331函数的单调性与导数习题课

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1.3.1函数的单调性与导数

二次函数 f ( x) ax 2
2 y 3 x 3 x 的单调区间。（1）求函数
解法一：利用二次函数图象特征，对称轴求单调区间。解法二： y ' 6 x 3 1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 1 2 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( , ) 2 1 单调递减区间为 ( , ) 2
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
1 y x
y
y x 2x 1
2
y 3
y
x
y
o
x
o
1
x
1 o
x
在（－ ∞ ，0），（0, ＋∞）在（－ ∞ ，1）上是减上是减函数。但在定义域函数，在（1, ＋∞）上是增函数。上不是减函数。
在(－ ∞,＋∞)上是增函数
判断函数单调性有哪些方法？定义法图象法
(1) 1 (ln x ) . x
（4）.对数函数的导数:
(2)
1 (log a x) . x ln a
（5）.指数函数的导数:
(1) ( 2) (e x ) e x . (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
一、复习回顾
函数 y = f (x) 在给定区间 I上，当 x 1、x 2 ∈I 且 x 1＜ x 2 时
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
y
o y
1
2
x
y f '( x )
１ 2 x
(A)
y f ( x)
2 x o
(B) y y f ( x)

高中数学 3.1.1导数与函数的单调性课时作业北师大版选修2-2

高二数学第三章导数应用§1 函数的单调性与极值1．1 导数与函数的单调性课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．答案知识梳理1．f′(x)>0 减少作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.]3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.] 4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．]5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x≥0， ∴a ≥1x .由x >12得1x<2，要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.] 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12， ∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

《3.3.1函数的单调性与导数》学案(第1课时) (2)

§3.3.1函数的单调性与导数(第 1课时)[自学目标]:1. 会熟练求导，求函数单调区间，证明单调性。

2. 会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 [重点]: 会熟练用求导，求函数单调区间 [难点]: 证明单调性 [教材助读]:1、复习回顾：求导公式和运算法则（1）常函数：（2）幂函数：（3）三角函数：（4）对数函数的导数: （5）指数函数的导数:运算法则：2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果________,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调________. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是________。

[预习自测]1、已知导函数()f x ' 的下列信息: 当1 < x < 4 时, ()0;f x '> 当 x > 4 , 或 x < 1时, ()0;f x '< 当 x = 4 , 或 x = 1时, ()0.f x '= 试画出函数()f x 的图象的大致形状.探究一：利用单调性求单调区间判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:32(1) ()3; (2) ()23;f x x x f x x x =+=--(3) ()sin ,(0,); f x x x x π=-∈ 32(4) ()2312 1.f x xx x =+-+（5） x x y ln = （6）33xy e x =-探究二：利用单调性判断函数图象如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.如图,函数()y f x = 在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”,在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓.2设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（）．A0 xy 12 xyB 012xyC0 12xyD0 1221xy'()y f x =[当堂检测]1判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:2(1) ()24; (2) ();x f x x x f x e x =-+=-332(3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--[拓展提升]1.讨论二次函数的单调区间.2 .求证: 函数在（0，2）内是减函数.3 判定函数1+-=x e y x的单调区间)0()(2≠++=a c bx ax x f 762)(23+-=x x x f4. 求函数xxxf ln2)(2-=的单调减区间6.设函数)()(23Rxcxbxxxf∈++=，已知)()()(/xfxfxg-=是奇函数（1）求cb,的值；（2）求)(xg的单调区间。

5.3.1函数的单调性 (2课时)(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册

取一个值
表5.3-1取一个值
取一个值
X
(-0,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,+0)
f'(x)
十
0
0
十
f(x)
单调递增
单调递减 f(2)=-3 单调递增
21
所以，f(x)在(-0,-1)和(2,+0)单调递增，在(-1,2)上单调递减，如图5.3-6所示.
y个
(-1,
2
-10
X
(2,-
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题?运算过程麻烦吗?你有什么体会?
图5.3-6
用定义法求解本题时，应先在定义域内任取x₁,x₂ (x₁<x₂), 再通过判断f(x₁)-f(x₂)的符号来确定函数f(x)的单调性.但运算过程麻烦，有时需要很多变形技巧，因此学习了导数知识之后，我们一般借助导数求解与函数单调性有关的问题.
22
判断函数f(x)单调性的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f'(x) 的零点(即解方程f'(x)=0); (3)用f'(x) 的零点将f(x)定义域分为若干个区间，每个区间取一个值计算出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数f(x)在定义域内的单调性.
b)上函数单调递减，且减小得越来越快，所以f'(x)<0, 且
f'(x) 减小的速度也快.
15
归纳一般地，函数f(x) 的单调性与导函数f'(x) 的正
负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 上单调递增；

