要先找分界点，分段讨论，把绝对值符号脱掉．但得出的直线方程在画图形时，应注意x 和y 的取值围．6．根据已知条件求直线方程，应依据直线的方程判断其特征，运用待定系数法求解．7．4方法提炼1．两条直线位置关系的判定方法：方法一：解两直线方程组成的方程组，由方程组的解的情况判定两直线的位置关系，这种方法虽思路自然，但运算较繁．方法二：用斜率，但须保证两直线的斜率存在．设l 1：y =k 1x ＋b 1，l 2：y =k 2x ＋b 2，则 ① k 1≠k 2⇔l 1与l 2相交；②k 1=k 2且b 1≠b 2 ⇔ l 1与l 2平行；③ k 1k 2=－1 ⇔l 1⊥l 2，④ k 1=k 2且b 1=b 2 ⇔ l 1与l 2重合。

方法三：用系数比．设 l 1：A 1x 十B 1y 十C 1=0，l 2：A 2x 十B 2y 十C 2=0, 则 ①l 1与l 2相交⇔1122A B A B ≠；② l 1//l 2⇔A 1B 2+A 2B 1=0；③ l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0；④l 1与l 2重合⇔111222A B C A B C ==. 用斜率判断两直线的平行或垂直时，应分有无斜率两种情况加以讨论．而一般对含有字母系数(参数)的直线方程位置关系的讨论，用计算系数比判断较好．但这里也应分等于零或不等于零(指x 和y 的系数有字母参数时)两种情况讨论，以避免遗漏特殊价况．两条直线平行的一般结论是：l 1//l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2或l 1，l 2的斜率均不存在． 两条直线垂直的一般结论是：l 1⊥l 2⇔k 1k 2=－1或一条直线的斜率为零另一条直线的斜率不存在．2．如何根据已知条件，巧设方程。

一般地，与直线Ax 十By 十C =0平行的直线可设为Ax 十By 十C 1=0；与这条直线垂直的直线方程可设为Ay －Bx 十C 2=0；过已知点(x 0，y 0)且与Ax 十By 十C =0平行、垂直的直线方程还可直接写成：A (x －x 0)+B (y －y 0)=0，B (x —x 0)－A (y －y 0)=0，采用以上方法，可避免斜率存在与否的讨论．3．两直线所成角的求法(1) l 1到l 2的角是指把 l 1绕支点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所成的最小正角，其公式为tan α=21121k k k k -+,这里应注意它是一个方向角。

是在1＋k 1k 2≠0的前提下才成立，其围为(0, π)，并且l 1到l 2的角与l 2到l 1的角是不同的，它们互为补角。

即α1＋α2=π。

(2)在l 1到l 2的角和l 2到l 1的角中较小的一个比较常用，称为两直线的夹角，其围为[0,2π]，它满足 tan α=|21121k k k k -+|，当 l 1//l 2时，α=0，当l 1⊥l 2时不能用公式求角． (3)求两直线所成角时．若方向已确定，用到角公式；如方向不确定则用夹角公式．去掉绝对值符号后有两解，应检验是否都满足已知条件．(4)由于斜率不存在的直线存在，利用夹角公式求直线的斜率或直线方程时，为防止漏解应分情况讨论．不能用公式求解时应注意通过作图分析所求角的关系．如求x ＝1到直线x －y +3=0的角，不能用公式求，只可通过作图分析．4．两条直线A 1x 十B 1y 十C 1=0与A 2x 十B 2y 十C 2=0的交点是方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解，当A 1B 2－A 2B 1≠0时，两直线交于一点；当A 1B 2－A 2B 1=0 ，A 1C 2－A 2C 1≠0时，两直线无交点，即两直线平行；当A 1B 2－A 2B 1=0 ，A 1C 2－A 2C 1=0时，两直线有无数交点，即两直线重合。

