解析几何- 方法提炼

第七章中常用的方法

7．1方法提炼

1．直线的倾斜角不为90°时，其正切值才叫直线的斜率．故倾斜角为90°的直线无斜率．另外，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，故运用直线的斜率解题时，一定要考虑斜率是否存在的情形．

2．直线的倾斜角围为α∈[0，π)，当α∈(0，2π)时，斜率k ＞0, 当α∈(2π，π)时，k ＜0, 因而已知含有参数的斜率，求其倾斜角时，必须对斜率的正负加以讨论．一般当k ＜0

时．其倾斜角为π＋arctan k ，也可表示为π－arctan(－k )或2π+arccot(－1k

)或π

等，要注意反三角函数值的等价性． 3k 的求法有三种：

(1) 已知倾斜角α，求k (分α＝90°，α≠90°两种情况求；

(2) 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求 k (分x 1=x 2, x 1≠x 2两种情况求，特别当x 1≠x 2时，k 不存在；

(3) 已知直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，求k , 分B ＝0, B ≠0两种情况求．

4．设已知A (a ，b )，B (c ，d )，P (m ，n )，要使过P 点的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的斜率k 围的求法(A 点在B 点的左侧)可分两种情形术：(1) 当直线x ＝m 与线段AB 有交点时，k ≥k PB 或k ≤k PA , (2) 当直线x =m 与线段AB 无交点时，k PA ＜k

7．2方法提炼

1．直线方程的点斜式和斜截式只能表示斜率存在的直线，不能表示与x 轴垂直的直线，因而，利用它们解题时应首先对所求直线的斜率的存在性加以判定．

2．两点式方程不能表示与坐标轴平行的直线，截距式方程不能表示与坐标轴平行和经过原点的直线，因而利用这两种形式解题时应首先对所求直线的可能情形加以判定，以防漏解．

3．“截距”与“距离”是两个不同的概念，横截距是指直线与x 轴的交点的横坐标，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标．截距可为正数、负数或零，而距离是大于或等于零的实数．

4．题目中凡涉及“截距相等”、“截距互为相反数”、“截距的绝对值相等”等条件时，一定要考虑截距为零的情形．截距要加绝对值符号后才成为线段的长度．

5．直线与坐标轴围成的三角形的面积、周长问题均与截距有关，所以选用截距式．特别在求三角形面积的最值时，先应列出所求最值的目标函数关系式，再利用代数方法(如判别式法，均值不等式法)求最值．

6．判断直线在坐标平面的位置，第一看斜率(或倾斜角)，第二看直线在y 轮上的截距的正负，即可得出结论．

7．当点在直线上时，常借助直线的方程，用一个字母(本数)来表示直线上点的两个坐

标，这种方法称为“直线标点法”，它是解析几何最基本的思想方法，在解题中有较灵活的应用．

7．3方法提炼

1．直线方程的一般式为Ax 十By 十C =0, 当B =0时，斜率不存在；当B ≠0时，斜率为－A B ．令x =0可得y 的值即为纵截距，令y =0，得x 的值即为横截距． 2．判断直线y =kx ＋b 不经过哪个象很，必须对k 和b 的正负加以讨论：①当k ＞0, b ＞0时，不经过第四象限；②当k ＞0，b ＜0时，不经过第二象限；③当k ＜0，b ＞0时，不经过第三家限；④当k ＜0，b ＜0时，不经过第一象限．

3．直线Ax 十By 十C =0与坐标轴围成的三角形面积应是横、纵截距的绝对值乘积的21． 4．涉及直线的科率问题或需设直线上点的坐标时往往将一般式方程化为斜截式方程；

涉及直线的横、纵截距或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长时，往往将一般式方程化成截距式．

5．含有绝对值符号的方程，一般要先找分界点，分段讨论，把绝对值符号脱掉．但得出的直线方程在画图形时，应注意x 和y 的取值围．

6．根据已知条件求直线方程，应依据直线的方程判断其特征，运用待定系数法求解．

7．4方法提炼

1．两条直线位置关系的判定方法：

方法一：解两直线方程组成的方程组，由方程组的解的情况判定两直线的位置关系，这种方法虽思路自然，但运算较繁．

方法二：用斜率，但须保证两直线的斜率存在．设l 1：y =k 1x ＋b 1，l 2：y =k 2x ＋b 2，则 ① k 1≠k 2⇔l 1与l 2相交；②k 1=k 2且b 1≠b 2 ⇔ l 1与l 2平行；③ k 1k 2=－1 ⇔l 1⊥l 2，④ k 1=k 2且b 1=b 2 ⇔ l 1与l 2重合。