3.1.1 导数与函数的单调性课件(北师大选修2-2)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ，为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ，，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a＝时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性．解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e

3-3-1 函数的单调性与导数

能力拓展提升一、选择题11．若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案] A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.12．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为()A．a≥3 B．a>3C．a≤3 D．a<3[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－a ，又f (x )在(－1,1)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立．∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x 2<3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减．13．函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－xe x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x .当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数，∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．14．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.二、填空题15．函数f (x )＝x ln x 的单调减区间为________．[答案] (0，1e )[解析] 函数f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.解f ′(x )<0得x <1e ，又x >0，∴f (x )的减区间为(0，1e )．16．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，由题意得x <－2时，f ′(x )≤0恒成立，∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．18．已知f(x)＝e x－ax－1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[解析](1)∵f(x)＝e x－ax－1，∴f′(x)＝e x－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝e x－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤e x，x∈R恒成立．∵x∈R时，e x∈(0，＋∞)，∴a≤0.(2)f′(x)＝e x－a.若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立⇒a≥(e x)max.当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，∴a≥1.①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立⇒a≤(e x)min.当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．。

高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数习题新人教A版选修2-2(2021年整理)

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第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数A级基础巩固一、选择题1．在下列结论中，正确的有( A ）（1）单调增函数的导数也是单调增函数；(2）单调减函数的导数也是单调减函数；（3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的,则原函数也是单调的．A．0个B．2个C．3个D．4个［解析］分别举反例：（1)y＝ln x，(2)y＝错误!(x〉0)，(3)y＝2x，（4）y＝x2,故选A．2．函数f（x)＝ax3－x在R上为减函数，则( A ）A．a≤0 B．a〈1C．a〈2 D．a≤错误!［解析]f′（x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0．3．（2017·宣城高二检测）函数f（x)＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是( B ）A．0 B．1C．2 D．3［解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x）＝2x＋x3－2，0〈x〈1，∴f′（x)＝2x ln2＋3x2〉0在(0，1）上恒成立,∴f（x)在(0,1)上单调递增．又f（0)＝20＋0－2＝－1〈0，f(1）＝2＋1－2＝1〉0，f(0）f（1)<0,则f（x）在(0,1）内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0，1）上单调递增，则函数f(x）在(0,1）内有且仅有一个零点．4．下列函数中，在（0，＋∞)内为增函数的是( B ）A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x[解析]对于B，y＝x e2，则y′＝e2，∴y＝x e2在R上为增函数，在（0,＋∞)上也为增函数,选B．5．（2018·商洛模拟）设f（x）在定义域内可导,其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( B )[解析]由f(x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0,再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选B．6．若f(x）＝错误!，e〈a〈b,则( A ）A．f(a)>f(b）B．f（a)＝f（b）C．f(a）<f（b）D．f（a）f（b)>1［解析]因为f′(x)＝错误!，∴当x〉e时，f′（x)〈0，则f(x)在(e,＋∞)上为减函数，因为e<a〈b，所以f(a)>f（b)．选A．二、填空题7．（2018·无锡期末）函数f（x)＝x＋2cos x（0≤x≤2π）的单调递减区间为（错误!，错误!）．[解析］∵函数y＝x＋2cos x,∴y′＝1－2sin x＜0，∴sin x＞错误!，又∵x∈［0，2π],∴x∈（错误!,错误!），故答案为(错误!,错误!）