7．5方法提炼1．点到直线的距离公式及其应用(1) 设点P (x 0，y 0)，直线l ：Ax 十By 十C =0，P 点到直线l 的距离为d ，则有d一般式，其主要应用有：① 求两直线交角的平分线方程，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质； ② 求三角形面积时，求底边上的高．2．两条平行直线间的距离公式设两条平行直线l 1：A 1x 十B 1y 十C 1=0与l 2：A 2x 十B 2y 十C 2=0，则它们之间的距离dx 和y 的系数化成相同的系数．已知点P (a ，b )，则它的对称点为p ’，有：(1) 点P 关于(m ，n )对称的对称点P ’为(2m －a ，2n －b )，这里利用中点坐标公式获解；(2) 点P关于x轴、y轴，原点，y＝x，y=－x，x=m，y=n对称点的坐标分别为P’(a，－b)，P’(－a，b)，P’(－a，－b)，P’(b，a)，P’(－b，－a)，P’(2m－a，b)，P’(a，2n－b)．(3) 点P关于斜率为±1的直线(如x±y＋c＝0)对称的点的坐标可直接改写为P’(－M ±b，±(m＋a))；(4) 点P(a，b)关于直线l：Ax＋By＋C=0(斜率不为土1)的对称点P(x’，y’)的坐标由方程组''22'()1'a xb yA B Cy b Ax a B++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩决定．4．直线中的对称直线方程的求法(1) 直线l：Ax十By十C=0,关于点P(m，n)对称的直线方程l’可用“坐标转移法”得出：A(2m－x)＋B(2n－y)＋C＝0．(2) 直线l1：A1x十B1y十C1=0关于直线l：Ax十By十C=0对称的直线l2的方程可由以下两个方法得到：①转化成“点关于点对称”，在l1上任取两个不同点P1，P2，求出P1，P2关于l的对称点P’1，P’2，则P’1P’2的直线即为l2；②当l1与l相交时，利用l1到l的角等于l到l2的角求出l2的斜率k，再确定l2上一点对即l1与l的交点．5．直线系：具有某种共同性质的所有直线的集合叫直线系，常见的直线有：(1) 平行直线系：与Ax十By十C=0平行的所有直线可没其方程为Ax十By十C 1=0；(2) 垂直直线系：与Ax十By十C=0垂直的所有直线可设其方程为Bx－Ay十C1=0；(3) 共点直线系：过一定点(x0，y0)的所有直线方程可表示为y－y0=k(x－x0)和x=x0(k ∈R)；(4) 经过两直线交点的直线系：设l1：A1x十B1y十C1=0与l2：A2x十B2y十C2=0是两相交直线，则经过它们的交点P(x，y0)的直线可表示为小A1x十B1y十C1+λ(A2x十B2y十C2)=0，该方程不包括l2．6．定点问题．含有一个待定系数(参数)的二元一次方程所表示的直线一定经过一个定点，这样的直线叫定点直线，解决此类问题的方法一般有四种：(1) 特殊值法：给方程中的参数取两个特殊的值，就可得到关于x和y的两个方程，从中解出的x和y的值即为所求的定点的坐标．(2) 把含有参数的直线方程写成点科式y－y0＝k(x－x0)的形式，就可证明它所表示的所有直线都过定点(x0，y0)，但这仅限于x和y中的一个的系数中含有参数．(3) 用方程的思想、将原方程重新整理为以参数为主元的方程．利用不论参数取何值，方程都有解，则方程的系数必须为零，可求得定点的坐标．(4) 利用直线系方程．经过两直线l1和l2的交点的直线系方程为A1x十B1y十C1+λ(A2x 十B2y十C2)=0，而这个交点就是定点．7．二元二次方程可表示为两条直线的条件是能分解成两个二元一次方程，其方法是因式分解和待定系数法．7．6方法提炼1．直线中的最值问题根据图形本身的几何性质，将几何问题代数化，再用代数方法来解决．一般先设某变量为参数，用该参数表示所求的函数式，常利用以下几种方法求最大值、最小值：(1) 利用二次函数的最值求法；(2) 利用|sin x|≤1, |cos x|≤1等有界性；(3) 利用均值不等式法；(4) 利用一元二次方程的根的判别式法(一般对分式函数均采用此法)；(5) 利用围限定的方法．各种方法之间不是孤立的，有时需综合运用几种方法，有时也需将几何和代数结合在一起，即数形结合会更容易些．2．两类最值问题的求法(1) 在已知直线l上求一点P，使P点到两个定点A，B的距离之和最小，即|PA|＋|PB|最小．方法：先判断A，B两点是否在直线l的同侧．①若A，B在的异侧，则连结AB，AB 与l的交点即为所求的P点，|AB|为所求最小值；②若A，B在l的同侧，则先求A关于l的对称点A’坐标，A’B与l的交点即为所求的P点，|A’B|为所求最小值．(2) 在已知直线l上求一点P，使P点到两个定点A，B的距离的差的绝对值最大，即||PA|－|PB||最大．