方法三：用系数比．设 l 1：A 1x 十B 1y 十C 1=0，l 2：A 2x 十B 2y 十C 2=0, 则 ①l 1与l 2相交⇔1122

A B A B ≠；② l 1//l 2⇔A 1B 2+A 2B 1=0；③ l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0；④l 1与l 2重合⇔111222

A B C A B C ==. 用斜率判断两直线的平行或垂直时，应分有无斜率两种情况加以讨论．而一般对含有字母系数(参数)的直线方程位置关系的讨论，用计算系数比判断较好．但这里也应分等于零或不等于零(指x 和y 的系数有字母参数时)两种情况讨论，以避免遗漏特殊价况．

两条直线平行的一般结论是：l 1//l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2或l 1，l 2的斜率均不存在． 两条直线垂直的一般结论是：l 1⊥l 2⇔k 1k 2=－1或一条直线的斜率为零另一条直线的斜率不存在．

2．如何根据已知条件，巧设方程。

一般地，与直线Ax 十By 十C =0平行的直线可设为Ax 十By 十C 1=0；与这条直线垂直的直线方程可设为Ay －Bx 十C 2=0；过已知点(x 0，y 0)且与Ax 十By 十C =0平行、垂直

的直线方程还可直接写成：A (x －x 0)+B (y －y 0)=0，B (x —x 0)－A (y －y 0)=0，采用以上方法，可避免斜率存在与否的讨论．

3．两直线所成角的求法

(1) l 1到l 2的角是指把 l 1绕支点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所成的最小正角，其公

式为tan α=2112

1k k k k -+,这里应注意它是一个方向角。是在1＋k 1k 2≠0的前提下才成立，其围为(0, π)，并且l 1到l 2的角与l 2到l 1的角是不同的，它们互为补角。即α1＋α2=π。

(2)在l 1到l 2的角和l 2到l 1的角中较小的一个比较常用，称为两直线的夹角，其围为[0,

2

π]，它满足 tan α=|21121k k k k -+|，当 l 1//l 2时，α=0，当l 1⊥l 2时不能用公式求角． (3)求两直线所成角时．若方向已确定，用到角公式；如方向不确定则用夹角公式．去掉绝对值符号后有两解，应检验是否都满足已知条件．

(4)由于斜率不存在的直线存在，利用夹角公式求直线的斜率或直线方程时，为防止漏解应分情况讨论．不能用公式求解时应注意通过作图分析所求角的关系．如求x ＝1到直线x －y +3=0的角，不能用公式求，只可通过作图分析．

4．两条直线A 1x 十B 1y 十C 1=0与A 2x 十B 2y 十C 2=0的交点是方程组1

1122200

A x

B y

C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解，当A 1B 2－A 2B 1≠0时，两直线交于一点；当A 1B 2－A 2B 1=0 ，A 1C 2－A 2C 1≠0时，两直线无交点，即两直线平行；当A 1B 2－A 2B 1=0 ，A 1C 2－A 2C 1=0时，两直线有无数交点，即两直线重合。

7．5方法提炼

1．点到直线的距离公式及其应用

(1) 设点P (x 0，y 0)，直线l ：Ax 十By 十C =0，P 点到直线l 的距离为d ，则有

d

一般式，

其主要应用有：

① 求两直线交角的平分线方程，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质； ② 求三角形面积时，求底边上的高．

2．两条平行直线间的距离公式

设两条平行直线l 1：A 1x 十B 1y 十C 1=0与l 2：A 2x 十B 2y 十C 2=0，则它们之间的距离

d

x 和y 的系数化成相同的系数．

已知点P (a ，b )，则它的对称点为p ’，有：

(1) 点P 关于(m ，n )对称的对称点P ’为(2m －a ，2n －b )，这里利用中点坐标公式获解；