．8．（2018·沙市区校级期中）函数y＝x3－x2－x的单调增区间为（－∞，错误!)，(1，＋∞）．［解析]由y＝x3－x2－x,∴f′（x)＝3x2－2x－1＝3(x＋13）(x－1）．令f′（x)＝0，解得x＝－错误!，1．列表如下:错误!故答案为(－∞,错误!)，（1，＋∞)．三、解答题9．（2018·天津理,20(1））已知函数f(x）＝a x，g(x）＝log a x，其中a〉1．求函数h(x）＝f（x）－x ln a的单调区间．[解析]由已知,h(x)＝a x－x ln a，有h′(x)＝a x ln a－ln a．令h′(x）＝0,解得x＝0．由a>1，可知当x变化时,h′（x），h（x)的变化情况如下表：所以函数h(x．10．（2017·长沙高二检测)已知a≥0,函数f（x)＝(x2－2ax）e x．设f（x）在区间［－1,1］上是单调函数，求a的取值范围．[解析］∵f(x）＝（x2－2ax)e x，∴f′(x）＝（2x－2a)e x＋（x2－2ax)e x＝e x［x2＋2(1－a）x－2a］令f′(x）＝0，即x2＋2（1－a）x－2a＝0，解x1＝a－1－错误!，x2＝a－1＋错误!，其中x1<x2，当x变化时，f′(x），f(x）的变化情况如下表∵a1212∴x2≥1,即a－1＋错误!≥1，∴a≥错误!．B级素养提升一、选择题1．（2018·和平区二模）已知f（x)是定义在R上的函数,它的图象上任意一点P（x0,y0）处的切线方程为y＝（x错误!－x0－2)x＋（y0－x错误!＋x错误!＋2x0)，那么函数f（x）的单调递减区间为( A ）A．(－1，2）B．（－2，1)C．（－∞，－1）D．（2,＋∞)[解析]因为函数f(x），（x∈R）上任一点(x0，y0）的切线方程为y＝（x错误!－x－2）x＋（y0－x错误!＋x错误!＋2x0),即函数在任一点（x0,y0）的切线斜率为k＝x错误!－x0－2,即知任一点的导数为f′(x）＝x2－x－2＝(x－2)（x＋1）,由f′（x)＜0，得－1＜x＜2，即函数f（x）的单调递减区间是(－1,2）．故选A．2．（2018·黔东南州一模)已知函数f（x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1，则函数y＝ln f(x）的单调递增区间是( A )A．（kπ－错误!，kπ＋错误!](k∈Z)B．[kπ－错误!，kπ＋错误!）(k∈Z）C．[kπ＋错误!，kπ＋错误!）（k∈Z)D．［kπ＋错误!，kπ＋错误!］（k∈Z)［解析］由已知，化简得f（x）＝sin2x＋cos2x＝错误!sin(2x＋错误!）,又y＝ln f(x)与y＝f（x)的单调性相同且f(x)＞0，所以2x＋π4∈（2kπ，2kπ＋错误!],∴x∈(kπ－错误!，kπ＋错误!]（k∈Z），故选A．3．若函数f（x)＝x－错误!sin2x＋a sin x在（－∞，＋∞）单调递增，则a的取值范围是（ C )A．[－1,1] B．［－1，错误!]C．[－错误!，错误!］D．[－1，－错误!］[解析］函数f(x)＝x－错误!sin2x＋a sin x在（－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－23cos2x＋a cos x＝－错误!cos2x＋a cos x＋错误!≥0在(－∞，＋∞）恒成立．设cos x＝t，则g（t）＝－错误!t2＋at＋错误!≥0在［－1，1］恒成立，所以错误!，解得－错误!≤a≤错误!．故选C．二、填空题4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋(2a－3）x－1．（1）若f（x）的单调减区间为（－1，1)，则a的取值集合为｛0｝．(2）若f(x）在区间（－1，1）内单调递减,则a的取值集合为{a|a〈0｝．[解析]f′（x）＝3x2＋2ax＋2a－3＝（x＋1）（3x＋2a－3）．（1)∵f(x）的单调减区间为（－1，1），∴－1和1是方程f′（x）＝0的两根,∴错误!＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为｛0}．（2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递减，∴f′（x)〈0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，∴必有错误!>1，∴a〈0，∴a的取值集合为｛a|a<0｝．三、解答题5．(2017·驻马店高二检测）已知函数f（x)＝（ax2＋x－1）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若a＝1，求曲线f（x)在点(1，f（1))处的切线方程；（2)若a＝－1，求f（x)的单调区间．［解析](1）因为f(x）＝（x2＋x－1)e x,所以f′(x)＝(2x＋1)e x＋(x2＋x－1）e x＝(x2＋3x)e x，所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝f′（1）＝4e．又因为f（1）＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e（x－1)，即4e x－y－3e＝0．(2)f(x)＝(－x2＋x－1）e x，因为f′（x）＝－x(x＋1)e x，令f′(x）<0，得x〈－1或x>0；f′(x）〉0得－1〈x<0．所以f（x）的减区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，增区间为（－1,0)．6．(2018·咸阳期末)已知函数f（x)＝错误!ax2－ln x－2．(1)当a＝1时,求曲线f(x)在点（1，f（1））处的切线方程；(2）若a＞0，求函数f（x)的单调区间．［解析](1）当a＝1时，f（x）＝错误!x2－ln x－2，f′（x)＝x－错误!，∴f′(1)＝0，f(1)＝－错误!,∴曲线f(x）在点（1，f(1）)处的切线方程为y＝－错误!;(2）∵f′(x)＝错误!(x＞0)，a＞0时，令f′(x）＞0,解得：x＞错误!,令f′（x）＜0，解得：0＜x＜错误!，∴f（x)在(0，错误!）递减,在（错误!，＋∞)递增．C级能力拔高已知函数f(x)＝x2＋2a ln x．（1)求函数f(x)的单调区间;（2）若函数g(x)＝2x＋f（x)在［1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．[解析](1）f′(x)＝2x＋错误!＝错误!,函数f（x）的定义域为(0，＋∞)．①当a≥0时，f′（x)〉0，f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a〈0时f′(x）＝错误!．当x变化时，f′（x）,f（x)的变化情况如下:错误!错误!，＋∞)．（2)由g （x ）＝2x＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－错误!＋2x ＋错误!，由已知函数g （x )为[1，2］上的单调减函数，则g ′（x )≤0在［1，2]上恒成立,即－错误!＋2x ＋错误!≤0在[1，2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在［1，2］上恒成立．令h (x )＝错误!－x 2，x ∈［1,2］，则h ′（x ）＝－错误!－2x ＝－(错误!＋2x ）〈0， ∴h （x )在[1,2]上为减函数．h (x ）min ＝h (2)＝－错误!， ∴a ≤－72,故a 的取值范围为{a ｜a ≤－错误!}．。