方法：先判断A，B两点去否在直线l的同侧．①若A，B在l的同侧，则AB与l的交点即为所求的P点，|AB|为所求最大值；②若A，B在l的异侧，则先求点A关于l的对称点A’，则A’B与l的交点即为所求的P点．|A’B|为所求最大值．(3) 有些函数(如y)的结构形式，类似于两点间的距离公式，可先把被开方数配方，转化为上述两种形式后求解．7．7方法提炼1．二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1) 对于直线Ax十By十C=0上侧的点，Ax十By十C的值与B同号，对于下侧的点，Ax十By十C的值与B异号；(2) 对于直线Ax＋By＋C=0右侧的点，Ax十By十C的值与A同号，对于左侧的点，Ax十By十C的值与A异号．(3) 有时，需判断Ax十By十C＞0(或Ax十By十C＜0)表示直线哪一侧的平面区域，常取某侧上的特殊点(一般取坐标轴上的点，特别当C≠0时，取原点)，看是否满足不等式来进行判断．2．如何画二元一次不等式(组)表示的平面区域将各个二元一次不等式取“＝”，在直角坐标系中分别作出它们所表示的直线．如果不等号为“＞”或“＜”，则边界画成虚线，如果不等号为“≥”或“≤”则边界线画成实线．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分(用阴影部分图示)．3．线性规划的适用围和解题步骤适用围：线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值的问题．解题步骤：①设未知数；②列出约束条件和目标函数；③作出可行域；④求出最优解；⑤写出答案．4．两个变量的线性规划问题，可用图解法求最优解，它主要应用于：(1) 在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；(2) 给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．常见的问题有物资调运、产品安排、下料等．5．在线性规划问题中求整数解的方法线性规划实际应用问题中(如物资调运、人力安排等)，很多时候需求整数解，而通过作可行域，利用图解法得到的又不是整数解，这时应在可行域找出最符合条件的整数解．这里应注意到，若解为整数，则其目标函数的值也应为整数(可参见综合训练卷第8，9，10题)．7．8方法提炼1．坐标法与解析几何及其研究的主要问题(1) 借助坐标系研究几何图形的方法叫坐标法．(2) 解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题的一门数学学科．(3) 平面解析几何研究的主要问题：①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；②通过方程，研究平面曲线的性质．2．曲线和方程的关系在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形)．曲线与方程是同一运动关系下的两种不同的表现形式．曲线的方程实质上就是这条曲线上任意一点的坐标x和y之间的等量关系式．3．求曲线的方程的步骤和方法(1)求曲线(轨迹)方程的一般步骤：①建立适当的坐标系，用(x，y)表示所求曲线(轨迹)上任意一点；②写出曲线上的点所应满足的几何关系式(即动点的点集)；③用坐标(x，y)表示②中的点集，列出方程f(x，y)＝0；④化简③中的方程f(x，y)＝0为最简形式；⑤证明④中方程即为所求方程(剔除不合要求的特殊点)．有时，②和⑤可以不作要求．当题中指明了坐标系(题中给出了某些点的坐标或某些曲线的方程，就意味着指明了坐标系)时，①中建立坐标系也就不需要了．(2)求曲线方程的主要方法有：①直接法(“五步到位法”)；②间接法(转移法、交轨法等)．转移法适用于有两个动点，其中一个动点在一已知曲线上运动，另一个动点是所求的曲线上的点；交轨法适用于两条直线交点的轨迹方程．4．已知曲线C的方程为f(x，y)=0，应抓住：(1)点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上，则f (x 0，y 0)=0；(2)点P 0(x 0，y 0) 不在曲线C 上，则f (x 0，y 0)≠0；(3)已知曲线上点的横坐标，代入曲线的方程中，可得该点的纵坐标，反之亦然；(4)若曲线C ’的方程为g (x ，y )=0，则曲线C 与C ’的交点坐标，即为方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的解．