概率论第四章

X 0 1 Y 0 1 2
0.1 0.25 0.15 0.15 0.2 0.15
求随机变量 Z sin
(X Y)
2
的数学期望。
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解：E ( Z ) E[sin sin
(X Y)
2
]
(0 0)
2 2 (0 1) (1 1) sin 0.25 sin 0.2 2 2 (0 2) (1 2) sin 0.15 sin 0.15 2 2 0.25
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0.1 sin
(1 0)
0.15
例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
x (1 y ) x e , x 0, y 0, f ( x, y ) 其：E ( X )





.
证明X不存在数学期望.
证明:由于
3k 2 2 | xk | pk k , k 1 k 1 k 3 k 1 k

即该无穷级数是发散的，由数 学期望定义知，X不存在数学期望.
10
例1.3 设随机变量X的概率密度函数为
1 f ( x) , x ， 2 (1 x )

dx y 1 100 dy dx 0.5( x y ) 1 100 dy
10 10 x
x


g ( x, y) f ( x, y)dxdy
20 20
1. 42(万元）
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例1.11 设按季节出售的某种应时产品的销售 量X(单位:吨) 服从[5,10]上的均匀分布.
i 1 j 1


(4)二元连续型随机变量 X , Y 的密度函数为f ( x, y)， E(Z )存在，则有
E (Z ) E (h( X , Y ))





h( x, y) f ( x, y)dxdy.
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例 1.8 设二维随机变量 X , Y 的联合分布律为
计算乙的平均成绩：
8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
所以甲的成绩好于乙的成绩。
5
4.1 数学期望 (一) 数学期望定义 定义：设离散型随机变量X的分布律为
xk pk , 则称级数 xk pk 若级数 k 1 k 1 的值为X的数学期望，记为E(X)，即
例1.10 某商店经销某种商品，每周进货量X与
需求量Y是相互独立的随机变量，都~U[10,20]. 商店每售出一单位商品可获利1万元，若需求 量超过进货量，商店可从其他处调剂供应，此 时每单位商品获利0.5万元；求商店经销该商 品每周所获利润的数学期望.
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解：设Z 表示该种商品每周所得的利润，则


13
例1.6 设X 与Y 独立同分布，密度函数与分布函数为 e x , x 0, 1 e x , x 0, f ( x) F ( x) x 0. x 0. 0, 0, 令N min( X , Y ), M max( X , Y ), 求E ( N ), E ( M ).
每售出一件产品,其平均净收入为多少?
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解：记某件产品寿命为X(年),售出一件产品的净收入为
Y(元)，则
500 350 2, Y 500 350 50, 500 - 350, 若0 X 1, 若1 X 3, 若X 3.
由于X服从指数分布，那么
P{Y 200} P{0 X 1} 1 e x / 3dx 1 e 1/ 3 , 0 3 3 1 P{Y 100} P{1 X 3} e x / 3dx e 1/ 3 e 1 , 1 3 1 P{Y 150} P{ X 3} e x / 3dx e 1. 3 3
1
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即Y的分布律为
Y p -200 100 150
1
1 e
1/ 3
e
1/ 3
e
e 1
因此售出一件产品的平均净收入为
E (Y ) 200 (1 e 200+300e
1/ 3
) 100 (e
1
1/ 3
e ) 150 e
1
1
1/ 3
50e 33.35(元).
解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0, 由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
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M的分布函数为FM ( x) (F ( x)) ,

(2) X 是连续型随机变量，密度函数为f ( x),



g ( x) f ( x)dx ，则有
E (Y ) E ( g ( X ))


g ( x) f ( x)dx.
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定理的重要意义在于，求E(Y)时，不必 算出Y的分布律或概率密度函数，只利用X 的分布律或概率密度函数;
P( X xk ) pk k 1, 2,


E ( X ) xk pk
k 1
6

定义：设连续型随机变量 X 的概率密度 + 函数为f(x)，若积分 x f ( x)dx , + 则称积分 xf ( x)dx 的值为X的数学期望， 记为E(X)，即
E( X )
+

xf ( x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
例1.1 澳门赌场猜大小游戏中有买4点的 游戏，游戏规则如下，掷3颗骰子，点数 之和为4赌场输，赌场赔率1赔50,否则其
押金归赌场所有,问此规则对赌场还是赌
客更有利?
8
解：显然赌客猜中4点的概率为3/216=1/72.
设一赌客押了1元,那么根据规则,他赢50元的概
可以将定理推广到两个或两个以上随机
变量的函数的情况.
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定理(续)：设Z h( X , Y ) 连续函数 ,
(3)二元离散型随机变量 X , Y 的分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
E(Z )存在，则有
E ( Z ) E[h( X , Y )] h( xi , y j ) pij ;
k 解：X的分布律：P( X k ) e
k!
k 0,1,
0
X的数学期望为：
E( X ) k e
k 0

k
k!

e

(k 1)!
k 1

k 1
e e
即 E(X )
12

例1.5 设X 服从参数为 ( 0)的指数分布，求E( X ).
xf ( x, y)dydx

0


0
x xe x (1 y ) dydx
0

0
xe [
x
xe xy dy]dx
0
xe x dx 1,
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例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
x (1 y ) x e , x 0, y 0, f ( x, y ) 其他, 0,
若Y X , Y , Z g( X ,Y ) 0.5(X Y ), 若Y X ,
X 和Y 相互独立，因此( X , Y )的概率密度为 1 100, 10 x 20,10 y 20， f ( x, y ) 其他， 0,
E(Z )
20 10
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(二) 随机变量函数的数学期望
定理：设Y g ( X ) 连续函数 , (1) X 是离散型随机变量，分布律为：
g(x ) p
k 1 k

P( X xk ) pk , k 1, 2,
k
，则有 E (Y ) E[ g ( X )]
g(x )p ;
k 1 k k
数分布,概率密度函数为
1 e x /3 , x 0, 3 f ( x) x 0, 0,
若每件产品的生产成本为350元,出售价格为500元, 并向顾客承诺,如果售出一年之内发生故障,则免费 调换一件;如果在三年之内发生故障,则予以免费维 修,维修成本为50元.在这样的价格体系下,请问:该厂
2
2 e x 2e2 x , x 0, 因此，密度函数为f M ( x) x 0. 0,
由上例，E (M ) xf M ( x)dx
0

2 xe
0

x
dx x2e
0

2 x
dx
2 1 3 . 2 2
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例1.7 某厂生产的电子产品,其寿命(单位:年)服从指
e x , x 0, 解：X的密度函数为f ( x) x 0. 0,
E ( X ) xf ( x)dx x e x dx
0


xe
x 0
|
e
0

x
1 1 x dx e |0 .
若销售出一吨产品可盈利C1 = 2万元;
但若在销售季节未能售完,造成积压,则每吨产 品将会净亏损C2=0.5万元. 若该厂家需要提前生产该种商品,为使厂家能获 得最大的期望利润,问:应在该季生产多少吨产
品最为合适?
28
解：设应在该季生产a吨产品 (5 a 10) ，所获