第三章 3.3 3.3.1 函数的单调性与导数(优秀经典课时训练作业及答案详解)

[A 组学业达标]1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析：∵f ′(x )＝1＋1x >0，∴函数在(0,6)上单调递增．答案：A2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．答案：D3．函数f (x )＝(x －1)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,4)D ．(0，＋∞)解析：f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x ＝x e x ，由f ′(x )>0得x e x >0，∴x >0，∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，故选D.答案：D4．已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是() A．－3 B．－2C．2 D．3解析：∵f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，∴a≥－3，∴a的最小值为－3.故选A.答案：A5．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)解析：令F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2<0，所以F(x)在R上单调递减．又a<x<b，∴f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b)>0.又f(x)>0，g(x)>0，∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．答案：C6．当x>0时，f(x)＝x＋2x的单调递减区间是________．解析：f′(x)＝1－2x2＝x2－2x2＝(x －2)(x ＋2)x 2. 由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2.答案：(0，2)7．若函数f (x )＝(x 2＋mx )e x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，则实数m 的值为________．解析：f ′(x )＝[x 2＋(m ＋2)x ＋m ]·e x ，因为f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f ′(x )＝0的两个根分别为x 1＝－32，x 2＝1，即⎩⎨⎧ f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，f ′(1)＝0，解得m ＝－32.答案：－328．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1.法二：由题意得f ′(x )≤0在(0,1)内恒成立，即3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立，即2a ≥3x －1x 恒成立，∴2a ≥2，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)9．试证明：函数f (x )＝ln x x 在区间(0,2)上是单调递增函数．证明：由于f (x )＝ln x x ，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，故f′(x)＝1－ln xx2>0，即函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上是单调递增函数．10．已知函数f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，试求f(x)的单调区间．解析：由f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝1x－f′(1)．令x＝1，则f′(1)＝1－f′(1)，∴f′(1)＝1 2，f′(x)＝1x－12.由f′(x)>0，即1x－12>0，得0<x<2；由f′(x)<0，即1x－12<0，得x>2.故f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．[B组能力提升]11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，1)解析：令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2，∵f′(x)>2，∴g′(x)>0，∴g(x)＝f(x)－2x－4在R上是增函数，又∵x＝－1时，g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，故f(x)>0的解集为(－1，＋∞)，故选B.答案：B12．若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与e a f(0)的大小关系为()A．f(a)<e a f(0) B．f(a)>e a f(0)C．f(a)＝e a f(0) D．不能确定解析：令F(x)＝f(x)e x，则F′(x)＝f′(x)e x－f(x)e x(e x)2＝f′(x)－f(x)e x>0，从而F(x)＝f(x)e x在R上单调递增，于是当a>0时，F(a)＝f(a)e a>F(0)＝f(0)e0＝f(0)，即f(a)>e a f(0)．答案：B13．若x∈[0,2π]，则函数y＝sin x－x cos x的单调递增区间是________．解析：y′＝cos x－cos x＋x sin x＝x sin x>0，∵x∈[0,2π]，∴sin x>0，∴0<x<π，∴函数y＝sin x－x cos x的单调递增区间是(0，π)．答案：(0，π)14．若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x. 因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解．又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解．①当a >0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a <0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线，若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧ Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a >0，解得－1≤a <0，而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x＝(x －1)2x ≥0，不符合题意，故－1<a <0； ③当a ＝0时，显然符合题意．综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)15．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R.讨论f (x )的单调性．解析：f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．。