7．9方法提炼1．圆的方程的三种形式及其互化方法(1) 圆的标准方程为(x －a )2十(y 一b )2=r 2，其中圆心为(a ，b )，半径为|r |．展开整理可得圆的一般方程.’(2) 圆的一般方程为x 2＋y 2+Dx +Ey +F ＝0这里当D 2+E 2－4F ＞0时，才表示圆心为(－2D ,－2E )；当 D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．配方法可得圆的标准方程．(3) 圆的参数方程① 圆心为(0，0)，半径为r 的圆的参数方程为=cos sin x r y r θθ⎧⎨=⎩(θ为参数)： ② 圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为=+cos sin x a r y b r θθ⎧⎨=+⎩(θ为参数)，移项．平方相加消去θ可得圆的标准方程．2．判断点与圆的位置关系的方法判断点P (x ，y )与圆 C ：(x －a )2＋(y －b )2=r 2的位置关系，只需考查 |PC |与r 的大小，(这里r >0), |PC ＜r ⇔点P 在圆C ；|PC |＝r ⇔点P 在圆C 上；|PC |＞r ⇔点P 在圆C 外．3．求圆的方程的一般方法(1) 直接法：若已知圆的圆心坐标和半径，或由已知条件较易求出圆心和半径，则利用圆的标准方程，可直接写出圆的方程．(2) 待定系数法：确定一个圆，需要三个独立的条件．当已知圆心或半径的有关条件时，一般采用设标准形式求方程；当已知圆上三点或三点以上的坐标时，一般采用设一般式求方程，待定系数法是求圆的方程的重要方法．(3) 数形结合法．有些圆的方程可通过图形及圆的特殊性质巧妙得解．7．10方法提炼1．直线与圆的位置关系的判定方法方法一：用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的大小关系判定：直线与圆相交⇔d ＜r ；直线与圆相切⇔d ＝r ；直线与圆相离⇔d ＞ r ．方法二：联立直线方程与圆的方程组成的方程组，消去其中一元，得另一元的二次方程，其判别式为△，直线与圆相交⇔△＞0；直线与圆相切⇔△=0；直线与圆相离⇔△＜0．2．点与圆的位置关系的判定方法设点P (x 0，y 0)到圆心 C (a ，b )的距离为 d ，则有d ＞r ⇔点 P 在圆C 外； d =r ⇔点 P 在圆C 上； d ＜r ⇔点 P 在圆C ．3．圆与圆的位置关系的判定方法设两圆⊙哦O 1，⊙O 2的半径分别为R ，r (R 与r 的大小不定)，且两圆的圆心距离为|O 1O 2|＝d ，则两圆外离⇔d ＞R +r ；两圆含⇔0＜d ＜|R －r |；两圆相交⇔|R －r |<d <R ＋r ；两圆外切⇔d =R ＋r ；两圆切⇔d ＝|R －r |．4．圆的割线与圆有两个公共点的直线的有关问题的计算(处理)方法这里有三个问题：①已知直线l 的方程与圆的方程，求弦长；②已知弦长和圆的方程，求直线方程；③已知直线方程和弦长及半径(或圆心)，求圆的方程．处理圆中的这三个问题时，由于都与弦长有关，故可利用弦心距d , 半径r 、半弦长之间的直角三角形的关系：d 2十半弦2＝r 2解决．5．圆的切线方程及切线长的求法(1) 已知圆上一点P (x 0，y 0)，求过该点的切线方程．其方法一：由切线垂直于经过切点的半径得出切线的斜率等于切点与圆心连线的斜率的负倒数，求出切线的斜率，再由点斜式写出切线的方程．方法二：(直接改写法)，将x 2，y 2，x ，y 分别改写为x 0x ，y 0y ，02x x +，02y y +即可．但须注意，这种改写方法只适用于圆的一般方程．(2) 已知过圆外一点的切线方程的求法分三个步骤：①先用点斜式设出所求切线方程(斜率k 为参数)；②利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求出切线的斜率；③ 用点斜式写出切线的方程．特别需要注意的是，过圆外一点作圆的切线一定可以作两条，若利用上述方法只求出一个k 的解，则说明一定还有一条切线，其斜率不存在，应当补回来。