1.3.1 函数的单调性与导数(2)

1．1．3函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)；(2) )253log()(2-+=x x x f(3) 32)1)(12(x x y --=. （4）)3ln()(b x x f -= （b>0）（5）判断)lg()(2x x x f -=的单调性。

分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）例2．（1）求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间. （2）讨论函数2()(11,0)1bx f x x b x =-<<≠-的单调性. （3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2)，令y ′＜0得(x – a ) (x – a 2)＜0.1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2, a )；3）当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；4）a = 0，a = 1时，y ′≥0此时，无减区间.综上所述：当a ＜0或a ＞1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a , a 2)；当0＜a ＜1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a 2, a )；当a = 0，a = 1时，无减区间.（2）解：∵22()()()11bx bx f x f x x x --==-=----， ∴f (x )在定义域上是奇函数. 在这里，只需讨论f (x )在(0, 1)上的单调性即可.当0＜x ＜1时，f ′ (x ) =2222222221(1)21()1(1)(1)x x x x x x b b b x x x '-----'==---=2221(1)x b x +--. 若b ＞0，则有f ′ (x )＜0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递减的；若b ＜0，则有f ′ (x )＞0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：当b ＞0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递减的；当b ＜0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递增的.（3）解：由已知得函数f (x )的定义域为 (–1, +∞)，且1()1ax f x x -'=+(a ≥–1). （1）当–1≤a ≤0时，f ′ (x )＜0，函f (x )在(–1, +∞)上单调递减.（2）当a ＞0时，由f ′ (x ) = 0，解得1x a =. f ′ (x )、f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈1(1,)a -时，f ′ (x )＜0，函数f (x )在1(1,)a-上单调递减. 当x ∈1(,)a +∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在1(,)a +∞上单调递增. 综上所述，当–1≤a ≤0时，函数f (x )在(–1, +∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f (x )在1(1,)a -上单调递减，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增.作业：《习案》作业八。

人教A版高中数学选修1-1：3.3.1函数的单调性与导数同步课时练习

3．3.1 函数的单调性与导数填一填1.函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减；如果恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”.判一判1.可导函数f (x )在(a 解析：如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但x ＝0时f ′(x )＝0，故错误． 2．函数f (x )＝ax 2－b 在区间(－∞，0)内是减函数，则a >0且b ∈R .(√)解析：f ′(x )＝2ax ，当x <0时，由f ′(x )＝2ax <0，得a >0，∴a >0，b ∈R .故正确． 3．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是(－∞，2)．(×)解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2.增区间为(2，＋∞)，故错误．4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.(×) 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x.由y ′>0得f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由y ′<0得f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫0，12，由于函数在(k －1，k ＋1)上不单调，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.故错误.想一想1.提示：(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)确定f (x )的单调区间．注意：在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．2．函数的单调性与导函数的关系是什么？提示：注意：在某个区间内，f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．函数f (x )在(a ，b )内单调递增(减)的充要条件是f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.3．常见的函数值变化快慢与导数的关系有哪些？提示：对于①，函数值增加得越来越快，f ′(x )>0且越来越大；对于②，函数值增加得越来越慢，f ′(x )>0且越来越小；对于③，函数值减少得越来越快，f ′(x )<0且越来越小，绝对值越来越大；对于④，函数值减少得越来越慢，f ′(x )<0且越来越大，绝对值越来越小．思考感悟：练一练1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A.答案：A 2．设函数y ＝f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )可能为( )解析：已知函数的图象，结合函数的单调性可知，在y 轴左侧为增函数，导数恒大于等于零，排除A 、C ，然后在y 轴右侧，函数先增后减再增，导数值先正后负再正，故可知排除B 项，满足题意的为D 项．答案：D3．函数y ＝x 2－4ln x 的单调递减区间是________．解析：y ′＝2x －4x ＝2(x ＋2)(x －2)x(x >0)，令y ′≤0，解得0<x ≤2，∴函数y ＝x 2－4ln x 的单调递减区间是(0，2]．答案：(0，2]4．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )>0的解集为________．解析：当x >0时，xf ′(x )>0⇒f ′(x )>0，观察函数f (x )在(0，＋∞)上的图象，可得f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)上单调递增，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x <0时，xf ′(x )>0⇒f ′(x )<0，观察函数f (x )在(－∞，0)上的图象，可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，即当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0无解．综上，不等式xf ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)知识点一求函数的单调区间1.函数f (A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2)解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)<0，解得0<x <2. 答案：D2．函数f (x )＝x1－x的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．答案：C3．已知函数y ＝x ·f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：当x >0时，y ＝x ·f ′(x )在[0，b ]上的函数值非负⇒在[0，b ]上f ′(x )≥0，故函数f (x )在[0，b ]上单调递增；当x <0时，y ＝x ·f ′(x )在(－∞，0]上的函数值非负⇒在(－∞，0]上f ′(x )≤0，故f (x )在(－∞，0]上单调递减，观察各选项可知选D.答案：D4．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3－3x ；(2)f (x )＝x 2－ln x . 解析：(1)由题意得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝6x 2－3>0，解得x <－22或x >22.当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－22时，函数为增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫22，＋∞时，函数也为增函数．令f ′(x )＝6x 2－3<0，解得－22<x <22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－22，22时，函数为减函数．故函数f (x )＝2x 3－3x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－22和⎝⎛⎭⎫22，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－22，22.(2)函数f (x )＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x.令f ′(x )>0，解得x >22；令f ′(x )<0，解得0<x <22.故函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22.5．已知函数f (x )＝x －2x－ln x 的导函数为f ′(x )．(1)解不等式f ′(x )<2；(2)求函数g (x )＝f (x )－4x 的单调区间．解析：(1)由题可得f ′(x )＝1＋2x 2－1x(x >0)，所以f ′(x )<2即2x 2－1x－1<0(x >0)，即x 2＋x －2>0(x >0)，解得x >1，所以不等式f ′(x )<2的解集为(1，＋∞)．(2)由题可得g (x )＝f (x )－4x ＝－3x －2x－ln x ，所以g ′(x )＝－3＋2x 2－1x ＝－3x 2－x ＋2x 2＝－(x ＋1)(3x －2)x 2，所以当0<x <23时，g ′(x )>0；当x >23时，g ′(x )<0，所以函数g (x )的单调增区间为⎛⎭⎫0，23，单调减区间为⎝⎛⎫23，＋∞. 6.围是( )A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且仅在有限个点上f ′(x )＝0，则有Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.答案：B 7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，因此b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－68．已知f (x )＝2ax －1x2，若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________．解析：由已知得f ′(x )＝2a ＋2x3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.(经检验等号成立) 答案：[－1，＋∞)基础达标1.若在区间(a ，b )内，f ′( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定解析：因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.故选A. 答案：A2．函数y ＝－x ＋sin x 在R 上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减 D ．先减后增解析：因为y ′＝－1＋cos x ≤0恒成立，所以函数y ＝－x ＋sin x 在R 上单调递减，故选B.答案：B3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x 解析：A 项中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 项中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 项中，y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D 项中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.答案：B4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定解析：f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．答案：A5．已知函数f (x )＝13ax 3－x 2＋5(a >0)在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a >1 解析：由f (x )＝13ax 3－x 2＋5(a >0)，得f ′(x )＝ax 2－2x .因为函数f (x )在(0,2)上不单调，所以f ′(x )在(0,2)上存在零点，而a >0，所以0<2a<2，解得a >1.故选D.答案：D6．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定解析：当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， ∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．答案：C7．函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[2，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：∵y ′＝a －1x，函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增， ∴在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上y ′≥0，即a －1x ≥0， ∴a ≥1x .由x >12得1x <2，要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.答案：C 二、填空题8．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－30x －33 ＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单调递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)9．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 答案：(－∞，－3]10．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为________．解析：需满足f ′(x )＝cos x ＋a ≥0恒成立，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)11．函数f (x )＝ln x －12x 2＋x 的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝ln x －12x 2＋x ，得f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，且x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x 2＋x ＋1>0，则0<x <1＋52.故函数f (x )＝ln x －12x 2＋x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52 12．已知定义在R 上的可导函数f (x )满足f ′(x )<1，若f (1－m )－f (m )>1－2m ，则实数m 的取值范围是________．解析：令F (x )＝f (x )－x ，则F ′(x )＝f ′(x )－1<0，故函数F (x )＝f (x )－x 在R 上单调递减，又由题设知f (1－m )－f (m )>1－2m ，恒等变形为f ()1－m －f (m )>()1－m －m ，则F (1－m )>F (m )，故1－m <m ，即m >12.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 三、解答题13．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．解析：由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12. 14．(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值． (2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集． ∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞能力提升15.判断函数f (x )＝(a ＋解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．16．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即 a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0. (2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

1.3.1函数单调性与导数(第一课时)

0
. . . . . ..
2
x
分析: 该函数在区间（－∞，2）上切线斜率小于0,即其导数为负,这时函数在（－∞， 2）上单调递减；在区间（2，+∞）上切线斜率大于0,即其导数为正，这时函数在（2，+∞）上单调递增。而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
f ( x)为增函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0, 即 0 x1 x2 x f ( x)为减函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0单调性密切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
江苏省靖江高级中学
祁海波
一、知识回顾：
1.单调性的定义一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1 ， x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数．
2
( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
图象法
y x3 2 x2 x ?
2 y x 比如：判断函数的单调性。图象法 y 如图：
y x2
减函数，函数在 ( , 0) 上为____ 增函数。在 (0, ) 上为____
o
x
发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时 . 例如 y=x 3 +2x 2 -x. 是否有更为简捷的方法呢？下面我们考察单调性与导数有什么关系?

课件12：1.3.1 函数的单调性与导数

温馨提示在区间(a，b)内f′(x)＞0，是f(x)在该区间内单调递增的充分不必要条件．例如，f(x)＝x3在R 上为增函数，但f′(0)＝0.
2．函数单调性与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内： (1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； (2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．
变式训练函数y＝ax3－x在R上是减函数，求a的取值范围．
解：因为y＝ax3－x在R上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0
在R上恒成立，即3ax2≤1在R上恒成立．
当x＝0时，要满足题意，则a∈R；
当
x≠0
时，3ax2≤1
在
R
上恒成立，等价于
1 a≤3x2
在 R 上恒成立，则 a≤0.
综上可得a的取值范围是(－∞，0]．
归纳升华 1．利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数f′(x)； (3)令f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得x的相应区间为 f(x)的单调递增区间；
(4)令f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得x的相应区间为f(x)的单调递减区间．注意：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开，不能用符号“∪”连接．
4．已知函数y＝f(x)，x∈(a，b)的单调性，求参数的取值范围的步骤： (1)求导数y′＝f′(x)； (2)转化为f′(x)≤0(≥0)在x∈(a，b)上恒成立问题； (3)由不等式恒成立求参数的取值范围； (4)验证等号是否成立．

北师大版3.2.1 函数的单调性与导数导学案 (1)

5、函数的单调减区间是；单调增区间是。
6、函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则的大小关系为。
7、若函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是。
【学生小结】谈谈学完本节课有什么收获?
反
思
栏
（2）讨论函数（且）的单调性。
例2、求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）。
【检测反馈】
1、若为增函数，则（）
A、 B、 C、 D、
2、函数的单调递减区间是（）
A、 B、 C、 D、
3、函数在区间内是增函数，则（）
A、 B、 C、 D、
4、函数在下面哪个区间上是增函数（）
A、 B、 C、 D、
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第16课时
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：2013.9
集体备课

二、学习目标
1、了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性；
3、会求函数的单调区间
【导学释疑】
例1、（1）判断函数在上的单调性。

课时作业18：3.3.1　函数的单调性与导数

§3.3导数在研究函数中的应用3．3.1函数的单调性与导数1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝ln x－x答案 B解析B中，y′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝x e x在(0，＋∞)上为增函数．对于A，C，D都存在x>0，使y′<0的情况．2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案 D解析观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是f(x)的极小值点，x2是f(x)的极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D.3．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)答案 B解析 y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′>0恒成立即可，∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′>0恒成立．4．已知函数f (x )＝sin x －x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫－π4，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π4>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π4 C ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4D ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4>f (1)答案 A解析 ∵f (x )＝sin x －x ，∴f ′(x )＝cos x －1≤0，故函数f (x )在R 上是减函数，又－π4<1<π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－π4>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3. 5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任意一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 答案 B解析由导数的几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )≤0，即该函数的单调递减区间为(－∞，2]．6．若函数f (x )＝e x x，则f (x )的单调递减区间为________．答案 (－∞，0)和(0,1)解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，令f ′(x )<0，得x <0或0<x <1，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(0,1)．7．函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′(x )x<0的解集为________．答案 (－3，－1)∪(0,1)解析由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故不等式f ′(x )x<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)． 8．已知f (x )＝4x x 2＋1在区间[m ，m ＋1]上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案 [－1,0]解析 f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2， ∴当－1≤x ≤1时，f ′(x )≥0，即f (x )的单调递增区间是[－1,1]，又f (x )在[m ，m ＋1]上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0，即实数m 的取值范围是[－1,0]．9．已知x >0，求证：x >sin x .证明设f (x )＝x －sin x (x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是单调增函数，又f (0)＝0，∴f (x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴x >sin x (x >0)．10．设函数f (x )＝ax －a x－2ln x . (1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，且f ′(2)＝0，所以a ＋a 4－1＝0，所以a ＝45. 所以f ′(x )＝45＋45x 2－2x ＝25x2(2x 2－5x ＋2)．令f ′(x )≥0，解得0<x ≤12或x ≥2；令f ′(x )≤0，解得12≤x ≤2，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，12和[2，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，2.(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋ax 2，所以需ax 2－2x ＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，设g (x )＝ax 2－2x ＋a ，易知a >0，由其图象对称轴－－22a ＝1a >0可得，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≥1.所以a 的取值范围是[1，＋∞)．11．若函数f (x )＝(2a －1)ln x －x 在(0,1)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(0,1]答案 C解析 f (x )＝(2a －1)ln x －x ，f ′(x )＝2a －1x －1＝2a －1－xx ，由题意知f ′(x )≥0在(0,1)上恒成立，∴2a －1－x ≥0，即a ≥x ＋12在(0,1)上恒成立．又x ∈(0,1)，∴a ≥1.12．函数f (x )的定义域为R ，f (1)＝1，对任意x ∈R ，f ′(x )<2，则f (x )>2x －1的解集为() A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)答案 C解析令g (x )＝f (x )－2x ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－2<0，∴g (x )是减函数．又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0，即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)．13．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [3，＋∞) 解析因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x3－2，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )<0，则h (x )为减函数，所以h (x )<h ⎝⎛⎭⎫12＝3，所以a ≥3.14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析 f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 要使f (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则必须有f ′⎝⎛⎭⎫23>0，即29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析令h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－h (x )，因此函数h (x )在R 上是奇函数．①∵当x <0时，h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，∴h (x )在(－∞，0)上单调递增，∵h (－3)＝f (－3)g (－3)＝0，∴由h (x )<0，得x <－3.②当x >0时，∵函数h (x )在R 上是奇函数，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (3)＝－h (－3)＝0，∴h (x )<0的解集为(0,3)，∴不等式f (x )g (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．16．已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1，当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，则f (x )在R 上单调递增，当a <2时，当x ∈(a －1,1)时，f ′(x )<0，则f (x )为减函数，当x ∈(－∞，a －1)和x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．当a >2时，当x ∈(1，a －1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈(－∞，1)和x ∈(a －1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．综上可知，当a ＝2时，f (x )在R 上为增函数；当a <2时，f (x )在(a －1,1)上为减函数，在(－∞，a －1)，(1，＋∞)上为增函数；当a >2时，f (x )在(1，a －1)上为减函数，在(－∞，1)，(a －1，＋∞)上为增函数．(2)因为f (x )在(1,4)上为减函数，所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0；因为f (x )在(6，＋∞)上为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0.所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7.所以实数a 的取值范围为[5,7]．。

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y
4
-1 o2
5
x
练 :已知函数 f(x)的导函数 yf'(x)的图象如下 ,试画出 yf(x)的图象 .
y
-5 -4
12 3
-1 o
6
x
例 3 .证明函数 f(x ) 1 在 (0 , )内是减函数 . x
练习 : (1 )证明函数 f(x ) 2 x 3 6 x 2 7 在 (0 ,2 )内是减函数 .
331函数的单调性与导数习题课
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3.3.1函数的单调性与导数习题课
复习
一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
单调性与导数的关系:
一般地,在某个区间(a,b)内: 如果恒有f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果恒有f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 如果恒有f′(x)=0, 则f(x)为常函数.
导数法求证单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数 f (x). (3)解不等式f′(x)>0, f′(x)<0得函数单调区间.
-6
23 4
-5 -2 o
7
x
2 .证明函数 f(x ) s in x x 3 在 ( 0 , ) 内是增函数 . 2
3 . 讨论二次函 f ( x ) a x 2 b x c ( a 0 ) 的单调区间 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感谢观赏
( 2 ) 证明函数 f( x ) s in x c o s x 在 ( 0 ,) 内是增函数 . 2 ( 3 ) 证明函数 f ( x ) 2 e x 2 x 7 在 ( 0 , ) 内是增函数 .
作业:
1 . 已知函数 f ( x ) 的导函数 y f ' ( x ) 的图象如下 , 试画出 y f ( x ) 的图象 . y
例 1.求函数 ylnx2x2的单调区间 , 并画出函数图象的草图 .
练习 :求下列函数的单调区间 ,并画出函数图象草图 : (1 )f(x ) c o sx 2 x
(2 )f(x) 2 ex 2 x 7
例 2.已知函数 f(x)的导函数 yf'(x)的图象如下 ,试画出 yf(x)的图象 .